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2026届河北省唐山市迁西县第一中学模拟预测数学试卷
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.设复数z满足，则
A. B. 1 C. D. 2
3.已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为
A. B. C. D.
4.某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生 女生的平均身高分别为175cm和165cm，则估计该校高三年级学生的平均身高为
A. 169cm B. 170cm C. 171cm D. 172cm
5.已知数列满足，则
A. B. C. D.
6.若圆C过点，且与x轴相切，则圆心C的轨迹方程为
A. B. C. D.
7.已知函数，的图象分别与直线交于A，B两点，则的最小值为( )
A. 2 B. C. D.
8.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )
A. 720种 B. 1440种 C. 2880种 D. 4320种
二、多选题:本题共3小题，每小題6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于点成中心对称
D. 函数的一个单调递减区间为
10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是该双曲线右支上一点，N在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为( )
A. 实轴长为4 B.
C. 的面积为3 D.
11.已知是定义在R上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为当时，，其中e为自然对数的底数，则( )
A. 在R上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增
C. D.
三、填空題:本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，满足，则，的夹角为 .
13.设为等比数列的前n项和，若，，则的最小值为 .
14.已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为 .
四、解答题:本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本题满分13分)某学校对学生是否喜欢跑步锻炼进行调查，随机抽取男女学生共n人进行问卷调查，统计得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 100 20
女生 20
合计 n
若采用比例分配的分层随机抽样从这n人中抽取5人，则有男生3人，女生2人.
求n以及这n人中喜欢跑步锻炼的概率；
根据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关？
用样本估计总体，将频率视为概率，从该校全体学生中随机抽取2人，记其中喜欢跑步锻炼的人数为X，求X的数学期望.
附：，
16.(本题满分15分)已知数列的前n项和为，，
证明：是等比数列，并求出的通项公式；
求数列的前n项和；
若，求的取值范围.
17.(本题满分15分)已知函数
讨论的单调性；
若有两个极值点，求证
18.(本题满分17分)在直三棱柱中，底面ABC为正三角形，，点Q为线段的中点，动点P满足
当时，证明：；
当时，四点在同一球面上，该球的球心为点O，表面积为S，求球O表面积S；
动点M在所在平面内，和均为锐角，且，设平面AQM和平面BQM的夹角为，求的最大值.
19.(本题满分17分)已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为D，抛物线C上存在点E满足，且
求C的方程；
记，过F的直线交C于，在抛物线C上按如下方式构造点列：连接分别交C于另一点
设直线与x轴交点的横坐标为，求数列的通项公式；
为坐标原点，若的外接圆与抛物线C交于第四点，试证明：的重心在x轴上，且在的右侧.
数学答案
单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B C C D B D
二、多项选择题
8 9 10
BD ACD ACD
填空題
12. 13. 14.
四、解答题
15.200， 不能认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关
16.证明：根据题意，数列中，，
若，故，则，
又由，则，
整理可得：，则有，
因此是首项为2、公比为2的等比数列，
所以，故
17.（1）当在单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
（2）由知有两个极值点，时，
，，，
，
，
，
令，则，
设，，其中，
所以，即单调递减，又因为，
所以，即在单调递减，所以
即。
18.解：（1）当时，取的中点为N，连接，由已知可知，，又因为平面，所以平面，因为平面，所以；
（2）所以球的表面积；
（3）最大值为
19.（1）
（2）
设直线与的交点为，因为四点共圆，
所以，
设直线为，联立得
，所以，
，
设直线为，
同理可得，
又且，所以，
所以，
则的重心纵坐标为0，即的重心在x轴上，
，
同理所以，
联立直线与得，
所以，
所以的重心在的右侧.

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