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广东省深圳市某校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足，则复数z的虚部为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，因为，所以，
即，则，即，虚部为．
故答案为：D.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等列式求得a，b，再根据复数的概念判断其虚部即可．
2．已知向量与的夹角为，，，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 向量与的夹角为，，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用向量的模长公式，结合向量数量积运算求解即可.
3．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
4．设，m是两条直线，，是两个平面，则（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，，则与可能平行，也可能相交，还可能异面，故A错误；
若，，则，又，所以，故B正确；
，，，则与可能平行，也可能异面或相交，故C，D错误.
故答案为：B．
【分析】根据空间中线线，线面以及面面的位置关系逐个判断即可．
5．已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，则，
向量在方向上的投影向量为，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量模的坐标表示求得，再根据投影向量公式计算即可.
6．如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为是正四棱台，，，
侧面以及对角面为等腰梯形，
所以，，
，，
则该四棱台体积为.
故答案为：B.
【分析】利用棱台体积公式求解即可.
7．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（　　）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.
其中事件A包括： .
事件B包括： .
事件C包括：.
事件D包括： .
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.A不符合题意；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，C与对立不成立.B不符合题意；
对于C：因为，，而.因为，所以与不是相互独立.C不符合题意；
对于D：因为，，而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据题意由互斥、对立以及相互独立事件的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
8．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，
可得，
且，
在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得：
，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意，在直角中和直角中，分别求出的长和的长，在中利用余弦定理得出的长.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（　　）
A．图（1）的平均数中位数众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数中位数<平均数
D．图（3）的平均数中位数众数
【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、图（1）的分布直方图是对称的，则平均数=中位数=众数，故A正确；
BC、图（2）呈右拖尾，则众数最小，平均数大于中位数，故B错误，C正确；
D、图（3）呈左拖尾，众数最大，平均数小于中位数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断即可.
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．是的一条对称轴
B．在上单调递增
C．在上的最小值为
D．向右平移个单位后为一个偶函数
【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：易知，，则，，
即，
因为，所以，，即，，
又因为，所以，所以；
A、时，，又因为函数不关于对称，
所以不是的对称轴，故A错误；
B、当时，，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
C、当时，，最小值为，故C错误；
D、，又因为，
所以是偶函数，故向右平移个单位后为一个偶函数，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由图易知A的值，结合函数的周期求得，再根据函数图象过点求得的值，即可得函数的解析式，再根据正弦型函数的性质求解即可判断ABC；根据三角函数图象的平移变换求得平移后的函数解析式，判断其奇偶性即可判断D.
11．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（　　）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为，又因为面，面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
B、取的中点分别为，连接，如图所示：
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，
所以AQ的最小值为，故B正确；
C、若的外心为M，过作于点，，
则，故C错误；
D、过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用线面平行的判定定理证得面，直线到平面的距离相等，根据的面积为定值，可得 四面体的体积为定值即可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值即可判断B；若的外心为M，过作于点，由三角形外心的性质，结合向量数量积的性质求解即可判断C；过作于点，易知平面，在上取点，使得，推得在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，求圆弧的长度即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的面积为　 　.
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：易知直观图的面积为，则原平面图形的面积为.
故答案为：.
【分析】先计算直观图的面积，再根据直观图与原图面积关系求解即可.
13．已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为　 　.
【答案】（答案不唯一，）
【知识点】奇函数与偶函数的性质；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：函数为奇函数，
则，
则符合条件的一个的取值可以为.
故填：.
【分析】由余弦型函数的奇偶性和诱导公式得出符合条件的一个的取值.
14．在中，的角平分线交于，则　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理可得：，解得，
由正弦定理，可得，解得，
因为的角平分线交于，所以，由角平分线性质可得：，
所以，
在中，由正弦定理可得：，即，解得.
故答案为：.
【分析】在中，利用余弦定理、正弦定理求得，，再根据角平分线的性质在中，利用正弦定理求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数，且．
（1）求a的值和的最小正周期；
（2）求在上的单调递增区间．
【答案】（1）解：因为，所以，即，解得，
则，
即的最小正周期为；
（2）解：由，解得，
所以的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据求出的值，再根据正弦的二倍角公式以及两角和余弦公式、辅助角公式化简函数，最后根据正弦函数最小正周期公式计算即可；
（2）由（1）的解析式，利用整体代入法求出的单调递增区间，结合确定函数的单调性递增区间即可.
（1）因为，所以，
即，解得，
所以
，
所以的最小正周期为.
（2）由，解得，
所以的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为.
16．在中，a b c分别是角A B C的对边，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积和周长．
【答案】解：（1）将，
代入可得，整理得，
则，因为角B为的内角，所以；
（2）在中，，
在中，由余弦定理，将，
代入得，则，解得，
故的周长为．
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
17．为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数；
（2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差.
【答案】（1）解：由题意得：，解得，
抽取的样本中，设第百分位数为，
前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，，
则，解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为；
（2）解：由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，
在的有人，设为、、.，
则样本空间为，，
设事件两人分别来自和，
则，则，
因此，所以两人得分分别来自和的概率为；
（3）解：由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为，
在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为；
这个数据的平均数为，方差为，
由题意，，，，，
且，，则，
由分层抽样方差公式可得：
，
故得分在内的平均数为，方差为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1，列式求出的值，再利用百分位数的概念求分位数即可；
（2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可；
（3）利用分层抽样的均值和方差公式求解即可.
（1）由题意得：，解得，
抽取的样本中，设第百分位数为，
前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，，
则，
解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为.
（2）由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，
在的有人，设为、、.
则样本空间为，
，
设事件两人分别来自和，
则，则，
因此，所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为，
在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为；
这个数据的平均数为，方差为.
由题意，，，，，
且，，则.
由分层抽样方差公式可得：
故得分在内的平均数为，方差为.
18．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.
（1）求证：面；
（2）点Q在棱上，若二面角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明：由题意：，，，
由直角梯形可得：，，
又因为，所以，即，
又因为面面，面面，面，
所以面，
又因为面，所以，
又因为，且面，面，，
所以面；
（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
设，有，
令是平面的一个法向量，则，
令，可得，
取面的一个法向量，
由，
解得，则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）易知梯形为直角梯形，求证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：由题意：，，，
∴解这个直角梯形可得：，，
又，∴，即，
又面面，面面，面，
∴面，又面，∴，
又，且面，面，，
∴面；
（2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设，有，
令是平面的一个法向量，
则，
令，有，
取面的一个法向量，
由.
解得. 所以
19．对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”.
（1）若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围；
（2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①当时，求；
②证明：.
【答案】（1）是的“迷你向量”，
，解得.
（2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，
要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点
故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可.
先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上，其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：
“123”代表前三步向上，剩下三步向右；
“246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右；
{123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}，
总共的最短路径条数，；
{156，256，356，456}，故经过包含的路径条数为4，，
因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，
.
②同理，总共的最短路径条数为
经过包含的路径条数为，试验为古典概型，
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，古典型概率的计算公式.（1）根据迷你向量的定义，利用平面向量的数量积公式进行计算可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围；
（2）①先作出图形，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，通过列举法可求出，进而可求出，进而可找出经过包含的路径条数为4，利用古典概型的计算公式可求出；
②先求出总共的最短路径条数为，利用古典概型的概率计算公式可求出，再进行放缩可证明结论.
（1）是的“迷你向量”，
，解得.
（2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，
要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点
故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可.
先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上，
其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：
“123”代表前三步向上，剩下三步向右；
“246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右；
{123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}，
总共的最短路径条数，；
{156，256，356，456}，故经过包含的路径条数为4，，
因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，
.
②同理，总共的最短路径条数为
经过包含的路径条数为，试验为古典概型，
.
1 / 1广东省深圳市某校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足，则复数z的虚部为（　　）
A． B． C． D．2
2．已知向量与的夹角为，，，则（　　）
A．1 B． C． D．
3．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（　　）
A． B．
C． D．
4．设，m是两条直线，，是两个平面，则（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（　　）
A． B． C． D．
6．如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（　　）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
8．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（　　）
A．图（1）的平均数中位数众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数中位数<平均数
D．图（3）的平均数中位数众数
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．是的一条对称轴
B．在上单调递增
C．在上的最小值为
D．向右平移个单位后为一个偶函数
11．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（　　）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的面积为　 　.
13．已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为　 　.
14．在中，的角平分线交于，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数，且．
（1）求a的值和的最小正周期；
（2）求在上的单调递增区间．
16．在中，a b c分别是角A B C的对边，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积和周长．
17．为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数；
（2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差.
18．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.
（1）求证：面；
（2）点Q在棱上，若二面角的余弦值为，求的值.
19．对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”.
（1）若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围；
（2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①当时，求；
②证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，因为，所以，
即，则，即，虚部为．
故答案为：D.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等列式求得a，b，再根据复数的概念判断其虚部即可．
2．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 向量与的夹角为，，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用向量的模长公式，结合向量数量积运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，，则与可能平行，也可能相交，还可能异面，故A错误；
若，，则，又，所以，故B正确；
，，，则与可能平行，也可能异面或相交，故C，D错误.
故答案为：B．
【分析】根据空间中线线，线面以及面面的位置关系逐个判断即可．
5．【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，则，
向量在方向上的投影向量为，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量模的坐标表示求得，再根据投影向量公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为是正四棱台，，，
侧面以及对角面为等腰梯形，
所以，，
，，
则该四棱台体积为.
故答案为：B.
【分析】利用棱台体积公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.
其中事件A包括： .
事件B包括： .
事件C包括：.
事件D包括： .
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.A不符合题意；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，C与对立不成立.B不符合题意；
对于C：因为，，而.因为，所以与不是相互独立.C不符合题意；
对于D：因为，，而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据题意由互斥、对立以及相互独立事件的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，
可得，
且，
在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得：
，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意，在直角中和直角中，分别求出的长和的长，在中利用余弦定理得出的长.
9．【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、图（1）的分布直方图是对称的，则平均数=中位数=众数，故A正确；
BC、图（2）呈右拖尾，则众数最小，平均数大于中位数，故B错误，C正确；
D、图（3）呈左拖尾，众数最大，平均数小于中位数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：易知，，则，，
即，
因为，所以，，即，，
又因为，所以，所以；
A、时，，又因为函数不关于对称，
所以不是的对称轴，故A错误；
B、当时，，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
C、当时，，最小值为，故C错误；
D、，又因为，
所以是偶函数，故向右平移个单位后为一个偶函数，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由图易知A的值，结合函数的周期求得，再根据函数图象过点求得的值，即可得函数的解析式，再根据正弦型函数的性质求解即可判断ABC；根据三角函数图象的平移变换求得平移后的函数解析式，判断其奇偶性即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为，又因为面，面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
B、取的中点分别为，连接，如图所示：
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，
所以AQ的最小值为，故B正确；
C、若的外心为M，过作于点，，
则，故C错误；
D、过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用线面平行的判定定理证得面，直线到平面的距离相等，根据的面积为定值，可得 四面体的体积为定值即可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值即可判断B；若的外心为M，过作于点，由三角形外心的性质，结合向量数量积的性质求解即可判断C；过作于点，易知平面，在上取点，使得，推得在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，求圆弧的长度即可判断D.
12．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：易知直观图的面积为，则原平面图形的面积为.
故答案为：.
【分析】先计算直观图的面积，再根据直观图与原图面积关系求解即可.
13．【答案】（答案不唯一，）
【知识点】奇函数与偶函数的性质；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：函数为奇函数，
则，
则符合条件的一个的取值可以为.
故填：.
【分析】由余弦型函数的奇偶性和诱导公式得出符合条件的一个的取值.
14．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理可得：，解得，
由正弦定理，可得，解得，
因为的角平分线交于，所以，由角平分线性质可得：，
所以，
在中，由正弦定理可得：，即，解得.
故答案为：.
【分析】在中，利用余弦定理、正弦定理求得，，再根据角平分线的性质在中，利用正弦定理求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，即，解得，
则，
即的最小正周期为；
（2）解：由，解得，
所以的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据求出的值，再根据正弦的二倍角公式以及两角和余弦公式、辅助角公式化简函数，最后根据正弦函数最小正周期公式计算即可；
（2）由（1）的解析式，利用整体代入法求出的单调递增区间，结合确定函数的单调性递增区间即可.
（1）因为，所以，
即，解得，
所以
，
所以的最小正周期为.
（2）由，解得，
所以的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为.
16．【答案】解：（1）将，
代入可得，整理得，
则，因为角B为的内角，所以；
（2）在中，，
在中，由余弦定理，将，
代入得，则，解得，
故的周长为．
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
17．【答案】（1）解：由题意得：，解得，
抽取的样本中，设第百分位数为，
前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，，
则，解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为；
（2）解：由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，
在的有人，设为、、.，
则样本空间为，，
设事件两人分别来自和，
则，则，
因此，所以两人得分分别来自和的概率为；
（3）解：由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为，
在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为；
这个数据的平均数为，方差为，
由题意，，，，，
且，，则，
由分层抽样方差公式可得：
，
故得分在内的平均数为，方差为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1，列式求出的值，再利用百分位数的概念求分位数即可；
（2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可；
（3）利用分层抽样的均值和方差公式求解即可.
（1）由题意得：，解得，
抽取的样本中，设第百分位数为，
前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，，
则，
解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为.
（2）由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，
在的有人，设为、、.
则样本空间为，
，
设事件两人分别来自和，
则，则，
因此，所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为，
在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为；
这个数据的平均数为，方差为.
由题意，，，，，
且，，则.
由分层抽样方差公式可得：
故得分在内的平均数为，方差为.
18．【答案】（1）证明：由题意：，，，
由直角梯形可得：，，
又因为，所以，即，
又因为面面，面面，面，
所以面，
又因为面，所以，
又因为，且面，面，，
所以面；
（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
设，有，
令是平面的一个法向量，则，
令，可得，
取面的一个法向量，
由，
解得，则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）易知梯形为直角梯形，求证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：由题意：，，，
∴解这个直角梯形可得：，，
又，∴，即，
又面面，面面，面，
∴面，又面，∴，
又，且面，面，，
∴面；
（2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设，有，
令是平面的一个法向量，
则，
令，有，
取面的一个法向量，
由.
解得. 所以
19．【答案】（1）是的“迷你向量”，
，解得.
（2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，
要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点
故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可.
先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上，其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：
“123”代表前三步向上，剩下三步向右；
“246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右；
{123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}，
总共的最短路径条数，；
{156，256，356，456}，故经过包含的路径条数为4，，
因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，
.
②同理，总共的最短路径条数为
经过包含的路径条数为，试验为古典概型，
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，古典型概率的计算公式.（1）根据迷你向量的定义，利用平面向量的数量积公式进行计算可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围；
（2）①先作出图形，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，通过列举法可求出，进而可求出，进而可找出经过包含的路径条数为4，利用古典概型的计算公式可求出；
②先求出总共的最短路径条数为，利用古典概型的概率计算公式可求出，再进行放缩可证明结论.
（1）是的“迷你向量”，
，解得.
（2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，
要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点
故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可.
先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上，
其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：
“123”代表前三步向上，剩下三步向右；
“246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右；
{123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}，
总共的最短路径条数，；
{156，256，356，456}，故经过包含的路径条数为4，，
因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，
.
②同理，总共的最短路径条数为
经过包含的路径条数为，试验为古典概型，
.
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