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广东省汕头市2024-2025学年高二下学期教学质量监测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求解即可.
2．已知，，与的夹角为60°，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用数量积的运算律和数量积的定义，从而得出的值.
3．学校开运动会，设是参加100m跑的同学，是参加200m跑的同学，是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，
所以.
故答案为：C
【分析】根据题意参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，再利用交集的运算法则和并集的运算法则以及空集的定义，从而逐项判断找出能说明这项规定的集合运算.
4．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（　　）
A．70 B．66 C．62 D．58
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由正方体共有8个顶点，
从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面），
所以，以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和组合数公式，则求出从8个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，从而得出以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数.
5．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和二倍角的正弦公式、同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
6．音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（　　）
A．（单位：）
B．学生早读期间读书的声强范围为（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍
D．如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，设，可得，故A对；
所以，
若，则，
所以，故B对；
若，则，故C错；
若，则，
可得，故D对.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和指数与对数的互化公式，从而得出的值，则判断出选项A；得出，利用的取值范围解不等式得出I的取值范围，则判断出选项B；根据已知条件和指数与对数的互化公式，则判断出选项C和选项D，从而找出错误的选项.
7．已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：ABC：令，，，，，，，故A错误，B错误，C错误；
D：时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，故D正确；
故答案为：D．
【分析】本题考查等比数列的前n项和公式及性质验证，核心是通过举反例排除错误选项，再分q=1和q1两种情况，代入等比数列前n项和公式验证正确选项。
8．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】设，，则中点，则，
在双曲线上则，两式相减得，，
.
A：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故A错误；
B：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故B错误；
C：，，，直线：，
由双曲线方程可得渐近线为，直线为渐近线
直线与双曲线没有两个交点.故C错误；
D：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线有两个交点.故D正确；
故选：D
【分析】设两点分别为，，由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得出，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知的展开式中的系数为15，则（　　）
A．
B．展开式中，中间项的系数为
C．展开式中，奇数项的系数和为32
D．当时，的末两位数字是61
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意，则展开式通项为，，
因为，可得，故A对；
所以，展开式的通项为，，共有7项，
则时为中间项，系数为，故B错；
由以上可知，奇数项的系数和为，故C对；
当时，，
则末两位数字为，故D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据二项式定理得到展开式的通项，根据已知条件得出n的值，则判断出选项A；利用展开式的通项得出中间项的系数，则判断出选项B；利用奇数项的系数和求解方法，则判断出选项C；利用赋值法和二项展开式，从而得出的末两位数字，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为
B．在上有且只有一个极小值点
C．在上递增
D．方程在上所有根的和为
【答案】A,B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，
得最小正周期为，故A对；
由，得，
结合余弦函数图象及极小值点定义知，区间内有且仅有一个极小值点，故B对；
由，得，
由余弦函数的性质，知在该区间内单调递减，故C错；
由题意，则或，
所以或，，
则，
所以，所有根的和为，故D错.
故答案为：AB.
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用余弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用余弦型函数的图象和极小值点的定义，从而得出函数在给定区间的极小值点的个数，则判断出选项B；利用余弦型函数的单调性，则判断出选项C；利用已知条件和函数的零点与方程的根的等价关系，从而得出方程在上所有根的和，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，是抛物线
B．当时，是离心率为的椭圆
C．当时，是离心率为的双曲线
D．若与圆O有公共点，则m的取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于A：如下图，
当，则为圆与正半轴的交点，所以是圆的一条弦，
则点必与原点重合，所以点是一个点，不是抛物线，故A错；
对于B：如下图，
当，则在线段上，
所以，
则点的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆，
所以，则椭圆的离心率为，故B对；
对于C：如下图，
当，则在线段两侧的延长线上，且，
所以的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，则，
所以，双曲线的离心率为，故C对；
对于D：由以上分析，当时，点是定点（原点），不满足题意；
当时，点是以为焦点，长轴长为2的椭圆，且，
显然不可能与圆O有公共点，不满足题意；
当时，点是以为焦点，实轴长为2的双曲线，
若时，，则双曲线左支与圆O有公共点；
若时，，则双曲线不可能与圆O有公共点，
所以，故D对.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和m的取值范围，再利用抛物线的定义、椭圆的定义和性质、双曲线的定义和性质，则判断出选项A、选项B和选项C；结合曲线与圆的位置关系得出实数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则　 　.
【答案】或
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，求导可得，
当时，，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得即，
联立，整理得，
因为切线与曲线只有一个公共点，所以方程只有一个根，
当时，方程为只有一个根，满足题意；
当时，，即，解得，
综上或.
故答案为：或.
【分析】求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，联立曲线和切线方程，问题转化为只有一个根，分和讨论，求解即可.
13．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为　 　．
【答案】0.375
【知识点】用频率估计概率
【解析】【解答】解：设该学校人数为，
依题意，得近视的人数为，玩手机超过1小时的人有，近视人数为，
则玩手机小于1小时但又近视的人数为，
所以，玩手机小于1小时的总人数为，
则这类人的近视率约为.
故答案为：.
【分析】先设出总体容量即学校的人数，再根据已知条件和频数与频率的关系式，结合古典概率公式，从而得出任意调查一名学生近视的概率.
14．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题可得，
，
则
，
，
，
则，
故答案为：.
【分析】以为基向量表示，根据向量的数量积运算求，再根据向量模的根据，最后根据向量的夹角公式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：由题意知：，
即：化简得.
所以数列的通项公式.
（2）解：因为
所以
化简得：.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的通项公式和求和公式结合条件求出a1， d，从而得到数列的通项公式；
(2)利用错位相减化简求解可得出数列的前n项和 .
16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若，则的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：由正弦定理，得，
其中，
则，
因为，所以，
则，
所以，则，
因为，所以，
则，解得.
（2）解：由三角形面积公式，
得，
则，
由余弦定理，得，
解得，则，
解得，则，
所以，的周长为6.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理以及三角形内角和定理，再利用诱导公式和两角和的正弦公式求解即可.
（2）由三角形面积公式求出的值，再由余弦定理得到的值，从而得到的值，利用已知条件和三角形周长公式得出的周长.
（1）由正弦定理得，
其中，
故，
因为，所以，故，
即，所以，
因为，所以，
故，解得；
（2）由三角形面积公式得，
故，
由余弦定理得，
解得，
故，解得，
故，周长为6.
17．如图，四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.
（1）证明：平面PAB；
（2）求直线CE与平面PAB间的距离.
【答案】（1）证明：若为的中点，连接，E为PD的中点，
则且，
由，，
得且，
则四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
则平面.
（2）解：由（1）知，直线CE与平面PAB间的距离，
即为点E与平面PAB间的距离，
由，，，
取的中点，连接，
所以四边形为矩形，，
由是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，
由，且都在平面内，
则平面，
由，则平面，平面，
所以，平面平面，
以为原点构建空间直角坐标系，
则，
由平面，平面，则，
在中，则，
由，得，则，
所以，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以，
则直线CE与平面PAB间的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）取为的中点，连接，利用平行四边形定义判断出四边形为平行四边形，从而得出，再根据线线平行证出线面平行，即证出平面PAB.
（2）先根据线面垂直证出平面平面，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，计算出平面的一个法向量，再根据数量积求直线到平面距离公式，从而得出直线CE与平面PAB间的距离.
（1）若为的中点，连接，E为PD的中点，则且，
由，，则且，故为平行四边形，
所以，平面，平面，故平面；
（2）由（1）知直线CE与平面PAB间的距离，即为点E与平面PAB间的距离，
由，，，取的中点，连接，
所以四边形为矩形，，
由是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，
由，且都在平面内，则平面，
由，则平面，平面，则平面平面，
以为原点构建空间直角坐标系，则，
由平面，平面，则，
在中，则，
由，所以，可得，
所以，，则，，，
设平面的一个法向量为，则，取，则，
所以，
所以直线CE与平面PAB间的距离为.
18．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】解：（1）因为的定义域为，.
（ⅰ）若，则，所以在单调递减；
（ⅱ）若，则由得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点；
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，
最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即，
又因为，
故在有一个零点，
设正整数满足，
则.
由于，因此在有一个零点，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）对按，进行分类讨论，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而写出函数的单调区间.
（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，最小值为，根据，，进行分类讨论，从而可知当时的零点个数，进而易知在有一个零点，设正整数满足，则，再根据得出函数在有一个零点，从而可得实数的取值范围.
19．如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x，y），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
（I）求直线AP斜率的取值范围；
（II）求的最大值
【答案】解：（I）设直线AP的斜率为k，
则，
因为，
所以直线AP斜率的取值范围是．
（II）联立直线AP方程与直线BQ的方程，
则
解得点Q的横坐标是，
因为|PA|==，
|PQ|=，
所以，
令，
因为，
所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
则当k=时，取得最大值．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件和两点求斜率公式以及x的取值范围，从而得出直线AP斜率的取值范围.
（Ⅱ）联立两直线方程得出交点Q的横坐标，再利用弦长公式得出，结合换元法，令，则由导数的正负判断函数f(k)的单调性，从而得出函数f(k)的最大值，进而得出的最大值.
1 / 1广东省汕头市2024-2025学年高二下学期教学质量监测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．计算：（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，与的夹角为60°，则（　　）
A． B． C． D．
3．学校开运动会，设是参加100m跑的同学，是参加200m跑的同学，是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（　　）
A． B． C． D．
4．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（　　）
A．70 B．66 C．62 D．58
5．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（　　）
A．（单位：）
B．学生早读期间读书的声强范围为（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍
D．如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
7．已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知的展开式中的系数为15，则（　　）
A．
B．展开式中，中间项的系数为
C．展开式中，奇数项的系数和为32
D．当时，的末两位数字是61
10．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为
B．在上有且只有一个极小值点
C．在上递增
D．方程在上所有根的和为
11．已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，是抛物线
B．当时，是离心率为的椭圆
C．当时，是离心率为的双曲线
D．若与圆O有公共点，则m的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则　 　.
13．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为　 　．
14．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若，则的面积为，求的周长．
17．如图，四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.
（1）证明：平面PAB；
（2）求直线CE与平面PAB间的距离.
18．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
19．如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x，y），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
（I）求直线AP斜率的取值范围；
（II）求的最大值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用数量积的运算律和数量积的定义，从而得出的值.
3．【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，
所以.
故答案为：C
【分析】根据题意参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，再利用交集的运算法则和并集的运算法则以及空集的定义，从而逐项判断找出能说明这项规定的集合运算.
4．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由正方体共有8个顶点，
从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面），
所以，以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和组合数公式，则求出从8个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，从而得出以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数.
5．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和二倍角的正弦公式、同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
6．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，设，可得，故A对；
所以，
若，则，
所以，故B对；
若，则，故C错；
若，则，
可得，故D对.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和指数与对数的互化公式，从而得出的值，则判断出选项A；得出，利用的取值范围解不等式得出I的取值范围，则判断出选项B；根据已知条件和指数与对数的互化公式，则判断出选项C和选项D，从而找出错误的选项.
7．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：ABC：令，，，，，，，故A错误，B错误，C错误；
D：时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，故D正确；
故答案为：D．
【分析】本题考查等比数列的前n项和公式及性质验证，核心是通过举反例排除错误选项，再分q=1和q1两种情况，代入等比数列前n项和公式验证正确选项。
8．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】设，，则中点，则，
在双曲线上则，两式相减得，，
.
A：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故A错误；
B：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故B错误；
C：，，，直线：，
由双曲线方程可得渐近线为，直线为渐近线
直线与双曲线没有两个交点.故C错误；
D：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线有两个交点.故D正确；
故选：D
【分析】设两点分别为，，由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得出，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意，则展开式通项为，，
因为，可得，故A对；
所以，展开式的通项为，，共有7项，
则时为中间项，系数为，故B错；
由以上可知，奇数项的系数和为，故C对；
当时，，
则末两位数字为，故D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据二项式定理得到展开式的通项，根据已知条件得出n的值，则判断出选项A；利用展开式的通项得出中间项的系数，则判断出选项B；利用奇数项的系数和求解方法，则判断出选项C；利用赋值法和二项展开式，从而得出的末两位数字，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，
得最小正周期为，故A对；
由，得，
结合余弦函数图象及极小值点定义知，区间内有且仅有一个极小值点，故B对；
由，得，
由余弦函数的性质，知在该区间内单调递减，故C错；
由题意，则或，
所以或，，
则，
所以，所有根的和为，故D错.
故答案为：AB.
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用余弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用余弦型函数的图象和极小值点的定义，从而得出函数在给定区间的极小值点的个数，则判断出选项B；利用余弦型函数的单调性，则判断出选项C；利用已知条件和函数的零点与方程的根的等价关系，从而得出方程在上所有根的和，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于A：如下图，
当，则为圆与正半轴的交点，所以是圆的一条弦，
则点必与原点重合，所以点是一个点，不是抛物线，故A错；
对于B：如下图，
当，则在线段上，
所以，
则点的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆，
所以，则椭圆的离心率为，故B对；
对于C：如下图，
当，则在线段两侧的延长线上，且，
所以的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，则，
所以，双曲线的离心率为，故C对；
对于D：由以上分析，当时，点是定点（原点），不满足题意；
当时，点是以为焦点，长轴长为2的椭圆，且，
显然不可能与圆O有公共点，不满足题意；
当时，点是以为焦点，实轴长为2的双曲线，
若时，，则双曲线左支与圆O有公共点；
若时，，则双曲线不可能与圆O有公共点，
所以，故D对.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和m的取值范围，再利用抛物线的定义、椭圆的定义和性质、双曲线的定义和性质，则判断出选项A、选项B和选项C；结合曲线与圆的位置关系得出实数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】或
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，求导可得，
当时，，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得即，
联立，整理得，
因为切线与曲线只有一个公共点，所以方程只有一个根，
当时，方程为只有一个根，满足题意；
当时，，即，解得，
综上或.
故答案为：或.
【分析】求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，联立曲线和切线方程，问题转化为只有一个根，分和讨论，求解即可.
13．【答案】0.375
【知识点】用频率估计概率
【解析】【解答】解：设该学校人数为，
依题意，得近视的人数为，玩手机超过1小时的人有，近视人数为，
则玩手机小于1小时但又近视的人数为，
所以，玩手机小于1小时的总人数为，
则这类人的近视率约为.
故答案为：.
【分析】先设出总体容量即学校的人数，再根据已知条件和频数与频率的关系式，结合古典概率公式，从而得出任意调查一名学生近视的概率.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题可得，
，
则
，
，
，
则，
故答案为：.
【分析】以为基向量表示，根据向量的数量积运算求，再根据向量模的根据，最后根据向量的夹角公式求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意知：，
即：化简得.
所以数列的通项公式.
（2）解：因为
所以
化简得：.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的通项公式和求和公式结合条件求出a1， d，从而得到数列的通项公式；
(2)利用错位相减化简求解可得出数列的前n项和 .
16．【答案】（1）解：由正弦定理，得，
其中，
则，
因为，所以，
则，
所以，则，
因为，所以，
则，解得.
（2）解：由三角形面积公式，
得，
则，
由余弦定理，得，
解得，则，
解得，则，
所以，的周长为6.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理以及三角形内角和定理，再利用诱导公式和两角和的正弦公式求解即可.
（2）由三角形面积公式求出的值，再由余弦定理得到的值，从而得到的值，利用已知条件和三角形周长公式得出的周长.
（1）由正弦定理得，
其中，
故，
因为，所以，故，
即，所以，
因为，所以，
故，解得；
（2）由三角形面积公式得，
故，
由余弦定理得，
解得，
故，解得，
故，周长为6.
17．【答案】（1）证明：若为的中点，连接，E为PD的中点，
则且，
由，，
得且，
则四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
则平面.
（2）解：由（1）知，直线CE与平面PAB间的距离，
即为点E与平面PAB间的距离，
由，，，
取的中点，连接，
所以四边形为矩形，，
由是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，
由，且都在平面内，
则平面，
由，则平面，平面，
所以，平面平面，
以为原点构建空间直角坐标系，
则，
由平面，平面，则，
在中，则，
由，得，则，
所以，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以，
则直线CE与平面PAB间的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）取为的中点，连接，利用平行四边形定义判断出四边形为平行四边形，从而得出，再根据线线平行证出线面平行，即证出平面PAB.
（2）先根据线面垂直证出平面平面，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，计算出平面的一个法向量，再根据数量积求直线到平面距离公式，从而得出直线CE与平面PAB间的距离.
（1）若为的中点，连接，E为PD的中点，则且，
由，，则且，故为平行四边形，
所以，平面，平面，故平面；
（2）由（1）知直线CE与平面PAB间的距离，即为点E与平面PAB间的距离，
由，，，取的中点，连接，
所以四边形为矩形，，
由是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，
由，且都在平面内，则平面，
由，则平面，平面，则平面平面，
以为原点构建空间直角坐标系，则，
由平面，平面，则，
在中，则，
由，所以，可得，
所以，，则，，，
设平面的一个法向量为，则，取，则，
所以，
所以直线CE与平面PAB间的距离为.
18．【答案】解：（1）因为的定义域为，.
（ⅰ）若，则，所以在单调递减；
（ⅱ）若，则由得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点；
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，
最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即，
又因为，
故在有一个零点，
设正整数满足，
则.
由于，因此在有一个零点，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）对按，进行分类讨论，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而写出函数的单调区间.
（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，最小值为，根据，，进行分类讨论，从而可知当时的零点个数，进而易知在有一个零点，设正整数满足，则，再根据得出函数在有一个零点，从而可得实数的取值范围.
19．【答案】解：（I）设直线AP的斜率为k，
则，
因为，
所以直线AP斜率的取值范围是．
（II）联立直线AP方程与直线BQ的方程，
则
解得点Q的横坐标是，
因为|PA|==，
|PQ|=，
所以，
令，
因为，
所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
则当k=时，取得最大值．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件和两点求斜率公式以及x的取值范围，从而得出直线AP斜率的取值范围.
（Ⅱ）联立两直线方程得出交点Q的横坐标，再利用弦长公式得出，结合换元法，令，则由导数的正负判断函数f(k)的单调性，从而得出函数f(k)的最大值，进而得出的最大值.
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