资源简介

江苏省南京市江宁区2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1．设随机变量服从正态分布，若，则c的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合，则集合A的真子集的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．某能源汽车制造公司近5年的利润情况如下表所示：
第x年 1 2 3 4 5
利润y（亿元） 2 3 4 m 7
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：，则m的值为（　　）
A．4.5 B．4.8 C．5 D．5.4
4．在三棱锥中，，，，且，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
5．若“，”是真命题，则实数的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
6．有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（　　）
A．12种 B．8种 C．6种 D．4种
7．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段的中点，则称，是关于的“对称函数”.已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”.若，，成立，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（　　）
A． B．的图象关于点中心对称
C．函数的周期为2 D．
11．在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，，下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则四面体的体积是定值
C．若，，则存在点，使得的最小值为
D．若，则点F的轨迹长为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12．的展开式中项的系数为　 　．
13．若正实数x、y满足，则的最小值是　 　.
14．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则正实数的取值范围是　 　.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知全集，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各50名进行调查，部分数据如表所示：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男 m 20 　
女 15 n 　
合计 　 　 100
（1）求m，n的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关
（2）2025年7月5日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第6轮比赛.该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这100名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取6人，然后再从这6人中随机抽取3人担任现场观赛“球迷”，记抽出的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．如图，已知四边形是矩形，，是正三角形，O是的中点，平面平面.
（1）证明：；
（2）求点D到平面的距离；
（3）已知点Q为线段靠近C的三等分点，直线与平面所成角为，求.
18．已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，若是的极大值点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若对恒成立，求的取值范围.
19．设随机变量的概率分布为，，其中是大于0的常数，e为自然对数的底数.则称服从参数为的泊松分布，记为.
（1）若，求；
（2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，有.请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：若，，，求实数的取值范围；
（3）若，，且，的任意取值均相互独立，记，试判断随机变量是否服从泊松分布，如果服从，请求出泊松分布对应的参数，如果不服从，请说明理由.
参考数据：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：随机变量服从正态分布，且，
由正态分布的对称性可得，即得.
故答案为：A.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态分布曲线关于均值对称的性质，结合概率相等的条件，通过计算两个对称点的中点等于均值，求解参数c的值。
2．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：集合，则集合A的真子集的个数是.
故答案为：C.
【分析】本题考查集合的表示与真子集个数计算，核心是先根据函数定义域求出集合的元素，再利用元集合的真子集个数公式求解。
3．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查线性回归方程的性质，核心是利用回归直线一定经过样本中心点 ，先计算出 ，再用回归方程求出 ，最后根据样本均值的定义列方程求解 。
4．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：
由题意得，.
故答案为：D.
【分析】本题考查空间向量的线性运算，核心是将目标向量转化为已知基底向量的线性组合，利用向量的减法化简求解。
5．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为“，”是真命题，
所以恒成立，所以，
因为，当且仅当时，的最小值为，
所以，所以实数的最大值为.
故答案为：C.
【分析】本题考查全称命题与恒成立问题，核心是先将不等式变形，转化为“λ小于等于某个函数的最小值”的形式，再利用基本不等式求该函数的最小值，从而确定λ的最大值。
6．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：把丙和乙捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，甲站在两端且乙和丙相邻的情况有，
∴甲不站在两端，丙和丁不相邻的不同排列方式有种.
故答案为：B．
【分析】本题考查排列组合中的限制条件问题，核心是先分析甲的位置限制，再用插空法处理乙、丙不相邻的条件，也可以用间接法（总排列数减去不符合条件的情况）求解。
7．【答案】B
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：当时，
若，则，
若，则，
函数的值域不可能为；
当时，，
在上单调递增，
在上单调递增，
若函数的值域为，则，解得；
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查分段函数的值域问题，核心是利用 “分段函数的值域是各段值域的并集”，分情况讨论参数a的正负，结合二次函数与绝对值函数的单调性，列出不等式求解。
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数，，是关于的“对称函数”，
可得，，，，
可得的解为，
由，，
且在单调递减，单调递增，可得的最小值为，最大值为，
可得的值域为，
而在递增，可得的值域为，
由题意可得，
即有，即为，
则的范围是，
故答案为：D．
【分析】本题考查新定义“对称函数”与函数值域的包含关系，核心是先根据定义求出的解析式和值域，再求出的值域，最后利用“的值域是值域的子集”这一条件列不等式组，求解的取值范围。
9．【答案】A,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：设三台车床加工的零件的总数为，则第1，2，3台车床加工的零件数的分别为，
A，，故A正确；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】A：根据零件数比例，计算零件为第1台车床加工的概率；
B：利用条件概率的定义，直接判断第2台车床加工时的次品率；
C：利用全概率公式，计算任取一个零件为次品的概率；
D：利用贝叶斯公式，计算零件为次品时，由第1台车床加工的条件概率。
10．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：函数是定义域为的偶函数，所以，
A，因为为奇函数，所以，故A错误；
B，由，所以，可知的图象关于点中心对称，故B正确；
C，由，所以，又，
所以，即，
故函数的周期为，故C错误；
D，由，令，则，所以，所以，故D正确.
故答案为：BD
【分析】A：根据为奇函数的定义，判断是否成立；
B：由奇函数性质推导的对称性；
C：结合偶函数性质推导函数周期；
D：利用周期和计算的值。
11．【答案】A,B,D
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面垂直的判定；余弦定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，若，则，即在上，
连接，因为底面是菱形，所以，
因为底面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以，故A正确；
B，若，则三点共线，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面，
可得上的点到平面的距离都相等，
可得，取的中点，连接，
可得是边长为2的等边三角形，，
又平面，平面，所以，又，
平面，可得平面，
平面，因为，
，可得，故B正确；
C，若，，则，即，
即点与点重合，把沿着进行翻折，使得四点共面，
此时有最小值，在中，，
所以，所以，所以，
在中，由余弦定理得，
解得，故C错误；
D，取的中点，连接，，
由余弦定理得，则，以为原点，分别以所在
的直线为轴建立空间直角坐标系，设，，
，
因为，所以，
即，可得点F的轨迹是在平面内，以为圆心，
为半径的半圆，且，所以点F的轨迹长为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用菱形性质与线面垂直判定，证明 平面 ，从而 ；
B：由 得 在 上，再利用线面平行性质证明点到平面距离不变，故体积为定值；
C：当 时， 与 重合，将 沿 翻折，用余弦定理求 的最小值；
D：建立空间直角坐标系，利用向量垂直条件求点 的轨迹，再计算轨迹长度。
12．【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，求得，
则展开式中项的系数为.
故答案为：10.
【分析】先写出展开式的通项，令，求展开式中项的系数即可.
13．【答案】1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：正实数x、y满足，故，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为1.
故答案为：1
【分析】本题考查基本不等式中“1 的妙用”，核心是先根据已知条件构造出和为定值的形式，再将目标表达式与这个定值相乘，展开后利用基本不等式求最小值。
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：已知①，所以②，
又因为是定义在上的偶函数，所以，
对其求导有：，代入②中有③，
由①+③可得：，即.
若在上恒成立，则在上恒成立，
设，，
因为，令，即，解得，
令，解得，此时在区间上单调递减；
令，解得，此时在区间上单调递增；
所以，在处取得最小值，
所以即，，故，
所以正实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查函数的奇偶性、导数与恒成立问题，核心是先利用函数的奇偶性与导数关系求出f(x)的解析式，再将不等式转化为函数恒成立问题，通过求导分析函数单调性与最小值，进而确定参数k的取值范围。
15．【答案】（1）解：由得，即，
所以集合.
又全集，所以，
当时，集合，
所以.
（2）解：若“”是“”的必要不充分条件，则且.所以或，解得.
故实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件
【解析】【分析】(1) 先解一元二次不等式求出集合，再求其补集，代入确定集合，最后求交集；
(2) 根据必要不充分条件推出，列不等式组求解的范围。
（1）由得，即，
所以集合.
又全集，所以，
当时，集合，
所以.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则且.
所以或，解得.
故实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由题意知，，.
提出假设：该企业员工喜欢足球与性别无关.
由表中的数据可得.
因为，
所以有99.5%的把握认为满意度与性别有关.
（2）解：由题意知，按分层抽样的方法抽取6人中，男性人数为：人，女性2人.
随机变量X的取值为0，1，2
，，，
故随机变量X的概率分布表为：
X 0 1 2
P
故.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】(1) 先根据列联表数据求出的值，再用独立性检验判断喜欢足球与性别是否有关；
(2) 用分层抽样抽取样本，计算随机变量的分布列和数学期望。
（1）由题意知，，.
提出假设：该企业员工喜欢足球与性别无关.
由表中的数据可得.
因为，
所以有99.5%的把握认为满意度与性别有关.
（2）由题意知，按分层抽样的方法抽取6人中，男性人数为：人，女性2人.
随机变量X的取值为0，1，2
，，，
故随机变量X的概率分布表为：
X 0 1 2
P
故.
17．【答案】（1）证明：连接，因为是正三角形，且是的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取中点，因为四边形是矩形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
可得，，
则，
所以.
（2）解：由（1）可得：，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
故点D到平面的距离.
（3）解：由（1）知，又点Q为线段靠近C的三等分点，
所以，，
又平面的法向量.
故
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面的法向量；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】本题以空间几何为载体，通过建立空间直角坐标系，利用向量方法解决线线垂直、点到平面距离及线面角问题：
（1）利用面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，通过向量点积为0证明线线垂直；
（2）求平面法向量，利用点到平面的距离公式计算距离；
（3）利用线面角与向量夹角的关系，计算线面角的正弦值。
（1）证明：
连接，因为是正三角形，且是的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取中点，因为四边形是矩形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
可得，，
则，
所以.
（2）由（1）可得：，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
故点D到平面的距离.
（3）由（1）知，又点Q为线段靠近C的三等分点，
所以，，
又平面的法向量.
故
18．【答案】（1）解：若，则，所以，
所以曲线在点处的切线斜率为.
又，故切点为（1，1）.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由题意得，得.
的定义域为，
，，所以，
所以.
当时，在区间上，，单调递减，
在区间和上，，单调递增，
所以是的极大值点，满足条件.
当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件.
当时，在区间上，，单调递减，
在区间和上，，单调递增，
是的极小值点，不满足条件.
当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件.
综上，的取值范围是.
（3）解：由（2）知，，，且时，，
所以在上，恒成立，即恒成立，
即恒成立.
设，则.
令，则，当时，，
所以即在区间上单调递减，
又，所以，所以在区间上单调递减.
又，所以的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求切线方程，需先求导得到切线斜率，再结合切点坐标写出方程，验证切线方程定义。
(2)构造函数 ，利用导数分析单调性，根据极大值点的定义确定参数 的取值范围。
(3)在(2)的条件下，构造辅助函数 ，利用其单调性证明不等式恒成立，从而确定 的最终取值范围。
（1）若，则，所以，
所以曲线在点处的切线斜率为.
又，故切点为（1，1）.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意，得.
的定义域为，
，，所以，
所以.
当时，在区间上，，单调递减，
在区间和上，，单调递增，
所以是的极大值点，满足条件.
当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件.
当时，在区间上，，单调递减，
在区间和上，，单调递增，
是的极小值点，不满足条件.
当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件.
综上，的取值范围是.
（3）由（2）知，，，且时，，
所以在上，恒成立，即恒成立，
即恒成立.
设，则.
令，则，当时，，
所以即在区间上单调递减，
又，所以，所以在区间上单调递减.
又，所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：若，则；
（2）解：由题，
其中，，
令，，则，即函数在单调递减，
因为，所以，解得，
即，即；
（3）解：由题：
，
则，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】（1） 根据随机变量的概率分布 ，直接代入求即可；
（2）由题意得到，令，，求导，利用导数判断函数的单调性，结合，求得，即，即可求得实数的取值范围；
（3）由题推导得到，，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是.
（1）若，则；
（2）由题
，
其中，.
令，，则，
故在单调递减，
又，
所以的解为，
即，即；
（3）由题：
所以，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是.
1 / 1江苏省南京市江宁区2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1．设随机变量服从正态分布，若，则c的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：随机变量服从正态分布，且，
由正态分布的对称性可得，即得.
故答案为：A.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态分布曲线关于均值对称的性质，结合概率相等的条件，通过计算两个对称点的中点等于均值，求解参数c的值。
2．已知集合，则集合A的真子集的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：集合，则集合A的真子集的个数是.
故答案为：C.
【分析】本题考查集合的表示与真子集个数计算，核心是先根据函数定义域求出集合的元素，再利用元集合的真子集个数公式求解。
3．某能源汽车制造公司近5年的利润情况如下表所示：
第x年 1 2 3 4 5
利润y（亿元） 2 3 4 m 7
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：，则m的值为（　　）
A．4.5 B．4.8 C．5 D．5.4
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查线性回归方程的性质，核心是利用回归直线一定经过样本中心点 ，先计算出 ，再用回归方程求出 ，最后根据样本均值的定义列方程求解 。
4．在三棱锥中，，，，且，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：
由题意得，.
故答案为：D.
【分析】本题考查空间向量的线性运算，核心是将目标向量转化为已知基底向量的线性组合，利用向量的减法化简求解。
5．若“，”是真命题，则实数的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为“，”是真命题，
所以恒成立，所以，
因为，当且仅当时，的最小值为，
所以，所以实数的最大值为.
故答案为：C.
【分析】本题考查全称命题与恒成立问题，核心是先将不等式变形，转化为“λ小于等于某个函数的最小值”的形式，再利用基本不等式求该函数的最小值，从而确定λ的最大值。
6．有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（　　）
A．12种 B．8种 C．6种 D．4种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：把丙和乙捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，甲站在两端且乙和丙相邻的情况有，
∴甲不站在两端，丙和丁不相邻的不同排列方式有种.
故答案为：B．
【分析】本题考查排列组合中的限制条件问题，核心是先分析甲的位置限制，再用插空法处理乙、丙不相邻的条件，也可以用间接法（总排列数减去不符合条件的情况）求解。
7．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：当时，
若，则，
若，则，
函数的值域不可能为；
当时，，
在上单调递增，
在上单调递增，
若函数的值域为，则，解得；
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查分段函数的值域问题，核心是利用 “分段函数的值域是各段值域的并集”，分情况讨论参数a的正负，结合二次函数与绝对值函数的单调性，列出不等式求解。
8．任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段的中点，则称，是关于的“对称函数”.已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”.若，，成立，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数，，是关于的“对称函数”，
可得，，，，
可得的解为，
由，，
且在单调递减，单调递增，可得的最小值为，最大值为，
可得的值域为，
而在递增，可得的值域为，
由题意可得，
即有，即为，
则的范围是，
故答案为：D．
【分析】本题考查新定义“对称函数”与函数值域的包含关系，核心是先根据定义求出的解析式和值域，再求出的值域，最后利用“的值域是值域的子集”这一条件列不等式组，求解的取值范围。
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：设三台车床加工的零件的总数为，则第1，2，3台车床加工的零件数的分别为，
A，，故A正确；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】A：根据零件数比例，计算零件为第1台车床加工的概率；
B：利用条件概率的定义，直接判断第2台车床加工时的次品率；
C：利用全概率公式，计算任取一个零件为次品的概率；
D：利用贝叶斯公式，计算零件为次品时，由第1台车床加工的条件概率。
10．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（　　）
A． B．的图象关于点中心对称
C．函数的周期为2 D．
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：函数是定义域为的偶函数，所以，
A，因为为奇函数，所以，故A错误；
B，由，所以，可知的图象关于点中心对称，故B正确；
C，由，所以，又，
所以，即，
故函数的周期为，故C错误；
D，由，令，则，所以，所以，故D正确.
故答案为：BD
【分析】A：根据为奇函数的定义，判断是否成立；
B：由奇函数性质推导的对称性；
C：结合偶函数性质推导函数周期；
D：利用周期和计算的值。
11．在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，，下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则四面体的体积是定值
C．若，，则存在点，使得的最小值为
D．若，则点F的轨迹长为
【答案】A,B,D
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面垂直的判定；余弦定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，若，则，即在上，
连接，因为底面是菱形，所以，
因为底面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以，故A正确；
B，若，则三点共线，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面，
可得上的点到平面的距离都相等，
可得，取的中点，连接，
可得是边长为2的等边三角形，，
又平面，平面，所以，又，
平面，可得平面，
平面，因为，
，可得，故B正确；
C，若，，则，即，
即点与点重合，把沿着进行翻折，使得四点共面，
此时有最小值，在中，，
所以，所以，所以，
在中，由余弦定理得，
解得，故C错误；
D，取的中点，连接，，
由余弦定理得，则，以为原点，分别以所在
的直线为轴建立空间直角坐标系，设，，
，
因为，所以，
即，可得点F的轨迹是在平面内，以为圆心，
为半径的半圆，且，所以点F的轨迹长为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用菱形性质与线面垂直判定，证明 平面 ，从而 ；
B：由 得 在 上，再利用线面平行性质证明点到平面距离不变，故体积为定值；
C：当 时， 与 重合，将 沿 翻折，用余弦定理求 的最小值；
D：建立空间直角坐标系，利用向量垂直条件求点 的轨迹，再计算轨迹长度。
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12．的展开式中项的系数为　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，求得，
则展开式中项的系数为.
故答案为：10.
【分析】先写出展开式的通项，令，求展开式中项的系数即可.
13．若正实数x、y满足，则的最小值是　 　.
【答案】1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：正实数x、y满足，故，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为1.
故答案为：1
【分析】本题考查基本不等式中“1 的妙用”，核心是先根据已知条件构造出和为定值的形式，再将目标表达式与这个定值相乘，展开后利用基本不等式求最小值。
14．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则正实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：已知①，所以②，
又因为是定义在上的偶函数，所以，
对其求导有：，代入②中有③，
由①+③可得：，即.
若在上恒成立，则在上恒成立，
设，，
因为，令，即，解得，
令，解得，此时在区间上单调递减；
令，解得，此时在区间上单调递增；
所以，在处取得最小值，
所以即，，故，
所以正实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查函数的奇偶性、导数与恒成立问题，核心是先利用函数的奇偶性与导数关系求出f(x)的解析式，再将不等式转化为函数恒成立问题，通过求导分析函数单调性与最小值，进而确定参数k的取值范围。
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知全集，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由得，即，
所以集合.
又全集，所以，
当时，集合，
所以.
（2）解：若“”是“”的必要不充分条件，则且.所以或，解得.
故实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件
【解析】【分析】(1) 先解一元二次不等式求出集合，再求其补集，代入确定集合，最后求交集；
(2) 根据必要不充分条件推出，列不等式组求解的范围。
（1）由得，即，
所以集合.
又全集，所以，
当时，集合，
所以.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则且.
所以或，解得.
故实数的取值范围为.
16．目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各50名进行调查，部分数据如表所示：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男 m 20 　
女 15 n 　
合计 　 　 100
（1）求m，n的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关
（2）2025年7月5日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第6轮比赛.该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这100名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取6人，然后再从这6人中随机抽取3人担任现场观赛“球迷”，记抽出的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：由题意知，，.
提出假设：该企业员工喜欢足球与性别无关.
由表中的数据可得.
因为，
所以有99.5%的把握认为满意度与性别有关.
（2）解：由题意知，按分层抽样的方法抽取6人中，男性人数为：人，女性2人.
随机变量X的取值为0，1，2
，，，
故随机变量X的概率分布表为：
X 0 1 2
P
故.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】(1) 先根据列联表数据求出的值，再用独立性检验判断喜欢足球与性别是否有关；
(2) 用分层抽样抽取样本，计算随机变量的分布列和数学期望。
（1）由题意知，，.
提出假设：该企业员工喜欢足球与性别无关.
由表中的数据可得.
因为，
所以有99.5%的把握认为满意度与性别有关.
（2）由题意知，按分层抽样的方法抽取6人中，男性人数为：人，女性2人.
随机变量X的取值为0，1，2
，，，
故随机变量X的概率分布表为：
X 0 1 2
P
故.
17．如图，已知四边形是矩形，，是正三角形，O是的中点，平面平面.
（1）证明：；
（2）求点D到平面的距离；
（3）已知点Q为线段靠近C的三等分点，直线与平面所成角为，求.
【答案】（1）证明：连接，因为是正三角形，且是的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取中点，因为四边形是矩形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
可得，，
则，
所以.
（2）解：由（1）可得：，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
故点D到平面的距离.
（3）解：由（1）知，又点Q为线段靠近C的三等分点，
所以，，
又平面的法向量.
故
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面的法向量；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】本题以空间几何为载体，通过建立空间直角坐标系，利用向量方法解决线线垂直、点到平面距离及线面角问题：
（1）利用面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，通过向量点积为0证明线线垂直；
（2）求平面法向量，利用点到平面的距离公式计算距离；
（3）利用线面角与向量夹角的关系，计算线面角的正弦值。
（1）证明：
连接，因为是正三角形，且是的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取中点，因为四边形是矩形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
可得，，
则，
所以.
（2）由（1）可得：，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
故点D到平面的距离.
（3）由（1）知，又点Q为线段靠近C的三等分点，
所以，，
又平面的法向量.
故
18．已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，若是的极大值点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：若，则，所以，
所以曲线在点处的切线斜率为.
又，故切点为（1，1）.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由题意得，得.
的定义域为，
，，所以，
所以.
当时，在区间上，，单调递减，
在区间和上，，单调递增，
所以是的极大值点，满足条件.
当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件.
当时，在区间上，，单调递减，
在区间和上，，单调递增，
是的极小值点，不满足条件.
当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件.
综上，的取值范围是.
（3）解：由（2）知，，，且时，，
所以在上，恒成立，即恒成立，
即恒成立.
设，则.
令，则，当时，，
所以即在区间上单调递减，
又，所以，所以在区间上单调递减.
又，所以的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求切线方程，需先求导得到切线斜率，再结合切点坐标写出方程，验证切线方程定义。
(2)构造函数 ，利用导数分析单调性，根据极大值点的定义确定参数 的取值范围。
(3)在(2)的条件下，构造辅助函数 ，利用其单调性证明不等式恒成立，从而确定 的最终取值范围。
（1）若，则，所以，
所以曲线在点处的切线斜率为.
又，故切点为（1，1）.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意，得.
的定义域为，
，，所以，
所以.
当时，在区间上，，单调递减，
在区间和上，，单调递增，
所以是的极大值点，满足条件.
当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件.
当时，在区间上，，单调递减，
在区间和上，，单调递增，
是的极小值点，不满足条件.
当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件.
综上，的取值范围是.
（3）由（2）知，，，且时，，
所以在上，恒成立，即恒成立，
即恒成立.
设，则.
令，则，当时，，
所以即在区间上单调递减，
又，所以，所以在区间上单调递减.
又，所以的取值范围是.
19．设随机变量的概率分布为，，其中是大于0的常数，e为自然对数的底数.则称服从参数为的泊松分布，记为.
（1）若，求；
（2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，有.请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：若，，，求实数的取值范围；
（3）若，，且，的任意取值均相互独立，记，试判断随机变量是否服从泊松分布，如果服从，请求出泊松分布对应的参数，如果不服从，请说明理由.
参考数据：.
【答案】（1）解：若，则；
（2）解：由题，
其中，，
令，，则，即函数在单调递减，
因为，所以，解得，
即，即；
（3）解：由题：
，
则，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】（1） 根据随机变量的概率分布 ，直接代入求即可；
（2）由题意得到，令，，求导，利用导数判断函数的单调性，结合，求得，即，即可求得实数的取值范围；
（3）由题推导得到，，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是.
（1）若，则；
（2）由题
，
其中，.
令，，则，
故在单调递减，
又，
所以的解为，
即，即；
（3）由题：
所以，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是.
1 / 1

展开更多......

收起↑