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江苏省宿迁市2024—2025学年高一下学期期末测试数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知复数满足，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，故.
故答案为：B.
【分析】本题考查复数的除法运算与模长计算，核心是先化简复数 z，再利用模长公式求解。
2．在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A，因为，则不共线，故A正确；
B，因为，则共线，故B错误；
C，因为，则共线，故C错误；
D，因为，则共线，故D错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量基底的定义，核心是判断两个向量是否共线，不共线的向量才能作为一组基底。
3．化简 的值为（　　）
A． B． C．- D．-
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°= ，
故答案为：A
【分析】根据题意由诱导公式整理原式再由两角和的正弦公式计算出结果即可。
4．已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（　　）
A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为数据的中位数为2，方差为3，
所以数据的中位数为，
方差为.
故答案为：C.
【分析】本题考查数据线性变换对中位数和方差的影响，核心是利用线性变换的性质直接计算。
5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A： 若，则可能平行、相交或异面，不一定垂直，故A错误；
对于B： 若，则或相交，故B错误；
对于C： 若，则，故C正确；
对于D： 若，可得，且，则，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据空间线面平行、垂直的性质逐项分析判断.
6．已知事件相互独立，若，则的值为（　　）
A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得，，
则，即.
故答案为：B.
【分析】本题考查相互独立事件的概率公式与对立事件的概率公式，核心是先利用独立事件公式求出 P(B)，再计算其对立事件的概率。
7．如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，
所以.
故答案为：D.
【分析】先在△BCD中利用正弦定理求出BC的长度，再通过仰角的正切关系求出塔高AB。
8．如图，圆台的上、下底面半径分别为，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且，则圆台的侧面积最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：如图为几何体的轴截面，为上下底面中心，为球心，为球与母线的切点，
台体上下底半径分别为，
则，又因为，
所以与全等，所以，同理可得，
所以台体母线长为，
所以，
则，
所以台体的侧面积为，
当且仅当即时等号成立.
圆台的侧面积最小值为.
故答案为：D
【分析】本题结合圆台的内切球性质与基本不等式，核心是先求出母线长和半径关系，再求侧面积的最小值。
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（　　）
A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差
B．环比涨跌幅的平均数为
C．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差
D．同比涨跌幅的75百分位数为
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，环比涨跌幅的极差为，
同比涨跌幅的极差为，
环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，A正确；
B，，
，故环比涨跌幅的平均数为，B错误；
C，根据统计图可以看出，环比涨跌幅的波动情况小于同比涨跌幅的波动情况，且从A可知环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，故环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差，C正确；
D，同比涨跌幅从小到大排序为，，
故从小到大，选取第9个和第10个的平均数作为75百分位数，即，D错误.
故答案为：AC
【分析】A：根据极差的定义，分别计算环比、同比涨跌幅的极差并比较大小；
B：根据平均数的定义，计算环比涨跌幅的平均数；
C：根据数据的波动情况，判断环比与同比涨跌幅的方差大小；
D：根据百分位数的定义，计算同比涨跌幅的75百分位数。
10．已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则只有一解
C．若，则的面积为
D．若为锐角三角形，则
【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，若，则即，
所以且即，
所以为锐角三角形，故A正确；
B，若，则，所以有两解，故B错误；
C，若，则，则，
所以，故C正确；
D，由题，若为锐角三角形，
则，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：用余弦定理求边c，再用余弦定理判断角B的余弦值符号，判断三角形是否为锐角三角形；B：根据正弦定理判断三角形解的个数；C：先求角A，再用正弦定理求边a，最后用面积公式计算；D：根据锐角三角形条件求a的取值范围。
11．如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（　　）
A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形
C．直线与直线相交 D．直线与直线相交
【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得，正四棱台的侧棱延长交于点，
直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面，
CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确；
AB，平面平面，平面平面，平面平面，
则，，因此截面是梯形，
在等腰中，在线段上（除端点外），则，而，
于是，即，梯形不是等腰梯形，A正确，B错误.
故答案为：ACD
【分析】将正四棱台还原为正四棱锥，利用棱锥的结构特征和平面的基本性质，逐一分析交线与截面的性质：
A：判断截面的形状特征；
B：判断截面是否可能为等腰梯形；
C：判断直线与的位置关系；
D：判断直线与的位置关系。
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是利用同角三角函数的平方关系与二倍角公式求解。
13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：易知，
则.
故答案为：.
【分析】根据向量的数量积运算求解即可.
14．在中，为边上一点，，且的面积为，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：由题得，所以，
所以即，
所以，，
所以在中，
所以，所以，
所以.
故答案为：
【分析】本题结合直角三角形的面积与勾股定理、正弦定理以及两角和的正弦公式求解，核心是先在中求出相关边长与角度，再在中利用正弦定理与三角恒等变换计算。
四、解答题（本题共5大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若向量与相互垂直，求实数k的值．
【答案】（1）解：因为，，与的夹角为 ，所以，
则；
（2）解：若向量与相互垂直，则，即，，解得.
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由题意求得数量积，再求向量的模长即可；
（2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，求参数值即可.
（1）根据题意，，
又.
（2）根据题意，，即，，解得.
16．已知函数（其中）的最小正周期为.
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：因为
又因为，所以，
则，
所以
又因为，
所以，原式.
（2）解：因为，
所以，
又因为，所以，
则，
所以 .
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）先由两角差的正弦公式化简函数为正弦型函数，利用正弦型函数的最小正周期公式和已知条件，从而得出的值，进而得出函数的解析式，再利用代入法、诱导公式和两角差的正切公式以及，从而得出的值.
（2）先由题意依次求出和的值，再结合和两角和的正弦公式，从而得出的值.
（1），
因为，所以，则，
所以.
因为，所以原式.
（2）因为，所以，
因为，所以，则，
所以.
17．高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差；
（2）已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩；
（3）为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率.
【答案】（1）解：由题估计所有男生的平均成绩为，
估计所有男生的方差为
所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180；
（2）解：全体学生的平均数；
（3）解：抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为，
事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生，
则样本空间，
，
所以，所以.
【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 用频率分布直方图的组中值计算男生的平均成绩和方差；
(2) 结合男女生人数和平均成绩，计算全体学生的加权平均成绩；
(3) 用分层抽样确定抽取的男女生人数，再用古典概型计算一男一女的概率。
（1）由题估计所有男生的平均成绩为，
估计所有男生的方差为
所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180；
（2）全体学生的平均数；
（3）抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为，
事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生，
则样本空间，
，
所以，所以.
18．如图（1），正方形的边长为分别为的中点，与对角线的交点分别为，对角线交于，沿图中虚线折起，使三点重合于点，得到图（2）所示的多面体.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明：由图（1），分别为的中点，
所以，即，
又平面平面，
所以平面；
（2）证明：由（1）得，因为，
所以，即，，即.
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）解：因为且都在平面内，所以平面，
所以，
图（1）中，因为，所以，
所以，所以，所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用线面平行的判定定理，证明，从而得到平面；
(2) 先证平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面；
(3) 先求，再利用面积比例关系求四棱锥的体积。
（1）证明：由图（1），分别为的中点，
所以，即，
又平面平面，
所以平面；
（2）由（1）得，因为，
所以，即，，即.
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）因为且都在平面内，所以平面，
所以，
图（1）中，因为，所以，
所以，所以，所以.
19．在中，角所对的边分别为.
（1）若为线段中点，求线段的长；
（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，在中，
由正弦定理得，由余弦定理得，
而，所以，
因为为中点，所以，
所以；
（2）解：①设，由，
由得，所以，
从而，即；
②，
又，
，所以，
由三维分式型柯西不等式有，
当且仅当时等号成立；
由余弦定理，可得，
所以，即，
则，
令，则，
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，令，
则在上递减，当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）.
【知识点】平面向量数量积的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 先由正弦定理和余弦定理求出角，再利用向量中点公式或中线长公式求的长度；
(2) ① 用向量数量积的性质证明二维柯西不等式；
② 结合三角形面积公式和三维柯西不等式，求的最小值。
（1）因为，在中，
由正弦定理得，由余弦定理得，
而，所以，
因为为中点，所以，
所以；
（2）①设，由，
由得，所以，
从而，即；
②，
又，
，所以，
由三维分式型柯西不等式有，
当且仅当时等号成立；
由余弦定理，可得，
所以，即，
则，
令，则，
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，令，
则在上递减，当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）.
1 / 1江苏省宿迁市2024—2025学年高一下学期期末测试数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知复数满足，则为（　　）
A． B． C． D．
2．在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（　　）
A． B．
C． D．
3．化简 的值为（　　）
A． B． C．- D．-
4．已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（　　）
A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12
5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．已知事件相互独立，若，则的值为（　　）
A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76
7．如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，圆台的上、下底面半径分别为，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且，则圆台的侧面积最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（　　）
A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差
B．环比涨跌幅的平均数为
C．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差
D．同比涨跌幅的75百分位数为
10．已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则只有一解
C．若，则的面积为
D．若为锐角三角形，则
11．如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（　　）
A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形
C．直线与直线相交 D．直线与直线相交
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知，则的值为　 　.
13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则　 　.
14．在中，为边上一点，，且的面积为，则的值为　 　.
四、解答题（本题共5大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若向量与相互垂直，求实数k的值．
16．已知函数（其中）的最小正周期为.
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
17．高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差；
（2）已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩；
（3）为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率.
18．如图（1），正方形的边长为分别为的中点，与对角线的交点分别为，对角线交于，沿图中虚线折起，使三点重合于点，得到图（2）所示的多面体.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求四棱锥的体积.
19．在中，角所对的边分别为.
（1）若为线段中点，求线段的长；
（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，故.
故答案为：B.
【分析】本题考查复数的除法运算与模长计算，核心是先化简复数 z，再利用模长公式求解。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A，因为，则不共线，故A正确；
B，因为，则共线，故B错误；
C，因为，则共线，故C错误；
D，因为，则共线，故D错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量基底的定义，核心是判断两个向量是否共线，不共线的向量才能作为一组基底。
3．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°= ，
故答案为：A
【分析】根据题意由诱导公式整理原式再由两角和的正弦公式计算出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为数据的中位数为2，方差为3，
所以数据的中位数为，
方差为.
故答案为：C.
【分析】本题考查数据线性变换对中位数和方差的影响，核心是利用线性变换的性质直接计算。
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A： 若，则可能平行、相交或异面，不一定垂直，故A错误；
对于B： 若，则或相交，故B错误；
对于C： 若，则，故C正确；
对于D： 若，可得，且，则，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据空间线面平行、垂直的性质逐项分析判断.
6．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得，，
则，即.
故答案为：B.
【分析】本题考查相互独立事件的概率公式与对立事件的概率公式，核心是先利用独立事件公式求出 P(B)，再计算其对立事件的概率。
7．【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，
所以.
故答案为：D.
【分析】先在△BCD中利用正弦定理求出BC的长度，再通过仰角的正切关系求出塔高AB。
8．【答案】D
【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：如图为几何体的轴截面，为上下底面中心，为球心，为球与母线的切点，
台体上下底半径分别为，
则，又因为，
所以与全等，所以，同理可得，
所以台体母线长为，
所以，
则，
所以台体的侧面积为，
当且仅当即时等号成立.
圆台的侧面积最小值为.
故答案为：D
【分析】本题结合圆台的内切球性质与基本不等式，核心是先求出母线长和半径关系，再求侧面积的最小值。
9．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，环比涨跌幅的极差为，
同比涨跌幅的极差为，
环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，A正确；
B，，
，故环比涨跌幅的平均数为，B错误；
C，根据统计图可以看出，环比涨跌幅的波动情况小于同比涨跌幅的波动情况，且从A可知环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，故环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差，C正确；
D，同比涨跌幅从小到大排序为，，
故从小到大，选取第9个和第10个的平均数作为75百分位数，即，D错误.
故答案为：AC
【分析】A：根据极差的定义，分别计算环比、同比涨跌幅的极差并比较大小；
B：根据平均数的定义，计算环比涨跌幅的平均数；
C：根据数据的波动情况，判断环比与同比涨跌幅的方差大小；
D：根据百分位数的定义，计算同比涨跌幅的75百分位数。
10．【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，若，则即，
所以且即，
所以为锐角三角形，故A正确；
B，若，则，所以有两解，故B错误；
C，若，则，则，
所以，故C正确；
D，由题，若为锐角三角形，
则，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：用余弦定理求边c，再用余弦定理判断角B的余弦值符号，判断三角形是否为锐角三角形；B：根据正弦定理判断三角形解的个数；C：先求角A，再用正弦定理求边a，最后用面积公式计算；D：根据锐角三角形条件求a的取值范围。
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得，正四棱台的侧棱延长交于点，
直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面，
CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确；
AB，平面平面，平面平面，平面平面，
则，，因此截面是梯形，
在等腰中，在线段上（除端点外），则，而，
于是，即，梯形不是等腰梯形，A正确，B错误.
故答案为：ACD
【分析】将正四棱台还原为正四棱锥，利用棱锥的结构特征和平面的基本性质，逐一分析交线与截面的性质：
A：判断截面的形状特征；
B：判断截面是否可能为等腰梯形；
C：判断直线与的位置关系；
D：判断直线与的位置关系。
12．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是利用同角三角函数的平方关系与二倍角公式求解。
13．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：易知，
则.
故答案为：.
【分析】根据向量的数量积运算求解即可.
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：由题得，所以，
所以即，
所以，，
所以在中，
所以，所以，
所以.
故答案为：
【分析】本题结合直角三角形的面积与勾股定理、正弦定理以及两角和的正弦公式求解，核心是先在中求出相关边长与角度，再在中利用正弦定理与三角恒等变换计算。
15．【答案】（1）解：因为，，与的夹角为 ，所以，
则；
（2）解：若向量与相互垂直，则，即，，解得.
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由题意求得数量积，再求向量的模长即可；
（2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，求参数值即可.
（1）根据题意，，
又.
（2）根据题意，，即，，解得.
16．【答案】（1）解：因为
又因为，所以，
则，
所以
又因为，
所以，原式.
（2）解：因为，
所以，
又因为，所以，
则，
所以 .
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）先由两角差的正弦公式化简函数为正弦型函数，利用正弦型函数的最小正周期公式和已知条件，从而得出的值，进而得出函数的解析式，再利用代入法、诱导公式和两角差的正切公式以及，从而得出的值.
（2）先由题意依次求出和的值，再结合和两角和的正弦公式，从而得出的值.
（1），
因为，所以，则，
所以.
因为，所以原式.
（2）因为，所以，
因为，所以，则，
所以.
17．【答案】（1）解：由题估计所有男生的平均成绩为，
估计所有男生的方差为
所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180；
（2）解：全体学生的平均数；
（3）解：抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为，
事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生，
则样本空间，
，
所以，所以.
【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 用频率分布直方图的组中值计算男生的平均成绩和方差；
(2) 结合男女生人数和平均成绩，计算全体学生的加权平均成绩；
(3) 用分层抽样确定抽取的男女生人数，再用古典概型计算一男一女的概率。
（1）由题估计所有男生的平均成绩为，
估计所有男生的方差为
所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180；
（2）全体学生的平均数；
（3）抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为，
事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生，
则样本空间，
，
所以，所以.
18．【答案】（1）证明：由图（1），分别为的中点，
所以，即，
又平面平面，
所以平面；
（2）证明：由（1）得，因为，
所以，即，，即.
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）解：因为且都在平面内，所以平面，
所以，
图（1）中，因为，所以，
所以，所以，所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用线面平行的判定定理，证明，从而得到平面；
(2) 先证平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面；
(3) 先求，再利用面积比例关系求四棱锥的体积。
（1）证明：由图（1），分别为的中点，
所以，即，
又平面平面，
所以平面；
（2）由（1）得，因为，
所以，即，，即.
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）因为且都在平面内，所以平面，
所以，
图（1）中，因为，所以，
所以，所以，所以.
19．【答案】（1）解：因为，在中，
由正弦定理得，由余弦定理得，
而，所以，
因为为中点，所以，
所以；
（2）解：①设，由，
由得，所以，
从而，即；
②，
又，
，所以，
由三维分式型柯西不等式有，
当且仅当时等号成立；
由余弦定理，可得，
所以，即，
则，
令，则，
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，令，
则在上递减，当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）.
【知识点】平面向量数量积的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 先由正弦定理和余弦定理求出角，再利用向量中点公式或中线长公式求的长度；
(2) ① 用向量数量积的性质证明二维柯西不等式；
② 结合三角形面积公式和三维柯西不等式，求的最小值。
（1）因为，在中，
由正弦定理得，由余弦定理得，
而，所以，
因为为中点，所以，
所以；
（2）①设，由，
由得，所以，
从而，即；
②，
又，
，所以，
由三维分式型柯西不等式有，
当且仅当时等号成立；
由余弦定理，可得，
所以，即，
则，
令，则，
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，令，
则在上递减，当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）.
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