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江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高一下学期6月期末考前检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为(　　)
A．4 cm2 B． cm2 C．8 cm2 D．cm2
3．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（　　）
A．成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人
B．成绩前名的学生中，高一人数不超过人
C．成绩前名的学生中，高三人数不超过人
D．成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
4．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为
A． B． C． D．
5．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， 的面积为 ，且 ，则 的值为（　　）
A．4+2 B．4﹣2 C． 1 D． 1
6．已知，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，正方形中，，分别是，的中点，将此正方形沿折成直二面角后，异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分）
9．设是三个非零向量，则下列命题正确的有（　　）
A．
B．
C．不与垂直
D．
10．已知某班n名学生的数学测试成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中，且成绩在内的有5人，则（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（　　）
A．若点为的中点，则平面
B．连接，则直线与平面成角正弦值为
C．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为
D．若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间/分
频数
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值　 　，病人等待时间方差的估计值　 　.
13．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝　 　.
14．如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为　 　．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．知复数，复数在复平面内对应的点为
（1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
（2）若复数满足，求复数的共轭复数.
16．（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
（2）估计该公司员工的值的众数，中位数；
（3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数．
17．如图，在梯形中，为线段中点，记
（1）用表示向量；
（2）求的值；
（3）求与夹角的余弦值.
18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求C的大小；
（2）求的面积．
19．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且.
（1）当点A的曲率为时证明：
①CN⊥平面；
②平面平面.
（2）当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：由，得，所以其共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的共轭复数概念及复平面内点的位置判断，核心是先求出共轭复数，再根据实部与虚部的符号确定所在象限。
2．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，，
则梯形的面积为：，则，
原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为，
其面积为：.
故答案为：C.
【分析】本题考查斜二测画法中直观图与原图形的面积关系，核心是利用“直观图面积是原图形面积的”这一性质求解。
3．【答案】D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：A、由饼状图可知：成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，故A正确；
B、由条形图可知：高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，故B正确；
C、成绩前50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，故C正确；
D、第51到100名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，故D错误．
故答案为：D．
【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意侧棱长为，所以表面积为：．
故答案为：A.
【分析】本题考查正四棱柱的表面积计算，核心是先利用侧面的对角线求出侧棱长，再分别计算侧面积和底面积，最后求和得到表面积。
5．【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由已知可得： ，解得： ，
又 ，由正弦定理可得： ，
由余弦定理：
，
解得： ，
．
故选： ．
【分析】先根据三角形面积公式求得 的值，利用正弦定理及题设中 ，可知 的值，代入到余弦定理中求得 ．
6．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，，
因为，
因为，，所以，
解得：，因为，所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量数量积的运算及夹角公式，核心是先通过展开已知条件求出数量积，再利用夹角公式求解。
7．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，得，
则，即，解得或（舍），
则．
故答案为：A．
【分析】利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式化简可得，解一元二次方程求得，再根据余弦的二倍角公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；余弦定理
【解析】【解答】解：将此正方形沿折成直二面角后点翻折到点，如下图所示
取的中点，的中点，连接，，.设正方形的边长为.
因为，分别是，的中点，所以，.
因为为的中点，所以，.
因为为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，，
所以即为异面直线与所成角.
在中，由余弦定理可得.
所以.
在中，由余弦定理可得.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】本题考查折叠问题中异面直线所成角的求解，核心是通过构造平行线，将异面直线所成角转化为平面角，再利用余弦定理求解。
9．【答案】B,D
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：A、因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，
当与不共线，且时，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
则与垂直，故C错误；
D、当、不共线时，所以、、组成三角形的三边，所以，
当、同向时，当、反向时，
又因为，，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量数量积的运算不满足结合律即可判断A；根据向量数量积的运算化简即可判断B；根据向量数量积的运算，计算即可判断C；根据向量减法的三角形法则即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，a，c的值不能确定．
∵成绩在内的有5人，
∴，解得．
故答案为：BD．
【分析】本题考查频率分布直方图的性质，核心是利用“小矩形面积和1”的性质，结合已知条件求解b和n。
11．【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A，四边形是正方体的对角面，
则四边形是矩形，所以，
由点、分别为、的中点，
得，平面，平面，
因此平面，故A正确；
对于B，连接，则，
由平面，平面，得，
又因为平面，则平面，
过作交于，连接，
所以平面，
则是直线与平面所成的角，
所以，，
则，故B错误；
对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧，连接，
则的最小值为，故C正确；
对于D，延长与的延长线交于，
由，
得为平行四边形，，
取中点，连接交于，连接，
由，得四边形是平行四边形，
则，为的中点，
由平面，平面，得，
又因为，平面，
则平面，
又因为平面，
则，同理，
因此，
又因为，平面，
所以平面，
又因为，则平面，
又因为平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段，
又因为，所以点的轨迹长度为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正方体的结构特征和中位线定理得出线线平行，再结合线面平行的判定定理判断出选项A；利用线线垂直证出线面垂直，从而得出是直线与平面所成的角，再结合勾股定理和正弦函数的定义，从而求出线面角的正弦值，则判断出选项B；把正方形与正方形置于同一平面内，再结合勾股定理求出线段长，则判断出选项C；利用平行四边形的结构特征和中点的性质，再结合线线垂直和线面垂直的推导关系，从而求出点的轨迹长度，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】9.5；28.5
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】（1）解：；
（2）解：
故答案为：（1）9.5；（2）28.5
【分析】(1) 用组中值代表每组数据，计算加权平均数作为平均等待时间的估计值；
(2) 利用组中值和平均数，计算方差作为等待时间方差的估计值。
13．【答案】3
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由条件知是的重心，设是边的中点，
则，而，
所以.
故答案为：3
【分析】本题考查向量与三角形重心的性质，核心是先确定点M为的重心，再利用重心的向量性质求解m.
14．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF 平面C1DF，所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
又2×＝h ，所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝.
在Rt△DB1F中，由面积相等得：，
解得：x＝.
即线段B1F的长为.
故答案为：
【分析】本题考查线面垂直的性质，核心是利用 “线面垂直则线线垂直” 的性质，通过面积法或向量法求解线段长度。
15．【答案】（1）解： 复数在复平面内对应的点为，则复数，
易知也是关于的方程的一个根，
由韦达定理可得：，解得，则；
（2）解： 复数满足， 则，故.
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；方程的解与虚数根；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可；
（2）根据复数代数形式的除法运算，结合共轭复数求解即可.
（1）由题意得，
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
，
，
解得，所以.
（2），
.
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得，解得，
则公司员工为肥胖的百分比为；
（2）解：由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
所以中位数在，设为，则；
（3）解：设样本平均数为，
易知，
根据，可得，解得．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各矩形面积之和为1计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比即可；
（2）利用频率分布直方图估计众数，中位数即可；
（3）先计算整体的平均数，再由分层抽样平均数的公式求解即可．
（1）由题，，解得：，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为；
（2）由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
故中位数在，设为，则；
（3）设样本平均数为，
则由频率分布直方图可得；
，
又，
即，解得：．
17．【答案】（1）解：；
（2）解：由，可得，
因为，所以；
（3）解：由，可得，又，
所以，
由，可得，
则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）以为基向量，利用向量加减法平行四边形法则，结合向量的线性运算求解即可；
（2）由题意可得，根据向量的数量积运算求解即可；
（3）由题意可得，根据向量的数量积，结合向量的夹角公式计算即可.
（1）；
（2）由于，可得，又有，
所以；
（3）由于，可得，又有，
所以.
由，可得，
.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
因为，
所以，所以，
因为，所以，又因为，所以；
（2）解：由余弦定理，可得，
则，即，解得，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简整理求解即可；
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出，再根据三角形面积公式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）由余弦定理得
，
所以，
所以，解得，
所以
19．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，则，，所以点A的曲率为，
所以.
①因为，所以为正三角形.
因为N为AB的中点，所以.
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，、平面，所以平面.
②取的中点D，连接DM，DN.
因为N为AB的中点，
所以且..
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，则
由（1）知平面，则平面.
又平面，
所以平面平面
（2）解：当点A的曲率为时，易得，所以，，，由勾股定理得，
又，，平面得，平面，
∵平面，
所以，且平面，
∴平面，
因为平面，
∴平面平面，即二面角的平面角为，则.
所以二面角的正弦值为1.
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) ① 由点的曲率求出，结合等腰三角形性质及线面垂直判定定理，证明平面；
② 取中点，构造平行四边形，利用①的结论证明平面，进而证明面面垂直；
(2) 由点的曲率求出，由勾股定理得出线线垂直，通过线面、面面垂直，求二面角的正弦值。
（1）在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，则，，所以点A的曲率为，
所以.
①因为，所以为正三角形.
因为N为AB的中点，所以.
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，、平面，所以平面.
②取的中点D，连接DM，DN.
因为N为AB的中点，
所以且..
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，则
由（1）知平面，则平面.
又平面，
所以平面平面
（2）当点A的曲率为时，易得，
所以，，，由勾股定理得，
又，，平面得，平面，
∵平面，
所以，且平面，
∴平面，
因为平面，
∴平面平面，即二面角的平面角为，则.
所以二面角的正弦值为1.
1 / 1江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高一下学期6月期末考前检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：由，得，所以其共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的共轭复数概念及复平面内点的位置判断，核心是先求出共轭复数，再根据实部与虚部的符号确定所在象限。
2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为(　　)
A．4 cm2 B． cm2 C．8 cm2 D．cm2
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，，
则梯形的面积为：，则，
原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为，
其面积为：.
故答案为：C.
【分析】本题考查斜二测画法中直观图与原图形的面积关系，核心是利用“直观图面积是原图形面积的”这一性质求解。
3．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（　　）
A．成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人
B．成绩前名的学生中，高一人数不超过人
C．成绩前名的学生中，高三人数不超过人
D．成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：A、由饼状图可知：成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，故A正确；
B、由条形图可知：高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，故B正确；
C、成绩前50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，故C正确；
D、第51到100名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，故D错误．
故答案为：D．
【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断逐项判断即可.
4．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意侧棱长为，所以表面积为：．
故答案为：A.
【分析】本题考查正四棱柱的表面积计算，核心是先利用侧面的对角线求出侧棱长，再分别计算侧面积和底面积，最后求和得到表面积。
5．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， 的面积为 ，且 ，则 的值为（　　）
A．4+2 B．4﹣2 C． 1 D． 1
【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由已知可得： ，解得： ，
又 ，由正弦定理可得： ，
由余弦定理：
，
解得： ，
．
故选： ．
【分析】先根据三角形面积公式求得 的值，利用正弦定理及题设中 ，可知 的值，代入到余弦定理中求得 ．
6．已知，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，，
因为，
因为，，所以，
解得：，因为，所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量数量积的运算及夹角公式，核心是先通过展开已知条件求出数量积，再利用夹角公式求解。
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，得，
则，即，解得或（舍），
则．
故答案为：A．
【分析】利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式化简可得，解一元二次方程求得，再根据余弦的二倍角公式求解即可.
8．如图所示，正方形中，，分别是，的中点，将此正方形沿折成直二面角后，异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；余弦定理
【解析】【解答】解：将此正方形沿折成直二面角后点翻折到点，如下图所示
取的中点，的中点，连接，，.设正方形的边长为.
因为，分别是，的中点，所以，.
因为为的中点，所以，.
因为为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，，
所以即为异面直线与所成角.
在中，由余弦定理可得.
所以.
在中，由余弦定理可得.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】本题考查折叠问题中异面直线所成角的求解，核心是通过构造平行线，将异面直线所成角转化为平面角，再利用余弦定理求解。
二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分）
9．设是三个非零向量，则下列命题正确的有（　　）
A．
B．
C．不与垂直
D．
【答案】B,D
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：A、因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，
当与不共线，且时，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
则与垂直，故C错误；
D、当、不共线时，所以、、组成三角形的三边，所以，
当、同向时，当、反向时，
又因为，，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量数量积的运算不满足结合律即可判断A；根据向量数量积的运算化简即可判断B；根据向量数量积的运算，计算即可判断C；根据向量减法的三角形法则即可判断D.
10．已知某班n名学生的数学测试成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中，且成绩在内的有5人，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，a，c的值不能确定．
∵成绩在内的有5人，
∴，解得．
故答案为：BD．
【分析】本题考查频率分布直方图的性质，核心是利用“小矩形面积和1”的性质，结合已知条件求解b和n。
11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（　　）
A．若点为的中点，则平面
B．连接，则直线与平面成角正弦值为
C．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为
D．若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为
【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A，四边形是正方体的对角面，
则四边形是矩形，所以，
由点、分别为、的中点，
得，平面，平面，
因此平面，故A正确；
对于B，连接，则，
由平面，平面，得，
又因为平面，则平面，
过作交于，连接，
所以平面，
则是直线与平面所成的角，
所以，，
则，故B错误；
对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧，连接，
则的最小值为，故C正确；
对于D，延长与的延长线交于，
由，
得为平行四边形，，
取中点，连接交于，连接，
由，得四边形是平行四边形，
则，为的中点，
由平面，平面，得，
又因为，平面，
则平面，
又因为平面，
则，同理，
因此，
又因为，平面，
所以平面，
又因为，则平面，
又因为平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段，
又因为，所以点的轨迹长度为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正方体的结构特征和中位线定理得出线线平行，再结合线面平行的判定定理判断出选项A；利用线线垂直证出线面垂直，从而得出是直线与平面所成的角，再结合勾股定理和正弦函数的定义，从而求出线面角的正弦值，则判断出选项B；把正方形与正方形置于同一平面内，再结合勾股定理求出线段长，则判断出选项C；利用平行四边形的结构特征和中点的性质，再结合线线垂直和线面垂直的推导关系，从而求出点的轨迹长度，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间/分
频数
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值　 　，病人等待时间方差的估计值　 　.
【答案】9.5；28.5
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】（1）解：；
（2）解：
故答案为：（1）9.5；（2）28.5
【分析】(1) 用组中值代表每组数据，计算加权平均数作为平均等待时间的估计值；
(2) 利用组中值和平均数，计算方差作为等待时间方差的估计值。
13．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝　 　.
【答案】3
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由条件知是的重心，设是边的中点，
则，而，
所以.
故答案为：3
【分析】本题考查向量与三角形重心的性质，核心是先确定点M为的重心，再利用重心的向量性质求解m.
14．如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF 平面C1DF，所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
又2×＝h ，所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝.
在Rt△DB1F中，由面积相等得：，
解得：x＝.
即线段B1F的长为.
故答案为：
【分析】本题考查线面垂直的性质，核心是利用 “线面垂直则线线垂直” 的性质，通过面积法或向量法求解线段长度。
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．知复数，复数在复平面内对应的点为
（1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
（2）若复数满足，求复数的共轭复数.
【答案】（1）解： 复数在复平面内对应的点为，则复数，
易知也是关于的方程的一个根，
由韦达定理可得：，解得，则；
（2）解： 复数满足， 则，故.
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；方程的解与虚数根；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可；
（2）根据复数代数形式的除法运算，结合共轭复数求解即可.
（1）由题意得，
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
，
，
解得，所以.
（2），
.
16．（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
（2）估计该公司员工的值的众数，中位数；
（3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数．
【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得，解得，
则公司员工为肥胖的百分比为；
（2）解：由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
所以中位数在，设为，则；
（3）解：设样本平均数为，
易知，
根据，可得，解得．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各矩形面积之和为1计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比即可；
（2）利用频率分布直方图估计众数，中位数即可；
（3）先计算整体的平均数，再由分层抽样平均数的公式求解即可．
（1）由题，，解得：，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为；
（2）由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
故中位数在，设为，则；
（3）设样本平均数为，
则由频率分布直方图可得；
，
又，
即，解得：．
17．如图，在梯形中，为线段中点，记
（1）用表示向量；
（2）求的值；
（3）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）解：；
（2）解：由，可得，
因为，所以；
（3）解：由，可得，又，
所以，
由，可得，
则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）以为基向量，利用向量加减法平行四边形法则，结合向量的线性运算求解即可；
（2）由题意可得，根据向量的数量积运算求解即可；
（3）由题意可得，根据向量的数量积，结合向量的夹角公式计算即可.
（1）；
（2）由于，可得，又有，
所以；
（3）由于，可得，又有，
所以.
由，可得，
.
18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求C的大小；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：，由正弦定理得，
因为，
所以，所以，
因为，所以，又因为，所以；
（2）解：由余弦定理，可得，
则，即，解得，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简整理求解即可；
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出，再根据三角形面积公式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）由余弦定理得
，
所以，
所以，解得，
所以
19．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且.
（1）当点A的曲率为时证明：
①CN⊥平面；
②平面平面.
（2）当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，则，，所以点A的曲率为，
所以.
①因为，所以为正三角形.
因为N为AB的中点，所以.
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，、平面，所以平面.
②取的中点D，连接DM，DN.
因为N为AB的中点，
所以且..
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，则
由（1）知平面，则平面.
又平面，
所以平面平面
（2）解：当点A的曲率为时，易得，所以，，，由勾股定理得，
又，，平面得，平面，
∵平面，
所以，且平面，
∴平面，
因为平面，
∴平面平面，即二面角的平面角为，则.
所以二面角的正弦值为1.
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) ① 由点的曲率求出，结合等腰三角形性质及线面垂直判定定理，证明平面；
② 取中点，构造平行四边形，利用①的结论证明平面，进而证明面面垂直；
(2) 由点的曲率求出，由勾股定理得出线线垂直，通过线面、面面垂直，求二面角的正弦值。
（1）在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，则，，所以点A的曲率为，
所以.
①因为，所以为正三角形.
因为N为AB的中点，所以.
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，、平面，所以平面.
②取的中点D，连接DM，DN.
因为N为AB的中点，
所以且..
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，则
由（1）知平面，则平面.
又平面，
所以平面平面
（2）当点A的曲率为时，易得，
所以，，，由勾股定理得，
又，，平面得，平面，
∵平面，
所以，且平面，
∴平面，
因为平面，
∴平面平面，即二面角的平面角为，则.
所以二面角的正弦值为1.
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