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江苏省淮安市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则中元素个数为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，集合，所以，故中的元素个数为3.
故答案为：C．
【分析】本题考查集合补集的定义，核心是找出全集U中不属于集合A的所有元素，再统计其个数。
2．已知函数，则函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：A
【分析】本题考查对数函数的定义域，核心是利用对数函数中真数必须大于零的性质，列不等式求解。
3．下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A，因为，所以，A错误；
B，因为，所以，B错误；
C，因为，所以，C错误；
D，因为，所以，D正确.
故答案为：D
【分析】根据排列数公式 和组合数公式 ，对各选项逐一计算验证。
4．下列函数中，其图象与函数的图象关于坐标原点对称的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设函数的图象关于坐标原点对称的函数为，
设函数图象上任一点，则点关于原点对称的点，
将Q坐标代入得，即，所以函数为.
故答案为：A
【分析】本题考查函数图象关于原点对称的性质，核心是利用点的对称性求出原函数关于原点对称的函数解析式。
5．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，所以，
解得，则的取值范围为，
由能推出，但是由得不出，
则“”是“在上单调递增”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数在上单调递增，列不等式组求的取值范围，再根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的概念判断即可.
6．已知为正数，，则的最小值为（　　）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为为正数，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：C
【分析】本题考查利用基本不等式求最值，核心是先通过已知条件化简目标表达式，再使用常数代换法求解。
7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：因为点分别为的中点，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
又，则，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查空间向量的线性运算，核心是利用中点性质与已知的向量比例关系，将目标向量用基底、表示，再求出系数和。
8．已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即，
因为为偶函数，所以，则，
所以，，所以，故的周期为，
因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，核心是先根据函数的对称性推出周期，再利用周期性计算数列和。
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分．
9．下列说法正确的是（　　）
A．设随机变量，则
B．设离散型随机变量满足，则
C．设随机变量服从正态分布，则
D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
【答案】A,C
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：A，若随机变量，则，故A正确；
B，若离散型随机变量满足，则，故B错误；
C，随机变量服从正态分布，均值为，则，故C正确；
D，，，所以，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：利用二项分布的概率公式 计算；
B：利用期望的线性性质 计算；
C：利用正态分布的对称性判断；
D：利用古典概型公式计算 和 并比较。
10．为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
C．相关系数
D．现发现10位同学中有两位同学数据（70，65）和（90，100）误差较大，剔除这两对数据后，得到的线性回归方程为，则实数的值为
【答案】A,C,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A：因为线性回归方程必过样本中心点，由题意可得：，故A正确；
B：令，可得，但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，所以预测物理成绩为92.5，故B错误；
C：因为，即线性回归方程为的图象是上升的，可知与满足正相关，所以相关系数，故C正确；
D：剔除这两对数据后，，，因为线性回归方程必过样本中心点，所以，则，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：利用线性回归方程必过样本中心点的性质求解；
B：结合回归方程的预测意义，区分“预测值”与“实际值”；
C：根据回归方程的斜率正负，判断变量的相关性；
D：剔除数据后，重新计算新的样本中心点，再求新的回归方程参数。
11．已知，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则中含项的系数为48
D．若为偶数，则能被4整除
【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
A，若，则，解得，A正确；
B，若，则，即，由单调递减，及，可得，B正确；
C，若，则，解得，对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，
若2个取出，1个取出，2个取出，则，
若1个取出，3个取出，1个取出，则，
若5个取出，则，
所以的系数为，C错误；
D，，为偶数，不妨记，则
能被8整除，所以能被4整除，D正确.
故答案为：ABD
【分析】A：先逆用二项式定理求出，再解方程判断的值；
B：代入的表达式，结合函数单调性判断方程解的个数；
C：先由求出，再分类讨论求中项的系数；
D：将设为偶数，利用二项式展开式判断是否能被4整除。
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，则该函数在处的切线斜率为　 　．
【答案】1
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：已知函数，，则，
所以函数在处的切线斜率为.
故答案为：
【分析】本题考查导数的几何意义，核心是函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值。
13．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为　 　．
【答案】4
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面，
则，即，
，
当时，，所以，
即，且，此时为梯形，
所以.
故答案为：4.
【分析】本题考查空间四点构成梯形的条件，核心是利用向量共面定理求出参数m，再验证是否存在一组平行且不等的对边。
14．学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为　 　，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则　 　．
【答案】；
【知识点】数列的递推公式；全概率公式
【解析】【解答】解：设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”，
根据题意，，，，
由全概率公式，得；
设“第天选择套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，
则，
则.
故答案为：；
【分析】本题结合全概率公式与递推数列，核心是先利用全概率公式求出第2天选择A套餐的概率，再通过递推关系求出前4天选择A套餐的概率，最后计算数学期望。
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知（为常数）．
（1）当时，求的二项展开式中各项系数的和；
（2）若的二项展开式中常数项为24，求实数的值．
【答案】（1）解：当时，因为，令时，
则的二项展开式中各项系数的和为．
（2）解：因为的二项展开式的第项，
，
因为的二项展开式中常数项为24，
所以，即，
又因为，所以，即．
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】(1) 用赋值法求二项展开式的各项系数和；
(2) 利用二项展开式的通项公式，令x的指数为0，求出常数项，进而解出m的值。
（1）当时，
因为，令时，
则的二项展开式中各项系数的和为．
（2）因为的二项展开式的第项，
，
因为的二项展开式中常数项为24，
所以，即，
又因为，所以，即．
16．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了50人，得到如下列联表：
　 正常 不正常 合计
患该疾病 7 18 25
未患该疾病 19 6 25
合计 26 24 50
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：．
【答案】（1）解：．
（2）解：：假设超声波检查结果与患该疾病有关没有关联．
根据小概率值的独立性检验，认为超声波检查结果与患该疾病有关联.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 用频率估计概率，计算超声波检查结果不正常者患该疾病的概率；
(2) 用卡方独立性检验，分析超声波检查结果与患该疾病是否有关。
（1）．
（2）：假设超声波检查结果与患该疾病有关没有关联．
根据小概率值的独立性检验，认为超声波检查结果与患该疾病有关联.
17．已知为奇函数，．
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域；
（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，
因为为奇函数，所以
当时，，所以，故，
则，经检验，满足条件，故；
（2）解：因为，所以，
所以，即，所以，所以函数的值域；
（3）解：因为为增函数，所以为增函数，为减函数，所以为增函数，
令，则，
由（2）可知，当时，仅一根，所以在上有两不等根，
则，解得，故．
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）函数定义域为，由题意可得，求得，再检验即可；
（2）由（1）可得函数，根据，结合不等式性质求函数的值域即可；
（3）先判断函数的单调性，令，则，由（2）可知，当时，仅一根，即在上有两不等根，根据二次函数根的分布列不等式组求解即可.
（1）函数定义域为，
因为为奇函数，所以
当时，，所以，故，
则，经检验，满足条件，故．
（2）因为，所以，
所以，即，所以，
所以函数的值域．
（3）因为为增函数，所以为增函数，为减函数，
所以为增函数．令，则．
由（2）可知，当时，仅一根，
所以在上有两不等根，
所以，解得，所以．
18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点．
（1）若、分别为棱，的中点，证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为、分别为棱，的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理平面，
因为平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）解：由题意中平面得两两垂直，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
则因为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量，
则，
不妨设，则，即：，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设点到平面（也即平面）的距离为，
三棱锥体积为，则，
由（2）可知平面的一个法向量，
点到平面距离，
因为，所以点到平面距离．
，
所以，即为直角三角形，所以，
所以点到棱的距离为，
又因为，所以，且点到边的距离为，
所以的面积为．
所以，其中．
所以，所以，
令可得，列表如下：
+ 0 －
递增 极大值（最大值） 递减
答：当取何值时，三棱锥体积取得最大．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 构造平面，证明其与平面平行，从而得到平面；
(2) 建立空间直角坐标系，求平面的法向量，计算与平面所成角的正弦值；
(3) 将三棱锥体积表示为关于的函数，通过求导找到最大值点。
（1）取的中点，连接，
因为、分别为棱，的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理平面，
因为平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）由题意中平面得两两垂直，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
则因为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量，
则，
不妨设，则，即：，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
（3）法一：设点到平面（也即平面）的距离为，
三棱锥体积为，则，
由（2）可知平面的一个法向量，
点到平面距离，
因为，所以点到平面距离．
，
所以，即为直角三角形，所以，
所以点到棱的距离为，
又因为，所以，且点到边的距离为，
所以的面积为．
所以，其中．
所以，所以，
令可得，列表如下：
+ 0 －
递增 极大值（最大值） 递减
答：当取何值时，三棱锥体积取得最大．
法二：三棱锥体积为，则，
因为，所以，，
所以，
所以，
则，
令可得，列表如下：
+ 0 －
递增 极大值（最大值） 递减
答：当取何值时，三棱锥体积取得最大．
19．在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”．
（1）若数组与数组以数表形式表示如下：
判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”；
（2）已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率；
（3）现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望．
【答案】（1）解：根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得：数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”；
数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7．
（2）解：设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件．若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素，
每列有3个元素，且，则．
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和．
若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾；
若和不同行也不同列时，不妨设，
根据定义可得：，
所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的．
所以．
答：是“数组”的概率为．
（3）解：根据题意的可能取值为（共个取值），当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
……
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
由这些计数无重复，故的元素个数为
注意到以上计数具有对称性，即：
……
所以利用“倒序相加”法我们有：
，，所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 根据“β数组”的定义，逐行逐列验证数组和，判断是否存在“核”；
(2) 计算数组为“β数组”的总数，再计算“核”为4的情况数，用古典概型求概率；
(3) 分析数组中“核”的可能取值，利用对称性求数学期望。
（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得：
数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”；
数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7．
（2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件．
若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素，
每列有3个元素，且，则．
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和．
若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾；
若和不同行也不同列时，不妨设，
根据定义可得：，
所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的．
所以．
答：是“数组”的概率为．
（3）根据题意的可能取值为（共个取值），
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
……
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
由这些计数无重复，故的元素个数为
注意到以上计数具有对称性，即：
……
所以利用“倒序相加”法我们有：
，，所以．
1 / 1江苏省淮安市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则中元素个数为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
2．已知函数，则函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列函数中，其图象与函数的图象关于坐标原点对称的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．已知为正数，，则的最小值为（　　）
A． B．8 C． D．
7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
8．已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分．
9．下列说法正确的是（　　）
A．设随机变量，则
B．设离散型随机变量满足，则
C．设随机变量服从正态分布，则
D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
10．为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
C．相关系数
D．现发现10位同学中有两位同学数据（70，65）和（90，100）误差较大，剔除这两对数据后，得到的线性回归方程为，则实数的值为
11．已知，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则中含项的系数为48
D．若为偶数，则能被4整除
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，则该函数在处的切线斜率为　 　．
13．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为　 　．
14．学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为　 　，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知（为常数）．
（1）当时，求的二项展开式中各项系数的和；
（2）若的二项展开式中常数项为24，求实数的值．
16．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了50人，得到如下列联表：
　 正常 不正常 合计
患该疾病 7 18 25
未患该疾病 19 6 25
合计 26 24 50
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：．
17．已知为奇函数，．
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域；
（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点．
（1）若、分别为棱，的中点，证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大．
19．在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”．
（1）若数组与数组以数表形式表示如下：
判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”；
（2）已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率；
（3）现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，集合，所以，故中的元素个数为3.
故答案为：C．
【分析】本题考查集合补集的定义，核心是找出全集U中不属于集合A的所有元素，再统计其个数。
2．【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：A
【分析】本题考查对数函数的定义域，核心是利用对数函数中真数必须大于零的性质，列不等式求解。
3．【答案】D
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A，因为，所以，A错误；
B，因为，所以，B错误；
C，因为，所以，C错误；
D，因为，所以，D正确.
故答案为：D
【分析】根据排列数公式 和组合数公式 ，对各选项逐一计算验证。
4．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设函数的图象关于坐标原点对称的函数为，
设函数图象上任一点，则点关于原点对称的点，
将Q坐标代入得，即，所以函数为.
故答案为：A
【分析】本题考查函数图象关于原点对称的性质，核心是利用点的对称性求出原函数关于原点对称的函数解析式。
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，所以，
解得，则的取值范围为，
由能推出，但是由得不出，
则“”是“在上单调递增”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数在上单调递增，列不等式组求的取值范围，再根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的概念判断即可.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为为正数，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：C
【分析】本题考查利用基本不等式求最值，核心是先通过已知条件化简目标表达式，再使用常数代换法求解。
7．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：因为点分别为的中点，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
又，则，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查空间向量的线性运算，核心是利用中点性质与已知的向量比例关系，将目标向量用基底、表示，再求出系数和。
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即，
因为为偶函数，所以，则，
所以，，所以，故的周期为，
因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，核心是先根据函数的对称性推出周期，再利用周期性计算数列和。
9．【答案】A,C
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：A，若随机变量，则，故A正确；
B，若离散型随机变量满足，则，故B错误；
C，随机变量服从正态分布，均值为，则，故C正确；
D，，，所以，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：利用二项分布的概率公式 计算；
B：利用期望的线性性质 计算；
C：利用正态分布的对称性判断；
D：利用古典概型公式计算 和 并比较。
10．【答案】A,C,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A：因为线性回归方程必过样本中心点，由题意可得：，故A正确；
B：令，可得，但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，所以预测物理成绩为92.5，故B错误；
C：因为，即线性回归方程为的图象是上升的，可知与满足正相关，所以相关系数，故C正确；
D：剔除这两对数据后，，，因为线性回归方程必过样本中心点，所以，则，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：利用线性回归方程必过样本中心点的性质求解；
B：结合回归方程的预测意义，区分“预测值”与“实际值”；
C：根据回归方程的斜率正负，判断变量的相关性；
D：剔除数据后，重新计算新的样本中心点，再求新的回归方程参数。
11．【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
A，若，则，解得，A正确；
B，若，则，即，由单调递减，及，可得，B正确；
C，若，则，解得，对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，
若2个取出，1个取出，2个取出，则，
若1个取出，3个取出，1个取出，则，
若5个取出，则，
所以的系数为，C错误；
D，，为偶数，不妨记，则
能被8整除，所以能被4整除，D正确.
故答案为：ABD
【分析】A：先逆用二项式定理求出，再解方程判断的值；
B：代入的表达式，结合函数单调性判断方程解的个数；
C：先由求出，再分类讨论求中项的系数；
D：将设为偶数，利用二项式展开式判断是否能被4整除。
12．【答案】1
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：已知函数，，则，
所以函数在处的切线斜率为.
故答案为：
【分析】本题考查导数的几何意义，核心是函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值。
13．【答案】4
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面，
则，即，
，
当时，，所以，
即，且，此时为梯形，
所以.
故答案为：4.
【分析】本题考查空间四点构成梯形的条件，核心是利用向量共面定理求出参数m，再验证是否存在一组平行且不等的对边。
14．【答案】；
【知识点】数列的递推公式；全概率公式
【解析】【解答】解：设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”，
根据题意，，，，
由全概率公式，得；
设“第天选择套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，
则，
则.
故答案为：；
【分析】本题结合全概率公式与递推数列，核心是先利用全概率公式求出第2天选择A套餐的概率，再通过递推关系求出前4天选择A套餐的概率，最后计算数学期望。
15．【答案】（1）解：当时，因为，令时，
则的二项展开式中各项系数的和为．
（2）解：因为的二项展开式的第项，
，
因为的二项展开式中常数项为24，
所以，即，
又因为，所以，即．
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】(1) 用赋值法求二项展开式的各项系数和；
(2) 利用二项展开式的通项公式，令x的指数为0，求出常数项，进而解出m的值。
（1）当时，
因为，令时，
则的二项展开式中各项系数的和为．
（2）因为的二项展开式的第项，
，
因为的二项展开式中常数项为24，
所以，即，
又因为，所以，即．
16．【答案】（1）解：．
（2）解：：假设超声波检查结果与患该疾病有关没有关联．
根据小概率值的独立性检验，认为超声波检查结果与患该疾病有关联.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 用频率估计概率，计算超声波检查结果不正常者患该疾病的概率；
(2) 用卡方独立性检验，分析超声波检查结果与患该疾病是否有关。
（1）．
（2）：假设超声波检查结果与患该疾病有关没有关联．
根据小概率值的独立性检验，认为超声波检查结果与患该疾病有关联.
17．【答案】（1）解：函数定义域为，
因为为奇函数，所以
当时，，所以，故，
则，经检验，满足条件，故；
（2）解：因为，所以，
所以，即，所以，所以函数的值域；
（3）解：因为为增函数，所以为增函数，为减函数，所以为增函数，
令，则，
由（2）可知，当时，仅一根，所以在上有两不等根，
则，解得，故．
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）函数定义域为，由题意可得，求得，再检验即可；
（2）由（1）可得函数，根据，结合不等式性质求函数的值域即可；
（3）先判断函数的单调性，令，则，由（2）可知，当时，仅一根，即在上有两不等根，根据二次函数根的分布列不等式组求解即可.
（1）函数定义域为，
因为为奇函数，所以
当时，，所以，故，
则，经检验，满足条件，故．
（2）因为，所以，
所以，即，所以，
所以函数的值域．
（3）因为为增函数，所以为增函数，为减函数，
所以为增函数．令，则．
由（2）可知，当时，仅一根，
所以在上有两不等根，
所以，解得，所以．
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为、分别为棱，的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理平面，
因为平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）解：由题意中平面得两两垂直，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
则因为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量，
则，
不妨设，则，即：，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设点到平面（也即平面）的距离为，
三棱锥体积为，则，
由（2）可知平面的一个法向量，
点到平面距离，
因为，所以点到平面距离．
，
所以，即为直角三角形，所以，
所以点到棱的距离为，
又因为，所以，且点到边的距离为，
所以的面积为．
所以，其中．
所以，所以，
令可得，列表如下：
+ 0 －
递增 极大值（最大值） 递减
答：当取何值时，三棱锥体积取得最大．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 构造平面，证明其与平面平行，从而得到平面；
(2) 建立空间直角坐标系，求平面的法向量，计算与平面所成角的正弦值；
(3) 将三棱锥体积表示为关于的函数，通过求导找到最大值点。
（1）取的中点，连接，
因为、分别为棱，的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理平面，
因为平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）由题意中平面得两两垂直，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
则因为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量，
则，
不妨设，则，即：，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
（3）法一：设点到平面（也即平面）的距离为，
三棱锥体积为，则，
由（2）可知平面的一个法向量，
点到平面距离，
因为，所以点到平面距离．
，
所以，即为直角三角形，所以，
所以点到棱的距离为，
又因为，所以，且点到边的距离为，
所以的面积为．
所以，其中．
所以，所以，
令可得，列表如下：
+ 0 －
递增 极大值（最大值） 递减
答：当取何值时，三棱锥体积取得最大．
法二：三棱锥体积为，则，
因为，所以，，
所以，
所以，
则，
令可得，列表如下：
+ 0 －
递增 极大值（最大值） 递减
答：当取何值时，三棱锥体积取得最大．
19．【答案】（1）解：根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得：数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”；
数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7．
（2）解：设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件．若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素，
每列有3个元素，且，则．
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和．
若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾；
若和不同行也不同列时，不妨设，
根据定义可得：，
所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的．
所以．
答：是“数组”的概率为．
（3）解：根据题意的可能取值为（共个取值），当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
……
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
由这些计数无重复，故的元素个数为
注意到以上计数具有对称性，即：
……
所以利用“倒序相加”法我们有：
，，所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 根据“β数组”的定义，逐行逐列验证数组和，判断是否存在“核”；
(2) 计算数组为“β数组”的总数，再计算“核”为4的情况数，用古典概型求概率；
(3) 分析数组中“核”的可能取值，利用对称性求数学期望。
（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得：
数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”；
数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7．
（2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件．
若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素，
每列有3个元素，且，则．
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和．
若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾；
若和不同行也不同列时，不妨设，
根据定义可得：，
所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的．
所以．
答：是“数组”的概率为．
（3）根据题意的可能取值为（共个取值），
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
……
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
由这些计数无重复，故的元素个数为
注意到以上计数具有对称性，即：
……
所以利用“倒序相加”法我们有：
，，所以．
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