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江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三下学期期初学情调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
故.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的除法运算与模的计算，核心是先通过分母实数化化简复数，再利用复数模的坐标公式计算；也可直接利用复数模的性质快速求解。
2．在斜三角形ABC中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：三角形中，若A为锐角，B为钝角，则，此时，，
故“”不能推出“”；
当A为钝角，B为锐角时有，此时，故不能推出“”.
综上，三角形ABC中，“”是的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】利用大边对大角结合充分和必要条件的定义即可求解.
3．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A，当时，可知不成立，故A错误；
B，因为，可得，
所以，故B正确；
C，由，可得，则，即，故C错误；
D，，当时，，故D错误．
故答案为：B
【分析】A：利用特殊值法判断，取一组满足条件的 的值，验证 是否一定成立；
B：利用作差法，计算 ，判断差的符号，验证不等式是否成立；
C：利用不等式的性质，结合 推导 与 的大小关系；
D：利用特殊值法，考虑 的情况，验证 是否一定成立。
4．已知向量，满足，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由已知，即，
又，则，
解得，故，
故答案为：D
【分析】本题考查向量的模长与垂直的综合应用，核心是利用向量模长公式和向量垂直的充要条件，联立方程求解。
5．有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：不妨记五名志愿者为 ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有12 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 种.
总的情况数为 种.
故恰有1人连续参加两天服务的概率为 .
故答案为：A .
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先计算总情况数，再计算“恰有1人连续参加两天服务”的情况数，最后用事件数除以总数得到概率。
6．已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，故为函数 的1个零点；
当时，令，可得，则，
即与有4个交点，
当时，，
设，，则，令，求得，
函数在单调递增，在上单调递减，且，
函数的图象，如图所示：
由图可知：，解得，则实数a的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】当时，，当时，转化为直线函数与有4个交点，由，设，求导，利用导数判断函数的单调性，并做出函数图象，数形结合求解即可.
7．设双曲线C：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线C的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，设，，
因为，，
所以 ，即有，
所以，则，即，即P在正上方，
根据，且，则，
得，即，
.
故答案为：B
【分析】本题考查双曲线的几何性质，核心是利用点在渐近线上、角度为直角等条件确定点的坐标，再结合角度关系求出，进而计算离心率。
8．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．65 D．66
【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为数列为“速增数列”， ，，且，
所以对，，，
所以，且，
所以
相加得，
即，，
当时，，
当时，，
故正整数k的最大值为
故答案为：A
【分析】本题考查数列新定义与累加不等式的应用，核心是利用“速增数列”的定义得到差数列的递增关系，再通过累加建立关于k的不等式，求解k的最大值。
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．样本观测数据的极差不大于50
B．样本观测数据落在区间上的频率为
C．样本观测数据的75百分位数为70
D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计的工人能完成任务
【答案】A,D
【知识点】频率分布直方图；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，据频率分布直方图可得最小数值不小于45，而最大数值小于95，
所以极差不大于50，故A正确；
B，样本观测数据落在区间上的频率为，故B错误；
C，样本观测数据落在区间上的频率为，
样本观测数据落在区间上的频率为，
则样本观测数据的75百分位数在之间，设为x，
则，解得，故C错误；
D，据频率分布直方图加工产品的数量的频率为，
则估计的工人能完成任务，故D正确.
故答案为：AD
【分析】A：根据频率分布直方图的区间范围，判断极差的最大值；B：利用 “频率=频率 / 组距×组距”，计算区间 [55，65) 上的频率；C：先计算累计频率，确定75百分位数所在的区间，再根据百分位数公式计算；D：计算加工数量≥55的频率，估计完成任务的工人比例。
10．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递增 D．当时，
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】，
A，当时，，故的图象关于直线对称，故A正确；
B，当时，，故的图象关于点对称，故B正确；
C，时，，因为在上不单调，
故在区间上不单调，故C错误；
D，时，，故，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】先利用三角恒等变换化简函数解析式，再结合余弦函数的对称性、单调性、值域，对各选项逐一判断：
A：验证直线 是否为函数的对称轴（即该点是否取到最值）；
B：验证点 是否为函数的对称中心（即该点的函数值是否为中心纵坐标）；
C：判断 时，内层余弦函数的单调性；
D：根据 的范围，求内层余弦函数的取值范围，进而确定 的值域。
11．已知F是抛物线的焦点，直线l为抛物线C的准线，过点F作两条互相垂直的直线、，与C相交于，两点，与C相交于，两点，则（ ）
A．的最小值为2
B．以线段AB为直径的圆与直线l相切
C．的最小值为16
D．和面积之和的最小值为8
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A：由，故焦点坐标为，准线方程为，
设，、、，则，
联立，消去x得：，，
有，，
A，，故A错误；
B：此时M点坐标为，，故，
，
则为直径的圆以为圆心，为半径，
圆心到的距离为，与半径相等，
故以为直径的圆与l相切，即B正确；
C：由，同理可得，
即，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
D：
，
由，则，
同理可得，，
即
，
当且仅当，时等号成立，
当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，，
即，可同时取等，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先根据抛物线方程求出焦点与准线，设出两条互相垂直的直线方程，联立抛物线得到韦达定理的结果，再对各选项逐一判断：
A：用焦点弦长公式计算的最小值；
B：求出以为直径的圆的圆心与半径，验证圆心到准线的距离是否等于半径；
C：结合两条直线垂直的条件，用基本不等式求的最小值；
D：用坐标表示两个三角形的面积和，结合基本不等式求最小值。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．等比数列的各项均为正数，若，，则　 　.
【答案】64
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为q，所以，，
由得，即，解得或舍弃，
所以，
故答案为：
【分析】本题考查等比数列的通项公式与整体思想的应用，核心是先通过已知条件求出公比，再利用等比数列的性质整体计算的值。
13．若直线与曲线相切，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由，得，
设切点为，则，故，
又，，
故，，
可得，即，
则，
当时，的最小值为.
故答案为：
【分析】本题考查直线与曲线相切的条件及二次函数求最值，核心是先利用导数的几何意义求出切点坐标，再得到与的关系，最后通过二次函数求的最小值。
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长为　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由得，
即，
即，
由以及诱导公式得，
又，
得，
又，由同角三角函数的基本关系得，
因为，根据正弦定理： ，
所以，，
由余弦定理得，
将代入上式得，
解得，所以的周长为
故答案为：
【分析】本题考查三角形中三角恒等变换、正弦定理与余弦定理的综合应用，核心是先通过三角恒等变换求出sinA和cosA，再结合正弦定理与余弦定理求出b+c，进而得到三角形的周长。
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
　 年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 　 24 30
喜欢阅读纸质书 12 　 　
总计 　 　 60
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附：，其中
【答案】（1）解：根据题意，可得如下的的列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
则，
所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.
（2）解：由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
由超几何分布的分布列可得，，
，；
所以X的分布列为：
0 1 2 3
则期望为.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先补充列联表数据，再计算卡方统计量，与临界值比较判断是否有关；
(2) 确定分层抽样的人数，利用超几何分布求X的分布列与数学期望。
（1）根据题意，可得如下的的列联表：
　 年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
则，
所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.
（2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
由超几何分布的分布列可得，，
，；
所以X的分布列为：
0 1 2 3
则期望为.
16．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，，
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角的正弦值.
【答案】（1）解：取AD的中点O，连接QO，QC，
因为，所以，
又因为，，所以，
在正方形ABCD中，，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，所以四棱锥的体积为 ；
（2）解：过O作交BC于M，则，结合（1）中平面，
以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，
故，，
设平面BQD的法向量为，则，即，取，则，，
故平面的一个法向量为，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，则，
由图可知为锐角，则，，
故二面角的平面角的正弦值为
【知识点】用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取AD的中点O，连接QO，QC，利用线面垂直判定定理证明平面，再利用棱锥体积公式计算四棱锥的体积即可；
（2）过O作交BC于M，结合（1）中平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）取AD的中点O，连接QO，QC，
因为，所以，
又，，
所以，
在正方形ABCD中，，
所以，
所以，
又，
所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积为 ；
（2）过O作交BC于M，则，
结合（1）中平面，
故可建以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示，
所以，，，，
故，，
设平面BQD的法向量为，则，
故，取，则，，
故平面的一个法向量为，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
所以，
由图可知为锐角，所以，
所以，
所以二面角的平面角的正弦值为
17．已知数列中，，为数列的前n项和，满足
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
【答案】（1）证明：由题意得，当时，，得，
，
当时，，①
，②
①-②得，
因为，所以则，
，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列.
所以，则
（2）解：由，
则，
所以的前n项和
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用递推关系构造等比数列，证明 为等比数列并求通项；
(2) 先求 ，再将数列通项裂项，利用裂项相消法求前 项和 。
（1）由题意，当时，，得，
，
当时，，①
，②
①-②得，
因为，所以则，
，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列.
所以，则
（2）由，
则，
所以的前n项和
18．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数定义域为，
，
令，解得，
①当时，，当时，单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递增；
③当时，，当时，单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）解：由对任意，均存在，使得，
可得，
当时，取得最大值，最大值为0，
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
设，，
易知，函数单调递增，
且成立，则无解，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性即可；
（2）由题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式求解即可.
（1）由，，
得.
令，解得.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为对任意，均存在，使得，
所以，
当时，取得最大值，最大值为0.
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值.
设，
则，单调递增，
所以成立，所以无解.
综上所述，的取值范围为.
19．已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值；
（3）设椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的最大值.
【答案】（1）解：由，，，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：
显然直线的的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
则点的坐标为，，
联立方程，消去整理，
则，且，，
又因为直线的方程为，
令，得Q的横坐标为
代入，，得
所以为定值.
（3）解：
，，设，，直线斜率为，
若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为，
联立方程，消去得，
则，，，
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，，
因为，
得，
得
得，得，此时
故直线恒过轴上一定点，，，
所以，
故，
得，令，
则，
故当，即时，取得最大值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用椭圆的焦点、短轴与长轴的关系，求出 ，写出椭圆方程；
(2) 设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求 为定值；
(3) 利用椭圆上点的斜率关系，确定直线 过定点，再求 的最大值。
（1）由，，，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）
显然直线的的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
则点的坐标为，，
联立方程，消去整理，
则，且，，
又因为直线的方程为，
令，得Q的横坐标为
代入，，得
所以为定值.
（3）
依题意，，，设，，直线斜率为，
若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为，
联立方程，消去得，
则，，，
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，，
因为，
得，
得
得，得，此时
故直线恒过轴上一定点，，，
所以故，
得，令，
则，
故当，即时，取得最大值.
1 / 1江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三下学期期初学情调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．在斜三角形ABC中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知向量，满足，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线C：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线C的离心率（ ）
A． B． C． D．
8．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．65 D．66
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．样本观测数据的极差不大于50
B．样本观测数据落在区间上的频率为
C．样本观测数据的75百分位数为70
D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计的工人能完成任务
10．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递增 D．当时，
11．已知F是抛物线的焦点，直线l为抛物线C的准线，过点F作两条互相垂直的直线、，与C相交于，两点，与C相交于，两点，则（ ）
A．的最小值为2
B．以线段AB为直径的圆与直线l相切
C．的最小值为16
D．和面积之和的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．等比数列的各项均为正数，若，，则　 　.
13．若直线与曲线相切，则的最小值为　 　.
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
　 年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 　 24 30
喜欢阅读纸质书 12 　 　
总计 　 　 60
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附：，其中
16．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，，
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角的正弦值.
17．已知数列中，，为数列的前n项和，满足
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
18．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
19．已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值；
（3）设椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
故.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的除法运算与模的计算，核心是先通过分母实数化化简复数，再利用复数模的坐标公式计算；也可直接利用复数模的性质快速求解。
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：三角形中，若A为锐角，B为钝角，则，此时，，
故“”不能推出“”；
当A为钝角，B为锐角时有，此时，故不能推出“”.
综上，三角形ABC中，“”是的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】利用大边对大角结合充分和必要条件的定义即可求解.
3．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A，当时，可知不成立，故A错误；
B，因为，可得，
所以，故B正确；
C，由，可得，则，即，故C错误；
D，，当时，，故D错误．
故答案为：B
【分析】A：利用特殊值法判断，取一组满足条件的 的值，验证 是否一定成立；
B：利用作差法，计算 ，判断差的符号，验证不等式是否成立；
C：利用不等式的性质，结合 推导 与 的大小关系；
D：利用特殊值法，考虑 的情况，验证 是否一定成立。
4．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由已知，即，
又，则，
解得，故，
故答案为：D
【分析】本题考查向量的模长与垂直的综合应用，核心是利用向量模长公式和向量垂直的充要条件，联立方程求解。
5．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：不妨记五名志愿者为 ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有12 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 种.
总的情况数为 种.
故恰有1人连续参加两天服务的概率为 .
故答案为：A .
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先计算总情况数，再计算“恰有1人连续参加两天服务”的情况数，最后用事件数除以总数得到概率。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，故为函数 的1个零点；
当时，令，可得，则，
即与有4个交点，
当时，，
设，，则，令，求得，
函数在单调递增，在上单调递减，且，
函数的图象，如图所示：
由图可知：，解得，则实数a的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】当时，，当时，转化为直线函数与有4个交点，由，设，求导，利用导数判断函数的单调性，并做出函数图象，数形结合求解即可.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，设，，
因为，，
所以 ，即有，
所以，则，即，即P在正上方，
根据，且，则，
得，即，
.
故答案为：B
【分析】本题考查双曲线的几何性质，核心是利用点在渐近线上、角度为直角等条件确定点的坐标，再结合角度关系求出，进而计算离心率。
8．【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为数列为“速增数列”， ，，且，
所以对，，，
所以，且，
所以
相加得，
即，，
当时，，
当时，，
故正整数k的最大值为
故答案为：A
【分析】本题考查数列新定义与累加不等式的应用，核心是利用“速增数列”的定义得到差数列的递增关系，再通过累加建立关于k的不等式，求解k的最大值。
9．【答案】A,D
【知识点】频率分布直方图；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，据频率分布直方图可得最小数值不小于45，而最大数值小于95，
所以极差不大于50，故A正确；
B，样本观测数据落在区间上的频率为，故B错误；
C，样本观测数据落在区间上的频率为，
样本观测数据落在区间上的频率为，
则样本观测数据的75百分位数在之间，设为x，
则，解得，故C错误；
D，据频率分布直方图加工产品的数量的频率为，
则估计的工人能完成任务，故D正确.
故答案为：AD
【分析】A：根据频率分布直方图的区间范围，判断极差的最大值；B：利用 “频率=频率 / 组距×组距”，计算区间 [55，65) 上的频率；C：先计算累计频率，确定75百分位数所在的区间，再根据百分位数公式计算；D：计算加工数量≥55的频率，估计完成任务的工人比例。
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】，
A，当时，，故的图象关于直线对称，故A正确；
B，当时，，故的图象关于点对称，故B正确；
C，时，，因为在上不单调，
故在区间上不单调，故C错误；
D，时，，故，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】先利用三角恒等变换化简函数解析式，再结合余弦函数的对称性、单调性、值域，对各选项逐一判断：
A：验证直线 是否为函数的对称轴（即该点是否取到最值）；
B：验证点 是否为函数的对称中心（即该点的函数值是否为中心纵坐标）；
C：判断 时，内层余弦函数的单调性；
D：根据 的范围，求内层余弦函数的取值范围，进而确定 的值域。
11．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A：由，故焦点坐标为，准线方程为，
设，、、，则，
联立，消去x得：，，
有，，
A，，故A错误；
B：此时M点坐标为，，故，
，
则为直径的圆以为圆心，为半径，
圆心到的距离为，与半径相等，
故以为直径的圆与l相切，即B正确；
C：由，同理可得，
即，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
D：
，
由，则，
同理可得，，
即
，
当且仅当，时等号成立，
当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，，
即，可同时取等，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先根据抛物线方程求出焦点与准线，设出两条互相垂直的直线方程，联立抛物线得到韦达定理的结果，再对各选项逐一判断：
A：用焦点弦长公式计算的最小值；
B：求出以为直径的圆的圆心与半径，验证圆心到准线的距离是否等于半径；
C：结合两条直线垂直的条件，用基本不等式求的最小值；
D：用坐标表示两个三角形的面积和，结合基本不等式求最小值。
12．【答案】64
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为q，所以，，
由得，即，解得或舍弃，
所以，
故答案为：
【分析】本题考查等比数列的通项公式与整体思想的应用，核心是先通过已知条件求出公比，再利用等比数列的性质整体计算的值。
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由，得，
设切点为，则，故，
又，，
故，，
可得，即，
则，
当时，的最小值为.
故答案为：
【分析】本题考查直线与曲线相切的条件及二次函数求最值，核心是先利用导数的几何意义求出切点坐标，再得到与的关系，最后通过二次函数求的最小值。
14．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由得，
即，
即，
由以及诱导公式得，
又，
得，
又，由同角三角函数的基本关系得，
因为，根据正弦定理： ，
所以，，
由余弦定理得，
将代入上式得，
解得，所以的周长为
故答案为：
【分析】本题考查三角形中三角恒等变换、正弦定理与余弦定理的综合应用，核心是先通过三角恒等变换求出sinA和cosA，再结合正弦定理与余弦定理求出b+c，进而得到三角形的周长。
15．【答案】（1）解：根据题意，可得如下的的列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
则，
所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.
（2）解：由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
由超几何分布的分布列可得，，
，；
所以X的分布列为：
0 1 2 3
则期望为.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先补充列联表数据，再计算卡方统计量，与临界值比较判断是否有关；
(2) 确定分层抽样的人数，利用超几何分布求X的分布列与数学期望。
（1）根据题意，可得如下的的列联表：
　 年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
则，
所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.
（2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
由超几何分布的分布列可得，，
，；
所以X的分布列为：
0 1 2 3
则期望为.
16．【答案】（1）解：取AD的中点O，连接QO，QC，
因为，所以，
又因为，，所以，
在正方形ABCD中，，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，所以四棱锥的体积为 ；
（2）解：过O作交BC于M，则，结合（1）中平面，
以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，
故，，
设平面BQD的法向量为，则，即，取，则，，
故平面的一个法向量为，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，则，
由图可知为锐角，则，，
故二面角的平面角的正弦值为
【知识点】用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取AD的中点O，连接QO，QC，利用线面垂直判定定理证明平面，再利用棱锥体积公式计算四棱锥的体积即可；
（2）过O作交BC于M，结合（1）中平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）取AD的中点O，连接QO，QC，
因为，所以，
又，，
所以，
在正方形ABCD中，，
所以，
所以，
又，
所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积为 ；
（2）过O作交BC于M，则，
结合（1）中平面，
故可建以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示，
所以，，，，
故，，
设平面BQD的法向量为，则，
故，取，则，，
故平面的一个法向量为，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
所以，
由图可知为锐角，所以，
所以，
所以二面角的平面角的正弦值为
17．【答案】（1）证明：由题意得，当时，，得，
，
当时，，①
，②
①-②得，
因为，所以则，
，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列.
所以，则
（2）解：由，
则，
所以的前n项和
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用递推关系构造等比数列，证明 为等比数列并求通项；
(2) 先求 ，再将数列通项裂项，利用裂项相消法求前 项和 。
（1）由题意，当时，，得，
，
当时，，①
，②
①-②得，
因为，所以则，
，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列.
所以，则
（2）由，
则，
所以的前n项和
18．【答案】（1）解：函数定义域为，
，
令，解得，
①当时，，当时，单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递增；
③当时，，当时，单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）解：由对任意，均存在，使得，
可得，
当时，取得最大值，最大值为0，
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
设，，
易知，函数单调递增，
且成立，则无解，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性即可；
（2）由题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式求解即可.
（1）由，，
得.
令，解得.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为对任意，均存在，使得，
所以，
当时，取得最大值，最大值为0.
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值.
设，
则，单调递增，
所以成立，所以无解.
综上所述，的取值范围为.
19．【答案】（1）解：由，，，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：
显然直线的的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
则点的坐标为，，
联立方程，消去整理，
则，且，，
又因为直线的方程为，
令，得Q的横坐标为
代入，，得
所以为定值.
（3）解：
，，设，，直线斜率为，
若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为，
联立方程，消去得，
则，，，
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，，
因为，
得，
得
得，得，此时
故直线恒过轴上一定点，，，
所以，
故，
得，令，
则，
故当，即时，取得最大值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用椭圆的焦点、短轴与长轴的关系，求出 ，写出椭圆方程；
(2) 设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求 为定值；
(3) 利用椭圆上点的斜率关系，确定直线 过定点，再求 的最大值。
（1）由，，，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）
显然直线的的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
则点的坐标为，，
联立方程，消去整理，
则，且，，
又因为直线的方程为，
令，得Q的横坐标为
代入，，得
所以为定值.
（3）
依题意，，，设，，直线斜率为，
若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为，
联立方程，消去得，
则，，，
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，，
因为，
得，
得
得，得，此时
故直线恒过轴上一定点，，，
所以故，
得，令，
则，
故当，即时，取得最大值.
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