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贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月检测数学试题
一、单选题
1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：对于A，设，
即，解得，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，设，无解，
所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；
对于C，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量基底的判断方法，则空间的一组基底必须是不共面的三个向量，从而求解判断各选项，进而找出能构成空间的一个基底的一组向量.
2．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：如下图所示：
.
故答案为：D.
【分析】用为基向量表示，结合线性运算求解即可.
3．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：已知如图所示：
记点，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】设点，利用斜率公式求出直线、的斜率，再结合图象求解即可．
4．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，，则与相交或，故A错误；
B、若，，则，又，则，故B正确；
C、若，，，则与相交或或，故C错误；
D、若，，则或，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间中线线、线面以及面面位置关系判断即可.
5．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：延长交于点，延长交于点，如图所示：
根据正八边形的特征，可知，
又因为，
所以，
，
则的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】延长交于点，延长交于点，从而将问题转化为求的最值，再根据数量积的几何意义，从而可得的取值范围．
6．已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：易知，
若，则，
若，则，
因为，，
所以，则，解得，
即的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】借助辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合分类讨论的方法和正弦型函数求值域的方法，从而得出关于的不等式组，进而解不等式组得出的取值范围.
7．在锐角中，，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在锐角中，，
因为，，，
所以，，解得，
所以，，
因为，
所以
，
可得，
由正弦定理可知：
，
因为，所以，
所以，即.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角形的定义求出的取值范围，再利用正弦定理和三角恒等变换，从而将所求化为关于的三角函数，再由三角函数的图象和不等式的基本性质，进而得出的取值范围.
8．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，分别连接，
在正方形中，因为分别为的中点，可得，
所以，，
因为，所以，
所以，即，
又因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
又因为且平面，
所以平面，
因为平面，
所以，同理可证：，
又因为且平面，
所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的面积为.
故答案为：D.
【分析】取的中点，由，证得，再由平面，证出，从而得到平面，同理证得，再利用线面垂直的判定定理，证出平面，从而得到平面截正方体的截面为，再根据三角形的面积公式求得截面的面积，进而得出平面截正方体所得的截面面积.
二、多选题
9．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（　　）
A．若，，，则有两解
B．若，则是等腰三角形
C．若在线段上，且，，，，则的面积为8
D．若，，，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为.
【答案】A,C,D
【知识点】扇形的弧长与面积；解三角形；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，由，，，再由正弦定理可得，
因为，所以角有两解，即有两解，所以A正确；
对于B，由，
可得，
整理得，
由正弦定理得，可得，
因为，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
对于C，由在线段上，且，，，，
则，
设，在中，利用余弦定理得出，
整理得，解得或（舍去），
所以，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得：
，所以，
所以的面积为，所以C正确；
对于D，在中，因为，，
则点在以为弦的一个圆上，
由正弦定理可得外接圆的直径为，即，
当点在外部时，如图所示，
因为，可得，所以，
所以的长度为，
同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，
所以动点的轨迹的长度为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】由正弦定理得到，则可判断选项A；化简已知条件得到，从而求得或，则可判断出三角形的形状，即判断出选项B；利用余弦定理求得的值，从而得到的长，进而求得的值和的长，再结合三角形的面积公式，则可判断出选项C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上， 再结合正弦定理和圆的性质以及弧长公式，则可判断选项D，进而找出正确的命题．
10．所在平面内一点满足，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．延长交于点，则
C．若，且，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，
所以，故选项A错误；
对于选项B：延长交于点，设，，
所以，
由，得，
所以，
即，解得：，则，故B正确；
对于选项C：∵，∴，
延长交于点，∴，
∵，由选项B知，
∴，故C正确；
对于选项D：由，，
两边平方得，∴，
∴
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题中已知条件，结合向量的线性运算，则可判断选项A；设，，结合向量的线性运算，则可判断选项B；由向量数量积的性质和运算，则可判断选项C和选项D，从而 找出正确的选项.
11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（　　）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为
【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：如图：
当在平面上运动时，
四棱锥的底面面积为定值4，高为点到平面的距离为定值2，
所以为定值，故A正确；
对于B：如图：
当在线段上运动时，与所成角就是与所成的角，
因为为等边三角形，所以当点与线段的端点重合时，与所成的角最小，为，当点为线段中点时，与所成的角最大，为，故B正确；
对于C：如图：
因为是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，
所在的平面为如图正六边形，正六边形的边长为，
当点与中点重合时，最小，为，故C错误；
对于D：如图：
使直线与平面所成的角为的点P的轨迹为对角线、以及平面内
以为圆心，以2为半径的圆的，故点的轨迹长度为：，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件，考虑锥体的底面积、高均未变，故体积不变，则判断出选项A；利用已知条件找出异面直线所成的角，在三角形中判断角的大小，则判断出选项B；利用已知条件找到点的轨迹，计算可得出使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
三、填空题
12．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：化简，
可得，则，即，
则，
故答案为：.
【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
13．在四面体ABCD中，，面BCD，底面三角形BCD为直角三角形，.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：由面BCD，，
所以该四面体四个面都是直角三角形，
则球O为该四面体还原成正方体的外接球，
故球心O为AC的中点且球的半径.
过球心作，垂足为，
其中，，，
又因为为直角三角形，
所以，
经过两点的球的截面面积的最小时，
面，又因为截面为圆面，
则圆面对应半径，
此时截面的面积为.
故答案为：.
【分析】依题意，该四面体为正方体的一部分，则外接球为正方体的外接球，再结合过M、N两点作球O的截面为圆面，则根据勾股定理求出圆面对应的半径，再由圆的面积公式得出此时截面的面积.
14．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则　 　.
【答案】
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于点O，连接OE，
由是正方形，得，
在线段PE取点G，使得，如下图所示：
由，得，
连接BG，FG，则，
由平面，平面，得平面，
因为平面，，平面，
因此平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
则，所以.
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线的性质和线面平行的判定定理，从而证明出直线平面ACE，再结合直线平面ACE，则证出平面平面ACE，再利用面面平行的性质定理得出，则由两直线平行对应边成比例，从而得出的值.
四、解答题
15．已知直线：，直线：.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）解：因为，所以，
整理得
解得或，
当时，重合；
当时，，符合题意，
故.
（2）解：因为，
所以
解得或.
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据两条直线平行斜率相等，从而计算得出参数a的值，再检验是否重合，进而得出满足要求的实数a的值.
（2）根据两条直线垂直斜率之积等于-1，从而计算得出实数a的值.
（1）因为，所以，
整理得
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
（2）因为，所以
解得或.
16．已知，，设.
（1），求函数的值域.
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）解：因为，，
所以
，
，
，，
所以，函数的值域为．
（2）解：由题意，，又因为，
则，所以，所以，
所以，
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算和三角恒等变换，从而化简可得，再由函数定义域求值域的方法，即可得出函数的值域.
（2）由求得，由二倍角公式可得的值，再利用结合两角和的正切公式，从而计算得出的值.
（1）因为，，
所以
，
，，，
所以函数的值域为．
（2）由题设，又，则，
所以，所以，
所以，
所以.
17．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）证明：因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，即或（舍去），
故．
（2）解：因为是锐角三角形，所以，解得，
所以的取值范围是，
由正弦定理可得：，则，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）用正弦定理和三角恒等变换证明角的关系.
（2）根据锐角三角形条件确定角的范围，结合正弦定理将边化为角，转化为关于的函数求取值范围，边角转化与三角恒等变换的应用.
（1）因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，
即或（舍去），故．
（2）因为是锐角三角形，所以，解得，
所以的取值范围是，
由正弦定理可得：，则，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
18．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接交于，如图所示：
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
（2）解：由（1）可知：，
因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
则，即异面直线与所成角的正弦值 .
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
（1）连接交于，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知：，
因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此.
19．图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．
（1）证明：平面平面ABC；
（2）点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明：由于正方形ABCD的边长为，所以．取AC的中点O，连接PO，BO，由题意，得，再由，可得，即．由题易知，又，面，所以平面ABC，又平面PAC，所以平面平面ABC．
（2）解：由（1）可知，，又，故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
由题意知，所以．所以．
设平面MBC的法向量为，则令，得；
设平面的法向量为，，令，得；
则，
设，，则上式可化为，
即，所以（舍去），
所以，解得．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 空间几何中的面面垂直证明与二面角相关计算展开.对于（1），通过取中点构造线段，利用勾股定理及线面垂直判定定理证明面面垂直，关键在于找到垂直关系的桥梁；
对于（2），建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，通过设参数表示点坐标，结合法向量与二面角余弦值的关系列方程求解，体现了空间几何与向量代数的融合.
（1）由于正方形ABCD的边长为，所以．
取AC的中点O，连接PO，BO，
由题意，得，再由，可得，即．
由题易知，又，面，所以平面ABC，
又平面PAC，所以平面平面ABC．
（2）由（1）可知，，又，
故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
由题意知，所以．
所以．
设平面MBC的法向量为，
则令，得；
设平面的法向量为，
，令，得；
则，
设，，则上式可化为，
即，所以（舍去），
所以，解得．
1 / 1贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月检测数学试题
一、单选题
1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（　　）
A． B．
C． D．
3．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
5．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．在锐角中，，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（　　）
A．若，，，则有两解
B．若，则是等腰三角形
C．若在线段上，且，，，，则的面积为8
D．若，，，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为.
10．所在平面内一点满足，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．延长交于点，则
C．若，且，则
D．若，则
11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（　　）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为
三、填空题
12．已知，则　 　．
13．在四面体ABCD中，，面BCD，底面三角形BCD为直角三角形，.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为　 　.
14．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则　 　.
四、解答题
15．已知直线：，直线：.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
16．已知，，设.
（1），求函数的值域.
（2）若，且，求的值.
17．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
18．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
19．图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．
（1）证明：平面平面ABC；
（2）点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：对于A，设，
即，解得，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，设，无解，
所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；
对于C，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量基底的判断方法，则空间的一组基底必须是不共面的三个向量，从而求解判断各选项，进而找出能构成空间的一个基底的一组向量.
2．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：如下图所示：
.
故答案为：D.
【分析】用为基向量表示，结合线性运算求解即可.
3．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：已知如图所示：
记点，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】设点，利用斜率公式求出直线、的斜率，再结合图象求解即可．
4．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，，则与相交或，故A错误；
B、若，，则，又，则，故B正确；
C、若，，，则与相交或或，故C错误；
D、若，，则或，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间中线线、线面以及面面位置关系判断即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：延长交于点，延长交于点，如图所示：
根据正八边形的特征，可知，
又因为，
所以，
，
则的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】延长交于点，延长交于点，从而将问题转化为求的最值，再根据数量积的几何意义，从而可得的取值范围．
6．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：易知，
若，则，
若，则，
因为，，
所以，则，解得，
即的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】借助辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合分类讨论的方法和正弦型函数求值域的方法，从而得出关于的不等式组，进而解不等式组得出的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在锐角中，，
因为，，，
所以，，解得，
所以，，
因为，
所以
，
可得，
由正弦定理可知：
，
因为，所以，
所以，即.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角形的定义求出的取值范围，再利用正弦定理和三角恒等变换，从而将所求化为关于的三角函数，再由三角函数的图象和不等式的基本性质，进而得出的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，分别连接，
在正方形中，因为分别为的中点，可得，
所以，，
因为，所以，
所以，即，
又因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
又因为且平面，
所以平面，
因为平面，
所以，同理可证：，
又因为且平面，
所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的面积为.
故答案为：D.
【分析】取的中点，由，证得，再由平面，证出，从而得到平面，同理证得，再利用线面垂直的判定定理，证出平面，从而得到平面截正方体的截面为，再根据三角形的面积公式求得截面的面积，进而得出平面截正方体所得的截面面积.
9．【答案】A,C,D
【知识点】扇形的弧长与面积；解三角形；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，由，，，再由正弦定理可得，
因为，所以角有两解，即有两解，所以A正确；
对于B，由，
可得，
整理得，
由正弦定理得，可得，
因为，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
对于C，由在线段上，且，，，，
则，
设，在中，利用余弦定理得出，
整理得，解得或（舍去），
所以，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得：
，所以，
所以的面积为，所以C正确；
对于D，在中，因为，，
则点在以为弦的一个圆上，
由正弦定理可得外接圆的直径为，即，
当点在外部时，如图所示，
因为，可得，所以，
所以的长度为，
同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，
所以动点的轨迹的长度为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】由正弦定理得到，则可判断选项A；化简已知条件得到，从而求得或，则可判断出三角形的形状，即判断出选项B；利用余弦定理求得的值，从而得到的长，进而求得的值和的长，再结合三角形的面积公式，则可判断出选项C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上， 再结合正弦定理和圆的性质以及弧长公式，则可判断选项D，进而找出正确的命题．
10．【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，
所以，故选项A错误；
对于选项B：延长交于点，设，，
所以，
由，得，
所以，
即，解得：，则，故B正确；
对于选项C：∵，∴，
延长交于点，∴，
∵，由选项B知，
∴，故C正确；
对于选项D：由，，
两边平方得，∴，
∴
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题中已知条件，结合向量的线性运算，则可判断选项A；设，，结合向量的线性运算，则可判断选项B；由向量数量积的性质和运算，则可判断选项C和选项D，从而 找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：如图：
当在平面上运动时，
四棱锥的底面面积为定值4，高为点到平面的距离为定值2，
所以为定值，故A正确；
对于B：如图：
当在线段上运动时，与所成角就是与所成的角，
因为为等边三角形，所以当点与线段的端点重合时，与所成的角最小，为，当点为线段中点时，与所成的角最大，为，故B正确；
对于C：如图：
因为是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，
所在的平面为如图正六边形，正六边形的边长为，
当点与中点重合时，最小，为，故C错误；
对于D：如图：
使直线与平面所成的角为的点P的轨迹为对角线、以及平面内
以为圆心，以2为半径的圆的，故点的轨迹长度为：，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件，考虑锥体的底面积、高均未变，故体积不变，则判断出选项A；利用已知条件找出异面直线所成的角，在三角形中判断角的大小，则判断出选项B；利用已知条件找到点的轨迹，计算可得出使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：化简，
可得，则，即，
则，
故答案为：.
【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
13．【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：由面BCD，，
所以该四面体四个面都是直角三角形，
则球O为该四面体还原成正方体的外接球，
故球心O为AC的中点且球的半径.
过球心作，垂足为，
其中，，，
又因为为直角三角形，
所以，
经过两点的球的截面面积的最小时，
面，又因为截面为圆面，
则圆面对应半径，
此时截面的面积为.
故答案为：.
【分析】依题意，该四面体为正方体的一部分，则外接球为正方体的外接球，再结合过M、N两点作球O的截面为圆面，则根据勾股定理求出圆面对应的半径，再由圆的面积公式得出此时截面的面积.
14．【答案】
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于点O，连接OE，
由是正方形，得，
在线段PE取点G，使得，如下图所示：
由，得，
连接BG，FG，则，
由平面，平面，得平面，
因为平面，，平面，
因此平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
则，所以.
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线的性质和线面平行的判定定理，从而证明出直线平面ACE，再结合直线平面ACE，则证出平面平面ACE，再利用面面平行的性质定理得出，则由两直线平行对应边成比例，从而得出的值.
15．【答案】（1）解：因为，所以，
整理得
解得或，
当时，重合；
当时，，符合题意，
故.
（2）解：因为，
所以
解得或.
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据两条直线平行斜率相等，从而计算得出参数a的值，再检验是否重合，进而得出满足要求的实数a的值.
（2）根据两条直线垂直斜率之积等于-1，从而计算得出实数a的值.
（1）因为，所以，
整理得
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
（2）因为，所以
解得或.
16．【答案】（1）解：因为，，
所以
，
，
，，
所以，函数的值域为．
（2）解：由题意，，又因为，
则，所以，所以，
所以，
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算和三角恒等变换，从而化简可得，再由函数定义域求值域的方法，即可得出函数的值域.
（2）由求得，由二倍角公式可得的值，再利用结合两角和的正切公式，从而计算得出的值.
（1）因为，，
所以
，
，，，
所以函数的值域为．
（2）由题设，又，则，
所以，所以，
所以，
所以.
17．【答案】（1）证明：因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，即或（舍去），
故．
（2）解：因为是锐角三角形，所以，解得，
所以的取值范围是，
由正弦定理可得：，则，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）用正弦定理和三角恒等变换证明角的关系.
（2）根据锐角三角形条件确定角的范围，结合正弦定理将边化为角，转化为关于的函数求取值范围，边角转化与三角恒等变换的应用.
（1）因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，
即或（舍去），故．
（2）因为是锐角三角形，所以，解得，
所以的取值范围是，
由正弦定理可得：，则，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
18．【答案】（1）证明：连接交于，如图所示：
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
（2）解：由（1）可知：，
因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
则，即异面直线与所成角的正弦值 .
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
（1）连接交于，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知：，
因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此.
19．【答案】（1）证明：由于正方形ABCD的边长为，所以．取AC的中点O，连接PO，BO，由题意，得，再由，可得，即．由题易知，又，面，所以平面ABC，又平面PAC，所以平面平面ABC．
（2）解：由（1）可知，，又，故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
由题意知，所以．所以．
设平面MBC的法向量为，则令，得；
设平面的法向量为，，令，得；
则，
设，，则上式可化为，
即，所以（舍去），
所以，解得．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 空间几何中的面面垂直证明与二面角相关计算展开.对于（1），通过取中点构造线段，利用勾股定理及线面垂直判定定理证明面面垂直，关键在于找到垂直关系的桥梁；
对于（2），建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，通过设参数表示点坐标，结合法向量与二面角余弦值的关系列方程求解，体现了空间几何与向量代数的融合.
（1）由于正方形ABCD的边长为，所以．
取AC的中点O，连接PO，BO，
由题意，得，再由，可得，即．
由题易知，又，面，所以平面ABC，
又平面PAC，所以平面平面ABC．
（2）由（1）可知，，又，
故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
由题意知，所以．
所以．
设平面MBC的法向量为，
则令，得；
设平面的法向量为，
，令，得；
则，
设，，则上式可化为，
即，所以（舍去），
所以，解得．
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