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专题05 四边形的性质与判定
6大考点概览
考点01平行四边形的性质与判定 考点04正方形的性质与判定综合应用
考点02菱形的性质与判定综合应用 考点05四边形中折叠问题
考点03矩形的性质与判定综合应用 考点06四边形中最值问题
1．（2026·四川德阳·一模）如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，且相交于点F．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川成都·一模）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，是的中点，延长和交于点．若面积为，则平行四边形的面积为_____________．
6．（2026·四川广元·一模）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____．
1．（2026·四川成都·一模）如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ）
A．逐渐增加 B．先减小再增加
C．恒等于 D．恒等于4
3．（2026·四川内江·一模）如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（2026·四川南充·一模）如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______．
5．（2026·四川南充·一模）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________．
6．（2026·四川宜宾·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
7．（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
1．（2026·四川南充·一模）如图，矩形的对角线、相交于点，点为边的中点，连接，连接交于点．若，则的长是（ ）
A．6 B． C．5 D．
2．（2026·四川德阳·一模）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　）
A．10 B． C． D．14
3．（2026·四川内江·一模）矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．（2026·四川德阳·一模）四边形中，、分别是、的中点，连接、，已知，，，则的长为_____．
5．（2026·四川·一模）如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为____________．
6．（2026·四川巴中·一模）如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，于点E，于点F，则等于________．
7．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
8．（2026·四川内江·一模）在矩形中，点是上一点，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
9．（2026·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，为的中点，过点作交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求证：平分；
(3)在上截取，使，求的值．
1．（2026·四川绵阳·一模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
2．（2026·四川遂宁·一模）如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2026·四川内江·一模）如图，以正方形顶点为圆心，对角线为半径作弧交边延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）．
4．（2026·四川成都·一模）如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则的长为______．
5．（2026·四川成都·一模）如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为_____．
6．（2026·四川成都·一模）如图，正方形的边长为6，点E是的中点，与交于点P，F是上一点，连接分别交，于点M、N，且，连接，则的长为______．
7．（2026·四川绵阳·一模）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
8．（2026·四川成都·一模）在正方形中，点、分别在边和上，且，连接和分别交对角线于点、，连接、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若正方形边长为，求四边形面积．
9．（2026·四川·一模）如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
10．（2026·四川绵阳·一模）如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，的长度为 ；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
1．（2026·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川成都·一模）如图所示，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川内江·一模）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么________．

4．（2026·四川绵阳·一模）已知：如图，将长方形纸片沿着所在直线对折，B点落在点处，与交于点F，如果，，，则的长为_________．
5．（2026·四川·一模）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______．
6．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求四边形的面积．
1．（2026·四川泸州·一模）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川宜宾·一模）如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　）
A．2 B． C．4 D．
3．（2026·四川遂宁·一模）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
4．（2026·四川内江·一模）如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为______．
5．（2026·四川绵阳·一模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ．
6．（2026·四川内江·一模）如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为_______．
7．（2026·四川内江·一模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．
8．（2026·四川宜宾·一模）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ．
9．（2026·四川南充·一模）如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________．
10．（2026·四川内江·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为_______．
11．（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______．
12．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，点E是边延长线上一动点，连接，若，则的最小值为______．
13．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____．
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专题05 四边形的性质与判定
6大考点概览
考点01平行四边形的性质与判定 考点04正方形的性质与判定综合应用
考点02菱形的性质与判定综合应用 考点05四边形中折叠问题
考点03矩形的性质与判定综合应用 考点06四边形中最值问题
1．（2026·四川德阳·一模）如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键．
根据矩形的判定，菱形的判定，以及平行四边形的性质定理逐一判定即得．
【详解】解：由作图知，，
∵，
∴，
在平行四边形中，当时，
，
∴四边形不一定是矩形，
故A不符合题意；
当时，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
故B符合题意；
当时，
平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
故C不符合题意；
当时，
平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形不一定是菱形，
故D不符合题意；
故选：B．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，且相交于点F．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是关键．
根据平行四边形的性质可证，得到，结合题意得到，代入计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B ．
3．（2026·四川成都·一模）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得，从而易得，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果．
【详解】解：∵在中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故选：A．
4．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．
证明，再结合平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，是的中点，延长和交于点．若面积为，则平行四边形的面积为_____________．
【答案】
【分析】证明得到，证明，得到，即可求解．
【详解】解：在平行四边形中，是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积．
6．（2026·四川广元·一模）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____．
【答案】15．
【详解】试题解析：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DAQ，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC=DQ=，
∴CD=DQ+CQ=3+=，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．
故答案为15．
1．（2026·四川成都·一模）如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出其长是解题的关键．先依据菱形“对角线互相垂直平分”的性质，求出对角线一半的长度 ()，再在中用勾股定理算出菱形边长，最后根据菱形四边相等的性质，计算出周长为．
【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点，
∴
∵，
∴
在中：
∵菱形的四条边相等，
∴该菱形的周长是，
故选：C．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ）
A．逐渐增加 B．先减小再增加
C．恒等于 D．恒等于4
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定、是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到，关键是由菱形的性质推出．
【详解】解：连接BD，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴、是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
3．（2026·四川内江·一模）如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】先由菱形的性质可知BD平分∠ABC，AD∥BC，从而可求出∠ABC=150°，∠A=30°，再由作图过程可知EF是AB的垂直平分线，所以有AF=BF，再根据等边等角可得∠ABF=∠A=30°，再根据角的和差关系即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=75°，AD∥BC，
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠A=180°，
∴∠A=30°．
∵分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，
∴EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠ABF=∠A=30°．
∴=∠ABD-∠ABF=45°．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形和平行线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
4．（2026·四川南充·一模）如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______．
【答案】3
【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的面积为15和，进行求解即可．
【详解】解：设与相交于点D，如图：
由题意得，，
四边形是菱形，
∵菱形的面积为15，
∴
解得．
5．（2026·四川南充·一模）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________．
【答案】/
【分析】连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
6．（2026·四川宜宾·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，解直角三角形：
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线垂直，即可得证；
（2）解，求出的长，勾股定理求出的长，即可．
【详解】（1）∵点E为的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）∵菱形，
∴．
∵矩形，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴．
7．（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的长为，的长为．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证；
（）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴ ；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍），
∴的长为，的长为．
1．（2026·四川南充·一模）如图，矩形的对角线、相交于点，点为边的中点，连接，连接交于点．若，则的长是（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】先根据矩形的性质得到是的中位线，即可得到，，即可得到，根据对应边成比例求出的长，进而即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
．
2．（2026·四川德阳·一模）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　）
A．10 B． C． D．14
【答案】C
【分析】由点O是的中点，E为的中点可得，在中，利用勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可得的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵点O是的中点，E为的中点，
∴，，
在中，，，
根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，．
∵四边形是矩形，
∴，
∵点O是的中点，
∴．
∴的周长为．
3．（2026·四川内江·一模）矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查尺规作图作已知角的平分线，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定；设交于点Q，先由矩形的性质和勾股定理可求出，然后证明可得，，进而求出，由等腰三角形的性质和判定可得，最后由勾股定理可求出.
【详解】解：设交于点Q，
在矩形中，，，
∵，，
∴，
由作图得：平分，
∴，
∵过点C作的垂线分别交，于点M，N，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
4．（2026·四川德阳·一模）四边形中，、分别是、的中点，连接、，已知，，，则的长为_____．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．作交延长线于点，作于点，连接，推出四边形是矩形，设，在和中，利用勾股定理列式得到，求得，再在中，求得的长，再在中，求得，最后根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，作交延长线于点，作于点，连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵、分别是、的中点，
∴，
故答案为：．
5．（2026·四川·一模）如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为____________．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，，，则，运用勾股定理得，即可作答．
【详解】解：∵是矩形对角线的中点，是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
则
∴，
故答案为：．
6．（2026·四川巴中·一模）如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，于点E，于点F，则等于________．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理的运用，解题的关键是掌握矩形的性质及三角形的面积公式．
连接，根据矩形的性质，得，点O是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
，，
，
，
，
，
∵于点E，于点F，，
∴，
，
，
，
故答案为：．
7．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果；
（2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点为的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，且，
∴，，
又∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：四边形是菱形，
∴菱形的面积为：．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
8．（2026·四川内江·一模）在矩形中，点是上一点，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）在矩形中，，，则．根据，得出，根据即可证明；
（2）勾股定理求出，根据四边形是矩形，得出，再结合即可求解．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，
．
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
∵四边形是矩形，
，
．
9．（2026·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，为的中点，过点作交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求证：平分；
(3)在上截取，使，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质得出，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可求出的长；
（2）过点作交于点，得出四边形是矩形，得出，进而得出，利用平行线分线段成比例得出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得答案；
（3）过点作，根据角平分线的性质得出，设，，则，，利用证明，，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵为的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．（经检验，是分式方程的解，且符合题意）
（2）证明：如图，过点作交于点，
∵四边形是矩形，为的中点，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：如图，过点作，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，
∴，
∵，
∴和是直角三角形，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴和是直角三角形，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
1．（2026·四川绵阳·一模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的面积，无理数的大小比较，计算即可．
【详解】设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c，
根据题意，得，
故，
∵
∴中正方形的可能值为，
故选B．
2．（2026·四川遂宁·一模）如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：四边形是正方形，
，．
∵，
，
，故①正确；
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
四边形是正方形，
，即是的角平分线，
点G到边与边的距离相等，
即中边的高与中边的高相等，
又 ，
，故③正确；
设正方形的边长为，
当E是的中点时，，，
由勾股定理得：，，
，，
，
，
．
，，
，
，
即，
，
，
，
，
，
当E是的中点时，，故④错误；
当时，，
，
，
，
，
中边的高与中边的高相等，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误．
综上，①②③正确；
故选：B．
3．（2026·四川内江·一模）如图，以正方形顶点为圆心，对角线为半径作弧交边延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．根据四边形是正方形，，可得，即可求出面积．
【详解】解：四边形是正方形，，
，
，
故答案为：．
4．（2026·四川成都·一模）如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则的长为______．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图、勾股定理及正方形的性质是解题的关键；由题意易得，，，，则有，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线，
，
四边形ABCD为正方形，
，，，
，
，
，
由勾股定理得，，
的长为；
故答案为：．
5．（2026·四川成都·一模）如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为_____．
【答案】9
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质，结合三角形面积计算公式，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴四边形的面积为：
．
故答案为：9．
6．（2026·四川成都·一模）如图，正方形的边长为6，点E是的中点，与交于点P，F是上一点，连接分别交，于点M、N，且，连接，则的长为______．
【答案】
【分析】先证明，推出，接着证明，得到，接着利用勾股定理求得其长度，利用面积法求得，继而求出，作交于点Q，则，，然后利用对应边成比例，即可求得，接着算得，最后利用勾股定理求得答案．
【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形，点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
作交于点Q，则，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
7．（2026·四川绵阳·一模）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解；
(2)2
【分析】（1）由, ，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形；
（2）先证，进而即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形
∵
∴平行四边形是正方形；
（2）∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
8．（2026·四川成都·一模）在正方形中，点、分别在边和上，且，连接和分别交对角线于点、，连接、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若正方形边长为，求四边形面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合，易证，根据一组对边平行且相等即可证明四边形为平行四边形；
（2）根据正方形的性质可证，，再根据平行四边形的性质可证，进而证明，推出，过点G作于点G，易证是等腰直角三角形，得到，进而求出，再利用正方形的面积即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点G作于点G，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴
四边形面积为：正方形的面积
．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
9．（2026·四川·一模）如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）延长到H，使得，则，想办法证明即可解决问题．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知，
设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：延长到H，使得，
∵，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2026·四川绵阳·一模）如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，的长度为 ；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)2；
(3)的度数是或
【分析】（1）过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，则可得四边形，四边形和四边形都是矩形，则可得，，．根据同角的余角相等可得，再证是等腰直角三角形，则可得，进而可得，根据证明，则可得．
（2）四边形是正方形，且，可得，．由可得，进而可得，，，则可得，则F点与C点重合，因此．
（3）分两种情况讨论：①当时，，在四边形中，根据四边形内角和等于，可求得．②当时，先根据三角形内角和定理求得，进而可得．由是的外角，且可得．
【详解】（1）证明：过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，如图1所示：
∵四边形是正方形，
，，，，
，
∴四边形，四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵四边形是正方形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴F点与C点重合，
∴．
故答案为：2；
（3）解：∵点E为对角线上一点，
∴线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况：
①当与的夹角是时，即，如图3①所示：
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴；
②当与的夹角是时，即，如图3②所示：
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的度数是或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键．
1．（2026·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质及矩形的性质和勾股定理．先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
∵矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
，
在中，，
则，
设，则，
在中，，
解得：，
，
，
故选：C．
2．（2026·四川成都·一模）如图所示，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件易得，由此可得，结合折叠的性质可得，则由可得，再由折叠的性质即可得到．
【详解】解：∵
，
，
∵点沿折叠后与点重合，
，
∵在矩形中，，
∴由折叠的性质可得．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形折叠的问题，熟悉“矩形的四个内角都是直角”和“折叠的性质”是正确解答本题的关键．
3．（2024·四川内江·一模）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么________．

【答案】/
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
∴在中，，
∴，
设，则
∵在中， ，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．
4．（2026·四川绵阳·一模）已知：如图，将长方形纸片沿着所在直线对折，B点落在点处，与交于点F，如果，，，则的长为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查折叠的性质和勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键．
根据对折前后两图形全等可得，又，所以，因此，所以，设，则，在中，根据勾股定理列式即可求解．
【详解】解： ，，
∴，
由折叠可得
四边形是长方形，
，
，
∵由折叠可得，
，
，
设，则，
∵在长方形中，，，
∴由折叠可得，，
∴在中，，
∴，
解得，
，
故答案为：．
5．（2026·四川·一模）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据求解即可得．
【详解】解：∵在长方形纸片中，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴．
故答案为：．
6．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理．
（1）由矩形的性质得到，，由折叠得到，，，，因此，从而，得到四边形为平行四边形，再由，即可得证；
（2）由菱形的性质得到，，，，，进而有，在中根据勾股定理可求出，从而得到的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，
，
∴，
四边形为平行四边形，
，
∴为菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，，，
，，，，
，
∵，即，
，
，
，
即四边形的面积是．
1．（2026·四川泸州·一模）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答．
【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线，交于点K，
由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，
设正方形的边长为a，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，的值为．
2．（2026·四川宜宾·一模）如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】连接，,通过给出的条件得出直角三角形，假设出未知量，通过勾股定理列出二次函数，求出最值即可．
【详解】解：如图，连接，，
四边形，四边形是菱形，，
，，
，分别是对角线，的中点，
，，
，
设，则，，，由勾股定理得，
，
时，有最小值，最小值为．
3．（2026·四川遂宁·一模）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，，过点A作交于点M．
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵点E为的中点，点F为的中点，
∴是的中位线，
∵要使线段最小，
∴最小即可，
则当时最小，
∵，
∴，
∴，
，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，
．
故选：C．
4．（2026·四川内江·一模）如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为______．
【答案】5
【分析】本题考查中位线定理，矩形的性质，轴对称最短路径问题(将军饮马问题)，勾股定理等知识，掌握中位线定理和将军饮马模型是解题的关键．连接，结合，，，得点G为的中点， F为的中点，得到，，从而把的最小值转化为即的最小值问题，利用轴对称最短路径问题，勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∴点G为的中点，
∵F为的中点，
∴，，
∴，
作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M，
∵，，
∴当P与M重合时，取得最小值，
∵矩形中，，，点E在上且．
∴，
∴，
∴的最小值为5．
故答案为：．
5．（2026·四川绵阳·一模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ．
【答案】
【分析】过点作于点，可得四边形是正方形，从而得到，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小，然后结合题意可得点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，当点、、三点共线时，最小，此时面积最小，延长、交于点，过点作于点，则，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
，
当点到的距离最小时，面积最小，
过点作交的延长线于点，
即当最小时，面积最小，
∵是线段的中点，，
，
由折叠的性质得：，
∴点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，
∴当点、、三点共线时，最小，
此时面积最小，
延长、交于点，
过点作于点，则，
∴，
，，
，
∵，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，，
，，
，
∵，
，即，
∴，
，
，
∴面积的最小值为．
6．（2026·四川内江·一模）如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，得到点与点关于对称，过点作，使得，连接交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得到则当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，求出，由勾股定理求出得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
点与点关于对称，
，
过点作，使得，连接交于点，连接，
，
，四边形是平行四边形，
，
当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，
，，
是等边三角形，
，
在中，
的最小值为．
故答案为：．
7．（2026·四川内江·一模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，连接OC交圆O于点 ，从而得到当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解
【详解】解：∵，
∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，
∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形中，∠ABC=90°，
∵，
∴OA=OB= =1，
∵，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键
8．（2026·四川宜宾·一模）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ．
【答案】
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可．
【详解】解：如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在上时，
过点M作于点F，
∵在边长为2的菱形中，，M为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，圆外一点到圆上一点距离的最值，含角直角三角形的性质，勾股定理等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．
9．（2026·四川南充·一模）如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】设，则，利用勾股定理列出与的函数关系式，进而求最值即可.
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴开口向上，
∵，
∴当时，最小，此时最小，最小值为.
10．（2026·四川内江·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为_______．
【答案】4
【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．过点P作于点G，交于点F，作于点H，则四边形是矩形，所以，，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案．
【详解】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当与重合且与重合时，取得最小值4，
故答案为：4．
11．（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点，利用全等三角形得出，得到当点共线时，的值最小，即为线段的长度，然后解直角三角形即可．
【详解】解：如图所示，过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴
根据翻折的性质可得，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点共线时，的值最小，即为线段的长度，
∵，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，
∴，
即的最小值为．
12．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，点E是边延长线上一动点，连接，若，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确构造相似三角形是解题的关键．
作，且使得，取中点，连接，，，先证明，得到，再证明，得到，由此可得当最大时，的值最小，由于，则当点三点共线，且在延长线上时，取最大值即为，再利用勾股定理求出的值即可求出的值，进而求出答案．
【详解】解：作，且使得，取中点，连接，，，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
当取最大值时，的值最小，
∵，
∴当点三点共线，且在延长线上时，取最大值即为，
∵
∴设，，
∵，点为中点，
∴，
，
为最小值．
故答案为：．
13．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____．
【答案】/
【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案．
【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图：
由旋转可知，，，，，，，，，，，
∴，，，都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的最小值即为的长，
∵，，
∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∵，，
∴是，的垂直平分线，
∴，，
∴，，四边形是长方形，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
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