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专题06 图形的几何综合变换（含压轴）
9大考点概览
考点01对称图形的识别 考点06根据对称性作图
考点02立体图形（组合体）的三视图 考点07旋转综合变换（含压轴）
考点03小正方体的展开图 考点08新定义几何问题
考点04位似变换 考点09相似综合变换（压轴）
考点05轴对称变换（压轴）
1．（2026·四川内江·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·四川达州·一模）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·四川绵阳·一模）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
4．（2026·四川内江·一模）“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
5．（2026·四川绵阳·一模）下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·四川绵阳·一模）下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026·四川内江·一模）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
7．（2026·四川内江·一模）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
8．（2026·四川·一模）人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·四川绵阳·一模）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现几何之美．下列窗棂图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
10．（2026·四川绵阳·一模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．正方形 B．长方形 C．等边三角形 D．圆
1．（2026·四川绵阳·一模）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·四川德阳·一模）下列每个选项中，几何体的主视图和左视图可能不相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川巴中·一模）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
4．（2026·四川绵阳·一模）对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究．从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．如图是一个工件的立体图，从前面看它得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·四川内江·一模）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·四川绵阳·一模）笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·四川绵阳·一模）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026·四川成都·一模）下列立体图形中，其从不同方向看到的图形都不相同的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026·四川成都·一模）由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2026·四川成都·一模）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
11．（2026·四川绵阳·一模）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.

（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.
1．（2026·四川内江·一模）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“考”相对的字是（ ）
A．考 B．试 C．顺 D．利
2．（2026·四川内江·一模）如图所示是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“体”字对面的字是（ ）
A．无 B．南 C．不 D．开
1．（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（ ）
A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换
2．（2026·四川成都·一模）如图，与位似，点为位似中心．已知，的面积是8，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2026·四川泸州·一模）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·四川成都·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的周长为10，则的周长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
5．（2026·四川成都·一模）如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 _______．
6．（2026·四川成都·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是______．
1．（2026·四川达州·一模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①平分；②；③；④，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·四川绵阳·一模）已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接．
(1)如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形；
(2)当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
3．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到．
(1)如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：；
(2)如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值；
(3)如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由．
4．（2026·四川南充·一模）按要求解决问题：
(1)证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求的值；
(2)类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：连接，在（2）的条件下，当时，若，求的长．
5．（2026·四川成都·一模）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在 中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
(1)问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_____；
(2)问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出的值．
6．（2026·四川成都·一模）综合与实践
定义：如果一个小矩形的四个顶点分别落在另一个大矩形的四条边上（不含顶点），则称这个小矩形为大矩形的内接矩形．
(1)概念理解：
如图1，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，判断：四边形____________（填“是”或“不是”）正方形的内接矩形；
(2)操作探究：
用长方形纸片进行如下操作：
第一步：如图2，沿折叠长方形纸片，点落在边上的点处，再展开纸片，沿裁剪，得到正方形和矩形；
第二步：将矩形按图3放置，发现、、、的对应点、、、恰好分别落在、、、上．
①试说明：；
②探究发现：
如图3，通过度量发现：点恰好是的中点，请说明理由；
③深入思考：
直接写出的值．
1．（2026·四川泸州·一模）如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，顶点，，均在格点上．
(1)若和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标．
(2)将以点为中心，顺时针旋转，请作出旋转后的图形，并求线段在旋转过程中扫过的图形的面积．
2．（2026·四川泸州·一模）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
(1)写出A、B、C的坐标．
(2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的．
(3)将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的．并求出在旋转的过程中扫过的面积．
1．（2026·四川广元·一模）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
2．（2026·四川南充·一模）如图，正方形的边长为a，点P是边（含端点）上一动点，连接交于点M，将绕点B逆时针旋转90°得到，连接、．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)在点P运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
3．（2026·四川·一模）如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
4．（2026·四川成都·一模）在等腰直角中，点，点分别为线段，上的动点，连接．
(1)如图，当点为中点时，若，，求的长；
(2)如图，将绕着点逆时针旋转得到．分别连接，．延长至点，交于点．若，时，求证：；
(3)如图，，，，点为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积．
5．（2026·四川成都·一模）在 中，，平分，点E为上一点，连接．
(1)如图1，连接并延长至点F，使，交于点P，连接，当，且平分时，求的度数；
(2)如图2，延长至点F，使得，连接．点G 为线段上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转至线段，H在下方，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，求的面积．
6．（2026·四川成都·一模）如图，矩形中，，，点，分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．

(1)求的度数：
(2)若，求的值；
(3)连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值及此时的长．
7．（2026·四川遂宁·一模）综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：
【观察猜想】
（1）如图1，在中，，点是平面内不与点重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 ．
【类比探究】
（2）如图2，点是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点．
①求的度数；
②连接交于点，若，则的值为 ；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，，点、分别是、的中点，连接，如图4，将绕着点顺时针旋转角度，直线交于点，连接，若射线将分成的两个角度之比是，则的值为多少？请直接写出答案．
8．（2026·四川达州·一模）如图1，在矩形中，已知，点E，F分别是的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为，连接，．
(1)【问题发现】
①当时，___；②当时，___；
(2)【拓展探究】
在绕点C的旋转过程中，的值有无变化？若无变化，请就图2的情形给予证明；若变化，请说明理由；
(3)【问题解决】
当旋转至A，F，E三点共线时，直接写出线段的长．
9．（2026·四川绵阳·一模）在中，，，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是线段的中点，连接．
(1)如图1，当点D在的延长线上时，连接．
①与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
②若，则线段 ；
(2)如图2，当点D在的延长线上时，若点G是线段的中点，连接，试探究与的数量与位置关系并证明；
(3)如图3，连接和，若，当线段取最小值时，请求出的面积．
1．（2026·四川内江·一模）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，已知四边形是“等对角四边形”，．求的度数．
(2)如图2，在中，，为斜边边上的中线，过点作交于点，证明：四边形是“等对角四边形”．
(3)如图3，已知在“等对角四边形”中，，，，请你直接写出对角线的长．
1．（2026·四川成都·一模）如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G．
(1)求的值；
(2)当时．
i）如图1，若的面积是，求k的值；
ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）．
2．（2026·四川成都·一模）如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长相交于点F，．
(1)求证：；
(2)连接，若是以为腰的等腰三角形，，求的值；
(3)如图2，在中，，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长．
3．（2026·四川广元·一模）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线于点F，G．
(1)数学思考：线段和的数量关系______．
(2)问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，求的值；
(3)问题拓展：在（2）的条件下，当点E为的中点时，请直接写出的面积．
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专题06 图形的几何综合变换（含压轴）
9大考点概览
考点01对称图形的识别 考点06根据对称性作图
考点02立体图形（组合体）的三视图 考点07旋转综合变换（含压轴）
考点03小正方体的展开图 考点08新定义几何问题
考点04位似变换 考点09相似综合变换（压轴）
考点05轴对称变换（压轴）
1．（2026·四川内江·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查中心对称图形的判断能力，解题的关键是掌握中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，结合题目中的图形逐个判断即可解答．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．（2026·四川达州·一模）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（2026·四川绵阳·一模）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．
根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意；
B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意；
C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意；
D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意．
故选：C ．
4．（2026·四川内江·一模）“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（2026·四川绵阳·一模）下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解： A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2026·四川绵阳·一模）下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的判断方法．
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据该定义对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：根据中心对称图形的定义判断：
选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
选项，该图形是中心对称图形，符合题意，选项正确．
故选：．
7．（2026·四川内江·一模）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
8．（2026·四川内江·一模）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
9．（2026·四川·一模）人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
10．（2026·四川绵阳·一模）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现几何之美．下列窗棂图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形．
根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
11．（2026·四川绵阳·一模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．正方形 B．长方形 C．等边三角形 D．圆
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断：轴对称图形是沿直线对折后重合的图形；中心对称图形是绕点旋转后重合的图形．
【详解】解：正方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线和对角线所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故A不符合题意；
长方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 B不符合题意；
等边三角形是轴对称图形（对称轴为三条高所在直线），但不是中心对称图形（旋转后不重合），故C符合题意；
圆是轴对称图形（对称轴为任意直径所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 D不符合题意．
故选：C．
1．（2026·四川绵阳·一模）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】左视图是从左边看到的，据此解答即可．
【详解】解：由图可知，从左边看是一个矩形，中间有一条横向的虚线，观察选项只有B选项符合．
2．（2026·四川德阳·一模）下列每个选项中，几何体的主视图和左视图可能不相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据选项中的几何体得到其主视图与左视图，并判断其主视图与左视图是否相同，即可解题．
【详解】解：A、圆柱的主视图为长方形，左视图为一样的长方形，主视图与左视图相同，不符合题意；
B、球的主视图为圆，左视图为一样的圆，主视图与左视图相同，不符合题意；
C、圆锥的主视图为三角形，左视图为一样的三角形，主视图与左视图相同，不符合题意；
D、三棱柱的主视图为长方形或正方形，左视图为长方形或正方形，主视图与左视图可能不同，符合题意．
3．（2026·四川巴中·一模）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，进行解答．
【详解】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1，
故选：D．
4．（2026·四川绵阳·一模）对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究．从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．如图是一个工件的立体图，从前面看它得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面看得到的图形判断即可．
【详解】解：该几何体从正面看到的图形是
故选：D．
5．（2026·四川内江·一模）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．根据从正面看的图形是主视图即可求解．
【详解】解：该几何体的主视图是：
故选：A．
6．（2026·四川绵阳·一模）笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．
根据俯视图是从物体的上面看得到的图形即可解答．
【详解】解：由题意可得，从物体上面看到的图形如下：
故选：C．
7．（2026·四川绵阳·一模）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图即可，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是：
故选：．
8．（2026·四川成都·一模）下列立体图形中，其从不同方向看到的图形都不相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A：从正面、左面、上面看到的相同，不符合题意；
B：从正面和左面看到的相同，不符合题意；
C：从正面、左面、上面看到的都不相同，符合题意；
D：从正面和左面看到的相同，不符合题意；
故选：C ．
9．（2026·四川成都·一模）由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图是：
，
故选：D．
10．（2026·四川成都·一模）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，还考查了空间想象能力，根据主视图的定义即可得出结果．
【详解】解：由图形可得，该图形的主视图为：
，
故选：B．
11．（2026·四川绵阳·一模）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.

（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.
【答案】（1）正三棱柱；（2）图见解析；（3）．
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可以得到此几何体为正三棱柱；
（2）表面展开图应会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为3cm和2cm，求出一个长方形的面积，再乘以3即可解答．
【详解】解：（1）这个几何体的名称是正三棱柱；
（2）表面展开图为：（答案不唯一，画出其中正确的一种即可）

（3）（），
∴这个几何体的侧面积为．
【点睛】此题主要考查从三个方向看几何体和利用展开图求几何体侧面积等的相关知识，考查学生的空间想象能力；注意棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
1．（2026·四川内江·一模）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“考”相对的字是（ ）
A．考 B．试 C．顺 D．利
【答案】C
【分析】本题考查了正方体展开图，通过动手折叠即可得出答案．
【详解】解：与“考”相对的字是“顺”．
故选：C．
2．（2026·四川内江·一模）如图所示是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“体”字对面的字是（ ）
A．无 B．南 C．不 D．开
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，依此来找相对面．
【详解】解：由正方体展开图的特点可知“体”与“不”相对，“无”与“开”相对，“育”与“南”相对，
故选：C．
1．（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（ ）
A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可．
【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换．
故选：A．
2．（2026·四川成都·一模）如图，与位似，点为位似中心．已知，的面积是8，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【分析】本题主要考查位似的性质．根据面积比等于位似比的平方计算即可．
【详解】解： 与位似，点O是位似中心，
，
，
∴，
，
，
的面积为8，
故的面积为．
故选：A．
3．（2026·四川泸州·一模）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
4．（2026·四川成都·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的周长为10，则的周长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似图形的性质，周长比等于位似比，位似比为，进而求解即可．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，且，
∴与的相似比为，
∴的周长的周长，
∵的周长为10，
∴的周长，
故选：A．
5．（2026·四川成都·一模）如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 _______．
【答案】
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质得到，证明，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵和是位似图形，
∴，，
∵与的面积之比为，
∴与的相似比为，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2026·四川成都·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是______．
【答案】/
【分析】此题考查了位似变换，求出位似比，根据位似比即为两个位似三角形的周长比即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴和的位似比，
∴与的周长比是，
故答案为：．
1．（2026·四川达州·一模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①平分；②；③；④，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】①利用折叠与平行线的性质即可求解；
②利用两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
③过点作，证明，，进而根据面积可判断；
④连接，由全等三角形的性质可知，由折叠可知，根据勾股定理可知，根据的角可知四点共线，然后易得即可求解．
【详解】解：由折叠可知，，
∵在正方形中，，
，
，
∴平分；
∴①正确；
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠可知，，
，
∵，
，
，
，
，
，
∴，
∴②正确；
过点作，则，
在和中，
，
，
，
在和中
，
∴，
，
∴③错误；
连接，
∵，，
，
，
，
，
，
由折叠可得：，
，
，
由折叠可知：，
，
，
，
四点共线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴④正确；
综上所述，正确．
2．（2026·四川绵阳·一模）已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接．
(1)如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形；
(2)当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)补全图形见解析，线段与的数量关系：，证明见解析
【分析】（1）由对称性知，由等边三角形的性质得，从而，由等边三角形的判定即可证明结论；
（2）按题意补全图形即可；线段与的数量关系：；延长到点G，使，连接，易证明，从而得，得；再证明，得，从而．
【详解】（1）证明：∵点D，E关于直线对称，
∴，
∵是等边三角形，
∴．
∵点D为线段的中点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：补全图形如图所示，
线段与的数量关系：．
证明：延长到点G，使，连接．
∵F为线段的中点，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∵点D，E关于直线对称，
∴．
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
3．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到．
(1)如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：；
(2)如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值；
(3)如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)能，或或或
【分析】（1）记与的交点为点，根据折叠的性质进而得出点，在的垂直平分线上，证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）过点F作交于点M，根据题意设，则，勾股定理求得，证明，进而得出，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）①当，点在上方时，延长交于点，过点作于点，②当，点在下方时，交于点，过点作延长线于点，③当，点在上方时，延长交的延长线于点，过点作于点，④当，点在下方时，交的延长线于点，过点作直线于点，解，即可求解；⑤不存在的情况．
【详解】（1）证明：记与的交点为点，
翻折得到，
，，，
∴点，在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：过点F作交于点M，
在平行四边形中，，
∴四边形是矩形，
，
，
∴设，则，
由勾股定理得：，
，
由翻折得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当，点在上方时，
如图，延长交于点，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
②当，点在下方时，
如图，交于点，过点作延长线于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
③当，点在上方时，
如图，延长交的延长线于点，过点作于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，，
设，
则，，，
，
解得，
；
④当，点在下方时，
如图，交的延长线于点，过点作直线于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
⑤不存在的情况；
综上所述，或或或．
4．（2026·四川南充·一模）按要求解决问题：
(1)证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求的值；
(2)类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：连接，在（2）的条件下，当时，若，求的长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义证明，再证明四边形是平行四边形，从而得出，即可求解；
（2）根据题意可证，得到，结合题意得到四边形是矩形，，由此即可求解；
（3）作交的延长线于．利用角的正切值，设，，在中，利用勾股定理列方程，证明，从而求出、的长，最后再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图2中，作于，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交的延长线于．
∵，
∴，
∴，
∴设，，则，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍弃），
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
5．（2026·四川成都·一模）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在 中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
(1)问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_____；
(2)问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，含有的直角三角形的边长关系，勾股定理，正确画出图形，作出正确的辅助线是解题的关键．
（1）可得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答；
（2）可得为等腰直角三角形，当时，可得，当重合时，最小即可解答；
（3）分类讨论，即点落在上方或下方两种即可解答．
【详解】（1）解：，，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或．
6．（2026·四川成都·一模）综合与实践
定义：如果一个小矩形的四个顶点分别落在另一个大矩形的四条边上（不含顶点），则称这个小矩形为大矩形的内接矩形．
(1)概念理解：
如图1，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，判断：四边形____________（填“是”或“不是”）正方形的内接矩形；
(2)操作探究：
用长方形纸片进行如下操作：
第一步：如图2，沿折叠长方形纸片，点落在边上的点处，再展开纸片，沿裁剪，得到正方形和矩形；
第二步：将矩形按图3放置，发现、、、的对应点、、、恰好分别落在、、、上．
①试说明：；
②探究发现：
如图3，通过度量发现：点恰好是的中点，请说明理由；
③深入思考：
直接写出的值．
【答案】(1)是
(2)①见解析；②见解析；③
【分析】（1）根据内接矩形的定义，结合正方形边长相等的性质，证明四边形的顶点在正方形的边上，且为矩形，从而判定其为内接矩形。
（2）①利用正方形和矩形的性质找等角，用证，得到；
②过作，证四边形是矩形，再用证，结合推得，即是中点；
③设正方形边长为，由两角相等证，得比例式化简得，推出是等腰直角三角形，结合是中点，知、，又，故．
【详解】（1）解：设正方形的边长为，，则．
在与中，，，，
，
，．
，
，即．
同理可得四边形的四个角均为直角，且四边相等，故为正方形；
又其顶点均在正方形的四条边上，
四边形是正方形的内接矩形．
（2）①解：四边形是正方形，
，．
四边形是矩形，
，．
∴，，
，
，，
．
在与中，，，，
，
；
②解：如图，过点作于点，连接、，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，．
矩形矩形，
．
在与中，，，
，
．
由①知，
∴，
，
，即点恰好是的中点；
③解：设正方形的边长为，则，
由①，
设，，
则，．
∵，，
∴，
∴，即，展开化简得，
解得或(舍去)，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵点是的中点，
，
∴．
1．（2026·四川泸州·一模）如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，顶点，，均在格点上．
(1)若和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标．
(2)将以点为中心，顺时针旋转，请作出旋转后的图形，并求线段在旋转过程中扫过的图形的面积．
【答案】(1)图见解析； (2)图见解析，
【分析】本题考查了画中心对称图形与旋转图形，求扇形面积；
（1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标，即可求解；
（2）根据旋转的性质画出，根据勾股定理求得的长，进而根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求；
∵
∴
∴线段在旋转过程中扫过的图形的面积为．
2．（2026·四川泸州·一模）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
(1)写出A、B、C的坐标．
(2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的．
(3)将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的．并求出在旋转的过程中扫过的面积．
【答案】(1)；；
(2)作图见解析
(3)作图见解析；扫过的面积为
【分析】本题考查平面坐标系点的坐标、中心对称点的特征、扇形面积公式，熟练掌握中心对称点的特征和扇形面积公式是解题的关键．
（1）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（2）关于原点O对称点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都为相反数，据此得到点、、的坐标，依次连接，得到；
（3）作出绕点A逆时针旋转后得到的，扫过的图形为扇形，计算扇形的面积即可．
【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可知：
点A、B、C的坐标为：、、；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如（2）图，即为所求，
扫过的图形为扇形，且，
则在旋转的过程中扫过的面积为：
．
1．（2026·四川广元·一模）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用旋转性质得到，，推出，从而证明；
（2）由旋转的性质得，在已证的中，用勾股定理计算得 ．
【详解】（1）证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由旋转的性质可知，
∵，，
∴在中，．
2．（2026·四川南充·一模）如图，正方形的边长为a，点P是边（含端点）上一动点，连接交于点M，将绕点B逆时针旋转90°得到，连接、．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)在点P运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)能成为等腰三角形，的值为或
【分析】（1）由旋转，易证是等腰直角三角形，进而证明，即可得到；
（2）由（1）知，易得点A、N、B、M四点共圆，通过证明、，即可得到结论；
（3）在中，，，故等腰三角形有以下两种可能：①当时，设，则，由，得，从而得出，再利用，即可得到；②当时，则，为等腰直角三角形，此时P与D重合，易求出．
【详解】（1）解：由旋转得，，
是等腰直角三角形．
四边形是正方形，
，．
，，
∴．
又，，
．
．
，
，即．
（2）解：由（1）知，
．
．
点A、N、B、M四点共圆．
．
又由（1）知，
∴．
，
．
（3）解：能成为等腰三角形．理由如下：
在中，，，故等腰三角形有以下两种可能：
①当时，设，则，
正方形的边长为a，
．
．
，
．
，即．
．
，即．
，．
是等腰直角三角形，
．
，即．
②当时，则，为等腰直角三角形，
此时P与D重合，，．
．
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．
3．（2026·四川·一模）如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1) (2)见详解
【分析】（1）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）延长到H，使得，则，想办法证明即可解决问题．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知，
设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：延长到H，使得，
∵，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
4．（2026·四川成都·一模）在等腰直角中，点，点分别为线段，上的动点，连接．
(1)如图，当点为中点时，若，，求的长；
(2)如图，将绕着点逆时针旋转得到．分别连接，．延长至点，交于点．若，时，求证：；
(3)如图，，，，点为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点作于，作于，由等腰三角形的性质可得，由矩形的性质可得，，再利用勾股定理即可得解；
（2）过点作于，过点作于，作于，过点作于，连接，先证明是等腰直角三角形，由旋转可得，进而证得、，、均为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）过点作交于点，在上截取，连接，证明，得出，进而得出，作关于的对称点，连接，则，作关于的对称点，则，当，，三点共线时，此时取得最小值，最小值为的长，当经过点时，则，，证明，，于是得出，，则，利用勾股定理求得，进而得出，过点作于，得出是的中点，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于，作于，
∵是等腰直角三角形，，，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点作于，过点作于，作于，过点作于，连接，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由旋转得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：如图，过点作交于点，在上截取，连接，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
如图，作关于的对称点，连接，则，作关于的对称点，则，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
如图，当，，三点共线时，此时取得最小值，最小值为的长，此时经过点，
∴，即，
∵是的中点，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
设，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作于，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
5．（2026·四川成都·一模）在 中，，平分，点E为上一点，连接．
(1)如图1，连接并延长至点F，使，交于点P，连接，当，且平分时，求的度数；
(2)如图2，延长至点F，使得，连接．点G 为线段上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转至线段，H在下方，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，求的面积．
【答案】(1) (2)见解析 (3)
【分析】（1）首先利用三角形内角和定理解得，由三角形内心的性质以及角平分线的定义可得平分，，进而可知，设，由三角形外角的定义和性质可得，结合可知，进一步解得的值，然后由三角形内角和定理求解即可；
（2）在上取一点K，连接，使得，过点作于点，证明，易得，再证明，可知，，然后证明，即可证明结论；
（3）过点A作于点M，过点B作于点N，交直线于点R，延长交于点Q，易知点H是上的一个动点，当时，取最小值；证明，再在中确定，可得，易得，然后证明，结合相似三角形的性质确定，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴平分，，
∴，
设，则在和中，
可有，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴在中，；
（2）证明：∵，平分，
∴，
在上取一点K，连接，使得，过点作于点，如下图，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，绕点E顺时针旋转至线段，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
；
（3）解：如图，过点A作于点M，过点B作于点N，交直线于点R，延长交于点Q，
由（2）可知，，
∴点H是上的一个动点，
∴当时，取最小值，
∵，
，
，
∴，
由（2）得，
，
∴在中，，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形内心、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键．
6．（2026·四川成都·一模）如图，矩形中，，，点，分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．

(1)求的度数：
(2)若，求的值；
(3)连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值及此时的长．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值为；此时
【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；
（2）过点作，于点，延长至点，使得，连接，得出，证明，，进而证明，得出，连接，证明，得出，进而根据，即可求解；
（3）作与点，则点为的，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，证明，，，四点共圆，进而证明，得出，得出，求得，设则，根据表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴是等边三角形，
∴，
（2）如图所示，过点作，于点，延长至点，使得，连接，

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，，
，
，
又，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，作，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，

由（1）可得是等边三角形，
∴点为的中点，
，，
，
，
∴四点共圆，
，，
，
，
∵
∴
∴，又
∴
∴
又，则
∴点在上，
∵
，
，
，
，
在中，，
， ，
，
，
，
，
，
∴，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设则，
，
，
，
，
，
∴当时，取的最大值，最大值为，此时．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2026·四川遂宁·一模）综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：
【观察猜想】
（1）如图1，在中，，点是平面内不与点重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 ．
【类比探究】
（2）如图2，点是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点．
①求的度数；
②连接交于点，若，则的值为 ；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，，点、分别是、的中点，连接，如图4，将绕着点顺时针旋转角度，直线交于点，连接，若射线将分成的两个角度之比是，则的值为多少？请直接写出答案．
【答案】（1），；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）根据题意可得和为等边三角形，结合角的和差可得，利用全等三角形的性质可得，结合三角形内角和可得直线与直线相交所成的较小角的度数．
（2）①连接，根据正方形的性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得．
②连接交于点，根据正方形的性质可得，进而证明，利用相似三角形的性质可得，
进而得出．
（3）连接，根据题意可利用中位线定理和等腰三角形的性质，得，，， ，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和可得，根据勾股定理即可求得，由射线将分成的两个角度之比是，可分成旋转后，直线交于点，交于点，直线交于点，当，时，和直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，当，时两种情况分别讨论，根据相似三角形的性质和判定，勾股定理，解二元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴直线与直线相交所成的较小角的度数是：．
故答案为：，．
（2）①如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，且，，
∴，
∴，
∴，
∴．
②解：连接交于点，如图所示：
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：连接，如图所示：
∵，点、分别是、的中点，
∴是的中位线，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵射线将分成的两个角度之比是，
∴可将分成，两个角，
旋转后，直线交于点，交于点，直线交于点，当，，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
旋转后，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，当，，如图所示：
∵，
∴，
又∵，，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，，
∵
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，（舍），
，
综上可得：的值为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，正方形的性质，等腰三角形，勾股定理，解二元一次方程，等边三角形，旋转的性质，中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．（2026·四川达州·一模）如图1，在矩形中，已知，点E，F分别是的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为，连接，．
(1)【问题发现】
①当时，___；②当时，___；
(2)【拓展探究】
在绕点C的旋转过程中，的值有无变化？若无变化，请就图2的情形给予证明；若变化，请说明理由；
(3)【问题解决】
当旋转至A，F，E三点共线时，直接写出线段的长．
【答案】(1)；
(2)的大小无变化．证明见解析
(3)的长度为或．
【分析】（1）①根据矩形中，，，，运用勾股定理得到，当时，根据E、F分别是、的中点，即可求解；②当时，由，即可求解；
（2）根据旋转性质得到，结合，推出，推出；
（3）根据，求出，根据，得到，再分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：①当时，如图，
∵矩形中，，，，
∴，
∵点E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴；
②当时，如图，
∵，
∴；
（2）解：由旋转知，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：A、F、E三点共线时，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当点F在线段上时，如图，
∵，
∴，
∴；
当点F在线段延长线上时，如图，
，
∴；
故的长度为或．
9．（2026·四川绵阳·一模）在中，，，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是线段的中点，连接．
(1)如图1，当点D在的延长线上时，连接．
①与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
②若，则线段 ；
(2)如图2，当点D在的延长线上时，若点G是线段的中点，连接，试探究与的数量与位置关系并证明；
(3)如图3，连接和，若，当线段取最小值时，请求出的面积．
【答案】(1)①；②3
(2)，见解析
(3)3
【详解】（1）解：（1）①如图1中，设交于点O．
∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，
，
∵
∴，
故答案为：3；
（2）解：，
证明：如图2中，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图3中，
∵是等腰直角斜边上的高，
∴当最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小（如图4中），
由题意可得，，，，
则四边形是正方形，，
．
1．（2026·四川内江·一模）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，已知四边形是“等对角四边形”，．求的度数．
(2)如图2，在中，，为斜边边上的中线，过点作交于点，证明：四边形是“等对角四边形”．
(3)如图3，已知在“等对角四边形”中，，，，请你直接写出对角线的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ．
（1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论；
（2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论；
（3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ．
【详解】（1）解：四边形是“等对角四边形“，，
，
，
，
，
∴；
（2）证明：∵在中，为斜边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是“等对角四边形”；
（3）解：如图 3 ，过点作于，于，
，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
由勾股定理得，
∴，
，
，
在中，．
1．（2026·四川成都·一模）如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G．
(1)求的值；
(2)当时．
i）如图1，若的面积是，求k的值；
ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)i）；ⅱ）
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则可证明，证明得到，据此可得答案；
（2）：i）如图所示，连接，由相似三角形的性质得到，，同理可得，则；可求出，证明；求出，则，，由勾股定理得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可；ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，证明，得到；设，证明，可推出；设，则，由勾股定理可得，即，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：i）如图所示，连接，
由（1）可得，
∴，，
∴同理可得，
∵的面积是8，
∴；
∵点E是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，
由（1）（2）得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
设，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
设，则，
由（2）i）得，则（平行线的性质），
在和中，由勾股定理得
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等边对等角，勾股定理，熟知相似三角形的性质及其判定定理是解题的关键．
2．（2026·四川成都·一模）如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长相交于点F，．
(1)求证：；
(2)连接，若是以为腰的等腰三角形，，求的值；
(3)如图2，在中，，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）证出即可得证；
（2）分类讨论，当时，证即可得解，当时，证，即可得解；
（3）由题易得点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接，先证，得到，进而设参，再证，设参，然后在 中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，
在中，由勾股定理可得，
①当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
同理可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴综上所述，的值为或；
（3）如图，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，
连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接，
∵点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∵，
∴在中，由勾股定理可得：，
整理可得：，
解得（负值舍去），
∴，
∴在中，由勾股定理可得，
即．
3．（2026·四川广元·一模）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线于点F，G．
(1)数学思考：线段和的数量关系______．
(2)问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，求的值；
(3)问题拓展：在（2）的条件下，当点E为的中点时，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由正方形的性质得出，，证出，由可证，由全等三角形的性质即可解答；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，求出，进而完成解答；
（3）过点E作于M，于点N，证出，，由（2）知，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
，，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
∴，
在中，，
，
∴，
∴；
（3）解：过点E作于M，于点N，
∵E为的中点，
，
，，
，
∴，
，
同理：，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，解得：，
．
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