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专题03 函数、一次函数与反比例函数
7大考点概览
考点01函数与动态几何问题 考点04反比例函数的图象与性质
考点02二次函数的性质与实际应用 考点05一次函数与反比例函数图象的交点问题
考点03一次函数与几何综合中的规律问题 考点06反比例函数与几何综合
考点07一次函数与反比例函数在几何综合中的应用（压轴）
1．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系内，点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积S与点运动的路程之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川成都·一模）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A． B．
C． D．
1．（2026·四川德阳·一模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ）
①函数图象经过点；
②图象不经过第二象限；
③当时，随的增大而增大．
A． B． C． D．
2．（2026·四川泸州·一模）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所受拉力成正比．一根弹簧原长，挂上的钩码后长度为，挂上的钩码时，弹簧的长度为______．
3．（2026·四川成都·一模）两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论：
①乙比甲提前出发；
②甲行驶的速度为；
③时，甲、乙两人相距；
④时，乙比甲多行驶．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2026·四川内江·一模）某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A 服装和2件B 服装，需元；购进3件A 服装和4件B服装，需元．
(1)A、B 两种服装的进货单价分别是多少？
(2)设A服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A 服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如下表：
销售单价x（元/件）
日销售量y（件）
请写出当时，y与x之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，设A 服装的日销售利润为元，当A服装的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
5．（2026·四川南充·一模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
(1)任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
(2)任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
6．（2026·四川成都·一模）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个．
(1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？
(3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？
7．（2026·四川巴中·一模）硕果压枝，果香扑鼻，又到黄桃丰收季，东山的黄桃在各地享有盛名．某水果店购进甲、乙两种黄桃进行销售，两种黄桃的进价和售价如下表所示
黄桃品种 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种黄桃 a 15
乙种黄桃 18
已知用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同．
(1)直接写出a的值为________；
(2)该水果店计划购进甲、乙两种黄桃共100千克，其中甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克．
①求销售完这两种黄桃的最大利润．
②为增加销售量，水果店让利销售，将乙种黄桃的售价每千克降低元，甲种黄桃的售价不变，为保证销售完这两种黄桃的利润的最小值不低于370元，求m的最大值．
1．（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，交直线于点，…顺次这样作下去，第2026个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C．4050 D．4052
2．（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川德阳·一模）正方形，，，，按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的纵坐标是_____．
1．（2026·四川成都·一模）已知正比例函数和反比例函数的图象相交于两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，则该反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川成都·一模）若点是反比例函数图象上一点，则点A位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．（2026·四川广元·一模）关于的反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．其图像经过点
B．其图像位于第二、四象限
C．若其图像经过，则
D．其图像所在的每一个象限内，随着的增大而减小
4．（2026·四川绵阳·一模）已知为反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点
C．图象在第二、四象限 D．若，则
5．（2026·四川成都·一模）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2026·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）．
7．（2026·四川成都·一模）已知，是反比例函数图象上的两点．若，则___________（填“”、“”或“”）
8．（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程：
(1)【基本操作】
第一步：对函数图象上的部分点列表如下：
… …
… …
求出表格中的值为_____．
第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．

(2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ．
(3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式．
(4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值．
1．（2026·四川绵阳·一模）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·四川成都·一模）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是___________．
3．（2026·四川成都·一模）如图，直线在第一象限交双曲线于两点，交轴于点，已知，连结．则的面积为_____．
4．（2026·四川成都·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F．
（1）______；
（2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为______．
5．（2026·四川内江·一模）已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象相交于点A（4，1），B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为（1，0），则△ACD的面积为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．5
1．（2026·四川南充·一模）如图，经过坐标原点的直线与双曲线分别在第一象限和第三象限相交于点A、B，轴，于点．若，点的横坐标为，则的值为______．
2．（2026·四川成都·一模）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（ ）
A．12 B． C．6 D．
3．（2026·四川内江·一模）如图，已知是一块含有角的直角三角板，点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，则k的值_____．
4．（2026·四川宜宾·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，点在轴上，满足，，则______．
5．（2026·四川·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为________．
6．（2026·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数 的图像上，则四边形的周长是______．
7．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点．若的面积为2，则k的值为______．

8．（2026·四川成都·一模）如图，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边上，且，四边形与四边形关于直线对称（点和A，点和B分别对应）．若，反比例函数的图象恰好经过，B，则k的值为_____．
9．（2026·四川成都·一模）如图，将反比例函数的图像绕点顺时针旋转 ，旋转后的图像与轴交于，若，则______．
10．（2026·四川成都·一模）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则的值为_________．
11．（2026·四川成都·一模）定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．
12．（2026·四川成都·一模）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是_____．
1．（2026·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，连接，．给出下面四个结论： ； ； ； ．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
2．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积；
(3)P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标．
3．（2026·四川泸州·一模）如图，直线与轴，轴分别交于两点，点在直线上，且位于第二象限，．过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于第三象限的点，连接，的面积为6．
(1)求值和点的坐标；
(2)如图，点是直线上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标．
4．（2026·四川南充·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求k的值； (2)求的面积； (3)直接写出时x的取值范围．
5．（2026·四川成都·一模）综合实践：由三角形面积到反比例函数一点小知识：在平面直角坐标系中，当三角形在的一个顶点位于坐标原点时，面积可以通过一个简洁的公式表示．若点，和，则的面积为；如图1，．
任务一：公式验证
（1）若点，，则的面积为 ；
任务二：对标函数
（2）如图2，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是6，求的值；
任务三：图形变换
（3）若点坐标为，点的坐标为，且的面积为1，将线段沿轴平移，、两点是否会同时落在某双曲线上，若能，直接写出此时、的值，若不能，请简要说明理由；
（4）如图3，已知点在第二象限，，、在射线上，的面积为，将反比例函数绕坐标原点顺时针旋转，刚好经过、两点，求线段的长度．
6．（2026·四川成都·一模）如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点．
(1)求反比例函数解析式及点B坐标；
(2)当的面积为8时，求此时P点坐标；
(3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
7.（2026·四川成都·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图象分别交于两点；其中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数位于第三象限的图象上有点；
当线段被轴分成两部分时，求线段的长度；
当点的横坐标和纵坐标相等时，作出点关于原点的对称点，在平面内是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2026·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数相交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点且在点C下方，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，若M为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点N，使得以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．
9．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点．
(1)连接，与一次函数的图象相交于点．
i）求点的坐标及的长；
ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值；
(2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点．
　　　　
(1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积；
(2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点．
①如图2，若，点的横坐标为1，求的长；
②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标．
12．（2026·四川成都·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标．
13．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；
(3)给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．
14．（2026·四川内江·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集．
(3)若直线与轴交于点轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．
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专题03 函数、一次函数与反比例函数
7大考点概览
考点01函数与动态几何问题 考点04反比例函数的图象与性质
考点02二次函数的性质与实际应用 考点05一次函数与反比例函数图象的交点问题
考点03一次函数与几何综合中的规律问题 考点06反比例函数与几何综合
考点07一次函数与反比例函数在几何综合中的应用（压轴）
1．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系内，点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解，掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：点到轴的距离为，
故选：．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积S与点运动的路程之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别判断出从点到点以及从点到点，的面积S与点运动的路程之间的函数关系，首先判断出从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：（）；然后判断出从点到点，的面积一定，进而判断出的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是哪一个即可．
【详解】解：从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：；
从点到点，的面积一定，为：，
所以的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是：
故选：B．
3．（2026·四川成都·一模）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得．
【详解】解：∵正方形的边长为，
，，
，
由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，
①当时，，
则；
②当时，，
则；
综上，与之间的函数关系式为，
根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
1．（2026·四川德阳·一模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ）
①函数图象经过点；
②图象不经过第二象限；
③当时，随的增大而增大．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，在应用一次函数的性质的时候，常常与函数的图象相结合，借助函数的图象叙述函数的性质可以更直接、更具体．根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足①，不满足②，满足①②③．
【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则随的增大而减小，不符合③，不符合题意；
B、在中，当时，，则该函数图象经过点，不符合①，不符合题意；
C、在中，一次项系数大于0，常数项大于0，则该函数图象经过第一、二、三象限，不符合②，不符合题意；
D、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，且随的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意；
故选：D．
2．（2026·四川泸州·一模）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所受拉力成正比．一根弹簧原长，挂上的钩码后长度为，挂上的钩码时，弹簧的长度为______．
【答案】
【分析】根据弹簧伸长的长度与所受拉力成正比例关系，设出正比例函数解析式，利用已知条件求出比例系数，再计算拉力为时的伸长量，最后加上弹簧原长得到所求弹簧长度．
【详解】解：设在弹性限度内，弹簧伸长的长度为，所受拉力为，
设，
由题意得，当时，，
∴，解得，
∴，
当时，，
则弹簧的长度为．
3．（2026·四川成都·一模）两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论：
①乙比甲提前出发；
②甲行驶的速度为；
③时，甲、乙两人相距；
④时，乙比甲多行驶．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可．
本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键．
【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发，故①正确；
甲个小时行驶了，
故甲的速度为，故②正确；
设甲的解析式为，
根据题意得：，
解得：，
所以，
设乙的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故乙的解析式为，
当时，，，
故，
时，甲、乙两人相距，故③错误；
当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得：，
解得；
当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得，
解得：；
故或时，乙比甲多行驶．故④正确；
综上，正确的有3个．
故选：C．
4．（2026·四川内江·一模）某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A 服装和2件B 服装，需元；购进3件A 服装和4件B服装，需元．
(1)A、B 两种服装的进货单价分别是多少？
(2)设A服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A 服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如下表：
销售单价x（元/件）
日销售量y（件）
请写出当时，y与x之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，设A 服装的日销售利润为元，当A服装的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件；
(2)y与x之间的函数关系式为；
(3)当A服装的销售单价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
（1）设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解∶设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件
由题意得： ，
解得 ，
∴A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件；
（2）解：设y与x之间的函数关系式为，将，代入得∶
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意得∶
∴当时，取得最大值，
∴当A服装的销售单价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元．
5．（2026·四川南充·一模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
(1)任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
(2)任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
【答案】(1)
，自变量取值范围为；
(2)
最大日销售利润为8600元．
【分析】（1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可；
（2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，
解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图像开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
答：最大日销售利润为8600元．
6．（2026·四川成都·一模）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个．
(1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？
(3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？
【答案】(1) (2) (3)
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用．
（1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可；
（2）根据题意可知利润为，根据获得利润8000元，列出方程，解方程即可；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，取得最大值，求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，
∴，
∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元，
∴，
∴．
即，其中．
（2）根据题意，得，
解得，
，
；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，
的对称轴为直线，
，
，
当时，随的增大而增大，
时，取得最大值，
，
解得．
7．（2026·四川巴中·一模）硕果压枝，果香扑鼻，又到黄桃丰收季，东山的黄桃在各地享有盛名．某水果店购进甲、乙两种黄桃进行销售，两种黄桃的进价和售价如下表所示
黄桃品种 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种黄桃 a 15
乙种黄桃 18
已知用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同．
(1)直接写出a的值为________；
(2)该水果店计划购进甲、乙两种黄桃共100千克，其中甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克．
①求销售完这两种黄桃的最大利润．
②为增加销售量，水果店让利销售，将乙种黄桃的售价每千克降低元，甲种黄桃的售价不变，为保证销售完这两种黄桃的利润的最小值不低于370元，求m的最大值．
【答案】(1)10
(2)570元；
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同列出分式方程求解即可；
（2）①设购进甲种黄桃x千克，利润为W，由题意得y关于x的一次函数，利用一次函数的性质即可求解；②由题意得， ，则当，W最小，最小值为，再根据利润不低于370元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
（2）解：①设购进甲种黄桃x千克，利润为W，
∵甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克，
∴，
由题意得，
，
∵，
∴W随x增大而减小，
∴当，W最大，最大值为，
∴销售完这两种黄桃的最大利润为570元；
②设购进甲种黄桃x千克，利润为W，
∵甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克，
∴，
由题意得，
，
∵，
∴
∴W随x增大而增大，
∴当，W最小，最小值为，
∴，
∴
∴m的最大值为．
1．（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，交直线于点，…顺次这样作下去，第2026个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C．4050 D．4052
【答案】B
【分析】延长交x轴于D，交x轴于E，根据等边三角形的性质得，，，直线b的解析式为，得，由直线a的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2026个等边三角形的边长．
【详解】解：延长交x轴于D，交x轴于E，
∵，，均为等边三角形，
∴，，，
∵直线b的解析式为：，
∴，
对于直线a，，当时，，
∴点A的坐标为，
∴，
在中，，，
∴，，
∴点B的坐标为，
对于，当时，，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
∴点的坐标为，
对于，当时，，
∴，
∴，
同理得：，……，
以此类推，第n个等边三角形的边长为，
∴第2026个等边三角形的边长为．
故选：B．
2．（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形、正方形、作正方形的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果．
【详解】解：∵直线l为正比例函数的图象，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
由题意得、是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∴，
∴正方形的面积，
同理，，
∴正方形的面积， … ，
由规律可知，正方形的面积，
故选：C．
3．（2026·四川德阳·一模）正方形，，，，按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的纵坐标是_____．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标规律；利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律：点的纵坐标为，再代入即可得出结论．
【详解】解：作轴于，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
四边形为正方形，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为，
当时，，
点的坐标为．
同理，点的纵坐标为．
同理，可知：点的坐标为，
点的纵坐标为．
，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为．
故答案为：．
1．（2026·四川成都·一模）已知正比例函数和反比例函数的图象相交于两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，则该反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性．
根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，得出A，B两点的坐标，进而求出k的值．
【详解】解：设反比例函数为，
∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称．
又∵点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，
∴点A的纵坐标是，点B的横坐标是．
∴，．
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即．
故选：B．
2．（2026·四川成都·一模）若点是反比例函数图象上一点，则点A位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义及各象限上的点的坐标特点．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点是反比例函数，求出的值，再根据点的特征即可判断．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
∴，
∵横坐标，纵坐标，
∴点A在第三象限．
故选：C．
3．（2026·四川广元·一模）关于的反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．其图像经过点
B．其图像位于第二、四象限
C．若其图像经过，则
D．其图像所在的每一个象限内，随着的增大而减小
【答案】D
【详解】解：A、∵反比例函数解析式为，把代入解析式得，
∴图象不经过点，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴图象位于第一，三象限，故此选项不符合题意；
C、∵图象经过点，
∴，整理得，解得或，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴在图象的每一个象限内，随着的增大而减小，故此选项符合题意．
4．（2026·四川绵阳·一模）已知为反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点
C．图象在第二、四象限 D．若，则
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐一判断即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：A、，每个象限内，随增大而增大，说法错误，故选项符合题意；
B、图象必经过点，说法正确，故选项不符合题意；
C、，双曲线的两支分别位于第二、四象限，说法正确，故选项不符合题意；
D、若，则，说法正确，故选项不符合题意；
故选：A．
5．（2026·四川成都·一模）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好相关知识是关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，先求出的值，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点
∴，
∵反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于，
∴对各选项逐一验证：
对于A选项：，不在图象上，
对于B选项：，不在图象上，
对于C选项：，不在图象上，
对于D选项：，在图象上．
故选：D．
6．（2026·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性．
由反比例函数的增减性求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴反比例函数在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
∵点，横坐标，，，
∴点在第三象限，点和在第一象限，
∴，，．
又∵在第一象限内，随的增大而减小，且，
∴．
综上所述，．
故答案为：．
7．（2026·四川成都·一模）已知，是反比例函数图象上的两点．若，则___________（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：，
反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限随的增大而增大，
，
，
故答案为：．
8．（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程：
(1)【基本操作】
第一步：对函数图象上的部分点列表如下：
… …
… …
求出表格中的值为_____．
第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．

(2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ．
(3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式．
(4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值．
【答案】(1)，图见解析
(2)向右平移3个单位长度得到；．
(3)对称中心为，对称轴为直线和直线；
(4)或
【分析】（1）将代入函数表达式，求出的值，并用描点法画出函数图象；
（2）对比两个函数的图象，得出平移过程，并按照这个平移方式，写出平移后的函数解析式即可；
（3）根据的对称中心坐标和对称轴的解析式，结合平移过程，得出的对称中心坐标和对称轴的解析式；
（4）联立直线和双曲线，得到关于的一元二次方程，由交点个数为推断出判别式为，得到关于于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴，
函数图象如图所示：
（2）解：观察两个函数的图象可知，
函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到；
将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，则平移后新函数的解析式为．
故答案为：向右平移3个单位长度；．
（3）解：∵的对称中心为，对称轴为直线，
又∵函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到，
∴的对称中心为，对称轴为直线和直线；
（4）解：当直线与双曲线相交时，
，
化简，得，
∵直线与双曲线只有一个交点，
∴判别式，
化简，得，
解得或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，画函数图象，函数平移问题，一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键．
1．（2026·四川绵阳·一模）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，根据题意分以下两种情况讨论，①当时，②当时，利用一次函数与反比例函数图象的性质进行分析判断即可解题．
【详解】解：当时，过一、三象限，且过一、三、四象限，故A图象正确，符合题意，C、D错误，不符合题意；
当时，过二、四象限，且过一、二、四象限，故B错误，不符合题意．
故选：A．
2．（2026·四川成都·一模）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是___________．
【答案】或
【分析】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点B的横坐标是解题关键．根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当时，x的取值范围为或．
【详解】解：∵正比例函数的图像与反比例函数的图像都关于原点对称，则两函数的交点也关于原点对称，
∵点的横坐标为，
∴点B的横坐标为1，
根据函数图象可得：当时，或．
故答案为：或．
3．（2026·四川成都·一模）如图，直线在第一象限交双曲线于两点，交轴于点，已知，连结．则的面积为_____．
【答案】12
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了相似三角形的判定和性质，反比例图象上点的坐标特征．作轴于D，轴于E，则，得到，设A点坐标为，则B点坐标为，利用，得到，于是可求得．
【详解】解：连接，作轴于D，轴于E，则，
∴，
∵，
∴，
设A点坐标为，则B点坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：12．
4．（2026·四川成都·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F．
（1）______；
（2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为______．
【答案】
【分析】（1）先求出直线的解析式为，然后求出点C的坐标为，再求出即可；
（2）设点，且，求出，设直线的函数表达式为，求出，得出点，延长交y轴于点N，易知轴，求出，求出，再根据二次函数的最值，求出结果即可．
【详解】解：（1）将点代入，得，
解得，
，
当时，得，
点，
将点代入，得，
解得．
故答案为：．
（2）轴，，
轴，
由题可知点H，E的横坐标为，反比例函数，
设点，且，
，
，
设直线的函数表达式为，将点代入得：，
当时，，
点，
延长交y轴于点N，易知轴，
，
，
，
当时，取得最大值，此时．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，二次函数的综合应用，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，求出．
5．（2026·四川内江·一模）已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象相交于点A（4，1），B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为（1，0），则△ACD的面积为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．5
【答案】D
【分析】先求出反比例函数和一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标；然后由S△ACD=S梯形AEOC-S△COD-S△DEA进行解答．
【详解】解：∵点A（4，1）在反比例函数y＝上，
∴m＝xy＝4×1＝4，
∴y＝．
把B（a，2）代入y＝得
2＝，
∴a＝2，
∴B（2，2）．
∵把A（4，1），B（2，2）代入y＝kx+b
∴，解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在直线上，
∴当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）
过A作AE⊥x轴于E．
∴S△ACD＝S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA＝．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，三角形的面积，正确的识图是解题的关键．
1．（2026·四川南充·一模）如图，经过坐标原点的直线与双曲线分别在第一象限和第三象限相交于点A、B，轴，于点．若，点的横坐标为，则的值为______．
【答案】5
【分析】由点，直线过原点，得与关于原点对称，即．由轴、，得．计算、，由列方程，可得，代入中即可计算．
【详解】解：∵点在双曲线上，横坐标为，
∴，
由题意得，过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴的横坐标与相同，为；
∵，
∴C的纵坐标与相同，为，即，
∴；，
∵，
∴
∴，
将代入，得
．
【点睛】本题核心是反比例函数的中心对称性与整体代换思想，利用对称求坐标，列方程得到，整体代入求值，避免求解，简化计算．
2．（2026·四川成都·一模）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答．
【详解】解：∵轴，的面积为6，
∴，
由题意，
∴．
故选：B．
3．（2026·四川内江·一模）如图，已知是一块含有角的直角三角板，点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，则k的值_____．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
由是一块含有角的直角三角板可得，如图：过点A作轴于C，过点B作轴于D，证明可得，设，则；根据反比例函数图象上点的坐标特征得，据此求解即可．
【详解】解：∵是一块含有角的直角三角板，
∴，
∴，
如图：过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（2026·四川宜宾·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，点在轴上，满足，，则______．
【答案】
【分析】可分别过点和点作轴垂线，垂足为和，再过点作垂线，垂足为，交于点，先证明，再证明，最终用表示出，在中用勾股定理解决问题．
【详解】解：如图，分别过点和点作轴垂线，垂足为和，再过点作垂线，垂足为，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
又∵，两点在上，
∴，
∴，
∴，，
即，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
5．（2026·四川·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为________．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握直角三角形的性质以及相似性质的应用、折叠的性质是解题的关键．先过点作轴于，作轴于，构造矩形，再根据折叠的性质求得，，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得与的长，得出点的坐标，最后计算反比例函数解析式即可．
【详解】解：过点作轴于，作轴于，则，，
，，
，，
，
连接交于点，
根据翻折性质可知：．，
，
．
．
在和中，，，
，
，
即：，
，．
点在第二象限，
，
点在双曲线上，
，
故答案为：．
6．（2026·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数 的图像上，则四边形的周长是______．
【答案】20
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
作轴，垂足为，设点坐标为，根据条件列出关于的方程，解出值，再利用勾股定理求出，根据菱形性质求出菱形的周长即可．
【详解】解：如图，作轴，垂足为，
设点坐标为，
，
∴，整理得，
解得或（舍去），
，
，
∴四边形的周长为，
故答案为： 20 ．
7．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点．若的面积为2，则k的值为______．

【答案】
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义及其基本模型计算即可．
【详解】∵反比例函数和，
∴，，
∴，
，
反比例函数图象位于第二象限，
，
，
故答案为：．
8．（2026·四川成都·一模）如图，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边上，且，四边形与四边形关于直线对称（点和A，点和B分别对应）．若，反比例函数的图象恰好经过，B，则k的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形．
设，得到，根据轴对称的性质得到，，求得，过作于，解直角三角形得到，根据反比例函数的图象恰好经过点，列方程即可得到结论．
【详解】解：四边形是矩形，，
设，
，
四边形与四边形关于直线对称，
，，
，
过作于，
，，
∴，
反比例函数的图象恰好经过点，，
，
，（舍去）
．
故答案为：．
9．（2026·四川成都·一模）如图，将反比例函数的图像绕点顺时针旋转 ，旋转后的图像与轴交于，若，则______．
【答案】
【分析】作出点 旋转前的对应点，根据旋转的性质可得，，过点作 轴于点，根据得出，根据勾股定理求出，即可得出点的坐标，再用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，作出点 旋转前的对应点，，
∵，
∴，
∴，
过点作轴于点，
∵，即 ，
∴，
在 中，根据勾股定理可得：，
∴，
解得： ，负值舍去，
∴，
∴
把代入，得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心连线相等，所成的夹角等于旋转角，勾股定理，以及用待定系数法求解函数表达式的方法．
10．（2026·四川成都·一模）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵轴，
与的面积相等，
即．
又，
∴
解得：，
∵反比例函数的图象在第二象限，
，
故答案为：．
11．（2026·四川成都·一模）定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．
【答案】或
【分析】本题主要考查了反比例函数的图形变换、一次函数解析式的求解，以及函数图象交点的分析．先根据“位图形”的定义，推导双曲线的“位图形”为双曲线 ；再分析的边()，通过联立双曲线与边的直线方程，分和，结合“交点个数”的临界情况(如双曲线过顶点、与边相切)求出关键值；最后根据“有两个交点”的条件，确定的取值范目．
【详解】解：设双曲线上任意一点为，则，
将横、纵坐标分别乘以，得到对应点，
令，，则，代入得：
，即，
边： 设解析式为，代入得：
，解得，
∴边解析式为，
同理，得：边：从到，解析式为；
边：从到，解析式为；
情况一：
双曲线的“位图形”在第一象限，
∴联立方程，得，
整理，得，
∴，
解得：，
情况二：，
∴“k位图形”的点在第三象限,
∵点，
将点的坐标代入“位图形”中，
∴得到一个关于的方程，
解得：或（舍去），
∵“位图形”与的边有两个交点，
结合前面求出的两个临界值：当时，“位图形”经过点，与的边有两个交点；
∴，
当时，“位图形”与直线相切，也只有一个交点
∴与的边有两个交点，
故答案为：或．
12．（2026·四川成都·一模）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是_____．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图像的性质，中点坐标的计算，几何图形面积的计算是关键．
根据反比例函数图像的性质设，由中点坐标的计算得到点的横坐标为，，，设，则，再结合中点坐标的计算得到，，，用含的式子表示出与的面积，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点，
∴设，
∵的顶点在轴正半轴上，
∴，点的横坐标为0，
∵，即，
∴，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标均为，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
设，则，
∴，且的中点，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
∴，，
∴则与的面积比是，
故答案为：．
1．（2026·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，连接，．给出下面四个结论： ； ； ； ．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
【答案】
【分析】①设点，点，则，，，，进而得，，由此得，，据此可对结论进行判断；证明四边形是矩形，得，进而得，结合得，由此可判定和不相似，据此可对结论进行判断；根据三角形的面积公式得，，由结论正确得，则，由此得，据此可对结论进行判断；连接，在和中，根据，，得和相似，进而得，再根据，，则四边形和四边形都是平行四边形，由此得，，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案.
【详解】解：∵点，在函数的图象上，
∴设点的坐标为，点的坐标为，
∵轴于点，过点作轴于点，与交于点，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，故结论正确；
∵轴于点，过点作轴于点，与交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由结论正确得：，
∴，
∴和不相似，故结论不正确；
∵，
∴，，
由结论正确得，
∴，
∴，
∴，即，故结论正确；
连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
由结论正确得，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵轴于点，轴于点，
∴，，
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴，故结论正确，
综上所述：正确的结论的序号是．
2．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积；
(3)P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）解方程组求得，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得直线的解析式为，解方程组得到，则直线的解析式为，于是得到P．
【详解】（1）解：令，则，
∴点A的坐标为，
将代入得，，
∴，
∴，
将代入反比例函数表达式得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线与x轴交于N，
把代入得：，
解得：，
∴，
令，
解得：（舍去）或，
把代入得：，
∴，
∴．
（3）解：设直线l与y轴交于M，过点B作轴于点K，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设直线l的表达式为：，把，代入得：
，
解得：，
则直线l的解析式为，
∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
令，
解得：（舍去）或，
∴，
画出图形如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴直线与直线的一次项系数相等，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点D在直线与双曲线的另一个交点，
则联立两个函数表达式得：，
解得：（不合题意的值已舍去）
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立上式和直线l的表达式得：，
解得：，
把代入得：，
则点．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
3．（2026·四川泸州·一模）如图，直线与轴，轴分别交于两点，点在直线上，且位于第二象限，．过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于第三象限的点，连接，的面积为6．
(1)求值和点的坐标；
(2)如图，点是直线上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标．
【答案】(1)，点的坐标为，
(2)点的坐标为或．
【分析】（1）作于点，证明，得到，，由三角形面积公式求得，得到点的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求得，再利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于两点，
∴，，
作于点，
∵轴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵的面积为6，
∴，
解得，
∵点位于第三象限，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴，
解得或 ，
当时，；
当时，；
∴点的坐标为或．
4．（2026·四川南充·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题．
（1）把，代入一次函数，得到，即，再把代入反比例函数即可求k；
（2）把代入一次函数，得到；一次函数的图象与y轴交于点C，求出，再根据求解即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
解得．
．
把代入，得：，解得；
（2）解：一次函数的图象过，
，解得．
．
一次函数的图象与y轴交于点C，
．
．
．
（3）解：由图象得，当时，x的取值范围是或．
5．（2026·四川成都·一模）综合实践：由三角形面积到反比例函数一点小知识：在平面直角坐标系中，当三角形在的一个顶点位于坐标原点时，面积可以通过一个简洁的公式表示．若点，和，则的面积为；如图1，．
任务一：公式验证
（1）若点，，则的面积为 ；
任务二：对标函数
（2）如图2，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是6，求的值；
任务三：图形变换
（3）若点坐标为，点的坐标为，且的面积为1，将线段沿轴平移，、两点是否会同时落在某双曲线上，若能，直接写出此时、的值，若不能，请简要说明理由；
（4）如图3，已知点在第二象限，，、在射线上，的面积为，将反比例函数绕坐标原点顺时针旋转，刚好经过、两点，求线段的长度．
【答案】（1）4；（2）8；（3）能，，；（4）
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的交点，旋转变换的性质，熟练运用待定系数法和旋转变换的性质是解题关键．
（1）运用题目给出的公式即可求得答案；
（2）根据题意得出A、B的坐标，再运用题目给出的公式即可求得答案；
（3）根据的面积为1，列方程求得或1，则或（舍去），进而可得，即可求得；
（4）将逆时针旋转得到，设射线交y轴于E，交双曲线于，连接，则，，利用待定系数法可得出的解析式，设的横坐标分别为c、d，由的面积为，可得出，再将点的坐标代入的解析式，求得d的值，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵点，
∴，
故答案为：4；
（2）如图，
由题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，且的面积为1，
∴，
解得：或1，
∴或，
设线段沿x轴平移s个单位，
当时，，
若P、Q两点会同时落在某双曲线上，
则，
解得：，即线段沿x轴向左平移7个单位，
∴，
∴；
当时，沿x轴平移后在x轴上，不可能落在双曲线上，
综上，；
（4）如图，将逆时针旋转得到，设射线交y轴于E，交双曲线于，连接，
则，，，
设，且，
∵点在第二象限，
∴，且与x轴负半轴夹角为，
∴点在x轴负半轴上，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的解析式为，则，
∴，
∴的解析式为，
∵的面积为，
∴，
整理得：，
∵，
，
设，则，
解得：，，经检验是原方程的解，
，
，
，
，
把，代入的解析式，
，
解得：，
，
，
，
，
∴线段的长度为．
6．（2026·四川成都·一模）如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点．
(1)求反比例函数解析式及点B坐标；
(2)当的面积为8时，求此时P点坐标；
(3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，求出a的值后，再代入反比例函数的解析式，求出k的值；
（2）过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为，则点G的坐标为．将转化为和，根据列方程并求解出t的值，从而得出点P的坐标；
（3）过点A作的平行线，交x轴于点H，连接，容易证出，，则，．在直角中，使用勾股定理可以得到与的关系．
【详解】（1）解：将点代入直线，得，
解得，
∴点A坐标为，
∵反比例函数的图象与直线都关于原点对称，
∴点A和点B也关于原点对称，
∴点B坐标为，
将点代入反比例函数，得，
解得，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：如图过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为，
∵轴，
∴，
∴点G的坐标为，
∴，
点到的距离为，点到的距离为，
∴，
∵，
∴，即，
当时，
化简，得，
因式分解，得，
∴或（负值舍去）；
当时，
化简，得，
因式分解，得，
∴或（负值舍去）；
综上所述，或9，则点P的坐标为或．
（3）解：为定值，理由如下：
如图，过点A作的平行线，交x轴于点H，连接，
∵点A和点B关于原点对称，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
在直角中，，
∴,
∴为定值．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，直线围成的三角形面积问题，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握一次函数的解析式是解题关键．
7.（2026·四川成都·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图象分别交于两点；其中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数位于第三象限的图象上有点；
当线段被轴分成两部分时，求线段的长度；
当点的横坐标和纵坐标相等时，作出点关于原点的对称点，在平面内是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为；
(2)线段的长度为或； 或．
【分析】（）先求出点坐标，再求反比例函数表达式即可得解；
（）记与轴交于点，过作轴于点，过作轴于点，则 或，据此可得点坐标，进而求解即可；
易得，，从而可得，，，根据相似可得，再用两点距离公式求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
将代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：①如图，记与轴交于点，过作轴于点，过作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵线段被轴分成两部分，
∴或，
∴或，
∴或，
联立得，
解得或（点坐标，重合），
∴，
当点时，则；
当点时，则；
∴线段的长度为或；
如图，
∵点的横坐标和纵坐标相等，且在第三象限图象上，
∴，
∵点关于原点的对称点为点，
∴，
由各点坐标可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
，
解得或，
∴或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，原点对称，反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．（2026·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数相交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点且在点C下方，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，若M为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点N，使得以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为
(2)
(3)点的横坐标为或
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，矩形的性质，两点的距离公式等知识，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键．
（1）由题意求得相应点坐标，再运用待定系数法求出函数表达式即可；
（2）添加辅助线，证明，结合以及点的坐标，求出点、的坐标，最后依据面积公式计算可得出的面积；
（3）根据题意进行分类讨论，当为矩形边或对角线时，根据两点距离公式以及中点坐标公式列方程即可解得点的横坐标．
【详解】（1）解：∵点在一次函数上，
代入得，解得，
故一次函数表达式为，
∵点在一次函数上，
代入得，解得，
故点的坐标为，
又∵点在反比例函数上，
代入得，解得，
∴反比例函数的表达式为，
综上，一次函数表达式为，反比例函数表达式为．
（2）解：过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，结合，
可得，
∵点的坐标为，即，
解得，故点的纵坐标为，
∵点在反比例函数上，
即，解得，故点的坐标为，
∴，结合，解出，故点的坐标为，
∴．
（3）解：由（1）中可知，，
可知点，，
令点，，
分类讨论：
①当为边时，对角线为，且、互相平分，即的中点与的中点重合，结合线段中点表达式，得出下列方程：
得，
解得，
∴点的横坐标为；
②当为对角线时，对角线为，且、互相平分：
得，
解得或
∴点的横坐标为或（不符合题意，舍去）；
③当为边时，对角线为，且、互相平分：
得，
解得，
∴点的横坐标为（不符合题意，舍去）；
综上所述，点的横坐标为或．
9．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点．
(1)连接，与一次函数的图象相交于点．
i）求点的坐标及的长；
ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值；
(2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的长为，；
(2)满足条件的点的坐标为或．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点．
（）①先利用点和的坐标求出直线的解析式为，再将其与一次函数联立，解方程组得到交点的坐标为，最后通过两点间距离公式计算出的长度即可；②先根据四边形是矩形的性质，得出且；再由直线的解析式推出直线的解析式为，将其与反比例函数联立求解，结合点在直线上方的条件确定的坐标；最后通过两点间距离公式求出的长度即可；
（）先利用直线的表达式结合反比例函数设出点的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点作点)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得坐标)，推导与的数量关系；接着分点在直线下方和上方两种情况，结合对称性(直线与反比例函数关于对称，点在上)，通过坐标关系(如)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定满足条件的点的坐标．
【详解】（1）解：(i)设直线的解析式为，
∵点的坐标为，代入解析式，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立与一次函数，得
，
解得，
所以点的坐标为，
∴的长为，
(ii)如图，
∵四边形是矩形，
∴， ，
∵直线的表达式为，
∴设直线的表达式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
联立，
解得或，
∵点在直线的上方，
∴点的坐标为，
∴，
∴；
（2）解：存在点使得为等边三角形，
理由如下：设直线为直线，
令得，，令得，，
∴，，
∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰，
∴直线与轴夹角为，
∵直线的解析式为，
∴直线是两坐标轴的夹角平分线，
∴，，
过点作点，
∴，
设点，设直线的表达式为，
∴，
联立，
解得，
∴，
则，
∴，即，
①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点，
∴，
∴在中，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴点即为点，
∵是等边三角形，轴，
∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即，
∴设，则，
∵点在双曲线上，
∴，
解得(舍去)，
∴，
②当点在直线上方时，
∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上，
∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意，
如图，连，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标，
∴将代入中得，
∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
10．（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)M点的坐标为或
(3)Q点坐标为
【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式；
（2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标；
（3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点A、B代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
∵直线与反比例函数交于C点，
∴A、C关于原点对称，
∴，
∴O是的中点，
∵的面积为8，
∴的面积，
设，
∴的面积，
当时，解得，
∴；
当时，解得，
∴；
综上所述：M点的坐标为或；
（3）解：存在点Q，理由如下：
设，，
当为对角线时，，
解得，
∴；
当为对角线时，，无解；
当为对角线时，，
解得，
∴；
点在反比例函数的图象的右支上，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
11．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点．
　　　　
(1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积；
(2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点．
①如图2，若，点的横坐标为1，求的长；
②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）先由直线解析式求出点C坐标，进而得到的长度，再通过联立直线和反比例解析式求出点A坐标，最后由求出答案；
（2）①通过作辅助线得到及，结合建立关于的方程求出即可；②先设A点坐标为，B点坐标为，然后根据题意求出直线及的解析式，得出，进而根据直角三角形的性质证得，得到到，再根据轴对称和直角三角形的性质得出．点和点D关于对称，过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S，证明，再证明，得到，即，即可解答．
【详解】（1）解：对于直线，令，则，
解得：，
∴点C坐标为，则，
联立，
解得或．
∴，
∴；
（2）解：①过点A、B、D向x轴作垂线，垂足分别为P、Q、H，
由题意得：点A和点D关于原点O对称，
∴．
根据作图可得．
由平行线分线段成比例得：，，
∵，
∴，
∴，
根据反比例函数的性质，，则．
∴，
∴．
②过点B作x轴的垂线，再过点A、D作直线的垂线，垂足分别为G、H，连接．直线和分别与y轴交于P，Q，直线l与x轴交于点K，设直线与直线交点为，
设点坐标为，B点坐标为，则点D坐标为，
∴点G坐标为，点H坐标为，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为：；
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为；
设直线的解析式为，则，解得：，
直线解析式为；
∴，
∴，
∴，
又∵O是的中点，
∴，
∴，即点T是的中点，
∵，则，
∴是直角三角形，且为斜边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
将代入，则，
∴，
将代入，则，
∴，
∵．
∴点B在线段的中垂线上，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵ ，，点关于直线的对称点为，
∴，
∴点和点D关于对称，
过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
把点及代入解析式得：，
整理得：，则．
故点A的横坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，轴对称图形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，求出两点横坐标的关系及直线和直线关于对称是解答本题的关键．
12．（2026·四川成都·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，三角形面积，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质及平行四边形的判定和性质是解题关键．
（1）运用待定系数法求得反比例函数和一次函数的表达式，联立方程组求解即可求得点B的坐标；
（2）设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，运用三角形面积公式可得：，，据题意建立方程求解即可求得答案；
（3）设，分两种情况：当点Q在第一象限时，当点Q在第三象限时，再运用平行四边形的判定和性质即可求得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：
∵一次函数的图象经过点
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
联立反比例函数和一次函数解析式得，，
解得：，
∴；
（2）解：由题意得，在第一象限中关于x轴对称的新比例函数解析式为，
设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，

∵，
∴设直线解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴点P的坐标为；
（3）解：设，
当点在第一象限时，如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，即与的中点重合
∴，
解得：，
∴；
当点在第三象限时，如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，即与的中点重合
∴，
解得：
∴
综上所述：点的坐标为或．
13．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；
(3)给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)2
(3)点M的坐标为或或
【分析】（1）由直线求出点的坐标，过点作轴于点，由的面积为1可求出，把代入得，求出点A坐标，代入，求出即可；
（2）联立方程组可得，，进而可得，直线的解析式为将直线向下平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，过点B作交y轴于E，则，再由相似三角形性质即可求得答案；
（3）运用新定义“直角等补形”，分两种情况：当时，当时，分别求得点M的坐标．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴，
∴,
过点作轴于点，如图，
∵的面积为1，
∴,
∴即点的横坐标为2，
把代入得，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立方程组得，
解得：，，
∴，，
∵P是线段的中点，
∴，
∴直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，如图，
过点B作交y轴于E，则，
∵点P是的中点，
∴，
∵直线向下平移b个单位将的面积分成两部分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，代入，
得；
（3）解：根据“四边形是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角，
当时，如图，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交于点K，交y轴于L，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，过点B作轴于L，则 ，
∴，
∴，
∴，
∵此时四边形是圆内接四边形，为直径，
∴根据圆的对称性有，即两组邻边相等，不符合题意；
当时，如图，过点A作轴，过点B作，轴于E，过点N作，轴于F，设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去），
∴；
当时，如图，过点M作轴，过点B作，过点N作，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当时，设，
如图，过点M作轴，过点B作轴于G，过点A作于D，过点N作于F，过点A作于E，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴①，
同理，，
∴，即，
∴②，
∴，
整理得：③，
∵，
∴，
整理得：④，
联立③④，得：，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述，点M的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、相似三角形的判定和性质、待定系数法、勾股定理等知识，熟练掌握新定义“直角等补形是解题的关键．
14．（2026·四川内江·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集．
(3)若直线与轴交于点轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把点代入得到一次函数的解析式为：；
（2）当时，得到，设，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：把点代入得，，
，
∴反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由一次函数图象与反比例函数图象可知，不等式的解集，即的解集为：或
（3）解：轴上存在一点，使；
当时，，
解得：，
，
设，
或，
或．
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