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专题04 三角形及解直角三角形的应用
9大考点概览
考点01求三角形中的角度问题 考点06相似三角形的实际应用
考点02求三角形中的线段长或比例 考点07黄金分割
考点03三角形中的面积问题 考点08证明与求解综合
考点04三角形基本性质应用 考点09三角形中的最值问题
考点05解直角三角形及其应用
1．（2026·四川南充·一模）如图，直线，点A、B分别在直线n、m上，连接，过点作，交直线于．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】平行线的性质和直角三角形的性质．根据垂直定义得到，利用平行线性质“两直线平行，内错角相等”得到，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
2．（2026·四川绵阳·一模）将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板．先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
故选：D．
3．（2026·四川内江·一模）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
，
根据题意，得，，
∴，
∵直尺对边互相平行，
∴．
4．（2026·四川南充·一模）将一副三角板按如图所示的方法摆放，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中的度数为（ ）
A．C B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的外角性质结合三角板的度数求解即可．
【详解】解：如图，，，，
∴，
∴，
故选C
5．（2026·四川绵阳·一模）一副直角三角板（一个含有角，一个含有角）按如图所示摆放，若直线，则的度数为_______．
【答案】/15度
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；
先根据平行线的性质得到，再根据三角形外角性质进行计算即可．
【详解】解：如图所示，延长一直角边交直线a于一点，
∵
∴
由三角形外角性质，可得
∴
故答案为：．
6．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度．
【答案】
【分析】由三角形外角的定义的得出，结合，得求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
又，
故，
，
．
7．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则______．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质．如图，由题意易得，，，则有，进而问题可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得垂直平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
8．（2026·四川成都·一模）如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______．
【答案】/30度
【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线），也考查了线段垂直平分线的性质，先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和计算出，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
1．（2026·四川遂宁·一模）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：，，
，，
，
，
．
故选：B．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是______．
【答案】3
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意得：，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
根据两个三角形相似，对应边上的高的比等于相似比可知：，
∴；
故答案为：．
3．（2026·四川遂宁·一模）如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴；
故选C．
4．（2025·四川达州·一模）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）

A．21 B．14 C．13 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
5．（2026·四川泸州·一模）如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，重心的定义，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得都是的中线，则由三角形中位线定理可得，证明得到，设，则，设，则，证明求出a与b的关系即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴都是的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
6．（2019·四川凉山·一模）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】B
【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．
【详解】解：如图，过O作，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又，
设，又，
，
故选B．
【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
7．（2026·四川泸州·一模）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则的长度为（ ）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据折叠的性质，先求出的面积，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：，
，
，
由翻折可知，≌，，
，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（2026·四川泸州·一模）如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】首先由等边三角形的性质得到，，然后由求出，，由折叠得，，证明出，得到，进而求解即可．
此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】∵等边的边长为6
∴，
∴
∵
∴，
由折叠得，
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴．
故选：C．
9．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为的中点，平分，交，于点E，F，则_____________．
【答案】
【分析】过点作，，过点作交于点，设，则，，利用角平分线的性质和面积公式求得，根据和，计算出即可解答．
【详解】解：如图，过点作，，过点作交于点，
，D为的中点，
，
设，则，，
可得，
，
平分，，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
10．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______．
【答案】或
【分析】当时，过点Ｆ作于点Ｍ，设，则，得到；设，则，则，求解即可．
【详解】解：，，
，
沿折叠，点B的对应点为F，
，，
为等腰三角形，
当时，
，
，
过点Ｆ作于点Ｍ，
，
，
，
，
设，则，
则，
根据题意，得，
，
解得；
当时，
，
，
，
，
设，则，
则，
，
解得；
1．（2026·四川遂宁·一模）如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．其中点处的读数分别为，已知直尺宽为2，则为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
根据题意得到，，可得相似比为，设点到的高为，点到的高为，直尺宽为2，则，由三角形面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∴，
∵点处的读数分别为，
∴，
∴相似比为，
设点到的高为，点到的高为，直尺宽为2，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故选：B ．
2．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．
证明，再结合平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2026·四川泸州·一模）如图，已知△ABC，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P；
③作射线AP交BC于点D；
④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，H；
⑤作直线GH分别交AC，AB于点E，F．若AF＝3，CE＝1，则△ACD的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，连接DE，EF交AD于O点，如图，根据线段垂直平分线的性质得到EA=ED，AO⊥EF，再证明△AOF≌△AOE得到AF=AE=3，则DE=3，然后利用勾股定理计算出CD，最后利用三角形面积公式计算．
【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
连接DE，EF交AD于O点，如图，
∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，AO⊥EF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
在△AOF和△AOE中，
，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AF=AE=3，
∴DE=3，
在Rt△CDE中，CD=，
∴△ACD的面积=．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
4．（2026·四川绵阳·一模）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，，进而得到，再结合对称性即可求解．
【详解】解：连接，
图形由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，
，
，
又，
，
，，
，
又空白部分面积为，
则图中阴影部分与空白部分面积之比为．
5．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的面积是__________．
【答案】42
【分析】连接，过点B作于点M，过点B作于点E，用等面积法求出，再用勾股定理求出和的长度，证明，，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点B作于点M，过点B作于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
在中，，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∵沿翻折，得到，
∴ ，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：42．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用等面积法求出三角形的高，正确画出辅助线，构造全等三角形．
6．（2026·四川泸州·一模）如图，在中，，若，则与的面积之比为____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，接着证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2026·四川成都·一模）如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）．
（1）当时，______；
（2）连接，当时，______．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质；
（1）根据折叠的性质求出，，然后利用三角函数的定义解答即可；
（2）根据可得，设，然后证明，根据相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴由折叠得，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由折叠可得，，
∵，
∴，
设，
∵等边
∴，
∵，
∴，
∵在等边中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴．
1．（2026·四川成都·一模）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形全等的性质，平行线的判定解答即可．
【详解】解：，
，
，
；
无法证明；
，
，，
，
故选项A、C、D正确，不符合题意，选项B不正确，符合题意．
2．（2026·四川广元·一模）如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，如果，那么它们的对应边成比例，且对应角相等，即可解答．
【详解】解： ，
，，，，
A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意，
故选：C．
3．（2026·四川绵阳·一模）如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：由图可知是公共角，
当添加时，由两角对应相等能判定，该选项符合题意；
当添加时，公共角，不是对应边成比例，无法判断，该选项符合题意；
当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意；
当添加时，公共角，由对应两边成比例且夹角相等，能判定，该选项不合题意；
故选：B．
4．（2026·四川遂宁·一模）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：，
，
A、
，故本选项不符合题意；
B、，与的大小无法判定，
无法判定，故本选项符合题意；
C、，
，故本选项不符合题意；
D、，
，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（2026·四川成都·一模）如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】解：A、不是的边，不能判定，该选项不符合题意； B、由，，判定，该选项符合题意；
C、两个三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，该选项不符合题意；
D、比例式中没有的边，不能判定，该选项不符合题意．
故选：B．
6．（2026·四川南充·一模）如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由垂直平分线得到，由，点是的中点，结合斜边中线的一半得到，据此逐个判断即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交，
∴，
∴，，故B选项结论正确，不符合题意；
∵，点是的中点，
∴，故A选项结论正确，不符合题意；
∴，故D选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴不一定成立，故C选项结论不正确，符合题意；
1．（2026·四川绵阳·一模）如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得，则米．
【详解】解：在中，，
∴米，
故选：A．
2．（2026·四川内江·一模）如图，在中，，，，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】解：，
，
故选：B．
3．（2026·四川绵阳·一模）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为（ ）（参考数据：，，）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】C
【分析】由题意可得，，，则，，在中，利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，根据题意得：
，，，，
∴，
，
∴，
在中，，
∴（海里），
∴此时与灯塔的距离约为海里．
故选：C．
4．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，于点D，若，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据直角三角形的性质，可证得，再根据正切函数的定义，即可求解．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质及求一个角的正切值，熟练掌握和运用直角三角形的性质及求一个角的正切值的方法是解决本题的关键．
5．（2026·四川绵阳·一模）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（ ）．
A． B． C． D．17
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角．
过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解．
【详解】解：过点作于点，如图，
根据题意得，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
即该实验楼的高度为．
故选：A．
6．（2026·四川绵阳·一模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 ________．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长与分别交直线交于G、H，分别利用解三角形求出、、，即可．
【详解】解：延长与分别交直线交于G、H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴楼与之间的距离的长约为．
故答案为：
7．（2026·四川内江·一模）数学实践活动小组去测量某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）
【答案】此建筑物的高度约为．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】解：在中，，设为，
∴
在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得．
答：此建筑物的高度约为．
8．（2026·四川南充·一模）如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角为，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为和，已知点C、D与建筑物均在同一平面内，则建筑物的高约为__________米．（参考数据：，）
【答案】35
【分析】延长，相交于点，设，利用锐角三角函数进行求解．
【详解】解：如图，延长，相交于点，
∴，
设，
∴，
∴
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴．
9．（2026·四川南充·一模）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________．
【答案】/
【分析】连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
10．（2026·四川成都·一模）数学活动小组欲测量山坡上一座信号塔的高度，如图，于点E．在A处测得信号塔顶端D的仰角为，沿水平地面前进47米到达B处，已知山坡坡角，米．（图中各点均在同一平面内，参考数据：，，，）
(1)求的高度；
(2)求信号塔的高度
【答案】(1)30米
(2)19.3米
【分析】（1）在中，由求出的高度；
（2）先求出的长，再求出的长，在中，由求出的长，最后根据，求得信号塔的高度．
【详解】（1）解：∵于点E，
∴，
∵，（米），
∴在中，
（米），
答：的高度约为30米；
（2）解：∵，，（米），
∴在中，
（米）．
∵（米），（米），
∴（米），
∵，，（米），
∴在中，
（米），
∴（米）．
答：信号塔的高度约为19.3米．
11．（2026·四川成都·一模）图1是一张电子琴照片，图2是其侧面示意图，其中支撑杆的长度可调节，琴架底座长为，电子琴底部长为长为，已知，，当点调至同一直线上时，求此时点到直线的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，连接，过点G作于点H，则四边形AHGF为矩形，据此可得，解得到，解，得到，据此可得答案．
【详解】解：如图解，连接，过点G作于点H，
∵点E、F、A在同一直线上，，
，
∴四边形AHGF为矩形，
∴，
，
∵在中，，
，
，
∵在中，，
，
，
∴此时点E到直线的距离约为．
12．（2026·四川成都·一模）在主题为“用数学丈量家乡美景，用数据读懂城市发展”的综合与实践活动中，某班兴趣小组测量了家乡犹如宝石的斜拉桥主塔的高度．如图，在测点A处安置测角器，测得点N的仰角，测得点O的仰角，已知测点A距离塔底M约为94米，求斜拉桥主塔的上塔柱的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
【答案】斜拉桥主塔的上塔柱高约53米
【分析】过点B作于点D，则，根据矩形的判定和性质得到，利用解直角三角形求出，，即可求出．
【详解】解：过点B作于点D，则，
∴四边形是矩形，
（米），
∵在中，，
（米），
∵在中，，
（米），
（米），
∴斜拉桥主塔的上塔柱高约53米．
13．（2024·四川凉山·一模）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）

【答案】．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，，
设，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：塔高为．
14．（2026·四川·一模）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，则，，因为，，故，再代入数值到，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，，
∴，
答：乙建筑物的高为．
15．（2026·四川内江·一模）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．

(1)求C、D两点的高度差；
(2)求居民楼的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．
（2）过点作于，设 ，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，
在中，，，
．
．
答：，两点的高度差为．
（2）过点作于，
由题意得：四边形是矩形，
∴，，
设 ，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
．
答：居民楼的高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
16．（2026·四川内江·一模）如图①，潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图②所示．无人机在距水平地面的点D处测得潮汐塔顶端A的俯角．，再将无人机沿水平方向飞行到达点E，测得潮汐塔底端B的俯角为（点D、E、A、B在同一平面内），求潮汐塔的高度．（结果精确到）【参考数据：，，】
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，先根据题意得到对应线段的长度，再根据特殊的三角函数得到的长度，进而得到的长度，再根据解直角三角形得到答案即可；
【详解】解：由题意可知：，，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴
即潮汐塔的高度约为．
17．（2026·四川泸州·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，）
(1)求、两港之间的距离（结果保留根号）．
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【答案】(1)海里
(2)甲货轮先到达港
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键．
（1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案；
（2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可．
【详解】（1）解：作于点，如图所示，
则，
由题意可知，，，海里，
∴，
∴，
在中，（海里），
（海里），
∴海里，
答：、两港之间的距离为海里．
（2）解：作于点，如图所示，
则，
由题意可知，，，
由（1）可知，，（海里），
∴，，
∴，，，，
∵，即，
解得，
∴海里，
海里，
∴（海里），
（海里），
∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），
∴甲货轮先到达港．
18．（2026·四川内江·一模）安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2小明测得大树底端点的俯角为，点的仰角为，点离地面的高度．求大树的高．（结果精确到米，参考数据：．）
【答案】米
【分析】过点作于，构建两个直角三角形．先在中，利用已知角的正切值求出；然后在中，利用已知角的正切值求出即可解决问题．
【详解】解：过点作于，如图2所示：
在中，，
由，
解得，
在中，，
解得，
∴，
答：大树CD的高为米．
【点睛】本题考查三角函数解决测高问题，涉及仰角、俯角的定义，读懂题意，借助角度构造直角三角形去解直角三角形时解决问题的关键．
1．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
即，
，
，，
，
解得．
故答案为：．
2．（2026·四川成都·一模）在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，理解物体高度和影长的关系是关键．
利用相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比，代入计算即可．
【详解】解：设熊猫雕塑的高度是米，
∵同一时刻物体高度与影长成正比，
∴，
∴（米）
故答案为：．
3．（2026·四川成都·一模）如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为_________．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
4．（2026·四川成都·一模）在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度．
【答案】
【分析】本题主要考查的知识点是相似三角形的判定及性质(对应边成比例)在实际测高中的应用．通过作辅助线构建直角三角形，证明三角形相似，根据对应边成比例列算式求出未知线段长度，进而计算目标高度．
【详解】如图，过点作，分别交，于点，，
由题意可得：，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：旗杆的高度为．
5．（2026·四川成都·一模）三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度
【答案】古塔的高度为82米
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，；因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴，，
∴，，
，
∴，
，
（米），
∵，
∴，
（米），
答：古塔的高度为82米．
1．（2026·四川遂宁·一模）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号）
【答案】/
【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
2．（2026·四川成都·一模）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____．
【答案】
【详解】解：∵某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（2026·四川成都·一模）如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先由黄金分割的定义求出，由折叠得，，设，然后对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：∵点N是线段的黄金分割点，且，
∴，
由折叠得，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
1．（2026·四川南充·一模）已知：如图，相交于点O，，．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意可证明，继而利用全等性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：在和中，
．
．
．
2．（2026·四川宜宾·一模）如图，点E在上，与交于点F，．
(1)求证∶；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
（1）利用证明即可，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
3．（2026·四川广元·一模）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用旋转性质得到，，推出，从而证明；
（2）由旋转的性质得，在已证的中，用勾股定理计算得 ．
【详解】（1）证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由旋转的性质可知，
∵，，
∴在中，．
4．（2026·四川南充·一模）如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)的度数为
【分析】（1）根据三线合一得出．由作图知：．由可证明；
（2）由等腰三角形的性质求出，由作图知：．得出，进而利用三角形内角和即可得出答案．
【详解】（1）证明：，为的中线，
．
由作图可得．
在和中，
，
；
（2）解：，为的中线，
，
∵，
，
由作图可得，
又，
∴．
5．（2026·四川德阳·一模）“草长莺飞二月天，扶梯杨柳醉春烟，儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．星期天，小明和小伙伴准备自制风筝到公园去放，小明将正方形纸片和菱形纸片按照如图所示制作，顶点B和顶点N重合，菱形的对角线经过点D，点E，F分别在，上．
(1)求证：；
(2)若，点E在的中点上，求的长度.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，进而得出，再根据菱形的性质得，，即可得出，然后根据得出结论；
（2）连接，交于点O，即可得出，根据（1）可得，根据勾股定理求出，然后根据勾股定理求出，，即可得出，最后根据得出答案．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）连接，交于点O，可知．
根据（1）得，
∴．
∵点E是的中点，，
∴．
在中，，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得．
根据勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形和正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等，勾股定理是求线段长的常用方法．
6．（2026·四川遂宁·一模）如图，，，P为AB上一点，，连接CD．
(1)若，求BD的长；
(2)若CP平分，求证：．
【答案】(1)BD的长为；
(2)见解析
【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答；
（2）利用角平分线的性质可得∠PCD=∠ACP，从而可得∠PCD=∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答．
【详解】（1）解：∵AB=9，AC=3，
∴BP=AB-AP=9-3=6，
∵∠A=∠CPD，∠ACP+∠APC=180°-∠A，∠APC+∠BPD=180°-∠CPD，
∴∠ACP=∠BPD，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPD，
∴，即，
∴BD=，
∴BD的长为；
（2）证明：∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD=∠ACP，
∵∠ACP=∠DPB，
∴∠PCD=∠DPB，
∵∠CPD=∠B，
∴△CPD∽△PBD，
∴，
∴PD2=CD BD．
7．（2026·四川内江·一模）如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，求证：．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）由可得出，从而可证；
（2）由（1）的结论可得，，再由及平分易得，从而可得≌，则易得结论．
【详解】（1）如图，

∵，
∴，
即．
在和中，
∵，
∴≌（）；
（2）∵≌，
∴，．
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴≌（）．
∴．
∴．

8．（2026·四川绵阳·一模）已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接．
(1)如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形；
(2)当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)补全图形见解析，线段与的数量关系：，证明见解析
【分析】（1）由对称性知，由等边三角形的性质得，从而，由等边三角形的判定即可证明结论；
（2）按题意补全图形即可；线段与的数量关系：；延长到点G，使，连接，易证明，从而得，得；再证明，得，从而．
【详解】（1）证明：∵点D，E关于直线对称，
∴，
∵是等边三角形，
∴．
∵点D为线段的中点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：补全图形如图所示，
线段与的数量关系：．
证明：延长到点G，使，连接．
∵F为线段的中点，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∵点D，E关于直线对称，
∴．
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
1．（2026·四川内江·一模）如图，在中，是平面上一动点，连接，是的中点，连接，当的最小值为______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当共线时取等号，进而得到答案．
【详解】解：取的中点，连接，如图，
∵是的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
又，
，
∵在中，，
，
，
∵，
当共线时取等号，如图
的最小值为．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__．
【答案】5
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
∵是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形，
∴，
的最小值为5．
故答案为：5．
3．（2026·四川绵阳·一模）如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为______________.
【答案】
【详解】解：作 并且使得，连接，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当、、三点共线时，取到最小值，此时，
延长，过点作于点，连接，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
4．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，点D、E分别是上的动点，，将线段绕点E顺时针旋转到，旋转角等于，连接与，最小值是_________
【答案】
【分析】由勾股定理求出，设，则得到，在延长线上截取，证明，得到，，过F作于点H，则证明，求出，在延长线上截取点P，使，证明，则是等腰直角三角形，则，证明点F在过P且满足的直线上，作C关于的对称点，连接，则，得到，当且仅当B，F，共线时取等号，进一步利用勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
设，则
∵，
∴，
在延长线上截取，
∵，且，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转到，
∴，
∴，
∴，，
过F作于点H，则
∴，
∴，
∴
∴，
在延长线上截取点P，使,
∵
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点F在过P且满足的直线上，
作C关于的对称点，连接，则，
∴，
当且仅当B，F，共线时取等号，
∵，，
∴在中，，
即的最小值为．
故答案为：．
5．（2026·四川泸州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为_________．
【答案】（3，）
【分析】根据勾股定理求出AB，由DE⊥BD，取BE的中点F，以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与x轴相切于点D，连接FD，设AE=x，利用相似三角形求出x，再根据三角形相似求出点E的横纵坐标即可.
【详解】∵A(4,0)，B（0,3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
取BE的中点F，以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与x轴相切于点D，连接FD，
设AE=x，则BF=EF=DF=，
∵∠ADF=∠AOB=90°，
∴DF∥OB
∴△ADF∽△AOB
∴
∴，
解得x=，
过点E作EG⊥x轴，
∴EG∥OB，
∴△AEG∽△ABO，
∴，
∴,
∴EG=，AG=1，
∴OG=OA-AG=4-1=3，
∴E（3，）,
故答案为：（3，）.
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专题04 三角形及解直角三角形的应用
9大考点概览
考点01求三角形中的角度问题 考点06相似三角形的实际应用
考点02求三角形中的线段长或比例 考点07黄金分割
考点03三角形中的面积问题 考点08证明与求解综合
考点04三角形基本性质应用 考点09三角形中的最值问题
考点05解直角三角形及其应用
1．（2026·四川南充·一模）如图，直线，点A、B分别在直线n、m上，连接，过点作，交直线于．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川绵阳·一模）将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川内江·一模）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·四川南充·一模）将一副三角板按如图所示的方法摆放，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中的度数为（ ）
A．C B． C． D．
5．（2026·四川绵阳·一模）一副直角三角板（一个含有角，一个含有角）按如图所示摆放，若直线，则的度数为_______．
6．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度．
7．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则______．
8．（2026·四川成都·一模）如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______．
1．（2026·四川遂宁·一模）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是______．
3．（2026·四川遂宁·一模）如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．12
4．（2025·四川达州·一模）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）

A．21 B．14 C．13 D．9
5．（2026·四川泸州·一模）如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·四川凉山·一模）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
7．（2026·四川泸州·一模）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则的长度为（ ）

A． B．1 C． D．2
8．（2026·四川泸州·一模）如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为的中点，平分，交，于点E，F，则_____________．
10．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______．
1．（2026·四川遂宁·一模）如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．其中点处的读数分别为，已知直尺宽为2，则为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
2．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川泸州·一模）如图，已知△ABC，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P；
③作射线AP交BC于点D；
④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，H；
⑤作直线GH分别交AC，AB于点E，F．若AF＝3，CE＝1，则△ACD的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·四川绵阳·一模）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的面积是__________．
6．（2026·四川泸州·一模）如图，在中，，若，则与的面积之比为____________．
7．（2026·四川成都·一模）如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）．
（1）当时，______；
（2）连接，当时，______．
1．（2026·四川成都·一模）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川广元·一模）如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026·四川绵阳·一模）如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·四川遂宁·一模）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·四川成都·一模）如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026·四川南充·一模）如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
1．（2026·四川绵阳·一模）如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2026·四川内江·一模）如图，在中，，，，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2026·四川绵阳·一模）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为（ ）（参考数据：，，）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
4．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，于点D，若，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·四川绵阳·一模）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（ ）．
A． B． C． D．17
6．（2026·四川绵阳·一模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 ________．（结果精确到．参考数据：，）
7．（2026·四川内江·一模）数学实践活动小组去测量某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）
8．（2026·四川南充·一模）如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角为，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为和，已知点C、D与建筑物均在同一平面内，则建筑物的高约为__________米．（参考数据：，）
9．（2026·四川南充·一模）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________．
10．（2026·四川成都·一模）数学活动小组欲测量山坡上一座信号塔的高度，如图，于点E．在A处测得信号塔顶端D的仰角为，沿水平地面前进47米到达B处，已知山坡坡角，米．（图中各点均在同一平面内，参考数据：，，，）
(1)求的高度；
(2)求信号塔的高度
11．（2026·四川成都·一模）图1是一张电子琴照片，图2是其侧面示意图，其中支撑杆的长度可调节，琴架底座长为，电子琴底部长为长为，已知，，当点调至同一直线上时，求此时点到直线的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
12．（2026·四川成都·一模）在主题为“用数学丈量家乡美景，用数据读懂城市发展”的综合与实践活动中，某班兴趣小组测量了家乡犹如宝石的斜拉桥主塔的高度．如图，在测点A处安置测角器，测得点N的仰角，测得点O的仰角，已知测点A距离塔底M约为94米，求斜拉桥主塔的上塔柱的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
13．（2024·四川凉山·一模）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）

14．（2026·四川·一模）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？
15．（2026·四川内江·一模）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．

(1)求C、D两点的高度差；
(2)求居民楼的高度．（结果保留根号）
16．（2026·四川内江·一模）如图①，潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图②所示．无人机在距水平地面的点D处测得潮汐塔顶端A的俯角．，再将无人机沿水平方向飞行到达点E，测得潮汐塔底端B的俯角为（点D、E、A、B在同一平面内），求潮汐塔的高度．（结果精确到）【参考数据：，，】
17．（2026·四川泸州·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，）
(1)求、两港之间的距离（结果保留根号）．
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
18．（2026·四川内江·一模）安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2小明测得大树底端点的俯角为，点的仰角为，点离地面的高度．求大树的高．（结果精确到米，参考数据：．）
1．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm．
2．（2026·四川成都·一模）在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米．
3．（2026·四川成都·一模）如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为_________．
4．（2026·四川成都·一模）在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度．
（2026·四川成都·一模）三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度
1．（2026·四川遂宁·一模）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号）
2．（2026·四川成都·一模）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____．
3．（2026·四川成都·一模）如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____．
1．（2026·四川南充·一模）已知：如图，相交于点O，，．
求证：．
2．（2026·四川宜宾·一模）如图，点E在上，与交于点F，．
(1)求证∶；
(2)若，求的度数．
3．（2026·四川广元·一模）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
4．（2026·四川南充·一模）如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
5．（2026·四川德阳·一模）“草长莺飞二月天，扶梯杨柳醉春烟，儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．星期天，小明和小伙伴准备自制风筝到公园去放，小明将正方形纸片和菱形纸片按照如图所示制作，顶点B和顶点N重合，菱形的对角线经过点D，点E，F分别在，上．
(1)求证：；
(2)若，点E在的中点上，求的长度.
6．（2026·四川遂宁·一模）如图，，，P为AB上一点，，连接CD．
(1)若，求BD的长；
(2)若CP平分，求证：．
7．（2026·四川内江·一模）如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，求证：．
8．（2026·四川绵阳·一模）已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接．
(1)如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形；
(2)当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
1．（2026·四川内江·一模）如图，在中，是平面上一动点，连接，是的中点，连接，当的最小值为______．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__．
3．（2026·四川绵阳·一模）如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为______________.
4．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，点D、E分别是上的动点，，将线段绕点E顺时针旋转到，旋转角等于，连接与，最小值是_________
5．（2026·四川泸州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为_________．
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