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2026年全国1卷高考数学最后一卷（押题卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（ ）

A． B． C． D．
8．已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知正项数列满足，则（ ）
A． B．存在等差数列满足条件
C． D．
10．在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．换号后答对概率增大
D．换号后答对概率不变
11．如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球的表面积是
B．三棱锥体积的最大值为
C．二面角为直二面角时，的长为
D．二面角为直二面角时，点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知线段的长为4，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________．
13．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列．现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列，进行构造，第1次得到数列，，；第2次得到数列，，，，；…记第次得到数列的项数为，如，，则___________（用含的式子表示）；记第次得到数列的所有项的和，如，，则___________．（用含的式子表示）
14．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____．
四、解答题
15．（13分）已知内角所对的边分别为，，且成等差数列．
(1)求的面积；
(2)若的角平分线交于，求．
16．（15分）某公司研发了一款新型智能机器人，一经投放市场颇受欢迎，为了更好地服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表：
x 5 6 7 8 9
y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70
(1)请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）；
(2)这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）；
(3)该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值．
附：相关系数．
17．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
18．（17分）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值.
19．（17分）若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”．
(1)若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列．
(2)已知函数，存在，使得．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：．
2026年全国1卷高考数学最后一卷（押题卷）（解析版）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，解得，所以，
由，解得，所以，
故．
2．设，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
所以虚部为，故选A.
3．已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算求出点的轨迹为圆，结合直线与圆有公共点的条件，利用圆心到直线的距离不大于半径求解的取值范围.
【详解】设点，由，，得，.
由，代入得，整理得，
即点的轨迹是以为圆心，半径的圆.
直线整理为一般式，
因为直线上存在满足条件的点，故直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离.
由点到直线距离公式得，所以，
整理得，即，解得，
故的取值范围为.
4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解.
【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，，
直线的方程为，
因为为等腰三角形， 为钝角，
因此等腰三角形中只能是，
直线的倾斜角为，斜率为，
设，，，
即，在直线上，代入直线方程，
整理得 .
.
所以双曲线的渐近线方程为.
5．已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案.
【详解】因为图象的两个相邻对称中心之间的距离为，
所以的最小正周期为，
又，所以，解得，故，
因为为函数的对称中心，所以，
所以，解得，
因为，所以只有满足要求，故，
，故，
画出在上的函数图象，如下：
有且只有两个不同的实数根，
则方程有且只有两个不同的实数根，
则与的图象仅有两个交点，
所以且，
若，则关于对称，，，
即，解得，，
若，则关于对称，，，
即，解得，，
则的所有可能取值构成的集合为.
6．已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，取棱DC上更靠近的三等分点，连接，．
因为// ，所以四边形为平行四边形，
所以//，.
所以，，
所以平面截正方体的截面为平行四边形．
因为，，
所以该截面的周长为．
7．在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论．
【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.
蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径：
第一条，按，此时停在叶上的概率；
第二条，按，此时停在A叶上的概率.
所以跳三次之后停在叶上的概率.
8．已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意即方程 有两个不相等的实根，然后通过研究单调性，图像可得答案.
【详解】由题意即方程 有两个不相等的实根，令，则，
因,则在R上单调递增，所以问题等价于 有两个不相等的实根，
即直线与图像有两个交点，，.
得在单调递增，在单调递减，
，，时，时，
据此可得大致图像如下，由图像得．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知正项数列满足，则（ ）
A． B．存在等差数列满足条件
C． D．
【答案】ACD
【分析】通过分析数列的单调性来判断选项；根据等差数列的定义判断是否存在满足条件的等差数列，即可判断选项；将已知递推数列进行化简变形即可判断选项；利用平方差公式分别表示出和，再结合不等式基本性质即可判断选项.
【详解】解：由，则，
两边同时平方得，化简整理得，选项正确；
由，则，又数列为正项数列，则，
所以，因此数列为递增数列，所以，选项正确；
假设数列为等差数列，公差为，则，即，
代入得，整理得，
两边同时平方得，化简得，
此式对所有均成立，则，即，而此时，矛盾，
所以不存在这样的等差数列，选项错误；
因为，
，
所以，
因为，则，不等式两边同时加上，
则，
所以，选项正确.
10．在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．换号后答对概率增大
D．换号后答对概率不变
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可.
【详解】对于A，乙选择号选项，答案是号选项，主持人选择号选项的概率为，即，故A错误；
对于B，，，
则，
因此，故B正确；
对于CD，若不换号，乙继续选择号选项，获得奖品的概率为，主持人选择了错误的选项，
若换号，选择剩下的那个选项，获得奖品的概率为，乙换号后中奖概率增大，故C正确，D错误.
11．如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球的表面积是
B．三棱锥体积的最大值为
C．二面角为直二面角时，的长为
D．二面角为直二面角时，点到平面的距离为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用直角三角形射影定理求出，确定三棱锥的外接球球心及半径判断A；求出最大体积判断B；利用空间向量求出线段长判断C；利用等体积法求出点到平面距离判断D.
【详解】在矩形中，由，得，又于，
则，而，解得，，
对于A，取中点，连接，则，
点是三棱锥的外接球球心，球半径，该球表面积是，A正确；
对于B，由，得，，
当且仅当平面平面，即平面时，点到平面的距离最大，
因此三棱锥体积的最大值为，B正确；
对于C，，，由二面角为直二面角，
得，由，得
，C错误；
对于D，由选项C知，，在中，由余弦定理得
，则，，
二面角为直二面角时，由选项B得，设点到平面的距离为，
因此，所以，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知线段的长为4，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，；根据得到点的轨迹方程，结合点始终在以为圆心1为半径的圆外，得到的轨迹方程与圆的位置关系，将位置关系转化为关于的不等式，从而得到的范围.
【详解】以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则；
由线段的长为4，可设，.
则，.
，得.
，；
点在以为圆心，为半径的圆上.
又点始终在以为圆心， 为半径的圆外，
圆和圆外离或者内含.
或；
或，解得或；
，或，
即的范围是.
13．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列．现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列，进行构造，第1次得到数列，，；第2次得到数列，，，，；…记第次得到数列的项数为，如，，则___________（用含的式子表示）；记第次得到数列的所有项的和，如，，则___________．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】应用数列新定义列式结合等比数列定义即可得出通项公式.
【详解】依题意，
则是以为首项以2为公比的等比数列，
，
因此，而，
则数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
．
14．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【分析】原不等式化为，构造函数，利用导数研究单调性并作出大致图象，数形结合即可求出范围.
【详解】原不等式等价于，设，，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取极大值1，又，且时，，
在同一坐标系内作出与的图象，如图：
直线恒过点，当时，显然不满足条件；
当时，若0，1是原不等式的解，只需要满足，解得，
的取值范围为；
当的切线过点时，设切点为，则切线方程为，
该直线过点，，解得，
若是原不等式的解，则，解得，
所以k的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
15．（13分）已知内角所对的边分别为，，且成等差数列．
(1)求的面积；
(2)若的角平分线交于，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由成等差数列，则，即，
，又，
解得，则，，
；
（2）平分，
，则，
解得，
，
，
解得．
16．（15分）某公司研发了一款新型智能机器人，一经投放市场颇受欢迎，为了更好地服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表：
x 5 6 7 8 9
y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70
(1)请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）；
(2)这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）；
(3)该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值．
附：相关系数．
【答案】(1)该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强
(2)
(3)
【分析】（1）由题意计算出样本均值以及方差、协方差的求和项，代入相关系数公式求出r，并结合给定的判断区间得出结论.
（2）先利用全概率公式求出“使用者对结果不满意”的总概率，再利用条件概率公式逆向推导出在“不满意”前提下“实际正确执行”的概率.
（3）根据独立事件乘法公式列出“挑战成功”的概率解析式，利用已知条件进行代数消元与换元将其转化为一元二次函数，由二次函数的性质即可求得最值.
【详解】（1）由题意知，，，
，
，．
所以
所以该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强．
（2）记事件：机器人正确执行命令；事件：使用者对执行结果满意，则
，，，．
所以，
所以，
故如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，机器人实际正确执行命令的概率约为．
（3）设事件：机器人挑战成功，则
．
由，得 ．令，
因为，，所以，所以
设，当，即或时，．
所以当时，机器人挑战成功的概率的最大值为．
17．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)在平面内作交于点，连接，
由，，得，
所以，
又平面平面，平面平面，
，平面，故平面，
又因为平面，所以，
在直角中，由，，则，即，
在中，由，，，所以，故，
又，且，、平面，
故平面，因为平面，所以；
(2)
【分析】（1）作，进而得到，再由面面垂直的性质得到平面，则，然后证明平面即可求解；
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求点到面的距离即可．
【详解】（1）略
（2）由（1）知平面，，
故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
故、、、、，
得到，，，则，
设为平面的一个法向量，
则，取，
解得，得，
因为，设点到平面的距离为,
由点到平面的距离公式得.
18．（17分）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值为
【分析】（1）根据椭圆性质与离心率即可求解；
（2）讨论直线方程，通过求解点与点坐标，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）已知椭圆的上顶点为，所以，
因为离心率，且，
所以，，
则椭圆的方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线过点，直线方程为，此时、、三点共线，不满足题意，
所以直线斜率必存在，设直线方程为，
联立得， ，
解得方程两根为，，
因此，所以点坐标为，
因为，所以设，
则，，即 ，
直线的方程为 ，所以点到直线的距离为，
而，所以，
，
所以，
当时，，当时，有，
所以，当且仅当时等号成立.
所以最大值为.

19．（17分）若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”．
(1)若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列．
(2)已知函数，存在，使得．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据中值点定义得到相关方程，则，化简即可；
（2）（ⅰ）通过二次求导得，再对和讨论即可；
（ii）首先证明，通过构造函数，利用二次求导即可证明，再进行代换即可证明，最后再设，利用累加法和等差数列求和公式即可证明.
【详解】（1）由题意知.
因为，
又，
所以，即，
所以成等差数列.
（2）（i），
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减.
故，且当时，，当时，.
若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意；
若，则在和上分别存在一个零点，记为，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，
故存在，满足.
所以的取值范围是.
（ii）因为，所以中值点满足，
由（i）知当时，即有两个零点，
所以在区间上所有可能的中值点即.
先证明：
由，得.
要证，即证.
设，
则.
设，当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递减.
所以当时，，即.
因为，所以，即，
又，再结合在上单调递减，
可得，从而.
令，得，
所以.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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