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浙江杭州市萧山部分学校2025--2026学年八年级第二学期期中学情调研数学试卷
1．下列计算正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：根据二次根式的运算法则对各选项进行逐一判断即可。
A选项：因为5和不是同类项，不能直接进行加减，故选项A不正确；
B选项：因为，故选项B不正确；
C选项：因为，故选项C不正确；
D选项：根据二次根式的除法法则，，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，对各选项进行判断即可.
2．“菲尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次.获得2018年和2022年“菲尔兹奖”的8位数学家获奖时的年龄分别为31，40，34，37，39，35，37，36，则这组数据的中位数和众数分别是（　　)
A．36.5， 37 B．38， 37
C．37， 37 D．37， 36.5
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意，将数据排序为：31，34，35，36，37，37，39，40，
根据中位数的定义可知偶数个数据的中位数为排序后中间两个数的平均数，为，
众数为出现次数最多的数，为37，
故中位数为36.5，众数为37.
故答案为：A.
【分析】根据中位数和众数的定义，结合题意进行计算即可。
3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的概念，将代入给定的一元二次方程，即可得到，再结合一元二次方程二次项系数不为0的要求，即，可以推得，进而求出符合要求的m的值.
4．肺活量可以反映肺的容积和扩张能力，是一项能够衡量身体健康的重要指标.如图是某班在七、八年级参加国家学生体质健康测试时的肺活量箱线图，下列说法中错误的是（　　)
A．该班在七年级时的肺活量下四分位数是2180ml
B．该班在八年级时的肺活量上四分位数是3550ml
C．该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时大
D．相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高
【答案】C
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A选项：从箱线图中可以清晰看到，七年级箱子的下边界（即第一四分位数/Q1）对应纵坐标2180ml，故A选项正确；
B选项：从箱线图中可以清晰看到，八年级箱子的上边界（即第三四分位数/Q3）对应纵坐标3550ml，故B选项正确；
C选项：七年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2900ml，八年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2950ml，2900ml < 2950ml，即七年级中位数小于八年级中位数，故C选项错误；
D选项：最小值：七年级1500ml < 八年级1780ml，下四分位数：七年级2180ml < 八年级2400ml，中位数：七年级2900ml < 八年级2950ml，上四分位数：七年级3250ml < 八年级3550ml，最大值：七年级3640ml < 八年级3940ml，所有五个关键统计量八年级都高于七年级，说明整体肺活量水平确实提高了，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】 这道题考查的是对箱线图统计量的理解和判断。箱线图显示了数据的五个关键统计量：最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值。需要逐一验证每个选项的说法是否正确。
5．用配方法解方程： 时，原方程变形为（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：按照配方的步骤进行即可：
先移项：；
然后两边加上一次项系数一半的平方：；
整理得： 。
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程中的配方步骤，结合完全平方公式的形式，先将常数项移动到等式右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可完成配方。
6．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（　　)
A．都不变
B．内角和增加180°，外角和不变
C．都增加180°
D．内角和增加180°，外角和减少 180°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形内角和定理，n边形的内角和为：，当边数增加1时，可以发现它的内角和为增加180°，
而对于任意多边形(边数大于3)的外角和均为360°，
故内角和增加180°，外角和不变。
故答案为：B.
【分析】根据多边形内角和公式和多边形外角和定理，结合题意即可确定。
7．若一个多边形的内角和为1260°，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，由题意可列：(n-2)×180°=1260°，
解得：n=9，
由n边形从一个顶点出发的对角线为(n-3)，
故这个多边形从一个顶点出发的对角线条数为6条。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，先求出边数，然后根据从一个顶点出多的引出的对角线与边长的关系即可求出。
8．学校“自然之美”拓展课程小组在户外考察发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出了x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　)
A． B．
C． D．x+（1+x)2=73
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，小分支的个数为，
则主干、枝干、小分支数量之和为，
故列出方程： 。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程即可。
9．我们知道整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是由基本运算符号连结起来的式子。善于思考数学问题的小明有一个新的发现，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 这种形式的结果，我们称这种形式的式子为根分式，如 都是根分式。结合上述信息，关于根分式 与 下列结论中正确的选项是（ )
①根分式A中的x的取值范围是x≥-1
②根分式B中的x的取值范围是x≠1
③不存在x的值，使得两个根分式满足
A．② B．②③ C．①②③ D．③
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：结论①：对于根分式 ，要保证分子中被开方数大于等于0，分母不为零，则x的取值范围为： x≥-1 且，故结论①不正确；
结论②： 对于根分式 分子恒成立，只需保证分母不为零即可，故x的取值范围是x≠1正确；
结论③：若，即，进一步整理得：，解得x=1，与x≠1矛盾，故不存在x的值，结论③正确。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了新定义，分式和二次根式有意义的条件，根据定义对三个选项时行判断即可。
10．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根k，则下列判断正确的（　　)
A．若-1C．若-1【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知△=0，2k=-2，
解得k=-1，b=a-1，
则，，
若 ，即，解得a>1或a<0；
若 ，即，解得0结合选项只有D符合题意。
故答案为：D.
【分析】这道题考查的是一元二次方程有两个相等实数根的条件、根与系数的关系，以及分式不等式的推导。首先根据"有两个相等实数根k"的条件，推导出k与a、b的准确关系；然后将k/a和k/b转化为关于a的表达式；接着正确分析含有负号的分式不等式的大小比较；最后验证每个选项的逻辑关系。
11．六边形的内角和=　 　.
【答案】720°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形内角和公式(n-2)×180°，
当n=6时，
内角和为(6-2)×180°=720°。
故答案为：720°.
【分析】根据多边形的内角和公式，代入即可得到答案.
12．已知 那么 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据非负数的性质，因为
所以x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
则。
故答案为：1.
【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，首先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入求值即可。
13．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则 的方差为　 　.
【答案】12
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数，
原数据的方差为，
则新数据的方差为，
故.
故答案为：12.
【分析】根据方差的计算方法，先设原数据的平均数 ，然后得到新数据的平均数，进而计算新数据的方差与原数据方差之间的关系，进而求出新数据的方差。
14．设α， β是 的两个实数根，则 的值是　 　.
【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：因为α， β是 的两个实数根，
所以，，
所以.
故答案为：16.
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系与一元二次方程的解，首先利用根与系数关系得到两根之和，然后将α代入方程，得到的值，最后根据要求的代数式的形式，整体代入求值即可。
15．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 则y的最小值为　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意可得，即1-m≥0，得到m≤1，
又因为b为方程的一个实数根，
所以，即，
则，
因为m≤1，
所以当m=1时，y有最小值1.
故答案为：1.
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和二次函数的最值，首先根据题意确定m的取值范围，然后将b代入方程得到关于b的等式，然后变形后得到关于m的代数式，进而根据m的取值范围得到y的最小值.
16．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=12cm.动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以3cm/s的速度移动，设运动时间为 ts，当ΔABP为等腰三角形时，t的值是　 　.
【答案】4或5或 2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 cm，AC=12 cm，动点P从B，点出发，沿射线BC以3cm/s的速度移动运动时间为t秒，则BP=3t cm，根据勾股定理得，
情况①：AB=AP，因为∠C=90°，所以BC=PC=6cm，则得3t=12，解得t=4；
情况②：BA=BP=cm，即，解得；
情况③：PA=PB，如图所示，
P点在线段AB的垂直平分线与射线BC的交点处，设垂直平分线与BC交于点D，则D为AB中点，则，由BC：AC=1：2，
所以BD：PD=1：2，
所以，
在Rt△BDP中，由勾股定理得：，
则3t=15，解得t=5，
综上所述：t的值为4或5或 2。
故答案为：4或5或 2.
【分析】这是一道动点问题，需要找到使△ABP成为等腰三角形的时刻t。由于P点沿射线BC移动，我们需要考虑等腰三角形的三种可能情况：AB = AP，BA = BP，PA = PB对于每种情况，都需要用勾股定理求出AB的长度，然后根据P点的位置建立方程求解t。
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=2-3+2
=1
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查了二次根式的混合运算，按照运算顺序先乘除后加减，同时利用二次根式的乘除法和性质进行化简；
（2）本题首先利用完全平方式进行展开，然后利用二次根式的性质进行化简，最后合并同类项即可。
18．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：x-2=±1
∴x-2=1或 x-2=-1
（2）解：(x+1)(x-5)=0
∴x+1=0或x-5=0
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，两边同时开平方将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解即可；
（2）本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，将方程左边进行因式分解，然后得到两个一元一次方程解之即可。
19．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组： A.90≤x≤100； B.80≤x<90； C.70≤x<80； D.60≤x<70)，下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是： 83， 84， 84， 84， 85， 87， 88.
八年级 20名学生竞赛成绩是： 63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86，86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差 278.9 134.7
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图八年级所抽取学生竞赛成绩箱线图
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=　 　， b= ， c=　 　， m=　 　；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选　 　年级更合适（填“七”或“八”)；
（3）该校七年级有学生 560人，八年级有学生 500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少
【答案】（1）84；72；30
（2）八
（3）解：人
【知识点】扇形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图
【解析】【解答】（1） 将七年级数据按从小到大排序：D 组（2 人）→ C 组（5 人）→ B 组（7 人）→ A 组（6 人），共 20 个数。第 10、11 个数都在 B 组中，B 组数据为：83， 84， 84， 84， 85， 87， 88，即 B 组是第 8~14 个数。
第 10 个数是 84，第 11 个数是 85，因此中位数：；
八年级 20 名学生成绩已按从小到大排序：63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86， 86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99
b是下四分位数（第 25% 分位数，即第20×25%=5个数）：第 5 个数是 72，因此b=72；c是中位数（第 10、11 个数的平均数）：第 10 个数是 82，第 11 个数是 84，因此：；
扇形统计图中B组人数为7，占比为35%，所以m=100-35-25-10=30；
综上，a=84.5，b=72，c=83，m=30；
（2）已知七年级方差为 278.9，八年级方差为 134.7。
因为134.7<278.9，八年级的方差更小，说明八年级成绩波动更小、更稳定。
因此，选八年级更合适。
【分析】（1）本题考查中位数、扇形统计图、箱线图的相关知识，核心是利用样本数据的分布特征，计算中位数和百分比。
中位数：将数据从小到大排序后，第 10、11 个数的平均数（20 个数据，中位数为第 10、11 位的平均值）。扇形统计图：通过各组百分比之和为 100%，计算 A 组的百分比m%。箱线图：b为下四分位数（第 25% 分位数，即第 5 个数），c为中位数（第 10、11 个数的平均数）；
（2） 本题考查方差的意义：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。只需比较七、八年级的方差大小即可；
（3） 本题考查用样本估计总体：用样本中成绩不低于 90 分的百分比，估计总体中对应人数，再求和。
20．小明同学每次回家时，总能看见张贴在电梯间的提示标语“高空抛物害人害己”.为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s)和高度h（单位：m)近似满足公式 （不考虑风速的影响，
（1）已知小明家住20层，离地面的高度为60米，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间（结果保留根号)；
（2）已知从高空坠落的物体所带能量 E（单位：J)=10 × 物体质量（kg)× 高度（m)，一串质量为 0.2kg 的钥匙经过 3s 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗 （注：65J 的能量就会对人体造成危害)
【答案】（1）解：把h=60代入，得 (秒)
（2）解：把t=3代入，得
∴h =45米
∴E =10×0.2×45=90J>65J
∴会对楼下的行人产生危害
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1） 本题是二次根式在物理实际问题中的应用，核心是代入求值与二次根式化简，将h代入公式进行化简即可求出落地时间；
（2）首先逆用公式求出高度h，然后用求出的高度和钥匙质量代入能量公式求出能量E，再与65J比较，判断是否有危害即可。
21．如图，一块长方形场地ABCD，现测得边长AB与AD之比为2：1，DE⊥AC于点E， BF⊥AC于点F，连接BE， DF，现计划在四边形DEBF 区域内种植花草。
（1）求线段EF 与AC 的比值
（2）若阴影部分的面积为12，求长方形ABCD 的周长.
【答案】（1）解：设AD =x，则AB =2x
在Rt△ADC中，
∵DE⊥AC
在Rt△ADC中，
同理：
（2）解：由(1)得，
(舍去)
【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)本题核心是利用勾股定理、三角形面积法、直角三角形射影定理，结合比例关系求解线段比。
首先根据题目中AB：AD=2：1，设AD=x，则AB=2x，把几何关系转化为含参数的代数问题，方便后续计算。然后在Rt△ADC中，利用勾股定理计算对角线AC的长度√5，为后续计算做铺垫。接着利用Rt△ADC的两种面积表示方式(AD·DC=AC，DE)，求出斜边上的
高DE，然后在Rt△ADE中，再次用勾股定理求出A的长度；由对称性可知CF=AE。利用EF=AC一AE一CF求出EF的长度，最后计算EF：AC的比值，参数会被约去，得到固定比值；
(2)本问核心是利用阴影部分面积与长方形面积的关系，建立方程求解参数心，进而计算周长。首先四边形DEBF的面积可以拆分为△DEB和△DFB的面积和，两个三角形的底都是EF，高分别为DE和BF，且DE=BF，然后用参数表示阴影面积，题目中给出阴影面积为12，因此，解出的值，最后长方形的周长公式为2(AB+AD)，将求出的x代入即可得到周长。
22．已知关于x的一元二次方程
（1）若该方程有一个根是 0，求k的值；
（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围；
（3）若该方程的两个实数根为x1，x2，且满足（ 求k的值.
【答案】（1）解：把x=0 代入，得
∴(k+1)(k-3)=0
（2）解：∵方程有两个实数根
∴k≥-1
（3）解：
即
解得
∵k≥-1
∴k = 5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的定义，将x=0代入原方程，转化为关于的一元二次方程求解即可；
(2)利用一元二次方程根的判别试：方程有两个实数根，则△=2一4a，c≥0，代入系数化简后解不等式，得到k的取值范围；
(3)利用韦达定理，先写出x1+x2与x1x2的表达式：再将(2x1-1)(2x2-1)=25展开变形，整体代入韦达定理的结果，解出k的值后，结合(2)的取值范围进行检验。
23． 2026年 3月，受美伊冲突持续加剧影响，中东地区原油供应紧张，国际油价大幅攀升。国内成品油价格随之经历了一轮“史诗级”上调。某加油站 92号汽油的销售价格由原先的6.4元/升，经历两次上调后，价格涨到了 8.1元/升，此时平均每天可售出 6000升 92号汽油。
（1）已知两次涨价的百分率相同，求每次涨价的百分率.
（2）经过市场调查发现，在8.1元/升的价格基础上，若每升汽油降价 0.1元，则平均每天将多售出200 升。该加油站希望在调整价格后，平均每天的销售额为53200元，问：92号汽油的售价应调整为多少元/升 （注：汽油的销售价格不得低于成本价6.0元)
【答案】（1）解：设平均每次涨价的百分率为x
则
解得 (舍去)
∴x=12.5%
∴平均每次涨价的百分率为12.5%
（2）解：设每升汽油降价a元
则
即
∴(2a-1)(5a-23)=0
解得
∵8.1-a≥6.0
∴a≤2.1
∴a=0.5
∴92号汽油得售价应调整为7.6元/升
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题是增长率问题，核心是用一元二次方程表示两次涨价后的价格。首先设每次涨价的百分率为x，则第一次涨价后价格为6.4(1+x)，第二次张价是在第一次涨价后的价格基础上，因此价格为6.4(1+x)2，根据最终价格为8.1元/升，列方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可；
(2)本题是利润/销售额问题，核心是根据“销售额=单价×销售量”列方程。设每升降价y元，则调整后的售价为8.1-y元/升，每降价0.1元多卖200升，因此降价y元后，销量增加2000y升，总销量为6000+2000y升，根据销售额为53200元，列方程(8.1-y)(6000+2000y)=53200，解出y后，结合“售价不低于6.0元”的条件筛选答案。
24．阅读理解：已知a，b为非负实数，因为（ 所以 当且仅当a=b时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例如：已知x>0，求代数式 的最小值.
解：令 则由 得
当且仅当 即正数x=2时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当x>0时，求代数式 的最小值，并求出此时x的值.
（2）已知m>1，则当m =　 　时，代数式 取到最小值，最小值为　 　.
（3）某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距100千米。根据经验，该货车每小时的耗油成本y（元)与行驶速度x（千米/小时)的平方成正比，比例系数为0.01 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时 36元。设货车从甲地到乙地的总成本为W元，为了使总成本W最低，货车的行驶速度x应为多少千米/小时 此时的最低总成本是多少元 （注：假设道路限速允许该速度行驶)
【答案】（1）解：令 则由 得
当且仅当 即正数x=2时，代数式有最小值，最小值为4
（2）4；3
（3）解：由题意得：
当且仅当 时，即x=60
∴当货车的行驶速度为60km/h时，总成本最低，最低成本是120元。
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的实际应用
【解析】【解答】（2）因为m>1，所以，
令，则，
原式，
由均值不等式，
当且仅当即t=1时取等号，此时最小值为2+1=3，
由t=1，得，解得m=4，
故答案为4，3；
【分析】（1）直接根据题意套用均值不等式，验证a，b>0后，计算最小值并取等号条件求x即可；
（2）先将代数式变形为"两正数之和"的形式，令，则原式可化为，再用均值不等式求最小值，最后回代求m；
（3）先根据题意列出总成本W的表达式，再整理为 “两正数之和” 的形式，套用均值不等式求最小值，同时确定取等号时的速度x。
1 / 1浙江杭州市萧山部分学校2025--2026学年八年级第二学期期中学情调研数学试卷
1．下列计算正确的是（　　)
A． B． C． D．
2．“菲尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次.获得2018年和2022年“菲尔兹奖”的8位数学家获奖时的年龄分别为31，40，34，37，39，35，37，36，则这组数据的中位数和众数分别是（　　)
A．36.5， 37 B．38， 37
C．37， 37 D．37， 36.5
3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
4．肺活量可以反映肺的容积和扩张能力，是一项能够衡量身体健康的重要指标.如图是某班在七、八年级参加国家学生体质健康测试时的肺活量箱线图，下列说法中错误的是（　　)
A．该班在七年级时的肺活量下四分位数是2180ml
B．该班在八年级时的肺活量上四分位数是3550ml
C．该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时大
D．相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高
5．用配方法解方程： 时，原方程变形为（　　)
A． B． C． D．
6．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（　　)
A．都不变
B．内角和增加180°，外角和不变
C．都增加180°
D．内角和增加180°，外角和减少 180°
7．若一个多边形的内角和为1260°，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
8．学校“自然之美”拓展课程小组在户外考察发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出了x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　)
A． B．
C． D．x+（1+x)2=73
9．我们知道整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是由基本运算符号连结起来的式子。善于思考数学问题的小明有一个新的发现，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 这种形式的结果，我们称这种形式的式子为根分式，如 都是根分式。结合上述信息，关于根分式 与 下列结论中正确的选项是（ )
①根分式A中的x的取值范围是x≥-1
②根分式B中的x的取值范围是x≠1
③不存在x的值，使得两个根分式满足
A．② B．②③ C．①②③ D．③
10．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根k，则下列判断正确的（　　)
A．若-1C．若-111．六边形的内角和=　 　.
12．已知 那么 的值为　 　.
13．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则 的方差为　 　.
14．设α， β是 的两个实数根，则 的值是　 　.
15．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 则y的最小值为　 　.
16．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=12cm.动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以3cm/s的速度移动，设运动时间为 ts，当ΔABP为等腰三角形时，t的值是　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2）
19．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组： A.90≤x≤100； B.80≤x<90； C.70≤x<80； D.60≤x<70)，下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是： 83， 84， 84， 84， 85， 87， 88.
八年级 20名学生竞赛成绩是： 63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86，86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差 278.9 134.7
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图八年级所抽取学生竞赛成绩箱线图
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=　 　， b= ， c=　 　， m=　 　；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选　 　年级更合适（填“七”或“八”)；
（3）该校七年级有学生 560人，八年级有学生 500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少
20．小明同学每次回家时，总能看见张贴在电梯间的提示标语“高空抛物害人害己”.为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s)和高度h（单位：m)近似满足公式 （不考虑风速的影响，
（1）已知小明家住20层，离地面的高度为60米，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间（结果保留根号)；
（2）已知从高空坠落的物体所带能量 E（单位：J)=10 × 物体质量（kg)× 高度（m)，一串质量为 0.2kg 的钥匙经过 3s 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗 （注：65J 的能量就会对人体造成危害)
21．如图，一块长方形场地ABCD，现测得边长AB与AD之比为2：1，DE⊥AC于点E， BF⊥AC于点F，连接BE， DF，现计划在四边形DEBF 区域内种植花草。
（1）求线段EF 与AC 的比值
（2）若阴影部分的面积为12，求长方形ABCD 的周长.
22．已知关于x的一元二次方程
（1）若该方程有一个根是 0，求k的值；
（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围；
（3）若该方程的两个实数根为x1，x2，且满足（ 求k的值.
23． 2026年 3月，受美伊冲突持续加剧影响，中东地区原油供应紧张，国际油价大幅攀升。国内成品油价格随之经历了一轮“史诗级”上调。某加油站 92号汽油的销售价格由原先的6.4元/升，经历两次上调后，价格涨到了 8.1元/升，此时平均每天可售出 6000升 92号汽油。
（1）已知两次涨价的百分率相同，求每次涨价的百分率.
（2）经过市场调查发现，在8.1元/升的价格基础上，若每升汽油降价 0.1元，则平均每天将多售出200 升。该加油站希望在调整价格后，平均每天的销售额为53200元，问：92号汽油的售价应调整为多少元/升 （注：汽油的销售价格不得低于成本价6.0元)
24．阅读理解：已知a，b为非负实数，因为（ 所以 当且仅当a=b时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例如：已知x>0，求代数式 的最小值.
解：令 则由 得
当且仅当 即正数x=2时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当x>0时，求代数式 的最小值，并求出此时x的值.
（2）已知m>1，则当m =　 　时，代数式 取到最小值，最小值为　 　.
（3）某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距100千米。根据经验，该货车每小时的耗油成本y（元)与行驶速度x（千米/小时)的平方成正比，比例系数为0.01 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时 36元。设货车从甲地到乙地的总成本为W元，为了使总成本W最低，货车的行驶速度x应为多少千米/小时 此时的最低总成本是多少元 （注：假设道路限速允许该速度行驶)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：根据二次根式的运算法则对各选项进行逐一判断即可。
A选项：因为5和不是同类项，不能直接进行加减，故选项A不正确；
B选项：因为，故选项B不正确；
C选项：因为，故选项C不正确；
D选项：根据二次根式的除法法则，，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，对各选项进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意，将数据排序为：31，34，35，36，37，37，39，40，
根据中位数的定义可知偶数个数据的中位数为排序后中间两个数的平均数，为，
众数为出现次数最多的数，为37，
故中位数为36.5，众数为37.
故答案为：A.
【分析】根据中位数和众数的定义，结合题意进行计算即可。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的概念，将代入给定的一元二次方程，即可得到，再结合一元二次方程二次项系数不为0的要求，即，可以推得，进而求出符合要求的m的值.
4．【答案】C
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A选项：从箱线图中可以清晰看到，七年级箱子的下边界（即第一四分位数/Q1）对应纵坐标2180ml，故A选项正确；
B选项：从箱线图中可以清晰看到，八年级箱子的上边界（即第三四分位数/Q3）对应纵坐标3550ml，故B选项正确；
C选项：七年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2900ml，八年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2950ml，2900ml < 2950ml，即七年级中位数小于八年级中位数，故C选项错误；
D选项：最小值：七年级1500ml < 八年级1780ml，下四分位数：七年级2180ml < 八年级2400ml，中位数：七年级2900ml < 八年级2950ml，上四分位数：七年级3250ml < 八年级3550ml，最大值：七年级3640ml < 八年级3940ml，所有五个关键统计量八年级都高于七年级，说明整体肺活量水平确实提高了，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】 这道题考查的是对箱线图统计量的理解和判断。箱线图显示了数据的五个关键统计量：最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值。需要逐一验证每个选项的说法是否正确。
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：按照配方的步骤进行即可：
先移项：；
然后两边加上一次项系数一半的平方：；
整理得： 。
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程中的配方步骤，结合完全平方公式的形式，先将常数项移动到等式右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可完成配方。
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形内角和定理，n边形的内角和为：，当边数增加1时，可以发现它的内角和为增加180°，
而对于任意多边形(边数大于3)的外角和均为360°，
故内角和增加180°，外角和不变。
故答案为：B.
【分析】根据多边形内角和公式和多边形外角和定理，结合题意即可确定。
7．【答案】B
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，由题意可列：(n-2)×180°=1260°，
解得：n=9，
由n边形从一个顶点出发的对角线为(n-3)，
故这个多边形从一个顶点出发的对角线条数为6条。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，先求出边数，然后根据从一个顶点出多的引出的对角线与边长的关系即可求出。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，小分支的个数为，
则主干、枝干、小分支数量之和为，
故列出方程： 。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程即可。
9．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：结论①：对于根分式 ，要保证分子中被开方数大于等于0，分母不为零，则x的取值范围为： x≥-1 且，故结论①不正确；
结论②： 对于根分式 分子恒成立，只需保证分母不为零即可，故x的取值范围是x≠1正确；
结论③：若，即，进一步整理得：，解得x=1，与x≠1矛盾，故不存在x的值，结论③正确。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了新定义，分式和二次根式有意义的条件，根据定义对三个选项时行判断即可。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知△=0，2k=-2，
解得k=-1，b=a-1，
则，，
若 ，即，解得a>1或a<0；
若 ，即，解得0结合选项只有D符合题意。
故答案为：D.
【分析】这道题考查的是一元二次方程有两个相等实数根的条件、根与系数的关系，以及分式不等式的推导。首先根据"有两个相等实数根k"的条件，推导出k与a、b的准确关系；然后将k/a和k/b转化为关于a的表达式；接着正确分析含有负号的分式不等式的大小比较；最后验证每个选项的逻辑关系。
11．【答案】720°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形内角和公式(n-2)×180°，
当n=6时，
内角和为(6-2)×180°=720°。
故答案为：720°.
【分析】根据多边形的内角和公式，代入即可得到答案.
12．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据非负数的性质，因为
所以x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
则。
故答案为：1.
【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，首先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入求值即可。
13．【答案】12
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数，
原数据的方差为，
则新数据的方差为，
故.
故答案为：12.
【分析】根据方差的计算方法，先设原数据的平均数 ，然后得到新数据的平均数，进而计算新数据的方差与原数据方差之间的关系，进而求出新数据的方差。
14．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：因为α， β是 的两个实数根，
所以，，
所以.
故答案为：16.
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系与一元二次方程的解，首先利用根与系数关系得到两根之和，然后将α代入方程，得到的值，最后根据要求的代数式的形式，整体代入求值即可。
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意可得，即1-m≥0，得到m≤1，
又因为b为方程的一个实数根，
所以，即，
则，
因为m≤1，
所以当m=1时，y有最小值1.
故答案为：1.
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和二次函数的最值，首先根据题意确定m的取值范围，然后将b代入方程得到关于b的等式，然后变形后得到关于m的代数式，进而根据m的取值范围得到y的最小值.
16．【答案】4或5或 2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 cm，AC=12 cm，动点P从B，点出发，沿射线BC以3cm/s的速度移动运动时间为t秒，则BP=3t cm，根据勾股定理得，
情况①：AB=AP，因为∠C=90°，所以BC=PC=6cm，则得3t=12，解得t=4；
情况②：BA=BP=cm，即，解得；
情况③：PA=PB，如图所示，
P点在线段AB的垂直平分线与射线BC的交点处，设垂直平分线与BC交于点D，则D为AB中点，则，由BC：AC=1：2，
所以BD：PD=1：2，
所以，
在Rt△BDP中，由勾股定理得：，
则3t=15，解得t=5，
综上所述：t的值为4或5或 2。
故答案为：4或5或 2.
【分析】这是一道动点问题，需要找到使△ABP成为等腰三角形的时刻t。由于P点沿射线BC移动，我们需要考虑等腰三角形的三种可能情况：AB = AP，BA = BP，PA = PB对于每种情况，都需要用勾股定理求出AB的长度，然后根据P点的位置建立方程求解t。
17．【答案】（1）解：
=2-3+2
=1
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查了二次根式的混合运算，按照运算顺序先乘除后加减，同时利用二次根式的乘除法和性质进行化简；
（2）本题首先利用完全平方式进行展开，然后利用二次根式的性质进行化简，最后合并同类项即可。
18．【答案】（1）解：x-2=±1
∴x-2=1或 x-2=-1
（2）解：(x+1)(x-5)=0
∴x+1=0或x-5=0
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，两边同时开平方将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解即可；
（2）本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，将方程左边进行因式分解，然后得到两个一元一次方程解之即可。
19．【答案】（1）84；72；30
（2）八
（3）解：人
【知识点】扇形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图
【解析】【解答】（1） 将七年级数据按从小到大排序：D 组（2 人）→ C 组（5 人）→ B 组（7 人）→ A 组（6 人），共 20 个数。第 10、11 个数都在 B 组中，B 组数据为：83， 84， 84， 84， 85， 87， 88，即 B 组是第 8~14 个数。
第 10 个数是 84，第 11 个数是 85，因此中位数：；
八年级 20 名学生成绩已按从小到大排序：63， 63， 65， 71， 72， 72， 75， 78， 81， 82， 84， 86， 86， 86， 89， 95， 97， 98， 98， 99
b是下四分位数（第 25% 分位数，即第20×25%=5个数）：第 5 个数是 72，因此b=72；c是中位数（第 10、11 个数的平均数）：第 10 个数是 82，第 11 个数是 84，因此：；
扇形统计图中B组人数为7，占比为35%，所以m=100-35-25-10=30；
综上，a=84.5，b=72，c=83，m=30；
（2）已知七年级方差为 278.9，八年级方差为 134.7。
因为134.7<278.9，八年级的方差更小，说明八年级成绩波动更小、更稳定。
因此，选八年级更合适。
【分析】（1）本题考查中位数、扇形统计图、箱线图的相关知识，核心是利用样本数据的分布特征，计算中位数和百分比。
中位数：将数据从小到大排序后，第 10、11 个数的平均数（20 个数据，中位数为第 10、11 位的平均值）。扇形统计图：通过各组百分比之和为 100%，计算 A 组的百分比m%。箱线图：b为下四分位数（第 25% 分位数，即第 5 个数），c为中位数（第 10、11 个数的平均数）；
（2） 本题考查方差的意义：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。只需比较七、八年级的方差大小即可；
（3） 本题考查用样本估计总体：用样本中成绩不低于 90 分的百分比，估计总体中对应人数，再求和。
20．【答案】（1）解：把h=60代入，得 (秒)
（2）解：把t=3代入，得
∴h =45米
∴E =10×0.2×45=90J>65J
∴会对楼下的行人产生危害
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1） 本题是二次根式在物理实际问题中的应用，核心是代入求值与二次根式化简，将h代入公式进行化简即可求出落地时间；
（2）首先逆用公式求出高度h，然后用求出的高度和钥匙质量代入能量公式求出能量E，再与65J比较，判断是否有危害即可。
21．【答案】（1）解：设AD =x，则AB =2x
在Rt△ADC中，
∵DE⊥AC
在Rt△ADC中，
同理：
（2）解：由(1)得，
(舍去)
【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)本题核心是利用勾股定理、三角形面积法、直角三角形射影定理，结合比例关系求解线段比。
首先根据题目中AB：AD=2：1，设AD=x，则AB=2x，把几何关系转化为含参数的代数问题，方便后续计算。然后在Rt△ADC中，利用勾股定理计算对角线AC的长度√5，为后续计算做铺垫。接着利用Rt△ADC的两种面积表示方式(AD·DC=AC，DE)，求出斜边上的
高DE，然后在Rt△ADE中，再次用勾股定理求出A的长度；由对称性可知CF=AE。利用EF=AC一AE一CF求出EF的长度，最后计算EF：AC的比值，参数会被约去，得到固定比值；
(2)本问核心是利用阴影部分面积与长方形面积的关系，建立方程求解参数心，进而计算周长。首先四边形DEBF的面积可以拆分为△DEB和△DFB的面积和，两个三角形的底都是EF，高分别为DE和BF，且DE=BF，然后用参数表示阴影面积，题目中给出阴影面积为12，因此，解出的值，最后长方形的周长公式为2(AB+AD)，将求出的x代入即可得到周长。
22．【答案】（1）解：把x=0 代入，得
∴(k+1)(k-3)=0
（2）解：∵方程有两个实数根
∴k≥-1
（3）解：
即
解得
∵k≥-1
∴k = 5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的定义，将x=0代入原方程，转化为关于的一元二次方程求解即可；
(2)利用一元二次方程根的判别试：方程有两个实数根，则△=2一4a，c≥0，代入系数化简后解不等式，得到k的取值范围；
(3)利用韦达定理，先写出x1+x2与x1x2的表达式：再将(2x1-1)(2x2-1)=25展开变形，整体代入韦达定理的结果，解出k的值后，结合(2)的取值范围进行检验。
23．【答案】（1）解：设平均每次涨价的百分率为x
则
解得 (舍去)
∴x=12.5%
∴平均每次涨价的百分率为12.5%
（2）解：设每升汽油降价a元
则
即
∴(2a-1)(5a-23)=0
解得
∵8.1-a≥6.0
∴a≤2.1
∴a=0.5
∴92号汽油得售价应调整为7.6元/升
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题是增长率问题，核心是用一元二次方程表示两次涨价后的价格。首先设每次涨价的百分率为x，则第一次涨价后价格为6.4(1+x)，第二次张价是在第一次涨价后的价格基础上，因此价格为6.4(1+x)2，根据最终价格为8.1元/升，列方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可；
(2)本题是利润/销售额问题，核心是根据“销售额=单价×销售量”列方程。设每升降价y元，则调整后的售价为8.1-y元/升，每降价0.1元多卖200升，因此降价y元后，销量增加2000y升，总销量为6000+2000y升，根据销售额为53200元，列方程(8.1-y)(6000+2000y)=53200，解出y后，结合“售价不低于6.0元”的条件筛选答案。
24．【答案】（1）解：令 则由 得
当且仅当 即正数x=2时，代数式有最小值，最小值为4
（2）4；3
（3）解：由题意得：
当且仅当 时，即x=60
∴当货车的行驶速度为60km/h时，总成本最低，最低成本是120元。
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的实际应用
【解析】【解答】（2）因为m>1，所以，
令，则，
原式，
由均值不等式，
当且仅当即t=1时取等号，此时最小值为2+1=3，
由t=1，得，解得m=4，
故答案为4，3；
【分析】（1）直接根据题意套用均值不等式，验证a，b>0后，计算最小值并取等号条件求x即可；
（2）先将代数式变形为"两正数之和"的形式，令，则原式可化为，再用均值不等式求最小值，最后回代求m；
（3）先根据题意列出总成本W的表达式，再整理为 “两正数之和” 的形式，套用均值不等式求最小值，同时确定取等号时的速度x。
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