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浙江省杭州市余杭区临平区2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
1．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用轴对称、旋转、平移设计图案
2．下列各组数中，是方程x+y=2的解为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的解的定义，将各选项代入x+y=2即可确定：
A选项：将 代入方程，方程左右为2，右边为2，左边=右边，故A选项正确；
B选项：将 代入方程，方程左右为-2，右边为2，左边≠右边，故B选项错误；
C选项：将 代入方程，方程左右为3，右边为2，左边≠右边，故C选项错误；
D选项：将 代入方程，方程左右为4，右边为2，左边≠右边，故D选项错误；
故答案为：A .
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，将各选项中x，y的值代入x+y=2，能使方程左右两边相等的一组解为其解。
3．水是地球上最常见的物质之一.水分子的大小可通过分子的半径来衡量，水分子的半径大约为0.14纳米，即0.000 000 000 14米.将数据0.000 000 000 14用科学记数法表示正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据题意用科学记数法表示绝对值大于0小于1的数，
a为整数位只有一位的小数，在本题主为1.4；
n为右侧第一个非零数起左侧0的个数，或是小数点往右移动的次数，在本题中为-10，
故 0.000 000 000 14= 。
故答案为： B.
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于0小于1的数，主要根据题意确定a和n的值。
4．计算下列各式，结果为a2的是(　　)
A．a2·a B．a+a C． D．(-a)2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：根据整式的加减法则，同底数幂的乘、除法法则进行判断，
A选项：根据同底数幂的乘法法则，，不符合题意，故A选项错误；
B选项：根据合并同类项法则，，不符合题意，故B选项错误；
C选项：根据同底数幂的除法法则，，不符合题意，故C选项错误；
D选项：根据平方的定义，，符合题意，故D选项正确。
故答案为：D .
【分析】本题主要考查了整式的运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项等，对每个选项进行逐一计算，对照结果即可确定答案。
5．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是(　　)
A．∠3+∠4=180° B．∠2=∠4
C．∠1=∠3 D．∠1+∠4=180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据图片信息，结合平行线的判定方法，对选项进行逐一判断即可。
A选项：当 ∠3+∠4=180° 时，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判定a||b，故A选项不符合题意；
B选项：当 ∠2=∠4 时，根据同位角相等，两直线平行，可以判定a||b，故B选项不符合题意；
C选项：当 ∠1=∠3 时，根据对顶角相等，不能判定a||b，故C选项符合题意；
D选项：当 ∠1+∠4=180° 时，因为∠1=∠3，所以∠3+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判定a||b，故D选项不符合题意。
故答案为： C.
【分析】本题主要考查了平行线的判定，结合图形，根据平行线的判定方法确定即可。
6．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(　　)
A．要消去x，可以将①×5-②×2 B．要消去y，可以将①×3+②×2
C．要消去x，可以将①×5+②×2 D．要消去y，可以将①×2-②×3
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：结合题意，我们可以发现两个二元一次方程的x的系数分别为2和5，y的系数分别为3和-2，
所以要消去x的话，我们需要 ①×5-②×2 ；要消去y的话要 ①×2+②×3，
结合选项，我们可以发现A选项是正确的。
故答案为： A.
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组，结合题意，将某个未知数的系数利用等式的性质变成相等或是相反，再利用两个方程相减或相加即可消去未知数。
7．一道作业题如下：
从甲地到乙地先有一段上坡路，后有一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需50分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少 km
小明将问题转化为二元一次方程组求解.设坡路有 xkm，平路有 ykm，则全程为(x+y)km，若他先列出一个方程为 则另一个正确的方程应该是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可知，从甲到乙地先上坡后平路，从乙到甲是先平路再下坡，
因为上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，
所以从甲到乙50分钟对应的方程为：
从乙到甲对应42分钟对应的方程为： 。
故答案为： B.
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用-行程问题，分析题意，利用路程÷速度=时间，列出二元一次方程组即可。
8．如图，一张四边形纸片ABCD， AD∥BC，点E， F分别在AD， BC上，把纸片沿EF折叠，折叠后点 C， D分别到了点 C'， D'处.若∠C=70°， C'D'∥AD，则∠EFC'的度数为(　　)
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：因为四边形纸片沿EF折叠，点C、D分别到C'、D处，
所以∠C'=∠C=70°，∠EFC'=∠EFC。
因为AD‖BC，CD'‖AD，
所以CD'‖BC，
所以∠C=∠BFC'=70°（两直线平行，内错角相等）。
因为∠BFC'+∠EFC'+∠EFC=180°，且∠EFC'=∠EFC，
所以70°+2∠EFC'=180°，
解得：∠EFC'=55°。
故答案为：D .
【分析】首先折叠前后对应角相等，即∠C'=∠C=70°，∠EFC'=∠EFC，接着由AD‖BC、CD'‖AD，可得CD'‖BC，因此∠C=∠BFC'=70°，最后∠BFC'+∠EFC'+∠EFC=180°，结合∠EFC'=∠EFC，即可求出∠EFC'的度数。
9．若 则 的值为(　　)
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：已知m2+m-1=0，可得：m2+m=1且m2=1-m
对m3+2m2+2026降次：
m3+2m2+2026=m×m2+2m2+2026
=m(1-m)+2m2+2026
=m-m2+2m2+2026
=m+m2+2026
将m2+m=1代入上式：
m+m2+2026=1+2026=2027
所以，m3+2m2+2026=2027。
故答案为： A.
【分析】本题考查整体代的应用，核心是利用已知方程将高次幂转化为低次幂，首先由已知方程m2+m-1=0，得到m2+m=1和m2=1-m；然后将三次项m3变形为m·m2，再用m2=1-m降次，代入原式化简求值。
10．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖.如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为23dm2.若地砖与台面的边长均为整数(单位：dm)，则台面与这种型号的地砖边长相差(　　)
A．4dm B．5dm C．8dm D．9dm
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；二元一次方程组的应用-几何问题；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：设正方形台面的边长为a dm，正方形地砖的边长为b dm(a，b均为正整数，且a>b)。
根据题意，4块地砖超出台面的面积为23dm2，因此：
4b2-a2=23
利用平方差公式因式分解：
(2b+a)(2b-a)=23
因为23是质数，且2b+a、2b-a均为正整数，且2b+a>2b-a，所以：
，
解得：，
因此，台面与地砖的边长差为：
a-b=11-6=5dm
故答案为：B.
【分析】 设台面边长为a，地砖边长为b，根据题意列方程，再利用因式分解和整数条件求解： 由图 2，4 块地砖总面积减去台面面积等于超出面积，即4b2 a2=23； 利用平方差公式分解，得到(2b+a)(2b a)=23； 23 是质数，且a，b为正整数，因此2b+a和2b a是 23 的两个正整数因数，即2b+a=23，2b a=1； 解方程组求出a，b，再计算a b即可。
11．计算： 　 　.
【答案】1.5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解： 。
故答案为：1.5 .
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，根据任何非零数的零次幂为1和负整数指数幂的运算规则计算即可。
12．如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角∠AOB的度数，某人设计了如下测量方案：作AO， BO的延长线OC， OD，量出∠COD 的度数，即为∠AOB 的度数.这个测量方案的数学依据是　 　.
【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解： 为 AO 与 OC 是同一条直线，BO 与 OD 是同一条直线，所以∠AOB 与∠COD 是对顶角。
根据 “对顶角相等” 的性质，可得∠AOB = ∠COD，因此测量∠COD 的度数即可得到∠AOB 的度数。
故答案为：对顶角相等 .
【分析】本题考查对顶角的定义与性质：∠AOB 与 ∠COD 是由直线 AC、BD 相交于点 O 形成的对顶角；根据对顶角的性质，对顶角相等，因此∠COD 的度数等于∠AOB 的度数。
13．写出一个解为 的二元一次方程组：　 　.
【答案】(答案不唯一)
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：根据二元一次方程组的解的定义：两个二元一次方程的公共解，
可构造第一个方程为x+y=-2，第二个方程为x-y=4，联立得到二元一次方程组：
(答案不唯一)
故答案为：(答案不唯一) .
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，构造的二元一次方程组的解为即可。
14．硬盘、U盘等信息存储设备常用KB，MB，GB，TB 等作为存储量的单位，其中1MB ，，例如，张老师有一台硬盘容量是2 TB 的笔记本电脑，还有一个存储量为64GB的U盘，则张老师这台笔记本电脑的硬盘容量是U盘容量的　 　倍.
【答案】32
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：已知：1TB=210GB，所以硬盘容量2TB=2×210GB
U盘容量为64GB=26GB
倍数计算：.
故答案为： 32.
【分析】 先把硬盘容量和 U 盘容量统一成相同单位（GB），再用除法求倍数，计算时结合同底数幂的运算规则简化计算。
15．已知直线AB， CD相交于点O， EO⊥AB，垂足为O.若∠EOC=35°，则∠AOD 的度数为　 　.
【答案】55°或125°
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：已知EO⊥AB，所以∠EOB=∠EOA=90°。
情况1：如图，EO在∠BOC内部
∠BOC=∠EOB-∠EOC=90°-35°=55°
因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以：
∠AOD=∠BOC=55°
情况2：如图，EO在∠AOC内部
∠AOC=∠EOA-∠EOC=90°-35°=55°
因为∠AOD与∠AOC是邻补角，所以：
∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°
综上，∠AOD的度数为55°或125°
故答案为：55°或125° .
【分析】本题考查垂直、对顶角、邻补角的性质，关键是分两种情况讨论 EO 的位置：当 EO 在∠BOC 内部时，先求∠BOC，再用对顶角相等求∠AOD；当 EO 在∠AOC 内部时，先求∠AOC，再用邻补角性质求∠AOD。
16．三位同学对下面的问题提出了各自的想法：
若方程组 的解是 求方程组 的解.
甲：肯定与第一个方程组有关，但看不出有怎样的联系.
乙：把第二个方程组的两个方程进行变形，让两个方程的系数呈a1，b1，c1与a2，b2，c2排列，这样与第一个方程组就有联系了.
丙：我好像明白乙说的意思了……
根据三位同学的对话，这个方程组的解是　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：将第二个方程组的两个方程移项，整理得：
，
进一步整理得：
，
令m=3x-1，n=2y，则方程组变形为：，
与已知方程组 的形式完全相同，
所以，
则，
解得：.
故答案为： .
【分析】本题考查整体换元法解二元一次方程组，核心是通过变形将新方程组转化为与已知方程组结构一致的形式，再直接套用已知解.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：=a4×a2+8a6=a4+2+8a6=a6+8a6=9a6
（2）解：=x2-4xy+4y2+2xy-4y2=
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】 (1)利用幂的运算法则：负数的偶次幂为正、同底数幂相乘底数不变指数相加、积的乘方等于各因式乘方的积，先分别化简两项，再合并同类项；
（2） 用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可；
18．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①+②得：4x=12，解得x=3，
将x=3代入①得，y=4，
故方程组的解为：
（2）解：
将方程①代入方程②得：2-y=0，
解得y=2，
将y=2代入①得：x=-3，
故方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，两方程相加即可消去y，然后回代即可求出x，从而得到方程组的解；
（2）本题主要考查了用特殊方法解二元一次方程组-整体代入法，将方程①整体代入方程②消去x，即可解出y，进而得到方程组的解。
19．如图，点C在BD上， ∠A=∠B， AB∥CE，请说明 CE平分∠ACD.
解：理由如下：
∵AB∥CE，
∴∠DCE= ▲ (两直线平行，同位角相等)，
∠ACE= ▲ ( ▲ ) .
∵∠A=∠B，
∴ ▲ ，
∴CE平分∠ACD (角平分线的定义).
请你补全上述说理过程.
【答案】解：理由如下：
∵AB∥CE，
∴∠DCE=∠B
∠ACE=∠A (两直线平行，内错角相等 ).
∵∠A=∠B，
∴∠DCE=∠ACE，
∴CE平分∠ACD
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题核心是利用平行线的性质和等量代换证明角平分线：首先由AB‖CE，利用两直线平行，同位角相等"得到∠DCE=∠B；再由AB‖CE，利用“两直线平行，内错角相等”得到∠ACE=∠A；然后结合已知∠A=∠B，通过等量代换得到∠DCE=∠ACE；最后根据角平分线的定义，说明CE平分∠ACD。
20．已知 ，
（1）求 xy的值；
（2）求x+y的值.
【答案】（1）解：已知x2+y2=25，x-y=7，
将x-y=7两边平方：(x-y)2=72，
x2-2xy+y2=49
将x2+y2=25代入上式：25-2xy=49
解得：xy=-12
（2）解：由(1)得xy=-12，已知x2+y2=25
代入完全平方和公式：(x+y)2=x2+2xy+y2
(x+y)2=25+2×(-12)
(x+y)2=25-24
(x+y)2=1
两边开平方：x+y=±1
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用完全平方差公式(x-y)2=x2-2xy+y2，将已知条件整体代入，即可求出xy的值；
（2）利用完全平方和公式(x+y)2=x2+2xy+y2，结合已知条件和(1)中求出的xy，先算出(x+y)2的值，再开方得到x+y的值。
21．如图，已知点D与∠AOB.作∠CDE，使∠CDE的两边与∠AOB 的两边分别平行.
（1）按要求画出图形；
（2）判断∠CDE与∠AOB 有怎样的数量关系.
【答案】（1）解：如图1，图2.
（2）解：情况1（图1）：∠CDE与∠AOB的两边同向平行
根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
∠CDE=∠AOB
情况2（图2）：∠CDE的两边与∠AOB的两边一边同向、一边反向平行
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：∠CDE+∠AOB=180°
综上可知∠CDE与∠AOB相等或互补
【知识点】作图-平行线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）题目要求构造一个角，使其两边分别与∠AOB 的两边平行。根据平行线的方向不同，存在两种情况：两边与∠AOB 的两边同向平行；一边同向平行、一边反向平行。因此需要画出两种不同的图形来覆盖所有情况。
（2）利用平行线的性质，分两种情况讨论∠CDE与∠AOB的数量关系：当两边同向平行时，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠CDE=∠AOB；当两边一边同向、一边反向平行时，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠CDE+∠AOB=180°。
22．在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2026年4月份的月历，我们任意选择两组“Z”字型方框，将每个“Z”字型方框4个位置上的数交叉相乘，再相减.
如： 6×15-7×14=-8； 17×26-18×25=-8，不难发现结果都是-8.
2026年4月
一 二 三 四 五 六 日
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 　 　 　
（1）若设框出的4个数中最小的数为n，请用含n的等式表示以上规律；
（2）利用整式的运算验证以上的规律.
【答案】（1）解：n(n+9)-(n+1)(n+8)=-8
（2）解：等式左边=n(n+9)-(n+1)(n+8)
=-8=右边
所以等式n(n+9)-(n+1)(n+8)=-8成立
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）根据月历中数字的排列规律，“Z”字形方框的4个数中，最小数为m，则其他三个数分别为m+1、n+8、
m+9，再根据题目中“交叉相乘再相减“的操作，列出含的等式即可。
(2)对(1)中列出的等式左边进行整式展开与化简，通过去括号、合并同类项，验证结果是否等于等式右边的-8，从而证明规律的正确性。
23．某学校为了开展“科学魔术秀”活动，七、八、九三个年级都购买了光影魔术盒和悬浮魔法棒这两种活动道具，已知八、九年级的购买信息如下表所示：
光影魔术盒(个) 悬浮魔法棒(根) 总费用(元)
九年级 4 1 256
八年级 6 3 408
（1）求光影魔术盒、悬浮魔法棒两种活动道具的单价；
（2）七年级购买光影魔术盒与悬浮魔法棒共用了320元(两种都要买)，求七年级购买光影魔术盒与悬浮魔法棒的数量.
【答案】（1）解：设光影魔术盒的单价是m元，悬浮魔法棒的单价是n元，得
解得
答：光影魔术盒的单价是60元，悬浮魔法棒的单价是16元
（2）解：设七年级购买了a个光影魔术盒，b 根悬浮魔法棒，得60a+16b=320，
∵a， b是正整数，
答：七年级购买了4个光影魔术盒，5根悬浮魔法棒
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据表格中九年级、八年级的购买信息，设两种道具的单价为未知数，列二元一次方程组，解方程组即可得到单价；
(2)利用(1)中求出的单价，根据七年级总费用列二元一次方程，再结合“数量为正整数”的条件，求方程的正整数解，得到两种道具的购买数量。
24．数学活动课上，老师让同学们利用一副三角尺摆图形并提出一些数学问题.已知，如图1，这副三角尺有以下特征：
①∠C=∠F=90°，
∠A=∠B=45°，
∠D=30°， ∠E=60°；
②点C到AB的距离与点 F到DE的距离相等.
请你解决甲、乙、丙三位同学提出的问题：
（1）甲同学：如图2，将两个三角尺重叠摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE 相交于点 G，求∠BGD 的度数.
（2）乙同学：如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点 E放在直线 MN上， DF与AB相交于点 P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系 请说明理由.
（3）丙同学：如图4，三角尺DEF固定不动，转动三角尺ABC的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线EC的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出∠ACE的度数(写出所有可能的情况).
【答案】（1）解：如图2，过点G作GH//DF，
∵∠C=90°， ∠DFE=90°， ∠B=45°， ∠D=30°，
∴∠C+∠DFE=180°，
∴BC//DF，
∵GH//DF，
∴GH//DF//BC，
∴∠HGD=∠D=30°， ∠BGH=∠B=45°，
∴∠BGD=∠HGD+∠BGH=75°
（2）解：∠DEM-∠DPB=30°，理由如下：
如图 3， 过点 D 作DH/MN，
∵AB//MN，
∴DH∥AB/MN，
∴∠HDE=∠DEM， ∠HDP=∠DPB，
∵∠HDE-∠HDP=∠EDF，且∠EDF=30°，
（3）的度数可能是 135°或 45°或 60°或 15°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：已知三角尺的角度：∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°，∠ACB=∠ECD=90°.
1.当AB‖DE时，如图：
此时∠BFC=∠E=60°，∠BCE=180°-∠B-∠BFC=75°，
∠ACE=90°-∠BCE=15°.
2.当AB‖CE时，如图：
此时∠BCE=∠B=45°，
∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+45°=135°。
3.当AB‖CD时，如图：
∠ACD+∠A=180°，∠ACD=180°-∠A=135°，
∠ACE=∠ACD-∠DCE=135°-90°=45°。
4.当AC‖DE时，如图：
∠ACE=∠E=60°，
综上，的度数可能是 135°或 45°或 60°或 15°
【分析】(1)利用平行线的判定与性质，通过作辅助线GH‖DF，结合三角尺的固定角度，将∠BGD拆分为∠BGH和∠HGD，分别求出这两个角的度数后相加即可；
(2)过点D作DH‖MN，利用平行线的传递性得到DH‖AB‖MN，再结合“两直线平行，内错角相等”，将∠DEM和∠DPB转化为∠HDE和∠HDP，利用∠HDE-∠HDP=∠EDF=30°，推导出两角的数量关系。
(3)分四种情况讨论两块三角尺一组边互相平行的情形，结合三角尺的固定角度，计算每种情况下∠ACE的度数：①AB‖DE，②AB‖CE；③AB‖CD；④AC‖DE。
1 / 1浙江省杭州市余杭区临平区2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
1．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各组数中，是方程x+y=2的解为(　　)
A． B． C． D．
3．水是地球上最常见的物质之一.水分子的大小可通过分子的半径来衡量，水分子的半径大约为0.14纳米，即0.000 000 000 14米.将数据0.000 000 000 14用科学记数法表示正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．计算下列各式，结果为a2的是(　　)
A．a2·a B．a+a C． D．(-a)2
5．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是(　　)
A．∠3+∠4=180° B．∠2=∠4
C．∠1=∠3 D．∠1+∠4=180°
6．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(　　)
A．要消去x，可以将①×5-②×2 B．要消去y，可以将①×3+②×2
C．要消去x，可以将①×5+②×2 D．要消去y，可以将①×2-②×3
7．一道作业题如下：
从甲地到乙地先有一段上坡路，后有一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需50分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少 km
小明将问题转化为二元一次方程组求解.设坡路有 xkm，平路有 ykm，则全程为(x+y)km，若他先列出一个方程为 则另一个正确的方程应该是(　　)
A． B． C． D．
8．如图，一张四边形纸片ABCD， AD∥BC，点E， F分别在AD， BC上，把纸片沿EF折叠，折叠后点 C， D分别到了点 C'， D'处.若∠C=70°， C'D'∥AD，则∠EFC'的度数为(　　)
A．70° B．65° C．60° D．55°
9．若 则 的值为(　　)
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
10．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖.如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为23dm2.若地砖与台面的边长均为整数(单位：dm)，则台面与这种型号的地砖边长相差(　　)
A．4dm B．5dm C．8dm D．9dm
11．计算： 　 　.
12．如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角∠AOB的度数，某人设计了如下测量方案：作AO， BO的延长线OC， OD，量出∠COD 的度数，即为∠AOB 的度数.这个测量方案的数学依据是　 　.
13．写出一个解为 的二元一次方程组：　 　.
14．硬盘、U盘等信息存储设备常用KB，MB，GB，TB 等作为存储量的单位，其中1MB ，，例如，张老师有一台硬盘容量是2 TB 的笔记本电脑，还有一个存储量为64GB的U盘，则张老师这台笔记本电脑的硬盘容量是U盘容量的　 　倍.
15．已知直线AB， CD相交于点O， EO⊥AB，垂足为O.若∠EOC=35°，则∠AOD 的度数为　 　.
16．三位同学对下面的问题提出了各自的想法：
若方程组 的解是 求方程组 的解.
甲：肯定与第一个方程组有关，但看不出有怎样的联系.
乙：把第二个方程组的两个方程进行变形，让两个方程的系数呈a1，b1，c1与a2，b2，c2排列，这样与第一个方程组就有联系了.
丙：我好像明白乙说的意思了……
根据三位同学的对话，这个方程组的解是　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程组：
（1）
（2）
19．如图，点C在BD上， ∠A=∠B， AB∥CE，请说明 CE平分∠ACD.
解：理由如下：
∵AB∥CE，
∴∠DCE= ▲ (两直线平行，同位角相等)，
∠ACE= ▲ ( ▲ ) .
∵∠A=∠B，
∴ ▲ ，
∴CE平分∠ACD (角平分线的定义).
请你补全上述说理过程.
20．已知 ，
（1）求 xy的值；
（2）求x+y的值.
21．如图，已知点D与∠AOB.作∠CDE，使∠CDE的两边与∠AOB 的两边分别平行.
（1）按要求画出图形；
（2）判断∠CDE与∠AOB 有怎样的数量关系.
22．在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2026年4月份的月历，我们任意选择两组“Z”字型方框，将每个“Z”字型方框4个位置上的数交叉相乘，再相减.
如： 6×15-7×14=-8； 17×26-18×25=-8，不难发现结果都是-8.
2026年4月
一 二 三 四 五 六 日
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 　 　 　
（1）若设框出的4个数中最小的数为n，请用含n的等式表示以上规律；
（2）利用整式的运算验证以上的规律.
23．某学校为了开展“科学魔术秀”活动，七、八、九三个年级都购买了光影魔术盒和悬浮魔法棒这两种活动道具，已知八、九年级的购买信息如下表所示：
光影魔术盒(个) 悬浮魔法棒(根) 总费用(元)
九年级 4 1 256
八年级 6 3 408
（1）求光影魔术盒、悬浮魔法棒两种活动道具的单价；
（2）七年级购买光影魔术盒与悬浮魔法棒共用了320元(两种都要买)，求七年级购买光影魔术盒与悬浮魔法棒的数量.
24．数学活动课上，老师让同学们利用一副三角尺摆图形并提出一些数学问题.已知，如图1，这副三角尺有以下特征：
①∠C=∠F=90°，
∠A=∠B=45°，
∠D=30°， ∠E=60°；
②点C到AB的距离与点 F到DE的距离相等.
请你解决甲、乙、丙三位同学提出的问题：
（1）甲同学：如图2，将两个三角尺重叠摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE 相交于点 G，求∠BGD 的度数.
（2）乙同学：如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点 E放在直线 MN上， DF与AB相交于点 P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系 请说明理由.
（3）丙同学：如图4，三角尺DEF固定不动，转动三角尺ABC的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线EC的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出∠ACE的度数(写出所有可能的情况).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用轴对称、旋转、平移设计图案
2．【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的解的定义，将各选项代入x+y=2即可确定：
A选项：将 代入方程，方程左右为2，右边为2，左边=右边，故A选项正确；
B选项：将 代入方程，方程左右为-2，右边为2，左边≠右边，故B选项错误；
C选项：将 代入方程，方程左右为3，右边为2，左边≠右边，故C选项错误；
D选项：将 代入方程，方程左右为4，右边为2，左边≠右边，故D选项错误；
故答案为：A .
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，将各选项中x，y的值代入x+y=2，能使方程左右两边相等的一组解为其解。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据题意用科学记数法表示绝对值大于0小于1的数，
a为整数位只有一位的小数，在本题主为1.4；
n为右侧第一个非零数起左侧0的个数，或是小数点往右移动的次数，在本题中为-10，
故 0.000 000 000 14= 。
故答案为： B.
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于0小于1的数，主要根据题意确定a和n的值。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：根据整式的加减法则，同底数幂的乘、除法法则进行判断，
A选项：根据同底数幂的乘法法则，，不符合题意，故A选项错误；
B选项：根据合并同类项法则，，不符合题意，故B选项错误；
C选项：根据同底数幂的除法法则，，不符合题意，故C选项错误；
D选项：根据平方的定义，，符合题意，故D选项正确。
故答案为：D .
【分析】本题主要考查了整式的运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项等，对每个选项进行逐一计算，对照结果即可确定答案。
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据图片信息，结合平行线的判定方法，对选项进行逐一判断即可。
A选项：当 ∠3+∠4=180° 时，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判定a||b，故A选项不符合题意；
B选项：当 ∠2=∠4 时，根据同位角相等，两直线平行，可以判定a||b，故B选项不符合题意；
C选项：当 ∠1=∠3 时，根据对顶角相等，不能判定a||b，故C选项符合题意；
D选项：当 ∠1+∠4=180° 时，因为∠1=∠3，所以∠3+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判定a||b，故D选项不符合题意。
故答案为： C.
【分析】本题主要考查了平行线的判定，结合图形，根据平行线的判定方法确定即可。
6．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：结合题意，我们可以发现两个二元一次方程的x的系数分别为2和5，y的系数分别为3和-2，
所以要消去x的话，我们需要 ①×5-②×2 ；要消去y的话要 ①×2+②×3，
结合选项，我们可以发现A选项是正确的。
故答案为： A.
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组，结合题意，将某个未知数的系数利用等式的性质变成相等或是相反，再利用两个方程相减或相加即可消去未知数。
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可知，从甲到乙地先上坡后平路，从乙到甲是先平路再下坡，
因为上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，
所以从甲到乙50分钟对应的方程为：
从乙到甲对应42分钟对应的方程为： 。
故答案为： B.
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用-行程问题，分析题意，利用路程÷速度=时间，列出二元一次方程组即可。
8．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：因为四边形纸片沿EF折叠，点C、D分别到C'、D处，
所以∠C'=∠C=70°，∠EFC'=∠EFC。
因为AD‖BC，CD'‖AD，
所以CD'‖BC，
所以∠C=∠BFC'=70°（两直线平行，内错角相等）。
因为∠BFC'+∠EFC'+∠EFC=180°，且∠EFC'=∠EFC，
所以70°+2∠EFC'=180°，
解得：∠EFC'=55°。
故答案为：D .
【分析】首先折叠前后对应角相等，即∠C'=∠C=70°，∠EFC'=∠EFC，接着由AD‖BC、CD'‖AD，可得CD'‖BC，因此∠C=∠BFC'=70°，最后∠BFC'+∠EFC'+∠EFC=180°，结合∠EFC'=∠EFC，即可求出∠EFC'的度数。
9．【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：已知m2+m-1=0，可得：m2+m=1且m2=1-m
对m3+2m2+2026降次：
m3+2m2+2026=m×m2+2m2+2026
=m(1-m)+2m2+2026
=m-m2+2m2+2026
=m+m2+2026
将m2+m=1代入上式：
m+m2+2026=1+2026=2027
所以，m3+2m2+2026=2027。
故答案为： A.
【分析】本题考查整体代的应用，核心是利用已知方程将高次幂转化为低次幂，首先由已知方程m2+m-1=0，得到m2+m=1和m2=1-m；然后将三次项m3变形为m·m2，再用m2=1-m降次，代入原式化简求值。
10．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；二元一次方程组的应用-几何问题；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：设正方形台面的边长为a dm，正方形地砖的边长为b dm(a，b均为正整数，且a>b)。
根据题意，4块地砖超出台面的面积为23dm2，因此：
4b2-a2=23
利用平方差公式因式分解：
(2b+a)(2b-a)=23
因为23是质数，且2b+a、2b-a均为正整数，且2b+a>2b-a，所以：
，
解得：，
因此，台面与地砖的边长差为：
a-b=11-6=5dm
故答案为：B.
【分析】 设台面边长为a，地砖边长为b，根据题意列方程，再利用因式分解和整数条件求解： 由图 2，4 块地砖总面积减去台面面积等于超出面积，即4b2 a2=23； 利用平方差公式分解，得到(2b+a)(2b a)=23； 23 是质数，且a，b为正整数，因此2b+a和2b a是 23 的两个正整数因数，即2b+a=23，2b a=1； 解方程组求出a，b，再计算a b即可。
11．【答案】1.5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解： 。
故答案为：1.5 .
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，根据任何非零数的零次幂为1和负整数指数幂的运算规则计算即可。
12．【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解： 为 AO 与 OC 是同一条直线，BO 与 OD 是同一条直线，所以∠AOB 与∠COD 是对顶角。
根据 “对顶角相等” 的性质，可得∠AOB = ∠COD，因此测量∠COD 的度数即可得到∠AOB 的度数。
故答案为：对顶角相等 .
【分析】本题考查对顶角的定义与性质：∠AOB 与 ∠COD 是由直线 AC、BD 相交于点 O 形成的对顶角；根据对顶角的性质，对顶角相等，因此∠COD 的度数等于∠AOB 的度数。
13．【答案】(答案不唯一)
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：根据二元一次方程组的解的定义：两个二元一次方程的公共解，
可构造第一个方程为x+y=-2，第二个方程为x-y=4，联立得到二元一次方程组：
(答案不唯一)
故答案为：(答案不唯一) .
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，构造的二元一次方程组的解为即可。
14．【答案】32
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：已知：1TB=210GB，所以硬盘容量2TB=2×210GB
U盘容量为64GB=26GB
倍数计算：.
故答案为： 32.
【分析】 先把硬盘容量和 U 盘容量统一成相同单位（GB），再用除法求倍数，计算时结合同底数幂的运算规则简化计算。
15．【答案】55°或125°
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：已知EO⊥AB，所以∠EOB=∠EOA=90°。
情况1：如图，EO在∠BOC内部
∠BOC=∠EOB-∠EOC=90°-35°=55°
因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以：
∠AOD=∠BOC=55°
情况2：如图，EO在∠AOC内部
∠AOC=∠EOA-∠EOC=90°-35°=55°
因为∠AOD与∠AOC是邻补角，所以：
∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°
综上，∠AOD的度数为55°或125°
故答案为：55°或125° .
【分析】本题考查垂直、对顶角、邻补角的性质，关键是分两种情况讨论 EO 的位置：当 EO 在∠BOC 内部时，先求∠BOC，再用对顶角相等求∠AOD；当 EO 在∠AOC 内部时，先求∠AOC，再用邻补角性质求∠AOD。
16．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：将第二个方程组的两个方程移项，整理得：
，
进一步整理得：
，
令m=3x-1，n=2y，则方程组变形为：，
与已知方程组 的形式完全相同，
所以，
则，
解得：.
故答案为： .
【分析】本题考查整体换元法解二元一次方程组，核心是通过变形将新方程组转化为与已知方程组结构一致的形式，再直接套用已知解.
17．【答案】（1）解：=a4×a2+8a6=a4+2+8a6=a6+8a6=9a6
（2）解：=x2-4xy+4y2+2xy-4y2=
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】 (1)利用幂的运算法则：负数的偶次幂为正、同底数幂相乘底数不变指数相加、积的乘方等于各因式乘方的积，先分别化简两项，再合并同类项；
（2） 用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可；
18．【答案】（1）解：
①+②得：4x=12，解得x=3，
将x=3代入①得，y=4，
故方程组的解为：
（2）解：
将方程①代入方程②得：2-y=0，
解得y=2，
将y=2代入①得：x=-3，
故方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，两方程相加即可消去y，然后回代即可求出x，从而得到方程组的解；
（2）本题主要考查了用特殊方法解二元一次方程组-整体代入法，将方程①整体代入方程②消去x，即可解出y，进而得到方程组的解。
19．【答案】解：理由如下：
∵AB∥CE，
∴∠DCE=∠B
∠ACE=∠A (两直线平行，内错角相等 ).
∵∠A=∠B，
∴∠DCE=∠ACE，
∴CE平分∠ACD
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题核心是利用平行线的性质和等量代换证明角平分线：首先由AB‖CE，利用两直线平行，同位角相等"得到∠DCE=∠B；再由AB‖CE，利用“两直线平行，内错角相等”得到∠ACE=∠A；然后结合已知∠A=∠B，通过等量代换得到∠DCE=∠ACE；最后根据角平分线的定义，说明CE平分∠ACD。
20．【答案】（1）解：已知x2+y2=25，x-y=7，
将x-y=7两边平方：(x-y)2=72，
x2-2xy+y2=49
将x2+y2=25代入上式：25-2xy=49
解得：xy=-12
（2）解：由(1)得xy=-12，已知x2+y2=25
代入完全平方和公式：(x+y)2=x2+2xy+y2
(x+y)2=25+2×(-12)
(x+y)2=25-24
(x+y)2=1
两边开平方：x+y=±1
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用完全平方差公式(x-y)2=x2-2xy+y2，将已知条件整体代入，即可求出xy的值；
（2）利用完全平方和公式(x+y)2=x2+2xy+y2，结合已知条件和(1)中求出的xy，先算出(x+y)2的值，再开方得到x+y的值。
21．【答案】（1）解：如图1，图2.
（2）解：情况1（图1）：∠CDE与∠AOB的两边同向平行
根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
∠CDE=∠AOB
情况2（图2）：∠CDE的两边与∠AOB的两边一边同向、一边反向平行
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：∠CDE+∠AOB=180°
综上可知∠CDE与∠AOB相等或互补
【知识点】作图-平行线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）题目要求构造一个角，使其两边分别与∠AOB 的两边平行。根据平行线的方向不同，存在两种情况：两边与∠AOB 的两边同向平行；一边同向平行、一边反向平行。因此需要画出两种不同的图形来覆盖所有情况。
（2）利用平行线的性质，分两种情况讨论∠CDE与∠AOB的数量关系：当两边同向平行时，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠CDE=∠AOB；当两边一边同向、一边反向平行时，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠CDE+∠AOB=180°。
22．【答案】（1）解：n(n+9)-(n+1)(n+8)=-8
（2）解：等式左边=n(n+9)-(n+1)(n+8)
=-8=右边
所以等式n(n+9)-(n+1)(n+8)=-8成立
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）根据月历中数字的排列规律，“Z”字形方框的4个数中，最小数为m，则其他三个数分别为m+1、n+8、
m+9，再根据题目中“交叉相乘再相减“的操作，列出含的等式即可。
(2)对(1)中列出的等式左边进行整式展开与化简，通过去括号、合并同类项，验证结果是否等于等式右边的-8，从而证明规律的正确性。
23．【答案】（1）解：设光影魔术盒的单价是m元，悬浮魔法棒的单价是n元，得
解得
答：光影魔术盒的单价是60元，悬浮魔法棒的单价是16元
（2）解：设七年级购买了a个光影魔术盒，b 根悬浮魔法棒，得60a+16b=320，
∵a， b是正整数，
答：七年级购买了4个光影魔术盒，5根悬浮魔法棒
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据表格中九年级、八年级的购买信息，设两种道具的单价为未知数，列二元一次方程组，解方程组即可得到单价；
(2)利用(1)中求出的单价，根据七年级总费用列二元一次方程，再结合“数量为正整数”的条件，求方程的正整数解，得到两种道具的购买数量。
24．【答案】（1）解：如图2，过点G作GH//DF，
∵∠C=90°， ∠DFE=90°， ∠B=45°， ∠D=30°，
∴∠C+∠DFE=180°，
∴BC//DF，
∵GH//DF，
∴GH//DF//BC，
∴∠HGD=∠D=30°， ∠BGH=∠B=45°，
∴∠BGD=∠HGD+∠BGH=75°
（2）解：∠DEM-∠DPB=30°，理由如下：
如图 3， 过点 D 作DH/MN，
∵AB//MN，
∴DH∥AB/MN，
∴∠HDE=∠DEM， ∠HDP=∠DPB，
∵∠HDE-∠HDP=∠EDF，且∠EDF=30°，
（3）的度数可能是 135°或 45°或 60°或 15°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：已知三角尺的角度：∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°，∠ACB=∠ECD=90°.
1.当AB‖DE时，如图：
此时∠BFC=∠E=60°，∠BCE=180°-∠B-∠BFC=75°，
∠ACE=90°-∠BCE=15°.
2.当AB‖CE时，如图：
此时∠BCE=∠B=45°，
∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+45°=135°。
3.当AB‖CD时，如图：
∠ACD+∠A=180°，∠ACD=180°-∠A=135°，
∠ACE=∠ACD-∠DCE=135°-90°=45°。
4.当AC‖DE时，如图：
∠ACE=∠E=60°，
综上，的度数可能是 135°或 45°或 60°或 15°
【分析】(1)利用平行线的判定与性质，通过作辅助线GH‖DF，结合三角尺的固定角度，将∠BGD拆分为∠BGH和∠HGD，分别求出这两个角的度数后相加即可；
(2)过点D作DH‖MN，利用平行线的传递性得到DH‖AB‖MN，再结合“两直线平行，内错角相等”，将∠DEM和∠DPB转化为∠HDE和∠HDP，利用∠HDE-∠HDP=∠EDF=30°，推导出两角的数量关系。
(3)分四种情况讨论两块三角尺一组边互相平行的情形，结合三角尺的固定角度，计算每种情况下∠ACE的度数：①AB‖DE，②AB‖CE；③AB‖CD；④AC‖DE。
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