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湖南省岳阳市湘一南湖学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图片即为瓷器上的纹饰，该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，该图形的对称轴的条数为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
2．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个.通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2、0.4.则可估计袋中黄球的个数是 (　　)
A．10 B．15 C．25 D．20
3．如果两个相似多边形的周长比为 1：5 ，则它们的面积比为(　　)
A．1：2.5 B．1：5 C．1：25 D．
4．已知二次函数 ，下列说法正确的是 (　　)
A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小
C．函数的最小值是 D．顶点坐标为
5．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是(　　)
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是 (　　)
A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧
7．若二次函数 与轴有交点，则的取值范围是(　　)
A． B． C．且 D．且
8．摩拜共享单车计划2025年第三季度(7，8，9月)连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划7月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程(　　)
A．
B．
C．
D．
9．如图， 在一张台球桌上， 一球在点处，要从处击打出去， 经球台边挡板CD反弹后击中球.作于点，于点.已知，，，， 若球手恰好能击中球， 则DE的长为(　　)
A．8cm B．10cm C．12cm D．
10．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①； ② 若 且 ，则 ； ③ 当 时， ； ④ 若 ，，连接AC，点在抛物线的对称轴上，且，则. 以上结论正确的有(　　)个
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知反比例函数y的图象经过点（3，2），则k的值是　 　．
12．把二次函数 向下平移4个单位长度得到的解析式为 　 　.
13．函数 图象上的两个不同点，，则，的大小关系是 　 　.
14．如图，AB是半圆的直径，点、在半圆上，若，则的度数为 　 　.
15．如图，在中，，，，点为AC的中点，连接BD，则BD的长为 　 　.
16． 5个全等的方块如图放置在 中，则的值是 　 　.
17．如图，正方形ABCD 为一个密闭容器的轴截面，当BC与水平桌面的夹角为 时，液面恰过点，若，则此时容器的最高点到桌面的高度为 　 　 cm.
18．函数 ，其中是常数且，该函数的图象记为.
（1） 当 ， 时，图象与轴的交点坐标为 　 　.
（2） 若直线与该函数图象恰好只有两个交点，则的取值为 　 　.
19． 计算：.
20． 如图，AC是的直径，AB、DC是的两条弦，且.已知.求的度数.
21． 2025年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡.市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线APP调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路(以下分别用A、B、C、D表示，只能选择一类)的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图.
（1） 补全这两幅统计图；
（2） 若国庆期间岳阳市累计接待了游客约295万人，根据抽样调查的结果估计最推荐A岳阳楼的游客有多少万人？
（3） 某游客准备到岳阳旅游，随机选择A、B、C、D四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率.
22． 如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于两点 ，.
（1） 求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2） 根据图象，直接回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3） 在轴上找一点，使得点，，构成以AO为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标.
23． 湘一南湖学校数学实践小组利用所学数学知识测量圣安寺万佛塔的高度.下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB. 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
　 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量数据 CD 1.61m 1.59m 1.6m α 26.4° 26.6° 26.5°
ED 1.18m 1.22m 1.2m β 37.1° 36.9° 37°
DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m
（1） 根据“方案一”的测量数据，直接写出塔AB的高度为 　 　 m；
（2） 根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；(参考数据：， ， ， ， ， )
24．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y.
（1） 直接写出y关于x的函数关系式；
（2） 该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？
25．如图，已知抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点C，D为抛物线的顶点.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值；
（3） 如图②，，两点在抛物线的对称轴上(点在点上方)，且 ，当与相似时，求出点的坐标.
26．【问题探究】 轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下： 如图①， 是等腰直角三角形，，，，求证：.
小智是这样思考的，如图②把沿AD折叠至，连接GE，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有.
小慧是这样思考的，如图③把绕点旋转至，连接EF，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有.
【问题迁移】 的直角顶点在矩形ABCD的对角线BD上运动，斜边AF交BD于点，且 .
（1） 如图1，当 ，，则BD的值为 　 　；EG的值为 　 　.
（2）【问题拓展】如图2，在矩形ABCD中，，当时，求证：；
（3） 如图3，在矩形ABCD中，，，，请直接写出线段 ND、NK、MB的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：该图形的对称轴有4条，
故答案为：B .
【分析】平面内使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合，这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，据此解答即可．
2．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是，
∴摸到红球、黄球的概率分别是，
∴红球和黄球各有个，个，
∴可估计袋中白球的个数是个，
故答案为：D .
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，然后运用球的总数减去黄球和红球的数量解答即可．
3．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比为，
∴相似多边形的相似比为；
∴它们的面积比为；
故答案为：C .
【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答即可．
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由得，，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
故选项A和D错误，不符合题意；
∵，
∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为，
故选项C错误，不符合题意；
当时，随的增大而减小，
故选项B正确，符合题意；
故答案为：B .
【分析】利用二次函数的图象和性质逐项判断解答即可．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故答案为：B .
【分析】根据网格分别计算三角形的三边长，然后根据三边对应成比例的两三角形相似判断解答即可．
6．【答案】A
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：A、半圆是弧，正确，符合题意；
B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故答案为：A .
【分析】利用圆的有关定义分别判断即可．
7．【答案】D
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数与轴有交点，
∴，
∴，
又∵，
∴且，
故答案为： .
【分析】根据二次函数与轴有交点可得且，求出得取值范围解答即可．
8．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，计划8月投放台，计划9月投放台，
所以可列方程．
故答案为：D .
【分析】根据7月投放台数，根据增长率表示8月和9月的投放台数，根据“ 第三季度共投放12000台 ”列方程即可．
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
即的长为12cm．
故答案为：C .
【分析】根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴，
∴
∵ 抛物线与轴正半轴交于，
∴，
∵，，，
∴，结论①正确．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，结论②错误．
∵ 对称轴为，，
∴ 当时，取得最大值，
∴ 当时，，
∴，结论③正确．
∵ 对称轴，，
∴，
设，，，
则，，，
∵，
∴，
即，解得，
∴，结论④正确．
综上，①③④正确，共3个．
故答案为：C .
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；利用因式分解得到，然后根据对称轴为x=-1求出判断②；根据二次函数的顶点坐标判断③；设，利用两点间距离公式、勾股定理得到关于t的方程，解方程求出t的值判断④解答即可．
11．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】 已知反比例函数y的图象经过点(3，2)，
将x=3，y=2代入解析式：得k=3×2=6。
故答案为：6.
【分析】 已知反比例函数的图象上的点(x，y)满足xy=k，因此只需将点的坐标代入解析式，即可求出 k 的值。
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：解：将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数解析式为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
13．【答案】＞
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】分别代入x=2和x=1，求出y1和y2的值，然后比较大小解答即可．
14．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到的度数，再根据直径所对的圆周角为直角求出∠ACB=90°，利用三角形的内角和定理解答即可．
15．【答案】5-
【知识点】直角三角形斜边上的中线；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
【分析】根据正弦的定义求出，再根据直角三角形的斜边中线的性质解答即可．
16．【答案】1
【知识点】求正切值；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：．
故答案为：1.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，然后计算正切即可.
17．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
．
，
， ，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在中，
点到桌面的高度，
故答案为：．
【分析】过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，得到四边形是矩形然后根据30°的直角三角形的性质得到求出，再在中根据正弦的定义求DH长出，根据线段的和差解答即可．
18．【答案】（1）
（2）3或-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）当，时，函数为，
令，得，
解得或．
∵
∴
∴交点坐标为，
故答案为：；
（2）当时，，顶点横坐标为，代入得顶点为；
当时，，顶点横坐标为，代入得顶点为．
∵直线与图象恰有两个交点，
∴直线过其中一个顶点，
①直线过顶点，则，
解得，
②直线过顶点，则，
解得，
故答案为：或．
【分析】（1）根据时，把 代入求出函数解析式，令解方程求出x的值解答即可；
（2）分别求出两个函数的顶点坐标，根据直线与图象的交点个数得到抛物线必过其中一个的顶点，代入得到关于m的方程解答即可．
19．【答案】解：原式
=
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数次幂、二次根式的化简、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可.
20．【答案】解： ∵，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角解答即可．
21．【答案】（1）解：（人），
A：（人），
B：（人），，
D：，
补全统计图为：
（2）解：295×36%=106.2(万人).
答：最推存A岳附楼的游客有106.2万人
（3）解：画树状图为：
如上图所示共种等可能结果，其中游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的结果共有种
∴．
答：该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）通过选择C景点的人数除以占比求样本容量，求出各部分数据及占比，补全统计图即可；
（2）利用样本中推荐A岳阳楼的人数占比乘以游客总数即可解答；
（3）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
22．【答案】（1）解：将点 代入反比例函数 ，
解得 ，
所以，反比例函数的解析式为 ；
将点 代入反比例函数 得，
，
解得 ，
所以，点B的坐标为 ，
将点 和点 代入一次函数 ，
列出方程组： ，
解得，
所以
（2）解：x>1或-3（3）解： 或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：（2）由（1）得反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，，
结合图形得当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
故答案为：或；
（3）解：∵ ，，
∴，
当时，设，则，
所以或，对应点的坐标为、．
当时，，则
，
，
，
所以或．
当时，（与点O重合，舍去）；
当时，，对应点的坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
【分析】（1）把点A代入反比例函数求出k，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出m、b解答即可；
（2）借助函数图象，得到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围解答即可；
（3）分、两种情况，根据两点间距离公式列方程求出点P的坐标即可．
23．【答案】（1）52
（2）解： 在 Rt△ABC 中，
，
，
设 ，，
在 Rt△ADB 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：塔AB的高度为52.5米.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，
∴，即，
解得，
∴塔的高度为米；
故答案为：52.
【分析】（1）根据题意得到，利用对应边成比例解答即可；
（2）设 ，根据正切的定义求出BC和BD长，再根据列方程求出x的值解答即可.
24．【答案】（1）解：y=-10x+1000
（2）解：
当 时， 元
答：定价为 65 时，获得最大利润 12250 元
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：．
故答案为：y=-10x+1000；
【分析】（1）根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”列函数关系式即可；
（2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量列函数关系式，然后配方得到顶点式，根据顶点式求出最值解答即可．
25．【答案】（1）解：解：将 A(-1， 0) B(3， 0) 代入 y = ax2 + bx - 3
解得
∴ y = x2 - 2x - 3
（2）如图，过点作轴，与直线交于点，连接，
对于抛物线，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将，两点代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
（3）解：如图④，连接，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设对称轴与轴的交点为M，
∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
由勾股定理可得，
在中，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
若，则，
∴，解得，
∴，
∴；
若，则，
∴，解得，
∴，
∴．
综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）把点A，B的坐标代入解析式求出a，b的值解答即可；
（2）在下方抛物线上取一点，过点作轴，与直线交于点，连接，首先得到抛物线与y轴交点，求出直线的解析式为；设，则，即可得到，得到，配方为顶点式求出最大值解答即可；
（3）连接，先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，再推理得到为等腰直角三角形，即可得到，然后分为和两种情况，利用对应边成比例列方程求出点P和Q的坐标即可．
26．【答案】（1）12；5
（2）证明：延长、交于点，将顺时针旋转至，连接、，
，
，，
，
，
又四边形是矩形，
，，
，
，，
又
，
即，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
又，
，
．
（3）解：
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）四边形是矩形且，
矩形是正方形，
，
又 是正方形的对角线，
根据勾股定理，，
，
把绕点A旋转至，连接，如图，
，，，，
，
，
，
，
，
在与中
，
，
，
在中，根据勾股定理，，
设，则，
，
解得，
．
故答案为12，5．
解：（3）如图所示，将绕点旋转至，并使得，
四边形是矩形，
又，，
，
作，，
，
，
，，
，
又，
，
，，
，
，，
，
又，
在与中，
，
，
，
又，
即．
故答案为：.
【分析】（1）利用矩形的性质和勾股定理即可求出长，将绕点A旋转至，连接，根据旋转的性质，利用SAS得到，即可得到，再在中，根据勾股定理建求出长解答即可；
（2）延长、交于点，将顺时针旋转至，即可得到，即可得到，，连接、，根据矩形的性质，利用SAS得到△AKM≌△ANM，即可得到MN=MK，在中，根据勾股定理得到结论即可；
（3）将绕点旋转至，并使得，根据两边成比例且夹角相等得到，作，，根据AAS得到，即可得到，，再推理得到，得到，进而得到结论即可．
1 / 1湖南省岳阳市湘一南湖学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图片即为瓷器上的纹饰，该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，该图形的对称轴的条数为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：该图形的对称轴有4条，
故答案为：B .
【分析】平面内使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合，这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，据此解答即可．
2．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个.通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2、0.4.则可估计袋中黄球的个数是 (　　)
A．10 B．15 C．25 D．20
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是，
∴摸到红球、黄球的概率分别是，
∴红球和黄球各有个，个，
∴可估计袋中白球的个数是个，
故答案为：D .
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，然后运用球的总数减去黄球和红球的数量解答即可．
3．如果两个相似多边形的周长比为 1：5 ，则它们的面积比为(　　)
A．1：2.5 B．1：5 C．1：25 D．
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比为，
∴相似多边形的相似比为；
∴它们的面积比为；
故答案为：C .
【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答即可．
4．已知二次函数 ，下列说法正确的是 (　　)
A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小
C．函数的最小值是 D．顶点坐标为
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由得，，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
故选项A和D错误，不符合题意；
∵，
∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为，
故选项C错误，不符合题意；
当时，随的增大而减小，
故选项B正确，符合题意；
故答案为：B .
【分析】利用二次函数的图象和性质逐项判断解答即可．
5．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故答案为：B .
【分析】根据网格分别计算三角形的三边长，然后根据三边对应成比例的两三角形相似判断解答即可．
6．下列说法正确的是 (　　)
A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧
【答案】A
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：A、半圆是弧，正确，符合题意；
B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故答案为：A .
【分析】利用圆的有关定义分别判断即可．
7．若二次函数 与轴有交点，则的取值范围是(　　)
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数与轴有交点，
∴，
∴，
又∵，
∴且，
故答案为： .
【分析】根据二次函数与轴有交点可得且，求出得取值范围解答即可．
8．摩拜共享单车计划2025年第三季度(7，8，9月)连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划7月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，计划8月投放台，计划9月投放台，
所以可列方程．
故答案为：D .
【分析】根据7月投放台数，根据增长率表示8月和9月的投放台数，根据“ 第三季度共投放12000台 ”列方程即可．
9．如图， 在一张台球桌上， 一球在点处，要从处击打出去， 经球台边挡板CD反弹后击中球.作于点，于点.已知，，，， 若球手恰好能击中球， 则DE的长为(　　)
A．8cm B．10cm C．12cm D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
即的长为12cm．
故答案为：C .
【分析】根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
10．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①； ② 若 且 ，则 ； ③ 当 时， ； ④ 若 ，，连接AC，点在抛物线的对称轴上，且，则. 以上结论正确的有(　　)个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴，
∴
∵ 抛物线与轴正半轴交于，
∴，
∵，，，
∴，结论①正确．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，结论②错误．
∵ 对称轴为，，
∴ 当时，取得最大值，
∴ 当时，，
∴，结论③正确．
∵ 对称轴，，
∴，
设，，，
则，，，
∵，
∴，
即，解得，
∴，结论④正确．
综上，①③④正确，共3个．
故答案为：C .
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；利用因式分解得到，然后根据对称轴为x=-1求出判断②；根据二次函数的顶点坐标判断③；设，利用两点间距离公式、勾股定理得到关于t的方程，解方程求出t的值判断④解答即可．
11．已知反比例函数y的图象经过点（3，2），则k的值是　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】 已知反比例函数y的图象经过点(3，2)，
将x=3，y=2代入解析式：得k=3×2=6。
故答案为：6.
【分析】 已知反比例函数的图象上的点(x，y)满足xy=k，因此只需将点的坐标代入解析式，即可求出 k 的值。
12．把二次函数 向下平移4个单位长度得到的解析式为 　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：解：将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数解析式为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
13．函数 图象上的两个不同点，，则，的大小关系是 　 　.
【答案】＞
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】分别代入x=2和x=1，求出y1和y2的值，然后比较大小解答即可．
14．如图，AB是半圆的直径，点、在半圆上，若，则的度数为 　 　.
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到的度数，再根据直径所对的圆周角为直角求出∠ACB=90°，利用三角形的内角和定理解答即可．
15．如图，在中，，，，点为AC的中点，连接BD，则BD的长为 　 　.
【答案】5-
【知识点】直角三角形斜边上的中线；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
【分析】根据正弦的定义求出，再根据直角三角形的斜边中线的性质解答即可．
16． 5个全等的方块如图放置在 中，则的值是 　 　.
【答案】1
【知识点】求正切值；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：．
故答案为：1.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，然后计算正切即可.
17．如图，正方形ABCD 为一个密闭容器的轴截面，当BC与水平桌面的夹角为 时，液面恰过点，若，则此时容器的最高点到桌面的高度为 　 　 cm.
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
．
，
， ，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在中，
点到桌面的高度，
故答案为：．
【分析】过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，得到四边形是矩形然后根据30°的直角三角形的性质得到求出，再在中根据正弦的定义求DH长出，根据线段的和差解答即可．
18．函数 ，其中是常数且，该函数的图象记为.
（1） 当 ， 时，图象与轴的交点坐标为 　 　.
（2） 若直线与该函数图象恰好只有两个交点，则的取值为 　 　.
【答案】（1）
（2）3或-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）当，时，函数为，
令，得，
解得或．
∵
∴
∴交点坐标为，
故答案为：；
（2）当时，，顶点横坐标为，代入得顶点为；
当时，，顶点横坐标为，代入得顶点为．
∵直线与图象恰有两个交点，
∴直线过其中一个顶点，
①直线过顶点，则，
解得，
②直线过顶点，则，
解得，
故答案为：或．
【分析】（1）根据时，把 代入求出函数解析式，令解方程求出x的值解答即可；
（2）分别求出两个函数的顶点坐标，根据直线与图象的交点个数得到抛物线必过其中一个的顶点，代入得到关于m的方程解答即可．
19． 计算：.
【答案】解：原式
=
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数次幂、二次根式的化简、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可.
20． 如图，AC是的直径，AB、DC是的两条弦，且.已知.求的度数.
【答案】解： ∵，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角解答即可．
21． 2025年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡.市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线APP调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路(以下分别用A、B、C、D表示，只能选择一类)的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图.
（1） 补全这两幅统计图；
（2） 若国庆期间岳阳市累计接待了游客约295万人，根据抽样调查的结果估计最推荐A岳阳楼的游客有多少万人？
（3） 某游客准备到岳阳旅游，随机选择A、B、C、D四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率.
【答案】（1）解：（人），
A：（人），
B：（人），，
D：，
补全统计图为：
（2）解：295×36%=106.2(万人).
答：最推存A岳附楼的游客有106.2万人
（3）解：画树状图为：
如上图所示共种等可能结果，其中游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的结果共有种
∴．
答：该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）通过选择C景点的人数除以占比求样本容量，求出各部分数据及占比，补全统计图即可；
（2）利用样本中推荐A岳阳楼的人数占比乘以游客总数即可解答；
（3）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
22． 如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于两点 ，.
（1） 求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2） 根据图象，直接回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3） 在轴上找一点，使得点，，构成以AO为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标.
【答案】（1）解：将点 代入反比例函数 ，
解得 ，
所以，反比例函数的解析式为 ；
将点 代入反比例函数 得，
，
解得 ，
所以，点B的坐标为 ，
将点 和点 代入一次函数 ，
列出方程组： ，
解得，
所以
（2）解：x>1或-3（3）解： 或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：（2）由（1）得反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，，
结合图形得当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
故答案为：或；
（3）解：∵ ，，
∴，
当时，设，则，
所以或，对应点的坐标为、．
当时，，则
，
，
，
所以或．
当时，（与点O重合，舍去）；
当时，，对应点的坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
【分析】（1）把点A代入反比例函数求出k，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出m、b解答即可；
（2）借助函数图象，得到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围解答即可；
（3）分、两种情况，根据两点间距离公式列方程求出点P的坐标即可．
23． 湘一南湖学校数学实践小组利用所学数学知识测量圣安寺万佛塔的高度.下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB. 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
　 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量数据 CD 1.61m 1.59m 1.6m α 26.4° 26.6° 26.5°
ED 1.18m 1.22m 1.2m β 37.1° 36.9° 37°
DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m
（1） 根据“方案一”的测量数据，直接写出塔AB的高度为 　 　 m；
（2） 根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；(参考数据：， ， ， ， ， )
【答案】（1）52
（2）解： 在 Rt△ABC 中，
，
，
设 ，，
在 Rt△ADB 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：塔AB的高度为52.5米.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，
∴，即，
解得，
∴塔的高度为米；
故答案为：52.
【分析】（1）根据题意得到，利用对应边成比例解答即可；
（2）设 ，根据正切的定义求出BC和BD长，再根据列方程求出x的值解答即可.
24．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y.
（1） 直接写出y关于x的函数关系式；
（2） 该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：y=-10x+1000
（2）解：
当 时， 元
答：定价为 65 时，获得最大利润 12250 元
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：．
故答案为：y=-10x+1000；
【分析】（1）根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”列函数关系式即可；
（2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量列函数关系式，然后配方得到顶点式，根据顶点式求出最值解答即可．
25．如图，已知抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点C，D为抛物线的顶点.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值；
（3） 如图②，，两点在抛物线的对称轴上(点在点上方)，且 ，当与相似时，求出点的坐标.
【答案】（1）解：解：将 A(-1， 0) B(3， 0) 代入 y = ax2 + bx - 3
解得
∴ y = x2 - 2x - 3
（2）如图，过点作轴，与直线交于点，连接，
对于抛物线，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将，两点代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
（3）解：如图④，连接，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设对称轴与轴的交点为M，
∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
由勾股定理可得，
在中，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
若，则，
∴，解得，
∴，
∴；
若，则，
∴，解得，
∴，
∴．
综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）把点A，B的坐标代入解析式求出a，b的值解答即可；
（2）在下方抛物线上取一点，过点作轴，与直线交于点，连接，首先得到抛物线与y轴交点，求出直线的解析式为；设，则，即可得到，得到，配方为顶点式求出最大值解答即可；
（3）连接，先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，再推理得到为等腰直角三角形，即可得到，然后分为和两种情况，利用对应边成比例列方程求出点P和Q的坐标即可．
26．【问题探究】 轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下： 如图①， 是等腰直角三角形，，，，求证：.
小智是这样思考的，如图②把沿AD折叠至，连接GE，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有.
小慧是这样思考的，如图③把绕点旋转至，连接EF，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有.
【问题迁移】 的直角顶点在矩形ABCD的对角线BD上运动，斜边AF交BD于点，且 .
（1） 如图1，当 ，，则BD的值为 　 　；EG的值为 　 　.
（2）【问题拓展】如图2，在矩形ABCD中，，当时，求证：；
（3） 如图3，在矩形ABCD中，，，，请直接写出线段 ND、NK、MB的数量关系.
【答案】（1）12；5
（2）证明：延长、交于点，将顺时针旋转至，连接、，
，
，，
，
，
又四边形是矩形，
，，
，
，，
又
，
即，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
又，
，
．
（3）解：
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）四边形是矩形且，
矩形是正方形，
，
又 是正方形的对角线，
根据勾股定理，，
，
把绕点A旋转至，连接，如图，
，，，，
，
，
，
，
，
在与中
，
，
，
在中，根据勾股定理，，
设，则，
，
解得，
．
故答案为12，5．
解：（3）如图所示，将绕点旋转至，并使得，
四边形是矩形，
又，，
，
作，，
，
，
，，
，
又，
，
，，
，
，，
，
又，
在与中，
，
，
，
又，
即．
故答案为：.
【分析】（1）利用矩形的性质和勾股定理即可求出长，将绕点A旋转至，连接，根据旋转的性质，利用SAS得到，即可得到，再在中，根据勾股定理建求出长解答即可；
（2）延长、交于点，将顺时针旋转至，即可得到，即可得到，，连接、，根据矩形的性质，利用SAS得到△AKM≌△ANM，即可得到MN=MK，在中，根据勾股定理得到结论即可；
（3）将绕点旋转至，并使得，根据两边成比例且夹角相等得到，作，，根据AAS得到，即可得到，，再推理得到，得到，进而得到结论即可．
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