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第1讲　机械振动
【答案】 正弦函数　正弦曲线　正比　指向　回复力　Asin(ωt+φ)　初相　-kx　分力　2π　　减小　其他形式　周期性　等于　f固
考点一　简谐运动的基本特征
　简谐运动的五个特征
受力特点 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反
运动特点 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量特征 振幅越大,能量越大。在运动过程中,动能和势能相互转化,系统的机械能守恒
周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
对称性 (1)如图所示,做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。 (2)物体由P到O所用时间等于由O到P′所用时间,即tPO=。 (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。 (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻,物体位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反
[例1] 【简谐运动基本物理量的分析】 (2025·江苏扬州学情调研)如图所示,弹簧振子在BC之间做简谐运动,当振子位于O点时,弹簧处于原长。在振子从C运动到O的过程中(　　)
A.动能不断增大,加速度不断减小
B.回复力不断增大,系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小,加速度不断增大
D. 弹性势能不断增大,加速度不断减小
【答案】 A　
【解析】 做简谐运动的弹簧振子,由C到O的过程中逐渐衡位置,速度方向指向平衡位置,弹簧弹力充当回复力也指向平衡位置,故速度方向与受力方向相同,所以合力做正功,动能增大;同时由于偏离平衡位置的位移减小,由回复力公式F=-kx 可知,回复力逐渐减小,根据牛顿第二定律可知F=-kx=ma,故加速度不断减小,故A项正确;由上述分析可知回复力不断减小,整个系统只有系统内的弹簧弹力做功,故系统的机械能守恒,故B项错误;振子由C到O的过程中弹簧形变量逐渐减小,故弹性势能逐渐减小,同时由上述分析可知,加速度也逐渐减小,故C、D项错误。
[变式] 如图所示,在光滑水平面上,两只轻弹簧劲度系数分别为k1、k2,中间连接一滑块,开始两弹簧均处于原长状态,现在使滑块向右移动位移x,由静止释放后滑块做简谐运动,什么力提供其做简谐运动的回复力 导出其表达式。
【答案】 见解析
【解析】 两弹簧弹力的合力提供滑块做简谐运动的回复力;设向右为正方向,回复力F=-(k1+k2)x,k1、k2为常数,则F=-kx。
[例2] 【回复力的应用】光滑的水平面上叠放有质量分别为m和的两木块,下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连,弹簧的另一端固定在墙上,如图所示,已知两木块之间的最大静摩擦力为Ff,为使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动,系统的最大振幅为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D　
【解析】 对整体,位移等于最大振幅时有kA=(m+)a,可得a=,隔离分析,当最大振幅时,两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力Ff=a=,所以A=,故选D。
[例3] 【简谐运动的周期性与对称性】 (2025·江苏泰州开学考试)如图所示,竖直方向弹簧振子平衡位置为O,M、N关于O对称,振动过程中小球在M、N位置物理量相同的是(　　)
A.位移 B.动能
C.加速度 D.机械能
【答案】 B　
【解析】 简谐运动的位移起点为平衡位置O,则小球在M、N两对称位置的位移等大反向,位移不同,A错误;根据简谐运动的对称性可知,M、N两对称位置的速率相等,则动能相同,B正确;简谐运动的加速度是由回复力提供,始终指向平衡位置,由a=-可知M、N两对称位置的加速度等大反向,即加速度不同,C错误;小球在竖直方向做简谐运动的过程,只有重力和弹簧的弹力做功,则小球和弹簧组成的系统机械能守恒,而小球的机械能不守恒,则M、N两位置的机械能不相同,D错误。
考点二　简谐运动的图像和表达式
1.从振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动表达式的书写
(1)从振动图像中找出振幅A和周期T,ω=。
(2)根据t=0时的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
(3)把A、ω、φ代入表达式x=Asin(ωt+φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式,也可以用该方法求得,只不过φ不相同)。
[例4] 【简谐运动的图像问题】 (2025·江苏镇江期中)如图所示,物块和弹簧组成的弹簧振子,在光滑的水平面上做简谐运动,以平衡位置O为原点,水平向右为正方向,建立Ox轴,物块向右运动到O点开始计时。下列描述物块所受回复力F、动能Ek随位移x变化的关系图像,速度v、位移x随时间t变化的关系图像中,可能正确的是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
【答案】 C　
【解析】 根据F=-kx,可知F-x图像中图线为过原点的直线,且斜率为负,A错误;依题意,物块向右运动到O点开始计时,此时其速度最大,随后随着x的增大而减小,根据Ek=mv2可知,物块的动能也随x的增大而减小,B错误;根据v-t图像中某点切线斜率表示加速度可知,从计时时刻开始,物块先做加速度增大的减速运动,达到最大加速度时速度为零,然后物块速度反向,做加速度减小的加速运动,速度最大时加速度为零,符合简谐运动特点,C正确;根据弹簧振子的振动方程x=Asin ωt可知,0~时间内位移为正值,D错误。
[例5] 【对简谐运动表达式的理解】 (2024·北京卷,9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时,弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin 2.5πt m/s2
【答案】 D　
【解析】 t=0时,手机加速度为0,弹簧弹力大小 F=mg,A错误;t=0.2 s时,手机的加速度为正,则手机位于平衡位置下方,B错误;从t=0至t=0.2 s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度减小,动能减小,C错误;T=0.8 s,ω==2.5π rad/s,则a随t变化的关系式为 a=4sin 2.5πt m/s2,D正确。
[变式] (1)手机在振动过程中,手机的机械能是否守恒
(2)已知手机的质量m=0.15 kg,弹簧的劲度系数为k=20 N/m,重力加速度g取 10 m/s2,不计空气阻力,请写出手机偏离平衡位置的位移y随时间t变化的关系式。
【答案】 (1)手机机械能不守恒
(2)y=-3sin 2.5πt cm
【解析】 (1)手机振动过程中,弹簧和手机组成的系统只有重力做功,系统机械能守恒,但手机的机械能不守恒。
(2)由[例5]题图乙可知,手机的振动周期 T=0.8 s,
则圆频率ω==2.5π rad/s,
在平衡位置时,弹簧的伸长量x1==7.5 cm,
手机的加速度最大时,对手机受力分析可知Fm-mg=mam,
其中Fm=kxm,解得xm=10.5 cm,
手机振动时的振幅A=xm-x1=3 cm,
手机偏离平衡位置的位移y随时间t变化的关系式为y=-3sin 2.5πt cm。
考点三　单摆及其周期公式
1.单摆的受力特征
(1)回复力:摆球所受重力沿与摆线垂直方向的分力,F回=mgsin θ=-x=-kx,负号表示回复力F回与位移x的方向相反,故单摆做简谐运动。
(2)向心力:摆线的拉力和摆球所受重力沿摆线方向分力的合力充当向心力,FT-mgcos θ=m。
(3)两个特殊位置。
①当摆球在最高点时,Fn=m=0,FT=mgcos θ。
②当摆球在最低点时,Fn=m,Fn最大,FT=mg+m。
2.单摆周期公式
公式 T=2π
等效 摆长l 摆球在垂直于纸面方向小角度摆动,等效摆长为l0sin α
摆球在垂直于纸面方向小角度摆动,等效摆长为l0sin α+l0
等效 重力 加速度 g效=gsin θ
g效=
g等效=g
3.类单摆问题
构成 (1)光滑球形曲面AOB。 (2)小球m
要求 (1)球形曲面光滑。 (2)小球直径远小于球形曲面半径R。 (3)小球在小范围AOB内做往复运动
[例6] 【单摆周期公式的应用】 (2025·江苏苏州阶段练习)正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿下,某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度,他先将线的下端系上一个小球,当小球静止时,细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直,球在最低点B时,球心到窗上沿的距离为 l=1 m。他打开窗户,让小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动,如图所示,从小球第1次通过图中的B点开始计时,到第21次通过B点共用时40 s。取g=π2 m/s2,根据以上数据,求:
(1)该单摆的周期;
(2)房顶到窗上沿的高度h。
【答案】 (1)4 s　(2)8 m
【解析】 (1)从小球第1次通过题图中的B点开始计时,到第21次通过B点共用时40 s,
则周期为T= s=4 s。
(2)球心到窗上沿的距离l=1 m,由于该单摆在左右两侧摆动的摆长变化,故周期公式为
T=(T1+T2)=(2π+2π),
代入数据解得房顶到窗上沿的高度h=8 m。
[例7] 【单摆振动图像的应用】 (2024·甘肃卷,5)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取
10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
【答案】 C　
【解析】 单摆振动周期为T=0.8π s,由单摆的周期公式T=2π得摆长为l==1.6 m,x-t图像的斜率表示速度,故起始时刻速度为零,且A、C点的速度相同,A、B点的速度大小相等,方向不同,故选C。
[例8] 【类单摆问题】 (2025·江苏南京模拟)如图所示,某同学利用一半径R较大的固定光滑圆弧槽和一直径为d(d R)的刚性小球来测定当地的重力加速度。已知小球的运动为简谐运动。下列说法正确的是(　　)
A.应从小球处于最高点开始计时
B.从不同高度释放,小球的周期不同
C.若将n次全振动误记为(n-1)次,重力加速度的测量值将偏小
D.小球经过最低点时加速度为零
【答案】 C　
【解析】 在简谐运动中,通常选择平衡位置作为计时起点,此时速度最大,便于测量,最高点速度为零,不是最佳的计时起点,A错误;对于简谐运动,周期T只与系统的固有性质(如摆长、重力加速度)有关,与振幅(即释放高度)无关,因此从不同高度释放,小球的周期相同,B错误;根据单摆运动的周期公式得T=2π,若将n次全振动误记为 (n-1) 次,会使小球运动周期偏大,重力加速度的测量值偏小,C正确;在简谐运动中,小球绕O点做圆周运动,小球在最低点时速度最大,但加速度不为零,方向指向O点,D错误。
考点四　受迫振动和共振
1.简谐运动、受迫振动和共振的比较
项目 简谐运动 受迫振动 共振
是否受 驱动力 不受 驱动力 受驱动力 作用 受驱动力作用
振动周 期或 频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或 f=f驱 T驱=T0 或f驱=f0
振动 能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见 例子 弹簧振子或单摆 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线。
如图所示,横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知,f与f0越接近,振幅A越大;当f=f0时,振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化。
做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。
[例9] 【对受迫振动的理解】 (2025·江苏扬州期中)单摆M、N、O、P自由振动时,振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上,并保持各自的摆长不变,使其中一个单摆振动,经过足够长的时间,其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是(　　)
甲　　　　　　　　乙
丙　　　　　　　　丁
A.若使M振动起来,P不会振动
B.若使P振动起来,稳定时N比M的振幅大
C.若使O振动起来,稳定时M的振动周期等于3 s
D.若使M振动起来,稳定时N振动的周期仍小于2 s
【答案】 C　
【解析】 若使M振动起来,其他小球会做受迫振动,A错误;若使P振动起来,由于M的固有周期与驱动力的周期相同,M发生共振,稳定时M比N的振幅大,B错误;O的周期为3 s,使O振动起来,M做受迫振动,则稳定时M的振动周期为 3 s,C正确;使M振动起来,稳定时N振动的周期等于M的振动周期,即2 s,D错误。
[例10] 【对共振曲线的理解】 (2025·江苏镇江期中)某汽车的车身是装在底座的弹簧上,该车以不同的速度通过装有间隔2 m的连续减速带,车身振动的振幅A与汽车速度v的关系如图所示。若汽车以12 m/s的速度通过连续减速带过程中,车身振动的频率为f,车身的固有频率为f0,下列说法正确的是(　　)
A.f=6 Hz,f0=10 Hz
B.f=6 Hz,f0=6 Hz
C.f=10 Hz,f0=10 Hz
D.f=10 Hz,f0=6 Hz
【答案】 A　
【解析】 根据图像可知,当速度为20 m/s时,发生共振,此时驱动力频率等于固有频率,所以固有频率为f0==10 Hz,汽车以12 m/s的速度通过连续减速带过程中,车身振动的频率为驱动力频率,f==6 Hz,故选A。
课时作业
对点1.简谐运动的基本特征
1.(2025·江苏镇江期中)如图,一弹簧振子沿x轴做简谐运动,振子零时刻向右经过A点,2 s时第一次到达B点,已知振子经过A、B两点时的速度大小相等,2 s内经过的路程为0.4 m,该弹簧振子的周期和振幅分别为(　　)
A.1 s　0.1 m B.2 s　0.1 m
C.4 s　0.2 m D.4 s　0.4 m
【答案】 C
【解析】 振子由A点到B点共经过了半周期,则周期为T=4 s,一个完整的周期经过的路程为0.8 m,有4A=0.8 m,解得振幅为A=0.2 m,故C正确。
2.如图所示,现有两端开口、粗细均匀的U形管开口竖直向上,管内装有液体。给左管液面加压,当液体静止时,右管液面比左管液面高出h。现撤去外压并开始计时,t=0.5 s时,左管液面第一次比右管液面高出h。若不计阻力,撤去外压后液体做简谐运动。下列说法正确的是(　　)
A.液体做简谐运动的周期为0.5 s
B.左、右两液面等高时液体速度为零
C.t= s时,右管液面比左管液面高
D.撤去外压后,由于大气压力对液体做功,液体机械能不守恒
【答案】 C　
【解析】 左管液面第一次比右管液面高出h,此时经历的时间为半个周期,液体做简谐运动的周期为1 s,故A错误;左、右两液面等高时处于平衡位置,此时速度最大,故B错误;从计时起,在周期到1个周期时间内,右管液面比左管液面高,因为 s< s<1 s,可知t= s时,右管液面比左管液面高,故C正确;左、右两边的液体所受的大气压力都是向下,所以大气压力对液体不做功,液体机械能守恒,故D错误。
对点2.简谐运动的图像和表达式
3.如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动,取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子的振动周期为1.6 s,振幅为24 cm
B.0.5 s末和1.1 s末,振子的速度相同
C.在0.4 ~0.8 s内,振子的速度和加速度方向始终相反
D.振子做简谐运动的表达式为x=24sin (t+) cm
【答案】 C　
【解析】 由题图乙可知,振子的周期为1.6 s,振幅为12 cm,设振子做简谐运动的表达式为x=Asin (ωt+φ),其中ω== rad/s,代入数据解得x=12sin (t+) cm,故A、D错误;0.5 s末振子从平衡位置向最大位移处运动,1.1 s末振子从最大位移处向平衡位置运动,振子在这两个时刻的速度方向不相同,故B错误;在0.4~0.8 s内弹簧振子从平衡位置移动到最大位移处,弹簧振子做减速运动,即振子的速度和加速度方向始终相反,故C正确。
4.(2025·江苏镇江阶段练习)一个质点经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的振动图像如图乙所示,设向右为正方向,下列说法正确的是(　　)
A.零时刻质点的速度最大
B.第0.4 s末质点的加速度大小为0
C.第0.7 s末质点距离O点小于2.5 cm
D.在0.1 s到0.3 s质点运动的路程大于5 cm
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知,零时刻质点处于正向最大位移处,则速度为0,A错误;第0.4 s末质点处于负向最大位移处,则加速度正向最大,B错误;根据简谐运动的函数关系x=5cos(πt) cm,可得第0.7 s末质点距离O点x= cm>2.5 cm,C错误;同C选项的分析可知,0.1 s时,质点在距离O点 cm处,0.3 s时,质点在距离O点- cm处,所以在0.1 s到0.3 s质点运动的路程为 s=5 cm>5 cm,D正确。
对点3.单摆及其周期公式
5.关于秒摆,下列说法正确的是(　　)
A.周期是2 s的单摆叫秒摆,秒摆的摆长约为1 m
B.把地球上的秒摆拿到月球(月球g月=1.6 m/s2),其周期不变
C.把地球上的秒摆拿到月球,做50次全振动时间仍为100 s
D.秒摆的摆长只与周期有关,与所处位置重力加速度无关
【答案】 A
【解析】 根据单摆周期公式T=2π,对于秒摆T=2 s,变形可得l=,代入数据解得l≈1 m,A正确;单摆周期T=2π,地球上g地与月球上g月不同,摆长l不变,周期会改变,B、D错误;地球上秒摆周期T地=2 s,拿到月球上,根据T=2π,月球g月=1.6 m/s2,解得月球上周期T月≈5 s,做
50次全振动时间t=50T月=50×5 s=250 s,C错误。
6.(2025·江苏连云港期末)如图所示,竖直平面内固定光滑圆弧轨道(圆弧的角度很小),O是轨道的最低点。质量不同的小球M、N(均可视为质点)从轨道左侧的不同位置由静止同时释放,到达O点过程中都经过图中的P点,下列说法正确的是(　　)
A.释放瞬间M、N的加速度大小相等
B.M、N同时到达O点
C.M、N通过O点时速度大小相等
D.M、N在P点的回复力大小相等
【答案】 B
【解析】 根据T=2π可知,两个小球做简谐运动的周期相同,M、N同时到达O点,B正确;释放瞬间,M、N在不同位置时,支持力与重力沿半径方向的分力大小相等,而合力等于重力沿圆弧轨道切线方向的分力,设释放时与竖直方向的夹角为θ,可知释放瞬间的加速度为a=
gsin θ,由于θ不同,故加速度大小不同,M、N在P点时,沿圆弧轨道切线方向的加速度相同,但质量不同,故回复力不相等,A、D错误;整个过程中,根据动能定理可得 mgR(1-cos θ)=mv2,解得通过O点时速度大小为 v=,由于θ不同,故通过O点时速度大小不相等,
C错误。
对点4.受迫振动和共振
7.(2025·江苏镇江期中)如图所示,A球振动后,通过水平细绳迫使B、C振动,下列说法正确的是(　　)
A.A球和C球振动周期相等,B球振动周期最大
B.B球和C球振动周期相等,A球振动周期最大
C.A球和B球振动周期相等,C球振动周期最小
D.A球、B球、C球的振动周期均相等
【答案】 D
【解析】 A球做自由振动,其振动周期就等于其固有周期,而B、C在A产生的驱动力的作用下做受迫振动,受迫振动的周期等于驱动力的周期,即等于A的固有周期,所以三个单摆的振动周期相等。
8.(2025·江苏徐州期中)把一个筛子用四根弹簧支撑起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这就做成了一个共振筛,如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压,可使偏心轮转速提高,增加筛子质量,可增大筛子的固有周期。现在,在某电压下偏心轮的转速是90 r/min。为使共振筛的振幅增大,下列做法可行的是(　　)
A.降低输入电压同时减小筛子质量
B.降低输入电压同时增加筛子质量
C.增大输入电压同时减小筛子质量
D.增大输入电压同时增加筛子质量
【答案】 A
【解析】 根据题意,在某电压下,电动偏心轮的转速是90 r/min,则f=1.5 Hz,由题图乙可知筛子的固有频率为f0=0.8 Hz9.(2025·江苏苏州模拟)如图所示,在倾角为30°的光滑斜面上,劲度系数为200 N/m的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上,另一端连接一质量为 4 kg 的物体A,一轻质细绳通过定滑轮,一端系在物体A上,另一端与质量也为4 kg的小球B相连,细绳与斜面平行,斜面足够长,用手托住球B使细绳刚好没有拉力,然后由静止释放,不计一切摩擦,g取 10 m/s2。则(　　)
A.A、B组成的系统在运动过程中机械能守恒
B.弹簧恢复原长时细绳上的拉力为40 N
C.A沿斜面向上运动的最远距离为20 cm
D.如果把斜面倾角改为25°,A上滑到最高点的时间不变
【答案】 D
【解析】 因A、B组成的系统运动过程中有弹簧的弹力对A做功,则A、B组成的系统在运动过程中机械能不守恒,A错误;弹簧恢复原长时,对A分析,有FT-mgsin 30°=ma,对B分析,有mg-FT=ma,解得细绳上的拉力为FT=30 N,B错误;开始时弹簧压缩量x1==0.1 m,当到达平衡位置时有mg=kx2+mgsin 30°,解得x2=0.1 m,由对称性可知A沿斜面向上运动的最远距离为 x=2(x1+x2)=40 cm,C错误;因A、B组成的系统做简谐运动,则振动周期与斜面倾角无关,即如果把斜面倾角改为25°,系统的周期不变,则A上滑到最高点的时间不变,D正确。
10.(2025·江苏无锡期中)如图所示为一单摆做简谐运动的x-t图像。在t=0时,质点的位移等于2 cm。
(1)求该单摆的摆长(π2=g,其中g为重力加速度);
(2)写出该单摆的振动方程。
【答案】 (1)1 m　(2)x=4sin(πt+) cm
【解析】 (1)由题图可知,该单摆的周期为2 s,根据T=2π,
可得该单摆的摆长为l=,解得l=1 m。
(2)由题图可知ω==π rad/s,A=4 cm,
设该单摆的振动方程为x=Asin(ωt+φ),
依题意,在t=0时,质点的位移等2 cm,且t=0时刻后质点向平衡位置振动,则有2 cm=4sin φ(cm),
解得φ=,
则该单摆的振动方程为x=4sin(πt+)cm。(共46张PPT)
第八章　
机械振动与机械波
第1讲
机械振动
考点一
简谐运动的基本特征
简谐运动的五个特征
[例1] 【简谐运动基本物理量的分析】 (2025·江苏扬州学情调研)如图所示,弹簧振子在BC之间做简谐运动,当振子位于O点时,弹簧处于原长。在振子从C运动到O的过程中(　　)
A.动能不断增大,加速度不断减小
B.回复力不断增大,系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小,加速度不断增大
D. 弹性势能不断增大,加速度不断减小
A
【解析】 做简谐运动的弹簧振子,由C到O的过程中逐渐衡位置,速度方向指向平衡位置,弹簧弹力充当回复力也指向平衡位置,故速度方向与受力方向相同,所以合力做正功,动能增大;同时由于偏离平衡位置的位移减小,由回复力公式F=-kx 可知,回复力逐渐减小,根据牛顿第二定律可知
F=-kx=ma,故加速度不断减小,故A项正确;由上述分析可知回复力不断减小,整个系统只有系统内的弹簧弹力做功,故系统的机械能守恒,故B项错误;振子由C到O的过程中弹簧形变量逐渐减小,故弹性势能逐渐减小,同时由上述分析可知,加速度也逐渐减小,故C、D项错误。
[变式] 如图所示,在光滑水平面上,两只轻弹簧劲度系数分别为k1、k2,中间连接一滑块,开始两弹簧均处于原长状态,现在使滑块向右移动位移x,由静止释放后滑块做简谐运动,什么力提供其做简谐运动的回复力 导出其表
达式。
【答案及解析】 两弹簧弹力的合力提供滑块做简谐运动的回复力;设向右为正方向,回复力F=-(k1+k2)x,k1、k2为常数,则F=-kx。
D
[例3] 【简谐运动的周期性与对称性】 (2025·江苏泰州开学考试)如图所示,竖直方向弹簧振子平衡位置为O,M、N关于O对称,振动过程中小球在M、N位置物理量相同的是(　　)
A.位移 B.动能
C.加速度 D.机械能
B
考点二
简谐运动的图像和表达式
1.从振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动表达式的书写
(2)根据t=0时的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
(3)把A、ω、φ代入表达式x=Asin(ωt+φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式,也可以用该方法求得,只不过φ不相同)。
[例4] 【简谐运动的图像问题】 (2025·江苏镇江期中)如图所示,物块和弹簧组成的弹簧振子,在光滑的水平面上做简谐运动,以平衡位置O为原点,水平向右为正方向,建立Ox轴,物块向右运动到O点开始计时。下列描述物块所受回复力F、动能Ek随位移x变化的关系图像,速度v、位移x随时间t变化的关系图像中,可能正确的是(　　)
C
A B C D
[例5] 【对简谐运动表达式的理解】 (2024·北京卷,9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时,弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin 2.5πt m/s2
D
[变式] (1)手机在振动过程中,手机的机械能是否守恒
【答案】 (1)手机机械能不守恒
【解析】 (1)手机振动过程中,弹簧和手机组成的系统只有重力做功,系统机械能守恒,但手机的机械能不守恒。
(2)已知手机的质量m=0.15 kg,弹簧的劲度系数为k=20 N/m,重力加速度g取 10 m/s2,不计空气阻力,请写出手机偏离平衡位置的位移y随时间t变化的关系式。
【答案】 (2)y=-3sin 2.5πt cm
考点三
单摆及其周期公式
1.单摆的受力特征
(3)两个特殊位置。
2.单摆周期公式
3.类单摆问题
构成
(1)光滑球形曲面AOB。
(2)小球m
要求 (1)球形曲面光滑。
(2)小球直径远小于球形曲面半径R。
(3)小球在小范围AOB内做往复运动
[例6] 【单摆周期公式的应用】 (2025·江苏苏州阶段练习)正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿下,某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度,他先将线的下端系上一个小球,当小球静止时,细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直,球在最低点B时,球心到窗上沿的距离为 l=1 m。他打开窗户,让小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动,如图所示,从小球第1次通过图中的B点开始计时,到第21次通过B点共用时40 s。取g=π2 m/s2,根据以上数据,求:
(1)该单摆的周期;
【答案】 (1)4 s　
(2)房顶到窗上沿的高度h。
【答案】 (2)8 m
[例7] 【单摆振动图像的应用】 (2024·甘肃卷,5)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取 10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
C
[例8] 【类单摆问题】 (2025·江苏南京模拟)如图所示,某同学利用一半径R较大的固定光滑圆弧槽和一直径为d(d R)的刚性小球来测定当地的重力加速度。已知小球的运动为简谐运动。下列说法正确的是(　　)
A.应从小球处于最高点开始计时
B.从不同高度释放,小球的周期不同
C.若将n次全振动误记为(n-1)次,重力加速度的测量值将偏小
D.小球经过最低点时加速度为零
C
考点四
受迫振动和共振
1.简谐运动、受迫振动和共振的比较
项目 简谐运动 受迫振动 共振
是否受 驱动力 不受 驱动力 受驱动力 作用 受驱动力作用
振动周 期或 频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或 f=f驱 T驱=T0
或f驱=f0
振动 能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见 例子 弹簧振子或单摆 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线。
如图所示,横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知,f与f0越接近,振幅A越大;当f=f0时,振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化。
做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。
[例9] 【对受迫振动的理解】 (2025·江苏扬州期中)单摆M、N、O、P自由振动时,振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上,并保持各自的摆长不变,使其中一个单摆振动,经过足够长的时间,其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是(　　)
C
A.若使M振动起来,P不会振动
B.若使P振动起来,稳定时N比M的振幅大
C.若使O振动起来,稳定时M的振动周期等于3 s
D.若使M振动起来,稳定时N振动的周期仍小于2 s
甲　　　　　 乙
丙　　　　　　 丁
【解析】 若使M振动起来,其他小球会做受迫振动,A错误;若使P振动起来,由于M的固有周期与驱动力的周期相同,M发生共振,稳定时M比N的振幅大,B错误;O的周期为3 s,使O振动起来,M做受迫振动,则稳定时M的振动周期为 3 s,C正确;使M振动起来,稳定时N振动的周期等于M的振动周期,即2 s,D错误。
[例10] 【对共振曲线的理解】 (2025·江苏镇江期中)某汽车的车身是装在底座的弹簧上,该车以不同的速度通过装有间隔2 m的连续减速带,车身振动的振幅A与汽车速度v的关系如图所示。若汽车以12 m/s的速度通过连续减速带过程中,车身振动的频率为f,车身的固有频率为f0,下列说法正确的是(　　)
A.f=6 Hz,f0=10 Hz
B.f=6 Hz,f0=6 Hz
C.f=10 Hz,f0=10 Hz
D.f=10 Hz,f0=6 Hz
A
感谢观看第1讲　机械振动
课时作业
对点1.简谐运动的基本特征
1.(2025·江苏镇江期中)如图,一弹簧振子沿x轴做简谐运动,振子零时刻向右经过A点,2 s时第一次到达B点,已知振子经过A、B两点时的速度大小相等,2 s内经过的路程为0.4 m,该弹簧振子的周期和振幅分别为(　　)
A.1 s　0.1 m B.2 s　0.1 m
C.4 s　0.2 m D.4 s　0.4 m
【答案】 C
【解析】 振子由A点到B点共经过了半周期,则周期为T=4 s,一个完整的周期经过的路程为0.8 m,有4A=0.8 m,解得振幅为A=0.2 m,故C正确。
2.如图所示,现有两端开口、粗细均匀的U形管开口竖直向上,管内装有液体。给左管液面加压,当液体静止时,右管液面比左管液面高出h。现撤去外压并开始计时,t=0.5 s时,左管液面第一次比右管液面高出h。若不计阻力,撤去外压后液体做简谐运动。下列说法正确的是(　　)
A.液体做简谐运动的周期为0.5 s
B.左、右两液面等高时液体速度为零
C.t= s时,右管液面比左管液面高
D.撤去外压后,由于大气压力对液体做功,液体机械能不守恒
【答案】 C　
【解析】 左管液面第一次比右管液面高出h,此时经历的时间为半个周期,液体做简谐运动的周期为1 s,故A错误;左、右两液面等高时处于平衡位置,此时速度最大,故B错误;从计时起,在周期到1个周期时间内,右管液面比左管液面高,因为 s< s<1 s,可知t= s时,右管液面比左管液面高,故C正确;左、右两边的液体所受的大气压力都是向下,所以大气压力对液体不做功,液体机械能守恒,故D错误。
对点2.简谐运动的图像和表达式
3.如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动,取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子的振动周期为1.6 s,振幅为24 cm
B.0.5 s末和1.1 s末,振子的速度相同
C.在0.4 ~0.8 s内,振子的速度和加速度方向始终相反
D.振子做简谐运动的表达式为x=24sin (t+) cm
【答案】 C　
【解析】 由题图乙可知,振子的周期为1.6 s,振幅为12 cm,设振子做简谐运动的表达式为x=Asin (ωt+φ),其中ω== rad/s,代入数据解得x=12sin (t+) cm,故A、D错误;0.5 s末振子从平衡位置向最大位移处运动,1.1 s末振子从最大位移处向平衡位置运动,振子在这两个时刻的速度方向不相同,故B错误;在0.4~0.8 s内弹簧振子从平衡位置移动到最大位移处,弹簧振子做减速运动,即振子的速度和加速度方向始终相反,故C正确。
4.(2025·江苏镇江阶段练习)一个质点经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的振动图像如图乙所示,设向右为正方向,下列说法正确的是(　　)
A.零时刻质点的速度最大
B.第0.4 s末质点的加速度大小为0
C.第0.7 s末质点距离O点小于2.5 cm
D.在0.1 s到0.3 s质点运动的路程大于5 cm
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知,零时刻质点处于正向最大位移处,则速度为0,A错误;第0.4 s末质点处于负向最大位移处,则加速度正向最大,B错误;根据简谐运动的函数关系x=5cos(πt) cm,可得第0.7 s末质点距离O点x= cm>2.5 cm,C错误;同C选项的分析可知,0.1 s时,质点在距离O点 cm处,0.3 s时,质点在距离O点- cm处,所以在0.1 s到0.3 s质点运动的路程为 s=5 cm>5 cm,D正确。
对点3.单摆及其周期公式
5.关于秒摆,下列说法正确的是(　　)
A.周期是2 s的单摆叫秒摆,秒摆的摆长约为1 m
B.把地球上的秒摆拿到月球(月球g月=1.6 m/s2),其周期不变
C.把地球上的秒摆拿到月球,做50次全振动时间仍为100 s
D.秒摆的摆长只与周期有关,与所处位置重力加速度无关
【答案】 A
【解析】 根据单摆周期公式T=2π,对于秒摆T=2 s,变形可得l=,代入数据解得l≈1 m,A正确;单摆周期T=2π,地球上g地与月球上g月不同,摆长l不变,周期会改变,B、D错误;地球上秒摆周期T地=2 s,拿到月球上,根据T=2π,月球g月=1.6 m/s2,解得月球上周期T月≈5 s,做
50次全振动时间t=50T月=50×5 s=250 s,C错误。
6.(2025·江苏连云港期末)如图所示,竖直平面内固定光滑圆弧轨道(圆弧的角度很小),O是轨道的最低点。质量不同的小球M、N(均可视为质点)从轨道左侧的不同位置由静止同时释放,到达O点过程中都经过图中的P点,下列说法正确的是(　　)
A.释放瞬间M、N的加速度大小相等
B.M、N同时到达O点
C.M、N通过O点时速度大小相等
D.M、N在P点的回复力大小相等
【答案】 B
【解析】 根据T=2π可知,两个小球做简谐运动的周期相同,M、N同时到达O点,B正确;释放瞬间,M、N在不同位置时,支持力与重力沿半径方向的分力大小相等,而合力等于重力沿圆弧轨道切线方向的分力,设释放时与竖直方向的夹角为θ,可知释放瞬间的加速度为a=
gsin θ,由于θ不同,故加速度大小不同,M、N在P点时,沿圆弧轨道切线方向的加速度相同,但质量不同,故回复力不相等,A、D错误;整个过程中,根据动能定理可得 mgR(1-cos θ)=mv2,解得通过O点时速度大小为 v=,由于θ不同,故通过O点时速度大小不相等,
C错误。
对点4.受迫振动和共振
7.(2025·江苏镇江期中)如图所示,A球振动后,通过水平细绳迫使B、C振动,下列说法正确的是(　　)
A.A球和C球振动周期相等,B球振动周期最大
B.B球和C球振动周期相等,A球振动周期最大
C.A球和B球振动周期相等,C球振动周期最小
D.A球、B球、C球的振动周期均相等
【答案】 D
【解析】 A球做自由振动,其振动周期就等于其固有周期,而B、C在A产生的驱动力的作用下做受迫振动,受迫振动的周期等于驱动力的周期,即等于A的固有周期,所以三个单摆的振动周期相等。
8.(2025·江苏徐州期中)把一个筛子用四根弹簧支撑起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这就做成了一个共振筛,如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压,可使偏心轮转速提高,增加筛子质量,可增大筛子的固有周期。现在,在某电压下偏心轮的转速是90 r/min。为使共振筛的振幅增大,下列做法可行的是(　　)
A.降低输入电压同时减小筛子质量
B.降低输入电压同时增加筛子质量
C.增大输入电压同时减小筛子质量
D.增大输入电压同时增加筛子质量
【答案】 A
【解析】 根据题意,在某电压下,电动偏心轮的转速是90 r/min,则f=1.5 Hz,由题图乙可知筛子的固有频率为f0=0.8 Hz9.(2025·江苏苏州模拟)如图所示,在倾角为30°的光滑斜面上,劲度系数为200 N/m的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上,另一端连接一质量为 4 kg 的物体A,一轻质细绳通过定滑轮,一端系在物体A上,另一端与质量也为4 kg的小球B相连,细绳与斜面平行,斜面足够长,用手托住球B使细绳刚好没有拉力,然后由静止释放,不计一切摩擦,g取 10 m/s2。则(　　)
A.A、B组成的系统在运动过程中机械能守恒
B.弹簧恢复原长时细绳上的拉力为40 N
C.A沿斜面向上运动的最远距离为20 cm
D.如果把斜面倾角改为25°,A上滑到最高点的时间不变
【答案】 D
【解析】 因A、B组成的系统运动过程中有弹簧的弹力对A做功,则A、B组成的系统在运动过程中机械能不守恒,A错误;弹簧恢复原长时,对A分析,有FT-mgsin 30°=ma,对B分析,有mg-FT=ma,解得细绳上的拉力为FT=30 N,B错误;开始时弹簧压缩量x1==0.1 m,当到达平衡位置时有mg=kx2+mgsin 30°,解得x2=0.1 m,由对称性可知A沿斜面向上运动的最远距离为 x=2(x1+x2)=40 cm,C错误;因A、B组成的系统做简谐运动,则振动周期与斜面倾角无关,即如果把斜面倾角改为25°,系统的周期不变,则A上滑到最高点的时间不变,D正确。
10.(2025·江苏无锡期中)如图所示为一单摆做简谐运动的x-t图像。在t=0时,质点的位移等于2 cm。
(1)求该单摆的摆长(π2=g,其中g为重力加速度);
(2)写出该单摆的振动方程。
【答案】 (1)1 m　(2)x=4sin(πt+) cm
【解析】 (1)由题图可知,该单摆的周期为2 s,根据T=2π,
可得该单摆的摆长为l=,解得l=1 m。
(2)由题图可知ω==π rad/s,A=4 cm,
设该单摆的振动方程为x=Asin(ωt+φ),
依题意,在t=0时,质点的位移等2 cm,且t=0时刻后质点向平衡位置振动,则有2 cm=4sin φ(cm),
解得φ=,
则该单摆的振动方程为x=4sin(πt+)cm。

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