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21.2.1平行四边形及其性质
(课时2)
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 掌握两条平行线之间的距离的意义；
2 能熟练运用两条平行线之间的距离的意义去解题.
知识回顾
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
平行四边形的定义：
平行四边形的性质：
O
B
A
C
D
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC
AO=CO，BO=DO
探究新知
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.
求证OE=OF.
证明：在□ABCD中，AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
又OA=OC，
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF .
探究新知
距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线间的距离.
两点间的距离：
点到直线的距离：
A
B
B
A
P
Q
探究新知
如图，a//b，c//d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，那么由平行四边形的概念和性质，我们能得到什么结论？
由平行四边形对边相等的性质得AB=CD.
【总结】两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
由平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)易知四边形ABCD是平行四边形.
a
b
c
d
A
B
C
D
探究新知
若 m // n，AB、CD、EF 垂直于 n，交 n 于B、D、F，交 m 于A、C、E.
∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得 AB=CD=EF．
∴AB // CD // EF．
∵AB⊥n，CD⊥n， EF⊥n
∵ m // n ，
B
F
E
A
n
m
C
D
垂直于同一条直线的两条直线平行
【总结】如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．
归纳总结
如图，a // b，A 是 a 上的任意一点，AB⊥b，B 是垂足，线段 AB 的长就是 a，b 之间的距离．
A
B
a
b
两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等．
探究新知
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
区别
联系 连接两点的线段的长度
点到直线的垂线段的长度
两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度
点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．
例题练习
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.
求证∠B=∠C.
【分析】由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明.
B
C
A
D
例题练习
证明：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，
∴AE=DF.
又AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴∠B =∠C.
B
C
A
D
E
F
你还有其他证法吗？请课下试试.
A
D
B
6
6
9
12
小结
两条平行线之间的距离
概念
性质
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
谢谢 聆听

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