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第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.把－1 125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（　　）
A.－－6π B.－6π
C.－－8π D.－8π
2.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上
3.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝（　　）
A.－ B.－
C.－ D.－
4.已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（　　）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
5.在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（　　）
A.4 B.2
C.2 D.1
6.〔多选〕已知角θ的终边经过点（－2，－），且角θ与角α的终边关于x轴对称，则（　　）
A.sin θ＝－
B.α为钝角
C.cos α＝－
D.点（tan θ，tan α）在第四象限
7.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且｜OP｜＝2，则点P的坐标为　　　　.
8.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为　　　　.
9.（13分）若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0）.
（1）求sin θ＋cos θ的值；
（2）试判断cos（sin θ）·sin（cos θ）的符号.
10.（2026·华东师大附中模拟）如果θ是第三象限角，则（　　）
A.sin 2θ＞0且tan 2θ＞0 B.sin＞0且tan 2θ＞0
C.sin 2θ＞0且tan＜0 D.sin＞0且tan＞0
11.（2026·吉林长春慧泽高中考试）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
12.〔多选〕如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为（1，0），∠BOA＝，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（　　）
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
13.已知点P（sin α－cos α，tan α）在第一象限，且α∈[0，2π），则角α的取值范围是　　　　.
14.（15分）（2026·山东济宁模拟）某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ（弧度）.
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
15.〔创新命题情境〕如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边△ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　）
A.14π　　　B.18π C.24π　　　D.30π
第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.D　2.A　3.D　4.D　5.C　6.ACD　
7.（－1，）　8.{－π，－π，，π}
9.解：（1）因为角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），所以x＝－4a，y＝3a，r＝5｜a｜，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
综上，sin θ＋cos θ＝±.
（2）当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈（ －，0），
则cos（sin θ）·sin（cos θ）＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos（sin θ）·sin（cos θ）＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos（sin θ）·sin（cos θ）的符号为负；当a＜0时，cos（sin θ）·sin（cos θ）的符号为正.
10.C　因为θ是第三象限角，则2kπ＋π＜θ＜＋2kπ，k∈Z，所以kπ＋＜＜＋kπ，k∈Z，所以是第二或第四象限角，则sin＞0或sin＜0，且tan＜0，故排除B、D；4kπ＋2π＜2θ＜3π＋4kπ，k∈Z，所以2θ的终边在第一、第二象限或在y轴的非负半轴上，则sin 2θ＞0，当2θ的终边在y轴的非负半轴上时，tan 2θ无意义，故排除A.
11.D　连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H，如图，由圆及折叠性质可得OH＝OB，AB∥CD，所以∠OBH＝∠BOD＝，所以∠BOC＝，所以劣弧的长为×2＝.故选D.
12.ABD　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t（1＋2）＋＝2π，解得t＝（s），故D正确.
13.（ ，）∪（ π，）
解析：因为点P在第一象限，
所以
即由tan α＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图.又sin α＞cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分（不包括边界），即角α的取值范围是（ ，）∪（ π，）.
14.解：（1）由题意得，30＝θ（10＋x）＋2（10－x），
∴θ＝（0＜x＜10）.
（2）花坛的面积为θ（102－x2）＝（5＋x）（10－x）＝－x2＋5x＋50，
装饰总费用为9θ（10＋x）＋8（10－x）＝170＋10x，
∴花坛的面积与装饰总费用的比y＝（0＜x＜10）.
令t＝17＋x，则t∈（17，27），
则y＝－（ t＋）≤－ ＝，
当且仅当t＝，即t＝18时，y取得最大值，最大值为，此时x＝1，θ＝.
故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.
15.C　由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为×1＝，第二段圆弧长度为×（1＋1）＝，第三段圆弧长度为×3＝2π，第四段圆弧长度为×4＝，第五段圆弧长度为×5＝，第六段圆弧长度为×6＝4π，第七段圆弧长度为×7＝，第八段圆弧长度为×8＝，故当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为＋＋2π＋＋＋4π＋＋＝24π.故选C.
1 / 1第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义.
知识梳理
1.角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形；
（2）分类：
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
提醒：相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.
2.弧度制的定义和公式
（1）定义：长度等于　　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示；
（2）公式
角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示）
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝　　
弧长公式 l＝　　　　　
扇形面积公式 S＝　　　　＝　　　　　
提醒：（1）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；（2）利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
3.任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），那么sin α＝　　　　，cos α＝　　　　，tan α＝　　　　　　；
（2）定义的推广：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）；
（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
1.象限角与轴线角 （1）象限角
（2）轴线角 2.α所在象限与所在象限的关系 α所在象限一二三四所在象限一、三一、三二、四二、四
3.若角α∈（ 0，），则sin α＜α＜tan α.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角.（　　）
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.（　　）
（3）终边相同的角的同一三角函数值相等.（　　）
（4）若sin α＞0，则α是第一或第二象限角.（　　）
2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（　　）
A.2kπ＋45°（k∈Z）
B.k·360°＋（k∈Z）
C.k·360°－315°（k∈Z）
D.kπ＋（k∈Z）
3.一条弦的长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为（　　）
A. B.
C. D.π
4.－135°＝　　　　rad，它是第　　　　象限角.
5.（2026·广东六校第一次联考）已知角θ的终边经过点P（－12，5），则sin θ＋cos θ＝　　　　.
象限角与终边相同的角
（基础自学过关）
1.〔多选〕（2026·重庆江津模拟）下列命题正确的是（　　）
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为{α｜π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
2.〔多选〕下列四个命题中正确的是（　　）
A.－是第二象限角
B.是第三象限角
C.－400°是第四象限角
D.－315°是第一象限角
3.已知α为第一象限角，则是第　　　　象限角，2α是　　　　的角.
4.（2026·安徽合肥调研）若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈（－3π，4π），则α＝　　　　.
1.利用终边相同的角的集合可以求符合某些条件的角，方法是先写出与这个角终边相同的所有角的集合，然后对集合中的参数k（k∈Z）赋值，进而可得要求的角. 2.确定kα，（k∈N*）的终边位置的方法 先用终边相同的角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
扇形的弧长及面积公式
（师生共研过关）
（1）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为（　　）
A. B. C. D.
（2）扇子最早称“”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2）AO＝80 cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为（　　）
A.108 000 cm2 B.108 000π cm2
C.600π cm2 D.600 cm2
听课记录
有关弧长及扇形面积问题的注意点 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题； （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
训练1 （1）已知扇形的弧长为，圆心角为2，则该扇形的面积为（　　）
A. B.
C. D.1
（2）若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为　　　　rad时，这个扇形的面积最大.
三角函数的定义及应用
（定向精析突破）
考向1　三角函数的定义
（1）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin 30°），且cos α＝－，则m的值为（　　）
A.－ B.－
C. D.
（2）已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝　　　　.
听课记录
利用三角函数的定义解题的策略 （1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解； （2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值； （3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
考向2　三角函数值符号的判定
（1）若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
（2）（2026·山东枣庄调研）sin 2·cos 3·tan 4的值（　　）
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
听课记录
三角函数值符号的判断方法 　　要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，就要分类讨论求解.
训练2 （1）（2026·河北沧州名校联考质量监测）已知在平面直角坐标系中，角α（0≤α＜2π）的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P（ sin，cos）为角α终边上的一点，则α＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）（2026·广东深圳外国语学校月考）＋＋的值组成的集合为（　　）
A.{3} B.{3，1}
C.{－1，1} D.{3，－1}
三角函数线的应用
　　通过人A必修一P210探究，我们知道在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，过点A（1，0）作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T（如图），有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
若α∈（ 0，），有PM＜＜AT，即sin α＜α＜tan α.
（1）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α＜cos α＜sin α，则点P所在的圆弧是（　　）
A. B.
C. D.
（2）设0≤α＜2π，若sin α＞cos α，则角α的取值范围是　　　　.
听课记录
第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）端点　（2）正角　负角　零角　象限　轴线
2.（1）半径长　（2）°　αR（0＜α＜2π）　lR　αR2（0＜α＜2π）
3.（1）y　x　（x≠0）
诊断自测
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）×
2.C　3.B　4.－　三　5.－
【研透核心考点】
考点1
1.AD　2.BCD　3.一、三　第一、第二象限或y轴的非负半轴上　4.－，，　
考点2
【例1】　（1）C　（2）C　解析：（1）设扇形的半径为r，则××r2＝，解得r＝2.所以扇形的弧长为2×＝.
（2）由题意得45°化为弧度为，又AO＝80 cm，C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为×（OA2－OC2）＝××（802－402）＝600π（cm2）.故选C.
训练1　（1）B　（2）2　解析：（1）设扇形的半径为r，因为扇形的弧长为，圆心角为2，所以2r＝，可得r＝，由扇形的面积公式，可得扇形的面积S＝××＝.故选B.
（2）由题意，得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.∴S扇＝lR＝（20－2R）R＝－R2＋10R＝－（R－5）2＋25.∴当R＝5 cm时，S扇有最大值25 cm2.此时l＝20－2×5＝10（cm），α＝＝＝2 rad.∴当α＝2 rad时，扇形的面积最大.
考点3
【例2】　（1）C　（2）±　解析：（1）由题意得点P（－8m，－3），r＝，所以cos α＝＝－，所以m＞0，解得m＝.
（2）由题意知，角α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α的终边上任取一点（1，2），∴sin α＝＝，若在第三象限，可在α的终边上任取一点（－1，－2），∴sin α＝＝－.
【例3】　（1）C　（2）A　解析：（1）由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C.
（2）因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.
训练2　（1）D　（2）D　解析：（1）由题意可知点P的坐标为（ ，），tan α＝＝，角α是第一象限角，所以0＜α＜，所以α＝.故选D.
（2）当θ是第一象限角时，原式＝＋＋＝3；当θ是第二象限角时，原式＝＋＋＝－1；当θ是第三象限角时，原式＝＋＋＝－1；当θ是第四象限角时，原式＝＋＋＝－1.故选D.
衔接教材
【例】　（1）C　（2）（ ，）　解析：（1）由三角函数线可知，在上，tan α＞sin α，不满足；在上，tan α＞sin α，不满足；在上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且cos α＞tan α，满足；在上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足.
（2）因为sin α＞cos α，且0≤α＜2π.所以当cos α＞0时，可得tan α＞，在单位圆中画出满足tan α＞的三角函数线，可知此时＜α＜，图中的浅色阴影区域（不包括边界）为此时角α的范围；当cos α＜0时，可得tan α＜，此时借助单位圆中的三角函数线，
可知此时＜α＜，图中的深色阴影区域（不包括边界）为此时角α的范围；当cos α＝0时，sin α＝±1，只有sin α＝1满足条件sin α＞cos α，此时α＝.综上可得，＜α＜.
1 / 1(共67张PPT)
第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
课标要求
1. 了解任意角的概念和弧度制.
2. 能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3. 借助单位圆理解三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形；
（2）分类：
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成
一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
提醒：相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的
角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.
端点　
2. 弧度制的定义和公式
（1）定义：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧
度单位用符号rad表示；
半径长　
（2）公式
角α的弧度数公式 ｜α｜＝ （弧长用l表示）
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ 　 °　
弧长公式 l＝
扇形面积公式 S＝ 　 lR　＝ 　 αR2（0＜α＜2π）　
提醒：（1）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子
中，采用的度量制度必须一致，不可混用；（2）利用上表中的扇形弧长
和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
°　
αR（0＜α＜2π）　
lR　
αR2（0＜α＜2π）　
3. 任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点
P（x，y），那么 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝
；
（2）定义的推广：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其
到原点O的距离为r，则 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ （x≠0）；
（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
y　
x　
（x≠0）　
1. 象限角与轴线角
（1）象限角
（2）轴线角
2. α所在象限与 所在象限的关系
α所在象限 一 二 三 四
所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四
3. 若角α∈（0， ），则 sin α＜α＜tan α.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角. （　×　）
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关. （　√　）
（3）终边相同的角的同一三角函数值相等. （　√　）
（4）若 sin α＞0，则α是第一或第二象限角. （　×　）
×
√
√
×
2. 下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是（　　）
A. 2kπ＋45°（k∈Z）
B. k·360°＋ （k∈Z）
C. k·360°－315°（k∈Z）
D. kπ＋ （k∈Z）
√
解析： 　由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，
应为 ＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z）.
3. 一条弦的长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为（　　）
A. B. C. D. π
√
解析： 　因为弦长等于半径，所以弦和与弦的两端点相交的两半径构成
等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为 .
4. －135°＝ rad，它是第 象限角.
解析：－135°＝－135× rad＝－ rad，∵－135°＝225°－360°，
且225°角为第三象限角，故－135°角为第三象限角.
－ 　
三　
5. （2026·广东六校第一次联考）已知角θ的终边经过点P（－12，5），
则 sin θ＋ cos θ＝ .
解析：由三角函数的定义可得 sin θ＋ cos θ＝ ＋
＝ － ＝－ .
－ 　
02
PART
研透核心考点
象限角与终边相同的角（基础自学过关）
1. 〔多选〕（2026·重庆江津模拟）下列命题正确的是（　　）
A. 终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}
B. 终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}
C. 第三象限角的集合为{α｜π＋2kπ≤α≤ ＋2kπ，k∈Z}
D. 在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－
315°
√
√
解析： 　A项显然正确；B项，终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝
＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故B错误；C项，第三象限角的集
合为{α｜π＋2kπ＜α＜ ＋2kπ，k∈Z}，故C错误；D项，所有与45°
角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°（k∈Z），令－720°≤45°
＋k·360°＜0°（k∈Z），解得－ ≤k＜－ （k∈Z），从而当k＝－
2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故D正确.
2. 〔多选〕下列四个命题中正确的是（　　）
A. － 是第二象限角 B. 是第三象限角
C. －400°是第四象限角 D. －315°是第一象限角
√
√
√
解析： 　－ 是第三象限角，故A错误； ＝π＋ ，所以 是第三
象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限
角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故
D正确.故选B、C、D.
3. 已知α为第一象限角，则 是第 象限角，2α是
的角.
解析：因为α是第一象限角，即2kπ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z，所以kπ＜
＜kπ＋ ，k∈Z，4kπ＜2α＜4kπ＋π，k∈Z. 当k为偶数时， 为第一象
限角；当k为奇数时， 为第三象限角，而2α的终边落在第一、第二象限
或y轴的非负半轴上.
一、三　
第一、第
二象限或y轴的非负半轴上　
4. （2026·安徽合肥调研）若角α的终边与角 的终边关于直线y＝x对
称，且α∈（－3π，4π），则α＝ .
解析：易知α＝2kπ＋ ，k∈Z. ∵α∈（－3π，4π），∴－3π＜2kπ＋
＜4π，k∈Z，∴－ ＜k＜ ，k∈Z，∴k＝－1，0，1，∴α＝－ ，
， .
－ ， ， 　
1. 利用终边相同的角的集合可以求符合某些条件的角，方法是先写出与这
个角终边相同的所有角的集合，然后对集合中的参数k（k∈Z）赋值，进
而可得要求的角.
2. 确定kα， （k∈N*）的终边位置的方法
先用终边相同的角的形式表示出角α的范围，再写出kα或 的范围，然
后根据k的可能取值确定kα或 的终边所在的位置.
扇形的弧长及面积公式（师生共研过关）
（1）已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长为（　C　）
A. B.
C. D.
解析： 设扇形的半径为r，则 × ×r2＝ ，解得r＝2.所以扇形的弧长
为2× ＝ .
C
（2）扇子最早称“ ”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳
凉、娱乐、欣赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随
之融入建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半
径（图2）AO＝80 cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子
的面积为（　C　）
C
A. 108 000 cm2
B. 108 000π cm2
C. 600π cm2
D. 600 cm2
解析： 由题意得45°化为弧度为 ，又AO＝80 cm，C为AO的中点，则
该扇形窗子的面积为 × （OA2－OC2）＝ × ×（802－402）＝600π
（cm2）.故选C.
有关弧长及扇形面积问题的注意点
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题；
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三
角形.
训练1 （1）已知扇形的弧长为 ，圆心角为2，则该扇形的面积为
（　B　）
A. B.
C. D. 1
解析： 设扇形的半径为r，因为扇形的弧长为 ，圆心角为2，所以2r＝
，可得r＝ ，由扇形的面积公式，可得扇形的面积S＝ × × ＝ .
故选B.
B
（2）若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为 rad时，这个扇形的面
积最大.
解析： 由题意，得l＋2R＝20，∴l＝20－2R. ∴S扇＝ lR＝ （20－
2R）R＝－R2＋10R＝－（R－5）2＋25.∴当R＝5 cm时，S扇有最大值
25 cm2.此时l＝20－2×5＝10（cm），α＝ ＝ ＝2 rad.∴当α＝2 rad
时，扇形的面积最大.
2　
三角函数的定义及应用（定向精析突破）
考向1　三角函数的定义
（1）已知角α的终边过点P（－8m，－6 sin 30°），且 cos α＝－
，则m的值为（　C　）
A. － B. －
C. D.
解析： 由题意得点P（－8m，－3），r＝ ，所以 cos α＝
＝－ ，所以m＞0，解得m＝ .
C
（2）已知角α的终边在直线y＝2x上，则 sin α＝ .
解析：由题意知，角α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第
一象限，可在α的终边上任取一点（1，2），∴ sin α＝ ＝ ，
若在第三象限，可在α的终边上任取一点（－1，－2），∴ sin α＝
＝－ .
± 　
利用三角函数的定义解题的策略
（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到
原点的距离，再用三角函数的定义求解；
（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数
值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；
（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定
义可求角α终边上某特定点的坐标.
考向2　三角函数值符号的判定
（1）若 sin α·tan α＜0，且 ＜0，则角α是（　C　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 由 sin α·tan α＜0可知 sin α，tan α异号，则α为第二象限角或
第三象限角.由 ＜0可知 cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四
象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C.
C
（2）（2026·山东枣庄调研） sin 2· cos 3·tan 4的值　（　A　）
A. 小于0 B. 大于0
C. 等于0 D. 不存在
解析：因为 ＜2＜3＜π＜4＜ ，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4
rad的角是第三象限角，所以 sin 2＞0， cos 3＜0，tan 4＞0，所以 sin 2· cos
3·tan 4＜0.
A
三角函数值符号的判断方法
　　要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限
角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不
能确定所在象限，就要分类讨论求解.
训练2 （1）（2026·河北沧州名校联考质量监测）已知在平面直角坐标系
中，角α（0≤α＜2π）的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
点P（ sin ， cos ）为角α终边上的一点，则α＝（　D　）
A. B. C. D.
解析： 由题意可知点P的坐标为（ ， ），tan α＝ ＝ ，角α
是第一象限角，所以0＜α＜ ，所以α＝ .故选D.
D
（2）（2026·广东深圳外国语学校月考） ＋ ＋ 的
值组成的集合为（　D　）
A. {3} B. {3，1}
C. {－1，1} D. {3，－1}
D
解析： 当θ是第一象限角时，原式＝ ＋ ＋ ＝3；当θ是
第二象限角时，原式＝ ＋ ＋ ＝－1；当θ是第三象限角时，
原式＝ ＋ ＋ ＝－1；当θ是第四象限角时，原式＝ ＋
＋ ＝－1.故选D.
三角函数线的应用
　　通过人A必修一P210探究，我们知道在平面直角坐标系中，角α的终
边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，过点A（1，
0）作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T（如图），有向线段
MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函
数线.
若α∈（0， ），有PM＜ ＜AT，即 sin α＜α＜tan α.
（1）在平面直角坐标系中， ， ， ， 是圆x2＋y2＝1上的四
段弧（如图），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan
α＜ cos α＜ sin α，则点P所在的圆弧是（　C　）
A. B. C. D.
C
解析： 由三角函数线可知，在 上，tan α＞ sin α，不满足；在
上，tan α＞ sin α，不满足；在 上， sin α＞0， cos α＜0，tan α＜
0，且 cos α＞tan α，满足；在 上，tan α＞0， sin α＜0， cos α＜
0，不满足.
解析：因为 sin α＞ cos α，且0≤α＜2π.所以当 cos
α＞0时，可得tan α＞ ，在单位圆中画出满足tan α＞
的三角函数线，可知此时 ＜α＜ ，图中的浅色阴影
区域（不包括边界）为此时角α的范围；
当 cos α＜0时，可得tan α＜ ，此时借助单位圆中的三角函数线，可知此时 ＜α＜ ，图中的深色阴影区域（不包括边界）为此时角α的范围；当 cos α＝0时， sin α＝±1，只有 sin α＝1满足条件 sin α＞ cos α，此时α＝ .综上可得， ＜α＜ .
（2）设0≤α＜2π，若 sin α＞ cos α，则角α的取值范围是 　（ ，
.
（ ，
）　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 把－1 125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（　　）
A. － －6π B. －6π
C. － －8π D. －8π
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√
解析： 　－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋ .故选D.
2. 若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋ 的终边在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. y轴的非负半轴上 D. x轴的非正半轴上
√
解析： 　由角α的终边在y轴的非正半轴上可知α＝ ＋2kπ，k∈Z，
故α＋ ＝ ＋2kπ＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，而角 ＝2π＋ 的终边在
第一象限，故角α＋ 的终边在第一象限.
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3. 设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且 cos α＝ x，则
tan α＝（　　）
A. － B. －
C. － D. －
√
解析： 　因为α是第二象限角，所以 cos α＝ x＜0，即x＜0.又 cos α
＝ x＝ ，解得x＝－3（x＝3舍去），所以tan α＝ ＝－ .
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4. 已知a＝ sin ，b＝ cos ，c＝tan ，则（　　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. b＜c＜a D. b＜a＜c
√
解析： 　由如图的三角函数线知，MP＜AT，因为 ＞
，所以MP＞OM，所以 cos ＜ sin ＜tan ，所以b
＜a＜c.
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5. 在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（　　）
A. 4 B. 2
C. 2 D. 1
√
解析： 　设扇形的半径为R（R＞0），圆心角为α，则 αR2＝4，所以
α＝ ，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋ ≥2 ＝8，当且仅当2R
＝ ，即R＝2时，取等号，所以周长最小时半径的值为2.故选C.
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6. 〔多选〕已知角θ的终边经过点（－2，－ ），且角θ与角α的终边
关于x轴对称，则（　　）
A. sin θ＝－
B. α为钝角
C. cos α＝－
D. 点（tan θ，tan α）在第四象限
√
√
√
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解析： 　因为角θ的终边经过点（－2，－ ），所以 sin θ＝－
，A正确；因为角θ与角α的终边关于x轴对称，所以角α的终边经过
点（－2， ），则α为第二象限角，但α不一定为钝角，B错误； cos
α＝－ ，C正确；因为tan θ＝ ＞0，tan α＝－ ＜0，所以点（tan
θ，tan α）在第四象限，D正确.故选A、C、D.
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7. 在平面直角坐标系xOy中，点P在角 的终边上，且｜OP｜＝2，则点
P的坐标为 .
解析：设点P的坐标为（x，y），由三角函数定义得
所以 所以点P的坐标为（－1， ）.
（－1， ）　
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8. 终边在直线y＝ x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为 　{－ π，
.
解析：在坐标系中画出直线y＝ x，可以发现它与x轴的夹角为 ，在
[0，2π）内，终边在直线y＝ x上的角有 和 π；在[－2π，0）内满足
条件的角有－ π和－ π，故满足条件的角α构成的集合为{－ π，－ π，
， π}.
{－ π，
－ π， ， π}　
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9. （13分）若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0）.
（1）求 sin θ＋ cos θ的值；
解： 因为角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），所以x＝－
4a，y＝3a，r＝5｜a｜，
当a＞0时，r＝5a， sin θ＋ cos θ＝ － ＝－ ；
当a＜0时，r＝－5a， sin θ＋ cos θ＝－ ＋ ＝ .
综上， sin θ＋ cos θ＝± .
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（2）试判断 cos （ sin θ）· sin （ cos θ）的符号.
解： 当a＞0时， sin θ＝ ∈ ， cos θ＝－ ∈（－ ，0），
则 cos （ sin θ）· sin （ cos θ）＝ cos · sin ＜0；
当a＜0时， sin θ＝－ ∈ ， cos θ＝ ∈ ，
则 cos （ sin θ）· sin （ cos θ）＝ cos · sin ＞0.
综上，当a＞0时， cos （ sin θ）· sin （ cos θ）的符号为负；当a＜0
时， cos （ sin θ）· sin （ cos θ）的符号为正.
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10. （2026·华东师大附中模拟）如果θ是第三象限角，则（　　）
A. sin 2θ＞0且tan 2θ＞0
B. sin ＞0且tan 2θ＞0
C. sin 2θ＞0且tan ＜0
D. sin ＞0且tan ＞0
√
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解析： 　因为θ是第三象限角，则2kπ＋π＜θ＜ ＋2kπ，k∈Z，所以
kπ＋ ＜ ＜ ＋kπ，k∈Z，所以 是第二或第四象限角，则 sin ＞0或
sin ＜0，且tan ＜0，故排除B、D；4kπ＋2π＜2θ＜3π＋4kπ，k∈Z，
所以2θ的终边在第一、第二象限或在y轴的非负半轴上，则 sin 2θ＞0，
当2θ的终边在y轴的非负半轴上时，tan 2θ无意义，故排除A.
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11. （2026·吉林长春慧泽高中考试）把一张半径为2的圆形纸片按如图所
示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧 的长为
（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H，如图，由
圆及折叠性质可得OH＝ OB，AB∥CD，所以∠OBH＝
∠BOD＝ ，所以∠BOC＝ ，所以劣弧 的长为 ×2＝
.故选D.
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12. 〔多选〕如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为（1，
0），∠BOA＝ ，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运
动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（　　）
A. 经过1 s后，∠BOA的弧度数为 ＋3
B. 经过 s后，扇形AOB的弧长为
C. 经过 s后，扇形AOB的面积为
D. 经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
√
√
√
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解析： 经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA
的弧度数为 ＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝ ＋ ＋2× ＝ ，
故扇形AOB的弧长为 ×1＝ ，故B正确；经过 s后，∠AOB＝ ＋
＋2× ＝ ，故扇形AOB的面积为S＝ × ×12＝ ，故C不正确；设
经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t（1＋2）＋ ＝2π，解得t
＝ （s），故D正确.
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13. 已知点P（ sin α－ cos α，tan α）在第一象限，且α∈[0，2π），则角α的取值范围是 .
解析：因为点P在第一象限，所以
即 由tan α＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图.又 sin α＞ cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分（不包括边界），即角α的取值范围是（ ， ）∪（π， ）.
（ ， ）∪（π， ）　
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14. （15分）（2026·山东济宁模拟）某单位拟建一个扇环形状的花坛（如
图所示），该扇环由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两
条线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为
10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ（弧度）.　
（1）求θ关于x的函数关系式；
解： 由题意得，30＝θ（10＋x）＋2（10－x），
∴θ＝ （0＜x＜10）.
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（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用
为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比
为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
解： 花坛的面积为 θ（102－x2）＝（5＋x）（10－
x）＝－x2＋5x＋50，
装饰总费用为9θ（10＋x）＋8（10－x）＝170＋10x，
∴花坛的面积与装饰总费用的比y＝ （0＜x＜10）.
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令t＝17＋x，则t∈（17，27），则y＝ － （t＋ ）≤ －
＝ ，
当且仅当t＝ ，即t＝18时，y取得最大值，最大值为 ，此时x＝1，
θ＝ .
故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.
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15. 〔创新命题情境〕如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画
法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边△ABC，然后以
点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段
圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于
点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的
“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　）
A. 14π B. 18π
C. 24π D. 30π
√
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解析： 　由题意知，每段圆弧的圆心角均为 ，第一段圆弧长度为
×1＝ ，第二段圆弧长度为 ×（1＋1）＝ ，第三段圆弧长度为
×3＝2π，第四段圆弧长度为 ×4＝ ，第五段圆弧长度为 ×5＝
，第六段圆弧长度为 ×6＝4π，第七段圆弧长度为 ×7＝ ，第
八段圆弧长度为 ×8＝ ，故当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，
“蚊香”的长度为 ＋ ＋2π＋ ＋ ＋4π＋ ＋ ＝24π.故选C.
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