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第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.（2026·陕西榆林八校联考）若角α的终边过点（3，1），则sin（ α＋）＝（　　）
A. B.－
C. D.－
2.（2026·贵州黔西模拟）已知tan α＝1，则＝（　　）
A.6 B.4
C.3 D.2
3.（2026·四川乐山模拟）若sin（ α＋）＝，则cos（ α＋）＝（　　）
A. B.－
C. D.±
4.（2026·山东日照模拟）已知α是第一象限角，且sin α＋cos α＝3cos αtan α，则sin（ α＋）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
5.在△ABC中，sin A·cos A＝－，则cos A－sin A＝（　　）
A.－ B.－
C. D.±
6.〔多选〕在△ABC中，下列结论正确的是（　　）
A.sin（A＋B）＝sin C
B.sin ＝cos
C.tan（A＋B）＝－tan C（ C≠）
D.cos（A＋B）＝cos C
7.已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β＝　　　　.
8.若θ∈（ 0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　　　　.
9.（13分）已知f（α）＝.
（1）化简f（α）；
（2）若f（ －α）＝，求cos2（ ＋α）＋cos（ ＋α）的值.
10.在△ABC中，sin（ －A）＝3sin（π－A），cos A＝－cos（π－B），则△ABC为（　　）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
11.已知α∈（ 0，），β∈（ ，π），且sin（ ＋α）＝cos（ β－），sin（π＋α）＝sin（ －β），则β－α＝（　　）
A. 　B. C. D.
12.〔多选〕已知＝3，－＜α＜，则（　　）
A.tan α＝2
B.sin α－cos α＝－
C.sin4α－cos4α＝
D.＝
13.sin（ π－α）＋cos（ π－α）（k∈Z）＝　　　　.
14.（15分）已知关于x的方程2x2－（＋1）x＋m＝0的两个根为sin θ，cos θ，θ∈（0，2π），求：
（1）＋的值；
（2）方程的两根及此时θ的值.
15.〔创新交汇〕〔多选〕已知锐角α，β满足＋＜2，设a＝tan α·tan β，f（x）＝logax，则下列不等式成立的是（　　）
A.α＋β＜　　　　　　　　　　　　　　　　B.sin α＜cos β
C.f（sin α）＞f（cos β） D.f（cos α）＞f（sin β）
第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.A　2.A　3.B　4.D　5.B　6.ABC　7.－
8.－　解析：因为θ∈（ 0，），则sin θ＞0，cos θ＞0，又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin θ＝或sin θ＝－（舍去），所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－.
9.解：（1）由题意得，
f（α）＝＝cos α.
（2）f（ －α）＝，即cos（ －α）＝，∴cos2（ ＋α）＝cos2［－（ －α）］＝sin2（ －α）＝1－cos2（ －α）＝1－＝，
cos（ ＋α）＝cos［π－（ －α）］＝－cos（ －α）＝－，
∴cos2（ ＋α）＋cos（ ＋α）＝－＝.
10.B　由sin（ －A）＝3sin（π－A）可得cos A＝3sin A，即tan A＝，又0＜A＜π，所以A＝，再由cos A＝－cos（π－B）可得cos A＝cos B，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝，所以C＝，所以△ABC为直角三角形.故选B.
11.C　由题意得由①2＋3×②2得，cos2α＋9sin2α＝3，又cos2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝，又α∈（ 0，），所以sin α＝，则α＝.将α＝代入①，得sin β＝，因为β∈（ ，π），所以β＝，则β－α＝.
12.ACD　因为＝＝3，所以tan α＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故A正确，B错误；sin4α－cos4α＝（sin2α－cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝，故D正确.
13.0　解析：原式＝sin［kπ－（ ＋α）］＋cos［kπ＋（ －α）］.当k为奇数时，设k＝2n＋1（n∈Z），原式＝sin［（2n＋1）π－（ ＋α）］＋cos［（2n＋1）π＋（ －α）］＝sin［π－（ ＋α）］＋cos［π＋（ －α）］＝sin（ ＋α）－cos（ －α）＝sin（ ＋α）－sin（ ＋α）＝0.当k为偶数时，设k＝2n（n∈Z），原式＝sin［2nπ－（ ＋α）］＋cos［2nπ＋（ －α）］＝－sin（ ＋α）＋cos（ －α）＝－sin（ ＋α）＋sin（ ＋α）＝0.综上所述，原式＝0.
14.解：（1）由题意得sin θ≠cos θ，
＋＝＋＝sin θ＋cos θ＝.
（2）由已知得sin θcos θ＝，
所以（sin θ＋cos θ）2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝1＋m＝，解得m＝，
所以方程2x2－（＋1）x＋＝0的两根为，，
又因为θ∈（0，2π），
所以当时，θ＝；
当时，θ＝.
15.ABC　α，β为锐角，若α＋β≥，则＞α≥－β＞0，sin α≥sin（ －β）＝cos β＞0，则≥1，同理≥1，与＋＜2矛盾，所以α＋β＜，A正确；由A选项的分析知，0＜α＜－β＜，所以0＜sin α＜sin（ －β）＝cos β＜1，B正确；同理可得，0＜sin β＜cos α＜1，所以a＝tan α·tan β＝∈（0，1），所以f（x）＝logax是减函数，所以f（sin α）＞f（cos β），C正确；f（sin β）＞f（cos α），D错误.故选A、B、C.
1 / 1第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式（ α±，α±π的正弦、余弦、正切），并会简单应用.
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；
（2）商数关系：tan α＝（ α≠kπ＋，k∈Z）.
提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）.
2.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α （k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α sin α cos α
余弦 cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α
提醒：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数名称的变化；“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在的象限.
1.同角三角函数关系式的常见变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）； （2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）； （3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； （4）sin α＝tan αcos α（ α≠＋kπ，k∈Z）； （5）sin2α＝＝，cos2α＝＝. 2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksin α（k∈Z）； （2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcos α（k∈Z）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.（　　）
（2）sin（π＋α）＝－sin α成立的条件是α为锐角.（　　）
（3）若α∈R，则tan α＝恒成立.（　　）
（4）若sin（kπ－α）＝（k∈Z），则sin α＝.（　　）
2.若α为第二象限角，且sin α＝，则tan α＝（　　）
A.2　　B.－2 C.　　D.－
3.〔多选〕已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　）
A.sin（－x）＝sin x　　B.sin（ －x）＝cos x
C.cos（ ＋x）＝－sin x D.cos（x－π）＝－cos x
4.sin 2 490°＝　　　　　，cos＝　　　　.
5.已知＝－5，则tan α＝　　　　.
同角三角函数基本关系式
（定向精析突破）
考向1　知一求二
已知tan α＝－，α∈（ ，π），则sin α－2cos α＝（　　）
A. B.
C.1 D.－1
听课记录
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
考向2　弦切互化
若sin θ＝－2cos θ，则sin θ（sin θ＋cos θ）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
听课记录
　　形如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等类型可进行弦化切.
考向3　和（差）积转换
〔多选〕已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则（　　）
A.θ∈（ ，π） B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
听课记录
“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用 　　sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.
训练1 （1）已知＝2，则tan α＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
（2）（2026·陕西西安模拟）若θ∈（0，π），tan θ＋＝6，则sin θ＋cos θ＝（　　）
A. B.－
C.± D.
诱导公式的应用
（师生共研过关）
（1）（2025·山东烟台一模）已知tan α＝－2，则＝（　　）
A.－ B.
C.－2 D.2
（2）（2026·江西上饶清源学校段考）已知cos（ －θ）＝a（｜a｜≤1），则cos（ ＋θ）＋sin（ －θ）＝　　　　.
听课记录
1.利用诱导公式解题的一般思路 （1）化绝对值大的角为锐角； （2）角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍. 2.常见的互余和互补的角 （1）互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等； （2）互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.
训练2 （1）（2026·河北衡水模拟）已知cos（75°＋α）＝，则cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝　　　　；
（2）（2026·山西临汾质检）已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合为　　　　.
同角关系与诱导公式的综合应用
（师生共研过关）
（1）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos（ ＋β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）已知0＜α＜，且sin（ α－）＝，则sin（ －α）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
听课记录
　　利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符号的影响.
训练3 （1）已知sin（ －α）＋cos（π－α）＝sin α，则2sin2α－sin αcos α＝（　　）
A. B.
C. D.2
（2）〔多选〕已知sin（ x＋）＝－，x∈（ ，π），则（　　）
A.cos（ x＋）＝－ B.tan（ x＋）＝2
C.cos（ －x）＝－ D.sin（ －x）＝
第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
【夯实必备知识】
知识梳理
2.－sin α　cos α　－cos α　－tan α　
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.D　3.CD　4.－　－　5.－
【研透核心考点】
考点1
【例1】　A　因为α∈（ ，π），所以sin α＞0，cos α＜0，又解得所以sin α－2cos α＝＋＝.
【例2】　C　因为sin θ＝－2cos θ，所以cos θ≠0，且tan θ＝－2，所以sin θ·（sin θ＋cos θ）＝＝＝＝.
【例3】　ABD　∵sin θ＋cos θ＝　①，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝－，∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴θ∈（ ，π），故A正确；（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∴sin θ－cos θ＝　②，故D正确；由①②得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确；tan θ＝＝－，故C错误.
训练1　（1）B　（2）A　解析：（1）因为＝2，所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，所以cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝4，即4sin αcos α＝3cos2α，所以tan α＝.故选B.
（2）因为tan θ＋＝＋＝＝＝6，所以sin θcos θ＝，所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝.又θ∈（0，π），sin θcos θ＝＞0，sin θ＞0，则cos θ＞0，所以sin θ＋cos θ＝.故选A.
考点2
【例4】　（1）C　（2）0
解析：（1）＝＝＝＝－2.故选C.
（2）由题知cos（ ＋θ）＝cos［π－（ －θ）］＝－cos（ －θ）＝－a，sin（ －θ）＝sin［＋（ －θ）］＝cos（ －θ）＝a，∴cos（ ＋θ）＋sin（ －θ）＝0.
训练2　（1）0　（2）{－2，2}　解析：（1）因为（105°－α）＋（75°＋α）＝180°，（15°－α）＋（α＋75°）＝90°，所以cos（105°－α）＝cos[180°－（75°＋α）]＝－cos（75°＋α）＝－，sin（15°－α）＝sin[90°－（α＋75°）]＝cos（75°＋α）＝.所以cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝－＋＝0.
（2）由题意得A＝＋，k∈Z，当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2.∴A的值构成的集合是{－2，2}.
考点3
【例5】　（1）C　（2）C　解析：（1）由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，又α为锐角，则sin α＝.
（2）因为0＜α＜，所以－＜α－＜，又sin（ α－）＝，所以cos（ α－）＝＝，sin（ －α）＝sin（ ＋－α）＝cos（ －α）＝cos（ α－）＝.故选C.
训练3　（1）D　（2）AC　解析：（1）由诱导公式可得sin α＝sin（ －α）＋cos（π－α）＝－2cos α，所以tan α＝－2.因此，2sin2α－sin αcos α＝＝＝＝2.
（2）因为x∈（ ，π），所以x＋∈（ ，），又sin（ x＋）＝－，所以x＋∈（ π，），所以cos（ x＋）＝－＝－，故A正确；所以tan（ x＋）＝＝，故B错误；又cos（ －x）＝cos［－（ x＋）］＝sin（ x＋）＝－，故C正确；sin（ －x）＝sin［－（ x＋）］＝cos（ x＋）＝－，故D错误.
1 / 1(共60张PPT)
第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
课标要求
1. 理解同角三角函数的基本关系式： sin 2α＋ cos 2α＝1， ＝tan α .
2. 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式（α± ，α±π的正弦、余弦、正切），并会简单应用.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝1（α∈R）；
（2）商数关系：tan α＝ （α≠kπ＋ ，k∈Z）.
提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋ （k∈Z）.
2. 诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α （k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － sin α
sin α cos
α

余弦 cos α cos α － cos α sin α － sin α
正切 tan α tan α －tan α

－ sin α
cos α
－ cos α
－tan α
提醒：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的
是“k· ＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指
函数名称的变化；“符号看象限”指的是在“k· ＋α（k∈Z）”中，将
α看成锐角时，“k· ＋α（k∈Z）”的终边所在的象限.
1. 同角三角函数关系式的常见变形
（1） sin 2α＝1－ cos 2α＝（1＋ cos α）（1－ cos α）；
（2） cos 2α＝1－ sin 2α＝（1＋ sin α）（1－ sin α）；
（3）（ sin α± cos α）2＝1±2 sin α cos α；
（4） sin α＝tan α cos α（α≠ ＋kπ，k∈Z）；
（5） sin 2α＝ ＝ ， cos 2α＝ ＝ .
2. （1） sin （kπ＋α）＝（－1）k sin α（k∈Z）；
（2） cos （kπ＋α）＝（－1）k cos α（k∈Z）.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α，β为锐角，则 sin 2α＋ cos 2β＝1. （　×　）
（2） sin （π＋α）＝－ sin α成立的条件是α为锐角. （　×　）
（3）若α∈R，则tan α＝ 恒成立. （　×　）
（4）若 sin （kπ－α）＝ （k∈Z），则 sin α＝ . （　×　）
×
×
×
×
2. 若α为第二象限角，且 sin α＝ ，则tan α＝（　　）
A. 2 B. －2 C. D. －
√
解析： 　因为 sin α＝ ，由 sin 2α＋ cos 2α＝1可得 cos α＝± ，又
α为第二象限角，所以 cos α＝－ ，所以tan α＝ ＝－ .故选D.
3. 〔多选〕已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　）
A. sin （－x）＝ sin x B. sin （ －x）＝ cos x
C. cos （ ＋x）＝－ sin x D. cos （x－π）＝－ cos x
√
√
解析： 　 sin （－x）＝－ sin x，故A不成立； sin （ －x）＝－ cos
x，故B不成立； cos （ ＋x）＝－ sin x，故C成立； cos （x－π）＝－
cos x，故D成立.
4. sin 2 490°＝ 　－ 　， cos ＝ 　－ 　.
解析： sin 2 490°＝ sin （7×360°－30°）＝－ sin 30°＝－ . cos
＝ cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
5. 已知 ＝－5，则tan α＝ 　－ 　.
解析：由 ＝－5，知 cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以
cos α，可得 ＝－5，解得tan α＝－ .
－ 　
－ 　
－ 　
02
PART
研透核心考点
同角三角函数基本关系式（定向精析突破）
考向1　知一求二
已知tan α＝－ ，α∈（ ，π），则 sin α－2 cos α＝（　A　）
A. B. C. 1 D. －1
A
解析：　因为α∈（ ，π），所以 sin α＞0， cos α＜0，又
解得 所以 sin α－2 cos α＝ ＋
＝ .
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
考向2　弦切互化
若 sin θ＝－2 cos θ，则 sin θ（ sin θ＋ cos θ）＝（　C　）
A. － B. －
C. D.
解析：　因为 sin θ＝－2 cos θ，所以 cos θ≠0，且tan θ＝－2，所以
sin θ（ sin θ＋ cos θ）＝ ＝ ＝ ＝ .
C
　　形如 ，a sin 2α＋b sin α cos α＋c cos 2α等类型可进行
弦化切.
　　
考向3　和（差）积转换
〔多选〕已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos θ＝ ，则（　　）
A. θ∈（ ，π） B. cos θ＝－
C. tan θ＝－ D. sin θ－ cos θ＝
√
√
√
解析： 　∵ sin θ＋ cos θ＝ 　①，∴（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2
sin θ cos θ＝ ，∴2 sin θ cos θ＝－ ，∵θ∈（0，π），∴ sin θ＞
0， cos θ＜0，∴θ∈（ ，π），故A正确；（ sin θ－ cos θ）2＝1－2
sin θ cos θ＝ ，∴ sin θ－ cos θ＝ 　②，故D正确；由①②得 sin θ
＝ ， cos θ＝－ ，故B正确；tan θ＝ ＝－ ，故C错误.
“ sin α± cos α， sin α cos α”关系的应用
　　 sin α± cos α与 sin α cos α通过平方关系联系到一起，即（ sin
α± cos α）2＝1±2 sin α cos α， sin α cos α＝ ， sin
α cos α＝ .
训练1 （1）已知 ＝2，则tan α＝（　B　）
A. B.
C. － D. －
解析： 因为 ＝2，所以 cos α＋2 sin α＝2，且 cos α≠0，所以 cos
2α＋4 sin α cos α＋4 sin 2α＝4，即4 sin α cos α＝3 cos 2α，所以tan α
＝ .故选B.
B
（2）（2026·陕西西安模拟）若θ∈（0，π），tan θ＋ ＝6，则 sin θ
＋ cos θ＝（　A　）
A. B. －
C. ± D.
A
解析：因为tan θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝6，所以
sin θ cos θ＝ ，所以（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos θ＝ .又θ∈
（0，π）， sin θ cos θ＝ ＞0， sin θ＞0，则 cos θ＞0，所以 sin θ＋
cos θ＝ .故选A.
诱导公式的应用（师生共研过关）
（1）（2025·山东烟台一模）已知tan α＝－2，则
＝（　C　）
A. － B.
C. －2 D. 2
解析： ＝ ＝ ＝ ＝－2.故选C.
C
（2）（2026·江西上饶清源学校段考）已知 cos （ －θ）＝a（｜a｜
≤1），则 cos （ ＋θ）＋ sin （ －θ）＝ .
解析： 由题知 cos （ ＋θ）＝ cos ［π－（ －θ）］＝－ cos （ －
θ）＝－a， sin （ －θ）＝ sin ［ ＋（ －θ）］＝ cos （ －θ）
＝a，∴ cos （ ＋θ）＋ sin （ －θ）＝0.
0　
1. 利用诱导公式解题的一般思路
（1）化绝对值大的角为锐角；
（2）角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍.
2. 常见的互余和互补的角
（1）互余的角： －α与 ＋α； ＋α与 －α； ＋α与 －α等；
（2）互补的角： ＋θ与 －θ； ＋θ与 －θ等.
训练2 （1）（2026·河北衡水模拟）已知 cos （75°＋α）＝ ，则 cos
（105°－α）＋ sin （15°－α）＝ ；
解析： 因为（105°－α）＋（75°＋α）＝180°，（15°－α）＋
（α＋75°）＝90°，所以 cos （105°－α）＝ cos [180°－（75°＋
α）]＝－ cos （75°＋α）＝－ ， sin （15°－α）＝ sin [90°－（α
＋75°）]＝ cos （75°＋α）＝ .所以 cos （105°－α）＋ sin （15°
－α）＝－ ＋ ＝0.
0　
（2）（2026·山西临汾质检）已知A＝ ＋
（k∈Z），则A的值构成的集合为 .
解析：由题意得A＝ ＋ ，k∈Z，当k为偶数时，A
＝ ＋ ＝2；当k为奇数时，A＝ － ＝－2.∴A的值构成的
集合是{－2，2}.
{－2，2}　
同角关系与诱导公式的综合应用（师生共研过关）
（1）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3 cos （ ＋β）＋5＝0，tan
（π＋α）＋6 sin （π＋β）－1＝0，则 sin α＝（　C　）
A. B. C. D.
解析： 由已知得 消去 sin β，得tan α＝3，
∴ sin α＝3 cos α，代入 sin 2α＋ cos 2α＝1，化简得 sin 2α＝ ，又α
为锐角，则 sin α＝ .
C
（2）已知0＜α＜ ，且 sin （α－ ）＝ ，则 sin （ －α）＝
（　C　）
A. － B. －
C. D.
C
解析：因为0＜α＜ ，所以－ ＜α－ ＜ ，又 sin （α－ ）＝ ，所
以 cos （α－ ）＝ ＝ ， sin （ －α）＝ sin （ ＋ －
α）＝ cos （ －α）＝ cos （α－ ）＝ .故选C.
　　利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条
件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符
号的影响.
训练3 （1）已知 sin （ －α）＋ cos （π－α）＝ sin α，则2 sin 2α－
sin α cos α＝（　D　）
A. B.
C. D. 2
解析： 由诱导公式可得 sin α＝ sin （ －α）＋ cos （π－α）＝－
2 cos α，所以tan α＝－2.因此，2 sin 2α－ sin α cos α＝
＝ ＝ ＝2.
D
（2）〔多选〕已知 sin （x＋ ）＝－ ，x∈（ ，π），则（　AC　）
A. cos （x＋ ）＝－ B. tan（x＋ ）＝2
C. cos （ －x）＝－ D. sin （ －x）＝
AC
解析： 因为x∈（ ，π），所以x＋ ∈（ ， ），又 sin （x＋
）＝－ ，所以x＋ ∈（π， ），所以 cos （x＋ ）＝－
＝－ ，故A正确；所以tan（x＋ ）＝
＝ ，故B错误；又 cos （ －x）＝ cos ［ －（x＋ ）］＝ sin （x＋
）＝－ ，故C正确； sin （ －x）＝ sin ［ －（x＋ ）］＝ cos （x
＋ ）＝－ ，故D错误.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2026·陕西榆林八校联考）若角α的终边过点（3，1），则 sin （α＋
）＝（　　）
A. B. －
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√
C. D. －
解析： 　角α的终边过点（3，1），则点（3，1）到原点的距离r＝
＝ ，所以 cos α＝ ＝ ＝ ，所以 sin （α＋ ）＝ cos
α＝ .故选A.
2. （2026·贵州黔西模拟）已知tan α＝1，则 ＝（　　）
A. 6 B. 4
C. 3 D. 2
√
解析： 　 ＝ ＝ ＝6，故选A.
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3. （2026·四川乐山模拟）若 sin （α＋ ）＝ ，则 cos （α＋ ）＝
（　　）
A. B. －
C. D. ±
√
解析： 　由 sin （α＋ ）＝ ，得 cos （α＋ ）＝ cos ［（α＋ ）
＋ ］＝－ sin （α＋ ）＝－ ，故选B.
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4. （2026·山东日照模拟）已知α是第一象限角，且 sin α＋ cos α＝3 cos
αtan α，则 sin （α＋ ）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
√
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解析： 　因为 sin α＋ cos α＝3 cos αtan α，所以 sin α＋ cos α＝3 sin
α，所以 cos α＝2 sin α，左右两侧平方得 cos 2α＝4 sin 2α＝4（1－ cos
2α），所以5 cos 2α＝4，又因为α是第一象限角，所以 cos α＝ ，则
sin （α＋ ）＝ cos α＝ .故选D.
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5. 在△ABC中， sin A· cos A＝－ ，则 cos A－ sin A＝（　　）
A. － B. －
√
C. D. ±
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解析： 　∵在△ABC中， sin A· cos A＝－ ，∴A为钝角，∴ cos A－ sin
A＜0，∴ cos A－ sin A＝－
＝－
＝－ ＝－ .
6. 〔多选〕在△ABC中，下列结论正确的是（　　）
A. sin （A＋B）＝ sin C
B. sin ＝ cos
C. tan（A＋B）＝－tan C（C≠ ）
D. cos （A＋B）＝ cos C
√
√
√
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解析： 　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则 sin （A＋B）＝ sin （π
－C）＝ sin C，A正确； sin ＝ sin （ － ）＝ cos ，B正确；tan
（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C（C≠ ），C正确； cos （A＋B）
＝ cos （π－C）＝－ cos C，D错误.
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7. 已知 cos α＝ ，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，
则tan β＝ .
解析：∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，∴β＝π－α
＋2kπ，k∈Z，∴tan β＝tan（π－α＋2kπ）＝tan（π－α）＝－tan α＝
－ ＝－ ＝－ .
－ 　
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8. 若θ∈（0， ），tan θ＝ ，则 sin θ－ cos θ＝ 　－ 　.
解析：因为θ∈（0， ），则 sin θ＞0， cos θ＞0，又因为tan θ＝
＝ ，则 cos θ＝2 sin θ，且 cos 2θ＋ sin 2θ＝4 sin 2θ＋ sin 2θ＝5 sin
2θ＝1，解得 sin θ＝ 或 sin θ＝－ （舍去），所以 sin θ－ cos θ＝
sin θ－2 sin θ＝－ sin θ＝－ .
－ 　
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9. （13分）已知f（α）＝ .
（1）化简f（α）；
解： 由题意得，
f（α）＝ ＝ cos α.
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（2）若f（ －α）＝ ，求 cos 2（ ＋α）＋ cos （ ＋α）的值.
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解： f（ －α）＝ ，即 cos （ －α）＝ ，∴ cos 2（ ＋α）＝
cos 2［ －（ －α）］＝ sin 2（ －α）＝1－ cos 2（ －α）＝1－
＝ ，
cos （ ＋α）＝ cos ［π－（ －α）］＝－ cos （ －α）＝－ ，
∴ cos 2（ ＋α）＋ cos （ ＋α）＝ － ＝ .
10. 在△ABC中， sin （ －A）＝3 sin （π－A）， cos A＝－ cos
（π－B），则△ABC为（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
√
解析： 　由 sin （ －A）＝3 sin （π－A）可得 cos A＝3 sin A，即
tan A＝ ，又0＜A＜π，所以A＝ ，再由 cos A＝－ cos （π－B）可
得 cos A＝ cos B，所以 cos B＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ ，所以C＝
，所以△ABC为直角三角形.故选B.
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11. 已知α∈（0， ），β∈（ ，π），且 sin （ ＋α）＝ cos （β
－ ）， sin （π＋α）＝ sin （ －β），则β－α＝（　　）
A. B.
√
C. D.
解析： 　由题意得 由①2＋3×②2得， cos 2α＋9 sin
2α＝3，又 cos 2α＋ sin 2α＝1，所以 sin 2α＝ ，又α∈（0， ），所以
sin α＝ ，则α＝ .将α＝ 代入①，得 sin β＝ ，因为β∈（ ，
π），所以β＝ ，则β－α＝ .
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12. 〔多选〕已知 ＝3，－ ＜α＜ ，则（　　）
A. tan α＝2 B. sin α－ cos α＝－
C. sin 4α－ cos 4α＝ D. ＝
√
√
√
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解析： 　因为 ＝ ＝3，所以tan α＝2＞0，且－ ＜α
＜ ，所以0＜α＜ ，所以 sin α＞0， cos α＞0，由 ＝3＞0，
可得 sin α－ cos α＞0，故A正确，B错误； sin 4α－ cos 4α＝（ sin 2α
－ cos 2α）·（ sin 2α＋ cos 2α）＝ sin 2α－ cos 2α＝ ＝
＝ ＝ ，故C正确； ＝ ＝
＝ ，故D正确.
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13. sin （ π－α）＋ cos （ π－α）（k∈Z）＝ .
解析：原式＝ sin ［kπ－（ ＋α）］＋ cos ［kπ＋（ －α）］.当k为
奇数时，设k＝2n＋1（n∈Z），原式＝ sin ［（2n＋1）π－（ ＋
α）］＋ cos ［（2n＋1）π＋（ －α）］＝ sin ［π－（ ＋α）］＋ cos
［π＋（ －α）］＝ sin （ ＋α）－ cos （ －α）＝ sin （ ＋α）－
sin （ ＋α）＝0.当k为偶数时，设k＝2n（n∈Z），原式＝ sin ［2nπ
－（ ＋α）］＋ cos ［2nπ＋（ －α）］＝－ sin （ ＋α）＋ cos （
－α）＝－ sin （ ＋α）＋ sin （ ＋α）＝0.综上所述，原式＝0.
0　
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14. （15分）已知关于x的方程2x2－（ ＋1）x＋m＝0的两个根为 sin
θ， cos θ，θ∈（0，2π），求：
（1） ＋ 的值；
解： 由题意得 sin θ≠ cos θ，
＋ ＝ ＋ ＝ sin θ＋ cos θ＝ .
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（2）方程的两根及此时θ的值.
解： 由已知得 sin θ cos θ＝ ，
所以（ sin θ＋ cos θ）2＝ sin 2θ＋ cos 2θ＋2 sin θ cos θ＝1＋m＝
，解得m＝ ，
所以方程2x2－（ ＋1）x＋ ＝0的两根为 ， ，
又因为θ∈（0，2π），
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所以当 时，θ＝ ；
当 时，θ＝ .
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15. 〔创新交汇〕〔多选〕已知锐角α，β满足 ＋ ＜2，设a＝tan
α·tan β，f（x）＝logax，则下列不等式成立的是（　　）
A. α＋β＜ B. sin α＜ cos β
C. f（ sin α）＞f（ cos β） D. f（ cos α）＞f（ sin β）
√
√
√
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解析： 　α，β为锐角，若α＋β≥ ，则 ＞α≥ －β＞0， sin
α≥ sin （ －β）＝ cos β＞0，则 ≥1，同理 ≥1，与 ＋
＜2矛盾，所以α＋β＜ ，A正确；由A选项的分析知，0＜α＜ －β＜
，所以0＜ sin α＜ sin （ －β）＝ cos β＜1，B正确；同理可得，0＜
sin β＜ cos α＜1，所以a＝tan α·tan β＝ ∈（0，1），所以f
（x）＝logax是减函数，所以f（ sin α）＞f（ cos β），C正确；f（ sin
β）＞f（ cos α），D错误.故选A、B、C.
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