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第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.已知cos θ＝，则sin（ 2θ＋）＝（　　）
A.－ B.
C. D.－
2.已知sin α＝，α∈（ ，π），则tan（ －α）＝（　　）
A.－7 B.－
C. D.7
3.3sin x＋3cos x＝（　　）
A.6cos（ x＋） B.3cos（ x－）
C.6sin（ x＋） D.3sin（ x－）
4.（2026·甘肃高考诊断考试）已知sin（ α＋）－sin α＝，则sin（ 2α－）＝（　　）
A. B.－
C. D.－
5.（2025·广东佛山二模）若α＋β＝（ α≠＋kπ，β≠＋kπ，k∈Z），则（1＋tan α）（1＋tan β）＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.2
6.〔多选〕已知cos α＝，cos（α＋β）＝－，且α，β∈（ 0，），则（　　）
A.cos β＝ B.sin β＝
C.cos（α－β）＝ D.sin（α－β）＝－
7.－＝　　　　.
8.（2026·山东滨州模拟）“在△ABC中，cos Acos B＝　　　　＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是　　　　.
9.（13分）已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan（α－β）＝－.
（1）求sin（α－β）的值；
（2）求cos β的值.
10.（2026·湖北武汉调研）设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则cos（2α－β）的取值范围为（　　）
A.[0，1] B.[－1，0] C.[－1，1] D.［－，］
11.（2025·江苏苏北四市期末）已知α，β为锐角，cos（α＋β）＝，tan α＋tan β＝1，则cos（α－β）＝（　　）
A. B.
C. D.1
12.〔多选〕已知钝角三角形ABC中，A，B为两锐角，则下列说法正确的是（　　）
A.sin A＜cos B
B.sin A＋sin B＜sin C
C.tan A＋tan B＋tan C＜0
D.tan Atan B＜1
13.（2026·陕西渭南模拟）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为α，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若＝，则＝　　　　.
14.（15分）〔一题多解〕已知0＜α＜＜β＜π，cos（ β－）＝，sin（α＋β）＝.
（1）求sin 2β 的值；
（2）求cos（ α＋）的值.
15.〔创新交汇〕（2026·江西丰城中学段考）已知函数f（x）＝cos 3x－cos 2x，x∈（0，π），若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），则cos x1cos x2的值为（　　）
A. B.－
C. D.－
第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
1.A　2.D　3.C　4.B　5.D　6.AC　7.4　
8.b＜a＜c　解析：由题意，得横线处的实数等于cos（A＋B），即cos（π－C），故当C是直角时，a＝cos（A＋B）＝cos＝0；当C是锐角时，－1＜b＝cos（A＋B）＜0；当C是钝角时，0＜c＝cos（A＋B）＜1，故b＜a＜c.
9.解：（1）因为α，β∈（ 0，），所以－＜α－β＜.
又因为tan（α－β）＝－＜0，所以－＜α－β＜0，且sin（α－β）＝－cos（α－β），sin2（α－β）＋cos2（α－β）＝1.
故cos（α－β）＝，sin（α－β）＝－.
（2）因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×（ －）＝.
10.B　因为α，β∈[0，π]，所以α－β∈[－π，π].又因为sin αcos β －sin βcos α ＝sin（α－β）＝1，所以α－β＝，所以2α－β∈［，］，所以cos（2α－β）∈[－1，0].故选B.
11.D　由α，β为锐角，得0＜α＋β＜π，又cos（α＋β）＝，则sin（α＋β）＝＝＝， ①
由tan α＋tan β＝1，得＋＝＝1， ②
由①②得cos αcos β＝，又cos（α＋β）＝，所以sin αsin β＝，则cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.
12.ACD　对于A，由题意，A，B∈（ 0，），A＋B＜，则A＜－B∈（ 0，），所以sin A＜sin（ －B）＝cos B，故A正确；对于B，sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，因为A，B∈（ 0，），所以cos A∈（0，1），cos B∈（0，1），所以sin C＝sin Acos B＋cos Asin B＜sin A＋sin B，故B错误；对于C，tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝－，所以tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，又A，B∈（ 0，），C∈（ ，π），所以tan A＞0，tan B＞0，tan C＜0，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan Btan C＜0，故C正确；对于D，因为A＜－B∈（ 0，），所以0＜tan A＜tan（ －B）＝＝＝，所以tan Atan B＜1，故D正确.
13.　解析：由题意可得＝＝＝sin α（sin α－cos α）＝＝＝，解得tan α＝2或tan α＝－.因为α是直角三角形中较大的锐角，所以＜α＜，所以tan α＝2，cos α＝＝＝＝，所以sin α＝tan α·cos α＝，又直角三角形的直角边分别为asin α，acos α，则b＝asin α－acos α，所以＝sin α－cos α＝－＝.
14.解：（1）法一 ∵cos（ β－）＝cos βcos＋sin βsin＝cos β＋sin β＝.
∴cos β＋sin β＝，
∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.
法二 sin 2β＝cos（ －2β）＝2cos2（ β－）－1＝－.
（2）∵0＜α＜＜β＜π，
∴＜β－＜，＜α＋β＜，
∵cos（ β－）＝，sin（α＋β）＝，
∴sin（ β －）＝，cos（α＋β）＝－.
∴cos（ α＋）＝cos［（α＋β）－（ β－）］
＝cos（α＋β）cos（ β－）＋sin（α＋β）sin（ β－）＝－×＋×＝.
15.B　易知f（x）＝cos 3x－cos 2x＝cos（ ＋）－cos（ －）＝－2sin·sin，令f（x）＝0，则sinsin＝0，所以sin＝0或sin＝0，可得＝kπ或＝kπ，k∈Z，因此x＝kπ或x＝2kπ，k∈Z.又因为x∈（0，π），所以x1＝π，x2＝π，所以cos x1cosx2＝coscos＝＝＝＝＝－.故选B.
1 / 1第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
1.会推导两角差的余弦公式. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
提醒：（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍.
2.半角公式
sin＝±；cos＝±；
tan＝±.（ 依据二倍角公式，用α代替2α，代替α推得）
3.辅助角公式
asin α＋bcos α＝　　　　　　　（ 其中a2＋b2≠0，sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝）.
1.降幂公式 cos2α＝；sin2α＝；tan2α＝. 2.升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；1±sin 2α＝（sin α±cos α）2. 3.公式的常用变形 sin α±cos α＝sin（ α±）； sin 2α＝＝； cos 2α＝＝； tan α±tan β＝tan（α±β）（1 tan αtan β）； tan αtan β＝1－＝－1； 若α＋β＝，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝2.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角.（　　）
（2）存在实数α，β，使等式sin（α＋β）＝sin α＋sin β成立.（　　）
（3）存在实数α，使tan 2α＝2tan α.（　　）
（4）sin α＋cos α＝sin（ α＋）.（　　）
2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（　　）
A.－　　B.　　C.－　　D.
3.若2cos α－sin α＝0，则tan（ α－）＝（　　）
A.－ B. C.－3 D.3
4.已知sin（α－π）＝，则cos 2α＝（　　）
A. B.
C. D.
5.求值：cos 15°＝　　　　.
公式的直接应用
（师生共研过关）
（1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cos＝，则sin（ α－）＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　）
A.－3m B.－
C. D.3m
听课记录
三角函数公式的应用策略 （1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”； （2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
训练1 （1）已知＝，则tan（ α＋）＝（　　）
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
（2）（2026·山东济宁月考）计算：＝（　　）
A. B.
C. D.
（3）（2026·浙江台州模拟）已知tan α＝2，则cos 2α＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
公式的逆用及变形用
（师生共研过关）
（1）在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C的值为（　　）
A. B.
C. D.
（2）（2025·T8联考）若cos α＋cos β＝，cos（α－β）＝－，其中α，β∈（0，π），则sin α＋sin β＝（　　）
A. B.
C. D.
听课记录
三角函数公式的活用技巧 （1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用公式； （2）注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式； （3）tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
训练2 （1）（2025·浙江绍兴一模）已知sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝，则＝（　　）
A. B.5 C.－ D.－5
（2）〔多选〕（2026·安徽合肥质检）下列各等式能够成立的是（　　）
A.cos275°－sin275°＝
B.＝
C.sin 15°＋cos 15°＝
D.cos 36°cos 72°＝
（3）tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝　　　　.
角的变换
（师生共研过关）
（1）（2025·广东深圳二模）若cos（ α＋）＝，α∈（ 0，），则sin α＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）已知sin θ＋sin（ θ＋）＝1，则sin（ θ＋）＝（　　）
A. B.
C. D.
听课记录
1.三角函数公式求值中变角的解题思路 （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.常用拆角、拼角技巧 2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－（ －α）等.
训练3 （1）已知tan（α＋β）＝，tan（α－β）＝，则tan（π－2α）＝（　　）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
（2）已知cos（ α＋）＝－，α∈（ 0，），则sin（ α＋）＝（　　）
A. B.
C. D.
第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
【夯实必备知识】
知识梳理
1.sin α cos β－cos α sin β　
cos α cos β－sin α sin β　2sin αcos α　cos2α－sin2α　
3.sin（α＋φ）　
诊断自测
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
2.D　3.B　4.D　5.
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）D　（2）A　解析：（1）cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin（ α－）＝（sin α－cos α）＝×＝.
（2）因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A.
训练1　（1）B　（2）C　（3）B
解析：（1）根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（ α＋）＝＝＝2－1，故选B.
（2）
＝
＝
＝.
（3）因为tan α＝2，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
考点2
【例2】　（1）C　（2）A　解析：（1）由已知可得tan A＋tan B＝（tan Atan B－1），∴tan（A＋B）＝＝－.又0＜A＋B＜π.∴A＋B＝，∴C＝.
（2）令sin α＋sin β＝t（t＞0）　①，∵cos α＋cos β＝　②，∴由①2＋②2，得2＋2cos（α－β）＝t2＋，又cos（α－β）＝－，故t2＝.又t＞0，∴t＝.故选A.
训练2　（1）B　（2）CD　（3）1　
解析：（1）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝，两式相减得2cos αsin β＝，两式相加得2sin αcos β＝，所以＝＝5，即＝5，故选B.
（2）对于A，cos275°－sin275°＝cos 150°＝cos（180°－30°）＝－cos 30°＝－；对于B，＝＝＝sin 30°＝；对于C，sin 15°＋cos 15°＝2（ sin 15°＋cos 15°）＝2sin（15°＋30°）＝2sin 45°＝；对于D，cos 36°cos 72°＝＝＝·＝.
（3）原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°（tan 20°＋tan 10°）＝tan 10°tan 20°＋tan（20°＋10°）（1－tan 20°tan 10°）＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
考点3
【例3】　（1）A　（2）B　解析：（1）因为α∈（ 0，），则＜α＋＜，所以sin（ α＋）＝＝＝，因此sin α＝sin［（ α＋）－］＝sin（ α＋）·cos－cos（ α＋）sin＝×－×＝.
（2）因为sin θ＋sin（ θ＋）＝sin（ θ＋－）＋sin（ θ＋＋）＝sin（ θ＋）cos－cos（ θ＋）·sin＋sin（ θ＋）cos＋cos（ θ＋）sin＝2sin（ θ＋）cos＝sin（ θ＋）＝1，所以sin（ θ＋）＝.
训练3　（1）B　（2）D　解析：（1）因为2α＝（α＋β）＋（α－β），所以tan 2α＝＝＝1.又tan（π－2α）＝－tan 2α，所以tan（π－2α）＝－1.
（2）因为cos（ α＋）＝－，α∈（ 0，），所以α＋∈（ ，），sin（ α＋）＝，所以sin（ α＋）＝sin［（ α＋）－］＝sin（ α＋）cos－cos（ α＋）sin＝×－（ －）×＝.
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第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
课标要求
1. 会推导两角差的余弦公式.
2. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
提醒：（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的
特殊情况；（2）二倍角是相对的，如： 是 的2倍，3α是 的2倍.
2. 半角公式
sin ＝± ；
cos ＝± ；
tan ＝± .（依据二倍角公式，用α代替2α， 代替α推得）
3. 辅助角公式
a sin α＋b cos α＝ （其中a2＋b2≠0， sin φ＝
， cos φ＝ ，tan φ＝ ）.
sin （α＋φ）　
1. 降幂公式
cos 2α＝ ； sin 2α＝ ；tan2α＝ .
2. 升幂公式
1＋ cos 2α＝2 cos 2α；1－ cos 2α＝2 sin 2α；1± sin 2α＝（ sin α±
cos α）2.
3. 公式的常用变形
sin α± cos α＝ sin （α± ）；
sin 2α＝ ＝ ；
cos 2α＝ ＝ ；
tan α±tan β＝tan（α±β）（1 tan αtan β）；
tan αtan β＝1－ ＝ －1；
若α＋β＝ ，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝2.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角. （　√　）
（2）存在实数α，β，使等式 sin （α＋β）＝ sin α＋ sin β成立.
（　√　）
（3）存在实数α，使tan 2α＝2tan α. （　√　）
（4） sin α＋ cos α＝ sin （α＋ ）. （　×　）
√
√
√
×
2. sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝（　　）
A. － B.
C. － D.
√
解析： 　原式＝ sin 20° cos 10°＋ cos 20° sin 10°＝ sin （20°＋
10°）＝ sin 30°＝ .
3. 若2 cos α－ sin α＝0，则tan（α－ ）＝（　　）
A. － B.
C. －3 D. 3
√
解析： 　因为2 cos α－ sin α＝0，则 sin α＝2 cos α，故tan α＝2，因
此，tan（α－ ）＝ ＝ ＝ .
4. 已知 sin （α－π）＝ ，则 cos 2α＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　 sin （α－π）＝－ sin α＝ ，故 sin α＝－ ，所以 cos 2α＝1
－2 sin 2α＝1－2×（－ ）2＝ .
5. 求值： cos 15°＝ .
解析： cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ cos 60° cos 45°＋ sin 60° sin
45°＝ .
　
02
PART
研透核心考点
公式的直接应用（师生共研过关）
（1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π， cos ＝ ，则 sin （α－
）＝（　D　）
A. B.
D
解析： cos α＝2 cos 2 －1＝2× －1＝－ ，因为0＜α＜π，所以 sin α
＝ ，所以 sin （α－ ）＝ （ sin α－ cos α）＝ × ＝ .
C. D.
（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m，tan αtan β＝2，
则 cos （α－β）＝（　A　）
A. －3m B. －
C. D. 3m
A
解析： 因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin β＝m，
而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β＝2 cos α cos β，故
cos α cos β－2 cos α cos β＝m，即 cos α cos β＝－m，从而 cos （α
－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故选A.
三角函数公式的应用策略
（1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变
化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
（2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合
应用.
训练1 （1）已知 ＝ ，则tan（α＋ ）＝（　B　）
A. 2 ＋1 B. 2 －1
C. D. 1－
解析： 根据题意有 ＝ ，即1－tan α＝ ，所以tan α＝1－
，所以tan（α＋ ）＝ ＝ ＝2 －1，故选B.
B
（2）（2026·山东济宁月考）计算： ＝（　C　）
A. B.
C. D.
解析： ＝ ＝
＝ .
C
（3）（2026·浙江台州模拟）已知tan α＝2，则 cos 2α＝（　B　）
A. － B. －
C. D.
解析： 因为tan α＝2，所以 cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ ＝
＝ ＝－ .
B
公式的逆用及变形用（师生共研过关）
（1）在△ABC中，tan A＋tan B＋ ＝ tan Atan B，则C的值为
（　C　）
A. B.
C. D.
解析： 由已知可得tan A＋tan B＝ （tan Atan B－1），∴tan（A＋B）
＝ ＝－ .又0＜A＋B＜π.∴A＋B＝ ，∴C＝ .
C
（2）（2025·T8联考）若 cos α＋ cos β＝ ， cos （α－β）＝－ ，其
中α，β∈（0，π），则 sin α＋ sin β＝（　A　）
A. B.
C. D.
解析： 令 sin α＋ sin β＝t（t＞0）　①，∵ cos α＋ cos β＝ 　②，
∴由①2＋②2，得2＋2 cos （α－β）＝t2＋ ，又 cos （α－β）＝－ ，
故t2＝ .又t＞0，∴t＝ .故选A.
A
三角函数公式的活用技巧
（1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造
条件逆用公式；
（2）注意特殊角的应用，当式子中出现 ，1， ， 等这些数值时，一
定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式；
（3）tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋
β）（或tan（α－β））三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用
和变形使用.
训练2 （1）（2025·浙江绍兴一模）已知 sin （α＋β）＝ ， sin （α－
β）＝ ，则 ＝（　B　）
A. B. 5
C. － D. －5
B
解析： sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ ， sin （α－β）
＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ，两式相减得2 cos α sin β＝ ，两式相
加得2 sin α cos β＝ ，所以 ＝ ＝5，即 ＝5，故选B.
（2）〔多选〕（2026·安徽合肥质检）下列各等式能够成立的是
（　CD　）
A. cos 275°－ sin 275°＝ B. ＝
C. sin 15°＋ cos 15°＝ D. cos 36° cos 72°＝
CD
解析：对于A， cos 275°－ sin 275°＝ cos 150°＝ cos （180°－30°）
＝－ cos 30°＝－ ；对于B， ＝ ＝
＝ sin 30°＝ ；对于C， sin 15°＋ cos 15°＝2（ sin 15°＋ cos
15°）＝2 sin （15°＋30°）＝2 sin 45°＝ ；对于D， cos 36° cos
72°＝ ＝ ＝ · ＝ .
（3）tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝ .
解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°（tan 20°＋tan 10°）＝tan
10°tan 20°＋ tan（20°＋10°）（1－tan 20°tan 10°）＝tan 10°tan
20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
1　
角的变换（师生共研过关）
（1）（2025·广东深圳二模）若 cos （α＋ ）＝ ，α∈（0， ），
则 sin α＝（　A　）
A. B.
C. D.
A
解析： 因为α∈（0， ），则 ＜α＋ ＜ ，所以 sin （α＋ ）＝
＝ ＝ ，因此 sin α＝ sin ［（α＋ ）
－ ］＝ sin （α＋ ）· cos － cos （α＋ ） sin ＝ × － × ＝
.
（2）已知 sin θ＋ sin （θ＋ ）＝1，则 sin （θ＋ ）＝（　B　）
A. B.
C. D.
解析： 因为 sin θ＋ sin （θ＋ ）＝ sin （θ＋ － ）＋ sin （θ＋ ＋
）＝ sin （θ＋ ） cos － cos （θ＋ ）· sin ＋ sin （θ＋ ） cos ＋
cos （θ＋ ） sin ＝2 sin （θ＋ ） cos ＝ sin （θ＋ ）＝1，所以
sin （θ＋ ）＝ .
B
1. 三角函数公式求值中变角的解题思路
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的
和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的
和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2. 常用拆角、拼角技巧
2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋
β；β＝ － ＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋
（γ－β）； ＋α＝ －（ －α）等.
训练3 （1）已知tan（α＋β）＝ ，tan（α－β）＝ ，则tan（π－2α）
＝（　B　）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： 因为2α＝（α＋β）＋（α－β），所以tan 2α＝
＝ ＝1.又tan（π－2α）＝－tan 2α，所以
tan（π－2α）＝－1.
B
（2）已知 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0， ），则 sin （α＋ ）＝
（　D　）
A. B.
C. D.
D
解析：因为 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0， ），所以α＋ ∈（ ，
）， sin （α＋ ）＝ ，所以 sin （α＋ ）＝ sin ［（α＋ ）－ ］
＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin ＝ × －（－ ）× ＝
.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知 cos θ＝ ，则 sin （2θ＋ ）＝（　　）
A. － B.
C. D. －
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√
解析： 　根据诱导公式与二倍角公式，得 sin （2θ＋ ）＝ cos 2θ＝2
cos 2θ－1＝－ ，故选A.
2. 已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），则tan（ －α）＝（　　）
A. －7 B. －
C. D. 7
解析： 　因为 sin α＝ ，α∈（ ，π），所以 cos α＝－
＝－ ，tan α＝ ＝－ ，所以tan（ －α）＝ ＝7，故选D.
√
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3. 3 sin x＋3 cos x＝（　　）
A. 6 cos （x＋ ） B. 3 cos （x－ ）
C. 6 sin （x＋ ） D. 3 sin （x－ ）
解析： 　3 sin x＋3 cos x＝6 （ sin x＋ cos x）＝6 sin （x
＋ ），故选C.
√
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4. （2026·甘肃高考诊断考试）已知 sin （α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin
（2α－ ）＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析： 　因为 sin （α＋ ）－ sin α＝ cos α－ sin α＝ cos （α＋
）＝ ，所以 sin （2α－ ）＝ sin ［2（α＋ ）－ ］＝－ cos ［2（α
＋ ）］＝1－2 cos 2（α＋ ）＝－ .故选B.
√
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5. （2025·广东佛山二模）若α＋β＝ （α≠ ＋kπ，β≠ ＋kπ，
k∈Z），则（1＋tan α）（1＋tan β）＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 　因为α＋β＝ ，则tan（α＋β）＝tan ＝tan（π＋ ）＝
tan ＝1，又tan（α＋β）＝ ，所以 ＝1，则tan α＋
tan β＝1－tan αtan β，所以（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan
β＋tan αtan β＝1＋1＝2.故选D.
√
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6. 〔多选〕已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β∈（0，
），则（　　）
A. cos β＝ B. sin β＝
C. cos （α－β）＝ D. sin （α－β）＝－
√
√
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解析： 　因为α∈（0， ）， cos α＝ ，所以 sin α＝ ，又α，
β∈（0， ），所以α＋β∈（0，π），所以 sin （α＋β）＝
＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos
（α＋β） cos α＋ sin （α＋β）· sin α＝－ ＋ ＝ ，A正确. sin β
＝ ，B错误. cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ，C正
确. sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ，D错误.
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7. － ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝
＝ ＝4.
4　
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8. （2026·山东滨州模拟）“在△ABC中， cos A cos B＝ 　　＋ sin A sin
B”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是
直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处
填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是
.
解析：由题意，得横线处的实数等于 cos （A＋B），即 cos （π－C），
故当C是直角时，a＝ cos （A＋B）＝ cos ＝0；当C是锐角时，－1＜b
＝ cos （A＋B）＜0；当C是钝角时，0＜c＝ cos （A＋B）＜1，故b＜
a＜c.
b＜a
＜c　
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9. （13分）已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ，tan（α－β）＝－ .
（1）求 sin （α－β）的值；
解： 因为α，β∈（0， ），所以－ ＜α－β＜ .
又因为tan（α－β）＝－ ＜0，所以－ ＜α－β＜0，且 sin （α－β）
＝－ cos （α－β）， sin 2（α－β）＋ cos 2（α－β）＝1.
故 cos （α－β）＝ ， sin （α－β）＝－ .
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（2）求 cos β的值.
解： 因为α为锐角，且 sin α＝ ，所以 cos α＝ .
所以 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin
（α－β）＝ × ＋ ×（－ ）＝ .
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10. （2026·湖北武汉调研）设α，β∈[0，π]，且满足 sin α cos β－ cos
α sin β＝1，则 cos （2α－β）的取值范围为（　　）
A. [0，1] B. [－1，0]
C. [－1，1] D. ［－ ， ］
√
解析： 　因为α，β∈[0，π]，所以α－β∈[－π，π].又因为 sin α cos
β － sin β cos α ＝ sin （α－β）＝1，所以α－β＝ ，所以2α－β∈
［ ， ］，所以 cos （2α－β）∈[－1，0].故选B.
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11. （2025·江苏苏北四市期末）已知α，β为锐角， cos （α＋β）＝
，tan α＋tan β＝1，则 cos （α－β）＝（　　）
A. B.
C. D. 1
√
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解析： 　由α，β为锐角，得0＜α＋β＜π，又 cos （α＋β）＝ ，则
sin （α＋β）＝ ＝ ＝ ，　①
由tan α＋tan β＝1，得 ＋ ＝ ＝1，　②
由①②得 cos α cos β＝ ，又 cos （α＋β）＝ ，所以 sin α sin β＝
，则 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝1.
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12. 〔多选〕已知钝角三角形ABC中，A，B为两锐角，则下列说法正确
的是（　　）
A. sin A＜ cos B
B. sin A＋ sin B＜ sin C
C. tan A＋tan B＋tan C＜0
D. tan Atan B＜1
√
√
√
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解析： 　对于A，由题意，A，B∈（0， ），A＋B＜ ，则A＜
－B∈（0， ），所以 sin A＜ sin （ －B）＝ cos B，故A正确；对于
B， sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，因为A，B∈（0，
），所以 cos A∈（0，1）， cos B∈（0，1），所以 sin C＝ sin A cos B＋
cos A sin B＜ sin A＋ sin B，故B错误；
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对于C，tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝－ ，所
以tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan
Atan Btan C，又A，B∈（0， ），C∈（ ，π），所以tan A＞0，tan B
＞0，tan C＜0，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＜0，故C正确；
对于D，因为A＜ －B∈（0， ），所以0＜tan A＜tan（ －B）＝
＝ ＝ ，所以tan Atan B＜1，故D正确.
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13. （2026·陕西渭南模拟）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书
时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个
小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为α，大正方形的
边长为a，小正方形的边长为b，若 ＝ ，则 ＝ 　 　.
　
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解析：由题意可得 ＝ ＝
＝ sin α（ sin α－ cos α）＝ ＝
＝ ，解得tan α＝2或tan α＝－ .因为α是直角三角形中较大的锐角，所
以 ＜α＜ ，所以tan α＝2， cos α＝ ＝ ＝
＝ ，所以 sin α＝tan α· cos α＝ ，又直角三角形的直角边分别为a
sin α，a cos α，则b＝a sin α－a cos α，所以 ＝ sin α－ cos α＝
－ ＝ .
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14. （15分）〔一题多解〕已知0＜α＜ ＜β＜π， cos （β－ ）＝ ，
sin （α＋β）＝ .
（1）求 sin 2β 的值；
解： 法一 ∵ cos （β－ ）＝ cos β cos ＋ sin β sin ＝ cos β＋
sin β＝ .
∴ cos β＋ sin β＝ ，
∴1＋ sin 2β＝ ，∴ sin 2β＝－ .
法二 sin 2β＝ cos （ －2β）＝2 cos 2（β－ ）－1＝－ .
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（2）求 cos （α＋ ）的值.
解： ∵0＜α＜ ＜β＜π，
∴ ＜β－ ＜ ， ＜α＋β＜ ，
∵ cos （β－ ）＝ ， sin （α＋β）＝ ，
∴ sin （β － ）＝ ， cos （α＋β）＝－ .
∴ cos （α＋ ）＝ cos ［（α＋β）－（β－ ）］
＝ cos （α＋β） cos （β－ ）＋ sin （α＋β） sin （β－ ）＝－
× ＋ × ＝ .
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15. 〔创新交汇〕（2026·江西丰城中学段考）已知函数f（x）＝ cos 3x－
cos 2x，x∈（0，π），若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），则 cos x1
cos x2的值为（　　）
A. B. －
C. D. －
√
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解析： 　易知f（x）＝ cos 3x－ cos 2x＝ cos （ ＋ ）－ cos （ －
）＝－2 sin · sin ，令f（x）＝0，则 sin sin ＝0，所以 sin ＝0或
sin ＝0，可得 ＝kπ或 ＝kπ，k∈Z，因此x＝ kπ或x＝2kπ，k∈Z.
又因为x∈（0，π），所以x1＝ π，x2＝ π，所以 cos x1 cos x2＝ cos cos
＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ .故选B.
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