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第4节　简单的三角恒等变换
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.＝（　　）
A. B.
C. D.2
2.化简：·＝（　　）
A.－sin α B.－cos α
C.sin α D.cos α
3.已知α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），则tan＝（　　）
A.3 B.
C.2 D.或2
4.（2026·重庆调研）已知α∈（ 0，），且2sin 2α＝4cos α－3cos3α，则cos 2α＝（　　）
A. B.
C. D.
5.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则2α－β＝（　　）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕（2026·山东济南质检）已知cos（α＋β）＝－，cos 2α＝－，其中α，β均为锐角，以下判断正确的是（　　）
A.sin 2α＝ B.cos（α－β）＝
C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝
7.已知α为锐角，且cos α（1＋tan 10°）＝1，则α＝　　　　.
8.（2025·山东泰安阶段练习）已知0＜β＜α＜，cos（α－β）＝，cos αcos β＝，则－＝　　　　.
9.（13分）证明：（1）cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α；
（2）＝tan α＋；
（3）－＝－2sin（ ＜θ＜2π）.
10.（2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知＜θ＜，若a＝，b＝－cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.c＞a＞b B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.b＞a＞c
11.（2026·山东临沂模拟）已知f（x）＝sin2x＋sin2（x＋α）＋sin2（x＋β），其中α，β为参数，若对 x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（　　）
A.满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝
B.α－β＝π
C.α＋β＝π
D.满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝
12.〔多选〕已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos（α＋β）＝－，则（　　）
A.cos α＝－
B.sin α－cos α＝
C.β－α＝
D.cos αcos β＝－
13.（2026·福建莆田模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α＝sin（2α＋α）可求得sin 3α＝　　　　（用单角α的正弦值表示）；再求得cos 36°＝　　　　.
14.（15分）（2026·辽宁抚顺期中）已知2sin α＝2sin2－1.
（1）求sin αcos α＋cos 2α的值；
（2）已知α∈（0，π），β∈（ 0，），且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值.
15.〔多思少算〕在锐角三角形ABC中，内角A，B，C满足sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值为　　　　.
第4节　简单的三角恒等变换
1.C　2.D　3.A　4.C　
5.C　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin（2α－β）＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin（2α－β）＝，所以2α－β＝.
6.AC　由题意，易得α＋β∈（ ，π），2α∈（ ，π），所以sin 2α＝＝，故A正确；sin（α＋β）＝＝，所以cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]＝cos 2αcos（α＋β）＋sin 2αsin（α＋β）＝（ －）×（ －）＋×＝，故B错误；cos αcos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]＝×（ －＋）＝，故C正确；sin αsin β＝[cos（α－β）－cos（α＋β）]＝×［－（ －）］＝，所以tan αtan β＝＝，故D错误.
7.40°　
8.－2　解析：由题意可知cos（α－β）＝＝cos αcos β＋sin αsin β，所以sin αsin β＝，即tan αtan β＝＝，又0＜β＜α＜，所以＞α－β＞0，sin（α－β）＝＝，则tan（α－β）＝＝，所以tan α－tan β＝，所以－＝＝＝－2.
9.证明：（1）左边＝2cos22α－1＋4cos 2α＋3＝2（cos22α＋2cos 2α＋1）＝2（cos 2α＋1）2＝2（2cos2α）2＝8cos4α＝右边.
（2）左边＝＝＝＝tan α＋＝右边.
（3）左边＝｜sin＋cos｜－｜sin－cos｜，∵＜θ＜2π，∴＜＜π，从而sin＋cos＜0，sin－cos＞0.则左边＝－（ sin＋cos）－（ sin－cos）＝－2sin＝右边.
10.C　a＝＝＝sin θcos θ，b＝（1－cos 2θ）＝sin2θ，c＝－cos θ＝＝sin θtan θ，又＜θ＜，则sin θ∈（ ，），且tan θ＞1＞sin θ＞＞cos θ＞，所以c＝sin θtan θ＞b＝sin2θ＞a＝sin θcos θ.
11.D　f（x）＝＋＋＝－[cos 2x（1＋cos 2α＋cos 2β）－sin 2x（sin 2α＋sin 2β）]，由题意得两式平方相加可得cos（2α－2β）＝－，所以2α－2β＝＋2kπ或2α－2β＝－＋2kπ，k∈Z.当α＝，β＝时，2α－2β＝－，符合题意，故D正确，A、B、C错误.
12.BC　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝＞0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2α－1 cos2α＝ cos α＝，故A错误；（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos（α＋β）＝－＜0，所以≤α＋β≤，解得sin（α＋β）＝－，所以cos（β－α）＝cos[（α＋β）－2α]＝－×＋×＝－，又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；由cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－，cos（β－α）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误.故选B、C.
13.3sin α－4sin3α　　解析：sin 3α＝sin（2α＋α）＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos2α＋（1－2sin2α）sin α＝2sin α（1－sin2α）＋（1－2sin2α）sin α＝3sin α－4sin3α.因为sin 72°＝sin 108°，从而2sin 36°·cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，即2cos 36°＝3－4sin236°＝3－4（1－cos236°），令cos 36°＝x＞0，则4x2－2x－1＝0，解得x＝或x＝（舍去）.
14.解：（1）由已知得2sin α＝－cos α，
所以tan α＝－，
sin αcos α＋cos 2α
＝
＝＝.
（2）由tan2β－6tan β＝1，可得tan 2β＝＝－，
则tan（α＋2β）＝＝＝－1.
因为β∈（ 0，），所以2β∈（0，π），
又tan 2β＝－＞－，则2β∈（ ，π），
因为α∈（0，π），tan α＝－＞－，
则α∈（ ，π），则α＋2β∈（ ，2π），
所以α＋2β＝.
15.8　解析：由题得tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，且sin（B＋C）＝sin A＝2sin Bsin C，因而tan B＋tan C＝2tan Btan C.又tan A＝－tan（B＋C）＝，
代入可得tan Atan Btan C
＝·tan Btan C
＝
＝≥＝8，当且仅当tan Btan C＝2时，等号成立.即tan Atan Btan C的最小值为8.
1 / 1第4节　简单的三角恒等变换
1.会运用相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
　　
三角函数式的化简
（师生共研过关）
（1）化简：·；
（2）（2026·四川德阳模拟）已知α∈（0，π），化简：.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
训练1 （1）（ －tan）·（ 1＋tan α·tan）＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）2＋＝（　　）
A.2cos 2 B.2sin 2
C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2
三角函数式求值
（定向精析突破）
考向1　给角求值
（1）求值：＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
（2）求值：＝　　　　.
听课记录
给角求值问题的求解策略 　　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍、半角公式等将非特殊角的三角函数值转化为： （1）特殊角的三角函数值； （2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值； （3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.
考向2　给值（式）求值
（1）（2025·江苏淮阴中学二模）已知sin αsin（ α＋）＝cos αsin（ －α），则tan（ 2α＋）＝（　　）
A. B.
C.2－ D.－2－
（2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　　　　.
听课记录
给值（式）求值问题的求解思路 （1）化简所求式子或已知条件； （2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）； （3）将已知条件代入所求式子，化简求值.
考向3　给值求角
（2026·浙江杭州质检）已知α，β∈（ 0，），sin（α－β）＝，tan α＝3tan β.则α＋β＝（　　）
A. B.
C. D.
听课记录
　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数.
训练2 （1）（2025·浙江杭州一模）已知－＝4，则λ＝（　　）
A.1 B.
C. D.2
（2）已知α∈（0，π），sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α＝（　　）
A. B.－
C.－或0 D.
（3）（2026·天津模拟）已知锐角α，β满足α＋2β＝，tantan β＝2－，则α和β中的较小角等于　　　.
三角恒等变换的综合应用
（师生共研过关）
已知f（x）＝sin（ 2x－）＋2sin（ x－）·cos（ x＋）.
（1）求f（ ）的值；
（2）若锐角α满足f（α）＝，求sin 2α的值.
　　进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用.
训练3 （1）已知函数f（x）＝sin xcos x－cos2x＋.若f（ α）＝，则sin 2α的值为　　　　；
（2）已知f（x）＝sin xsin（ x＋）－，则f（x）的值域为　　　　.
和差化积与积化和差公式
　　人A必修一P225例8与P226练习4题、5题给出了两组公式：
（1）积化和差公式
①sin αcos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；
②cos αsin β＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]；
③cos αcos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；
④sin αsin β＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）].
（2）和差化积公式
①sin θ＋sin φ＝2sincos；
②sin θ－sin φ＝2cossin；
③cos θ＋cos φ＝2coscos；
④cos θ－cos φ＝－2sinsin.
应用上述公式可实现三角函数式“积”与“和”的相互转化.
（1）化简下列各式：
①sin 54°－sin 18°＝　　　　；
②cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝　　　　.
（2）y＝sin xsin 3x的最大值为　　　　.
听课记录
第4节　简单的三角恒等变换
考点1
【例1】　解：（1）原式＝tan（90°－2α）·＝·＝·＝.
（2）因为α∈（0，π），所以∈（ 0，），所以原式＝
＝
＝＝cos α.
训练1　（1）C　（2）B　解析：（1）原式＝（ －）·（ 1＋·）＝·
＝·＝.
（2）2＋＝2＋＝2＋＝2｜sin 2＋cos 2｜＋2｜cos 2｜.∵＜2＜π，∴cos 2＜0，∵sin 2＋cos 2＝sin（ 2＋），＜2＋＜π，∴sin 2＋cos 2＞0，∴原式＝2（sin 2＋cos 2）－2cos 2＝2sin 2.
考点2
【例2】　（1）C　（2）－4　解析：（1）原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝.
（2）原式＝
＝
＝
＝＝－4.
【例3】　（1）D　（2）－　解析：（1）由sin αsin（ α＋）＝cos αsin（ －α），得sin2α＋sin αcos α＝cos2α－sin αcos α，即（cos2α－sin2α）＝sin αcos α，所以cos 2α＝sin 2α，所以tan 2α＝，所以tan（ 2α＋）＝＝＝－2－.
（2）由题知tan（α＋β）＝＝＝－2，即sin（α＋β）＝－2cos（α＋β），又sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，可得sin（α＋β）＝±.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2（k＋m）π＋π＜α＋β＜2（k＋m）π＋2π，k＋m∈Z.又tan（α＋β）＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin（α＋β）＝－.
【例4】　C　因为sin（α－β）＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝　①.因为tan α＝3tan β，所以＝，即sin αcos β＝3cos αsin β　②.由①②得，sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝1，因为α，β∈（ 0，），所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝，故选C.
训练2　（1）C　（2）C　（3）　
解析：（1）由－＝4可得λ＝（ －4）cos 10°
＝
＝
＝
＝
＝，故选C.
（2）∵sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos2α－1，∴2sin αcos α＋2cos2α＝cos α，当cos α＝0时，等式成立，此时sin 2α＝0；当cos α≠0时，sin α＋cos α＝，两边平方得sin 2α＝－.综上可得，sin 2α＝－或0.
（3）由α＋2β＝，可得＋β＝，所以tan（ ＋β）＝＝，又tantan β＝2－，所以tan＋tan β＝3－，由解得或（舍去，此时α不为锐角），所以tan β＝1，又β为锐角，所以β＝，又α＋2β＝，所以α＝.所以α和β中的较小角为.
考点3
【例5】　解：（1）f（x）＝sin（ 2x－）＋2sin（ x－）cos（ x＋）
＝sin（ 2x－）－2sin（ x－）·cos［π－（ x＋）］
＝sin（ 2x－）－2sin（ x－）·cos（ x－）
＝sin（ 2x－）－sin（ 2x－）
＝sin 2xcos－cos 2xsin＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin（ 2x＋），
故f（ ）＝sin（ 2×＋）＝0.
（2）∵α∈（ 0，），f（α）＝，
∴f（α）＝sin（ 2α＋）＝，2α＋∈（ ，），
又∵sin（ 2α＋）＝＜，
∴2α＋∈（ ，），
∴cos（ 2α＋）＝－＝－，
sin 2α＝sin［（ 2α＋）－］＝sin（ 2α＋）cos－cos（ 2α＋）sin
＝×＋×＝.
训练3　（1）－　（2）［－，］
解析：（1）f（x）＝sin 2x－·＋＝sin 2x－cos 2x＝sin（ 2x－）.因为f（ α）＝，所以sin（ α－）＝，所以sin（ α－）＝，sin 2α＝sin［2（ α－）＋］＝cos［2（ α－）］＝1－2sin2（ α－）＝1－2×（ ）2＝－.
（2）因为f（x）＝sin xsin（ x＋）－＝sin x（ sin x＋cos x）－＝sin2x＋sin xcos x－＝×＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin（ 2x－），所以－≤f（x）≤.
衔接教材
【例】　（1）①　②－　（2）
解析：（1）①由和差化积公式可得，sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝2×＝＝＝＝.
②由和差化积和积化和差公式可得，cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝2cos 120°cos 26°＋2×（cos 120°＋cos 26°）＝2×（ －）cos 26°＋（ －）＋cos 26°＝－.
（2）y＝sin xsin 3x＝－[cos 4x－cos（－2x）]＝－cos22x＋cos 2x＋＝－（ cos 2x－）2＋，由于cos 2x∈[－1，1]，故当cos 2x＝时，y＝sin xsin 3x取最大值，最大值为.
1 / 1(共59张PPT)
第4节　简单的三角恒等变换
课标要求
1. 会运用相关公式进行化简和求值.
2. 会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
三角函数式的化简（师生共研过关）
（1）化简： · ；
解： 原式＝tan（90°－2α）· ＝ · ＝
· ＝ .
解： 因为α∈（0，π），所以 ∈（0， ），所以原式＝
＝
＝ ＝ cos α.
（2）（2026·四川德阳模拟）已知α∈（0，π），化简：
.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
训练1 （1）（ －tan ）·（1＋tan α·tan ）＝（　C　）
A. B. C. D.
解析： 原式＝（ － ）·（1＋ · ）＝
· ＝ · ＝ .
C
（2）2 ＋ ＝（　B　）
A. 2 cos 2 B. 2 sin 2
C. 4 sin 2＋2 cos 2 D. 2 sin 2＋4 cos 2
解析： 2 ＋ ＝2 ＋
＝2 ＋ ＝2｜ sin 2＋ cos
2｜＋2｜ cos 2｜.∵ ＜2＜π，∴ cos 2＜0，∵ sin 2＋ cos 2＝ sin （2＋
）， ＜2＋ ＜π，∴ sin 2＋ cos 2＞0，∴原式＝2（ sin 2＋ cos 2）－2
cos 2＝2 sin 2.
B
三角函数式求值（定向精析突破）
考向1　给角求值
（1）求值： ＝（　C　）
A. 1 B. 2
C. D.
C
解析： 原式＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝ .
（2）求值： ＝ 　－4 　.
解析：原式＝
＝
＝
＝ ＝－4 .
－4 　
给角求值问题的求解策略
　　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍、半角公式等将非
特殊角的三角函数值转化为：
（1）特殊角的三角函数值；
（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；
（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.
考向2　给值（式）求值
（1）（2025·江苏淮阴中学二模）已知 sin α sin （α＋ ）＝ cos α
sin （ －α），则tan（2α＋ ）＝（　D　）
A. B.
C. 2－ D. －2－
D
解析： 由 sin α sin （α＋ ）＝ cos α sin （ －α），得 sin 2α＋
sin α cos α＝ cos 2α－ sin α cos α，即 （ cos 2α－ sin 2α）＝ sin
α cos α，所以 cos 2α＝ sin 2α，所以tan 2α＝ ，所以tan（2α＋
）＝ ＝ ＝－2－ .
解析：由题知tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 ，即 sin （α
＋β）＝－2 cos （α＋β），又 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝
1，可得 sin （α＋β）＝± .由2kπ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z，2mπ＋π＜
β＜2mπ＋ ，m∈Z，得2（k＋m）π＋π＜α＋β＜2（k＋m）π＋
2π，k＋m∈Z. 又tan（α＋β）＜0，所以α＋β是第四象限角，故 sin
（α＋β）＝－ .
（2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，
tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ ＋1，则 sin （α＋β）＝ 　－ 　.
－ 　
给值（式）求值问题的求解思路
（1）化简所求式子或已知条件；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值.
考向3　给值求角
（2026·浙江杭州质检）已知α，β∈（0， ）， sin （α－β）＝
，tan α＝3tan β.则α＋β＝（　　）
A. B. C. D.
√
解析： 　因为 sin （α－β）＝ ，所以 sin α cos β－ cos α sin β＝ 　
①.因为tan α＝3tan β，所以 ＝ ，即 sin α cos β＝3 cos α sin
β　②.由①②得， sin α cos β＝ ， cos α sin β＝ ，所以 sin （α＋
β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝1，因为α，β∈（0， ），所以α
＋β∈（0，π），所以α＋β＝ ，故选C.
　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角
函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是 ，
选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围
为 ，选正弦函数.
训练2 （1）（2025·浙江杭州一模）已知 － ＝4，则λ＝
（　C　）
A. 1 B.
C. D. 2
解析： 由 － ＝4可得λ＝（ －4） cos 10°＝
＝ ＝ ＝
＝ ，故选C.
C
（2）已知α∈（0，π）， sin 2α＋ cos 2α＝ cos α－1，则 sin 2α＝
（　C　）
A. B. －
C. － 或0 D.
解析：∵ sin 2α＝2 sin α cos α， cos 2α＝2 cos 2α－1，∴2 sin α cos
α＋2 cos 2α＝ cos α，当 cos α＝0时，等式成立，此时 sin 2α＝0；当
cos α≠0时， sin α＋ cos α＝ ，两边平方得 sin 2α＝－ .综上可得，
sin 2α＝－ 或0.
C
解析：由α＋2β＝ ，可得 ＋β＝ ，所以tan（ ＋β）＝
＝ ，又tan tan β＝2－ ，所以tan ＋tan β＝3－ ，由
解得 或 （舍
去，此时α不为锐角），所以tan β＝1，又β为锐角，所以β＝ ，又α
＋2β＝ ，所以α＝ .所以α和β中的较小角为 .
（3）（2026·天津模拟）已知锐角α，β满足α＋2β＝ ，tan tan β＝
2－ ，则α和β中的较小角等于 　 　.
　
三角恒等变换的综合应用（师生共研过关）
已知f（x）＝ sin （2x－ ）＋2 sin （x－ ）· cos （x＋ ）.
（1）求f（ ）的值；
解： f（x）＝ sin （2x－ ）＋2 sin （x－ ） cos （x＋ ）
＝ sin （2x－ ）－2 sin （x－ ） cos ［π－（x＋ ）］
＝ sin （2x－ ）－2 sin （x－ ） cos （x－ ）
＝ sin （2x－ ）－ sin （2x－ ）
＝ sin 2x cos － cos 2x sin ＋ cos 2x
＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin （2x＋ ），
故f（ ）＝ sin （2× ＋ ）＝0.
（2）若锐角α满足f（α）＝ ，求 sin 2α的值.
解： ∵α∈（0， ），f（α）＝ ，
∴f（α）＝ sin （2α＋ ）＝ ，2α＋ ∈（ ， ），
又∵ sin （2α＋ ）＝ ＜ ，
∴2α＋ ∈（ ， ），
∴ cos （2α＋ ）＝－ ＝－ ，
sin 2α＝ sin ［（2α＋ ）－ ］＝ sin （2α＋ ） cos － cos （2α＋
） sin
＝ × ＋ × ＝ .
　　进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间
的关系，注意公式的逆用和变形使用.
训练3 （1）已知函数f（x）＝ sin x cos x－ cos 2x＋ .若f（ α）＝
，则 sin 2α的值为 　－ 　；
解析： f（x）＝ sin 2x－ · ＋ ＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin （2x
－ ）.因为f（ α）＝ ，所以 sin （α－ ）＝ ，所以 sin （α－
）＝ ， sin 2α＝ sin ［2（α－ ）＋ ］＝ cos ［2（α－ ）］＝1－2
sin 2（α－ ）＝1－2×（ ）2＝－ .
－ 　
（2）已知f（x）＝ sin x sin （x＋ ）－ ，则f（x）的值域为
.
解析：因为f（x）＝ sin x sin （x＋ ）－ ＝ sin x（ sin x＋ cos x）－
＝ sin 2x＋ sin x cos x－ ＝ × ＋ sin 2x－ ＝ sin 2x－ cos
2x＝ sin （2x－ ），所以－ ≤f（x）≤ .
［－
， ］　
和差化积与积化和差公式
　　人A必修一P225例8与P226练习4题、5题给出了两组公式：
（1）积化和差公式
① sin α cos β＝ [ sin （α＋β）＋ sin （α－β）]；
② cos α sin β＝ [ sin （α＋β）－ sin （α－β）]；
③ cos α cos β＝ [ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]；
④ sin α sin β＝－ [ cos （α＋β）－ cos （α－β）].
（2）和差化积公式
① sin θ＋ sin φ＝2 sin cos ；
② sin θ－ sin φ＝2 cos sin ；
③ cos θ＋ cos φ＝2 cos cos ；
④ cos θ－ cos φ＝－2 sin sin .
应用上述公式可实现三角函数式“积”与“和”的相互转化.
（1）化简下列各式：
① sin 54°－ sin 18°＝ ；
② cos 146°＋ cos 94°＋2 cos 47° cos 73°＝ .
解析： ①由和差化积公式可得， sin 54°－ sin 18°＝2 cos 36° sin 18°
＝2× ＝ ＝ ＝ ＝ .
②由和差化积和积化和差公式可得， cos 146°＋ cos 94°＋2 cos 47° cos
73°＝2 cos 120° cos 26°＋2× （ cos 120°＋ cos 26°）＝2×（－ ）
cos 26°＋（－ ）＋ cos 26°＝－ .
　
－ 　
（2）y＝ sin x sin 3x的最大值为 .
解析： y＝ sin x sin 3x＝－ [ cos 4x－ cos （－2x）]＝－ cos 22x＋ cos
2x＋ ＝－（ cos 2x－ ）2＋ ，由于 cos 2x∈[－1，1]，故当 cos 2x＝
时，y＝ sin x sin 3x取最大值，最大值为 .
　
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. ＝（　　）
A. B. C. D. 2
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√
解析： 　 ＝ ＝ ＝ .故选C.
2. 化简： · ＝（　　）
A. － sin α B. － cos α
C. sin α D. cos α
√
解析： 　原式＝ ＝ ＝ cos α.
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3. 已知α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），则tan ＝（　　）
A. 3 B.
C. 2 D. 或2
√
解析： 　∵α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），∴ sin α＝ ，
cos α＝－ ，∴tan ＝
＝ ＝ ＝ ＝3.故选A.
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4. （2026·重庆调研）已知α∈（0， ），且2 sin 2α＝4 cos α－3 cos
3α，则 cos 2α＝（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 因为α∈（0， ），所以 cos α≠0，0＜ sin α＜ ，因为2
sin 2α＝4 cos α－3 cos 3α，所以4 sin α cos α＝4 cos α－3 cos 3α，所
以4 sin α＝4－3 cos 2α＝4－3（1－ sin 2α），解得 sin α＝ 或 sin α＝1
（舍），则 cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2× ＝ .故选C.
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5. 已知α，β均为锐角， cos α＝ ， sin β＝ ，则2α－β＝
（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　因为 cos α＝ ，所以 cos 2α＝2 cos 2α－1＝ .又因为α，
β均为锐角， sin β＝ ，所以 sin α＝ ， cos β＝ ，因此 sin 2α
＝2 sin α cos α＝ ，所以 sin （2α－β）＝ sin 2α cos β－ cos 2α
sin β＝ × － × ＝ .因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又 cos 2α
＞0，所以0＜2α＜ ，又β为锐角，所以－ ＜2α－β＜ ，又 sin （2α
－β）＝ ，所以2α－β＝ .
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6. 〔多选〕（2026·山东济南质检）已知 cos （α＋β）＝－ ， cos 2α
＝－ ，其中α，β均为锐角，以下判断正确的是（　　）
A. sin 2α＝ B. cos （α－β）＝
C. cos α cos β＝ D. tan αtan β＝
√
√
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解析： 　由题意，易得α＋β∈（ ，π），2α∈（ ，π），所以 sin
2α＝ ＝ ，故A正确； sin （α＋β）＝
＝ ，所以 cos （α－β）＝ cos [2α－（α＋
β）]＝ cos 2α cos （α＋β）＋ sin 2α sin （α＋β）＝（－ ）×
（－ ）＋ × ＝ ，故B错误； cos α cos β＝ [ cos （α＋β）
＋ cos （α－β）]＝ ×（－ ＋ ）＝ ，故C正确；
sin α sin β＝ [ cos （α－β）－ cos （α＋β）]＝ ×［ －（－
）］＝ ，所以tan αtan β＝ ＝ ，故D错误.
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7. 已知α为锐角，且 cos α（1＋ tan 10°）＝1，则α＝ .
解析：由 cos α（1＋ tan 10°）＝1可得 cos α· ＝
1，所以 cos α· ＝1，所以 cos α＝ ＝ ＝
＝ cos 40°，又α为锐角，所以α＝40°.
40°　
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8. （2025·山东泰安阶段练习）已知0＜β＜α＜ ， cos （α－β）＝ ，
cos α cos β＝ ，则 － ＝ .
－2　
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解析：由题意可知 cos （α－β）＝ ＝ cos α cos β＋ sin α sin β，所
以 sin α sin β＝ ，即tan αtan β＝ ＝ ，又0＜β＜α＜ ，所
以 ＞α－β＞0， sin （α－β）＝ ＝ ，则tan（α
－β）＝ ＝ ，所以tan α－tan β＝ ，所以 － ＝
＝ ＝－2.
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9. （13分）证明：（1） cos 4α＋4 cos 2α＋3＝8 cos 4α；
证明： 左边＝2 cos 22α－1＋4 cos 2α＋3＝2（ cos 22α＋2 cos 2α
＋1）＝2（ cos 2α＋1）2＝2（2 cos 2α）2＝8 cos 4α＝右边.
（2） ＝ tan α＋ ；
证明： 左边＝ ＝ ＝
＝ tan α＋ ＝右边.
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（3） － ＝－2 sin （ ＜θ＜2π）.
证明： 左边＝｜ sin ＋ cos ｜－｜ sin － cos ｜，∵ ＜θ＜
2π，∴ ＜ ＜π，从而 sin ＋ cos ＜0， sin － cos ＞0.则左边＝－
（ sin ＋ cos ）－（ sin － cos ）＝－2 sin ＝右边.
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10. （2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知 ＜θ＜ ，若a＝ ，b＝ －
cos 2θ，c＝ － cos θ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. c＞a＞b B. b＞c＞a
C. c＞b＞a D. b＞a＞c
√
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解析： a＝ ＝ ＝ sin θ cos θ，b＝ （1－ cos
2θ）＝ sin 2θ，c＝ － cos θ＝ ＝ sin θtan θ，又 ＜θ＜ ，
则 sin θ∈（ ， ），且tan θ＞1＞ sin θ＞ ＞ cos θ＞ ，所以c＝
sin θtan θ＞b＝ sin 2θ＞a＝ sin θ cos θ.
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11. （2026·山东临沂模拟）已知f（x）＝ sin 2x＋ sin 2（x＋α）＋ sin 2
（x＋β），其中α，β为参数，若对 x∈R，f（x）恒为定值，则下列
结论中正确的是（　　）
A. 满足题意的一组α，β可以是α＝ ，β＝
B. α－β＝π
C. α＋β＝π
D. 满足题意的一组α，β可以是α＝ ，β＝
√
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解析： 　f（x）＝ ＋ ＋ ＝ －
[ cos 2x（1＋ cos 2α＋ cos 2β）－ sin 2x（ sin 2α＋ sin 2β）]，由题意
得 两式平方相加可得 cos （2α－2β）＝－ ，所
以2α－2β＝ ＋2kπ或2α－2β＝－ ＋2kπ，k∈Z. 当α＝ ，β＝
时，2α－2β＝－ ，符合题意，故D正确，A、B、C错误.
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12. 〔多选〕已知 ≤α≤π，π≤β≤ ， sin 2α＝ ， cos （α＋β）＝
－ ，则（　　）
A. cos α＝－
B. sin α－ cos α＝
C. β－α＝
D. cos α cos β＝－
√
√
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解析： 　因为 ≤α≤π，所以 ≤2α≤2π，又 sin 2α＝ ＞0，故有
≤2α≤π， ≤α≤ ，解出 cos 2α＝－ ＝2 cos 2α－1 cos 2α＝
cos α＝ ，故A错误；（ sin α－ cos α）2＝1－ sin 2α＝ ，又
≤α≤ ，所以 sin α≥ cos α，所以 sin α－ cos α＝ ，故B正确；
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因为 ≤α≤ ，π≤β≤ ，所以 ≤α＋β≤2π，又 cos （α＋β）＝
－ ＜0，所以 ≤α＋β≤ ，解得 sin （α＋β）＝－ ，所以 cos
（β－α）＝ cos [（α＋β）－2α]＝－ × ＋ × ＝－ ，
又因为 ≤α＋β≤ ，－π≤－2α≤－ ，所以 ≤β－α≤π，有β－
α＝ ，故C正确；由 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－
， cos （β－α）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式联立得
cos α cos β＝－ ，故D错误.故选B、C.
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13. （2026·福建莆田模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民
共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式
等恒等变换可以求得 cos 36°的值.先利用 sin 3α＝ sin （2α＋α）可求
得 sin 3α＝ （用单角α的正弦值表示）；再求得 cos
36°＝ .
3 sin α－4 sin 3α　
　
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解析： sin 3α＝ sin （2α＋α）＝ sin 2α cos α＋ cos 2α sin α＝2 sin
α cos 2α＋（1－2 sin 2α） sin α＝2 sin α（1－ sin 2α）＋（1－2 sin
2α） sin α＝3 sin α－4 sin 3α.因为 sin 72°＝ sin 108°，从而2 sin
36°· cos 36°＝3 sin 36°－4 sin 336°，即2 cos 36°＝3－4 sin 236°＝3
－4（1－ cos 236°），令 cos 36°＝x＞0，则4x2－2x－1＝0，解得x＝
或x＝ （舍去）.
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14. （15分）（2026·辽宁抚顺期中）已知2 sin α＝2 sin 2 －1.　
（1）求 sin α cos α＋ cos 2α的值；
解： 由已知得2 sin α＝－ cos α，所以tan α＝－ ，
sin α cos α＋ cos 2α＝ ＝ ＝ .
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（2）已知α∈（0，π），β∈（0， ），且tan2β－6tan β＝1，求α＋
2β的值.
解： 由tan2β－6tan β＝1，可得tan 2β＝ ＝－ ，
则tan（α＋2β）＝ ＝ ＝－1.
因为β∈（0， ），所以2β∈（0，π），
又tan 2β＝－ ＞－ ，则2β∈（ ，π），
因为α∈（0，π），tan α＝－ ＞－ ，
则α∈（ ，π），则α＋2β∈（ ，2π），
所以α＋2β＝ .
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15. 〔多思少算〕在锐角三角形ABC中，内角A，B，C满足 sin A＝2 sin
B sin C，则tan Atan Btan C的最小值为 .
解析：由题得tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，且 sin （B＋C）＝ sin A＝2
sin B sin C，因而tan B＋tan C＝2tan Btan C. 又tan A＝－tan（B＋C）＝
，代入可得tan Atan Btan C＝ ·tan Btan C＝
＝ ≥ ＝8，当且仅当tan Btan C＝2时，
等号成立.即tan Atan Btan C的最小值为8.
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