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第5节　三角函数的图象与性质
（时间：60分钟，满分：105分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.函数f（x）＝的定义域为（　　）
A.［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）
B.［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）
C.［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）
D.［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）
2.（2024·全国甲卷13题改编）函数f（x）＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值为（　　）
A.1　　 　B.　　 　C.　　 　D.2
3.（2026·江西赣州模拟）函数f（x）＝的最小正周期是（　　）
A. B. C.π D.2π
4.（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（ x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）
A. B. C. D.
5.若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值为（　　）
A. B. C. D.
6.〔多选〕（2026·山东日照模拟）已知函数f（x）＝sin（ 2x＋），则下列说法中正确的有（　　）
A.f（x）的图象关于直线x＝对称
B.f（x）在（ －，）上单调递增
C.函数f（x）在[0，π]上有两个零点
D.若f（x1）－f（x2）＝2，则｜x1－x2｜的最小值为
7.比较大小：sin　　　　sin.
8.已知函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（｜φ｜＜π）是奇函数且在x＝π处取得极大值，则φ可能为　　　，此时满足题意的一个ω为　　　　.
9.（13分）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝.
（1）求φ；
（2）设函数g（x）＝f（x）＋f（ x－），求g（x）的值域和单调区间.
10.设α，β均为锐角，则“α＞2β”是“sin（α－β）＞sin β”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.已知函数f（x）＝sin（ 2x－），若当x∈[m，n]（m＜n）时，f（x）∈［－，］，则n－m的取值范围为（　　）
A.［，］ B.［，π］
C.［，］ D.［，π］
12.〔多选〕（2025·浙江金华一模）设函数f（x）＝，则（　　）
A.f（x）的图象有对称轴
B.f（x）是周期函数
C.f（x）在区间（ 0，）上单调递增
D.f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称
13.若函数f（x）＝2sin （n＞0）图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f（1）＝　　　　.
14.（15分）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx，ω＞0.
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的图象关于点（ ，0）对称，且函数f（x）在［0，］上单调，求ω的值.
15.（15分）〔创新定义〕定义函数f（x）＝cos（sin x）为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质，容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：
f（x＋π）＝cos[sin（x＋π）]＝cos（－sin x）＝cos（sin x）＝f（x）.可得π也为函数f（x）＝cos（sin x）的周期，但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究f（x）＝cos（sin x）的单调性，函数f（x）＝cos（sin x）在［0，］上单调递减，在（ ，π］上单调递增，再结合f（x＋π）＝f（x），可以确定：f（x）＝cos（sin x）的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域.定义函数f（x）＝sin（cos x）为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
（1）求“余正弦”函数的定义域；
（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
第5节　三角函数的图象与性质
1.A　2.D　3.C　4.B　5.B　
6.BCD　A选项，x＝时，2x＋＝π，因为x＝π不是y＝sin x的对称轴，A错误；B选项，x∈（ －，）时，2x＋∈（ －，），因为y＝sin x在（ －，）上单调递增，B正确；C选项，当x∈[0，π]时，2x＋∈［，］，故当2x＋＝π或2π时，f（x）＝0，故函数f（x）在[0，π]上有两个零点，C正确；D选项，因为f（x）max＝1，f（x）min＝－1，由f（x1）－f（x2）＝2得f（x1）＝1，f（x2）＝－1，所以｜x1－x2｜的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为T，因为T＝＝π，所以｜x1－x2｜的最小值为，D正确.
7.＞　8.　－（答案不唯一）
9.解：（1）因为f（0）＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝.
（2）g（x）＝f（x）＋f（ x－）＝cos（ 2x＋）＋cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝（ cos 2x－sin 2x）＝cos（ 2x＋），
故函数g（x）的值域为[－，].
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z），
所以g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ－］（k∈Z）.
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以g（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
10.C　因为α，β均为锐角，所以0＜α＜，0＜β＜.当α＞2β时，＞α－β＞β＞0，因为函数y＝sin x在（ －，）上单调递增，所以sin（α－β）＞sin β，故“α＞2β”是“sin（α－β）＞sin β”的充分条件；当sin（α－β）＞sin β时，由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，因为函数y＝sin x在（ －，）上单调递增，所以α－β＞β，即α＞2β，故“α＞2β”是“sin（α－β）＞sin β”的必要条件.综上所述，“α＞2β”是“sin（α－β）＞sin β”的充要条件.
11.C　作出函数f（x）＝sin（ 2x－）的图象，如图所示.在一个周期内考虑问题，若要使当x∈[m，n]时，f（x）∈［－，］，则可满足或所以n－m的取值范围为［，］.故选C.
12.ABD　函数f（x）的定义域为{x｜x≠，k∈Z}，关于原点对称，∵f（－x）＝＝＝＝f（x），∴f（x）是偶函数，关于y轴对称，故A正确；∵f（x＋2π）＝＝＝f（x），∴2π是函数f（x）的一个周期，故B正确；f（x）＝，∵f（ ）＝＝＞0，f（ ）＝＝0，显然f（ ）＞f（ ），故f（x）在区间（ 0，）上不单调递增，故C错误；f（ －x）＋f（ ＋x）＝＋＝＋＝0，∴f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称，故D正确.
13.　解析：设f（x）图象上相邻的最高点和最低点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1＝2，y2＝－2，又函数f（x）＝2sin （n＞0）为奇函数，∴x1＝－x2，当＝ x＝时，函数取得最大值2，∴x1＝，x2＝－，由题意知，函数f（x）＝2sin （n＞0）图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，∴（ ）2＋（2）2＝n2 n＝4，则f（1）＝2sin ＝.
14.解：（1）f（x）＝sin ωx－cos ωx
＝2（ sin ωx－cos ωx）
＝2sin（ ωx－），
因为函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T＝π，则T＝2π，
所以T＝＝2π，解得ω＝1，
所以f（x）＝2sin（ x－）.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
因此f（x）的单调递增区间是［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
（2）因为f（x）＝2sin（ ωx－）的图象关于点（ ，0）对称，
所以－＝kπ，k∈Z，
所以ω＝2k＋，k∈Z，
因为x∈［0，］，ω＞0，
所以ωx－∈［－，－］，
又函数f（x）在［0，］上单调，
所以解得0＜ω≤2，
由0＜2k＋≤2，k∈Z，
解得k＝0，此时ω＝.
15.解：（1）f（x）＝sin（cos x）的定义域为R.
（2）对于函数f（x）＝sin（cos x），
f（－x）＝sin[cos（－x）]＝sin（cos x）＝f（x），所以f（x）是偶函数.
（3）f（x＋2π）＝sin[cos（x＋2π）]＝sin（cos x）＝f（x），
y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，y＝sin x在区间[－1，1]上单调递增，所以f（x）＝sin（cos x）在[0，π]上单调递减.
y＝cos x在区间[π，2π]上单调递增，y＝sin x在区间[－1，1]上单调递增，所以f（x）＝sin（cos x）在[π，2π]上单调递增.
所以f（x）的最小正周期为2π，
f（x）在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上单调递减，在[2kπ＋π，2kπ＋2π]（k∈Z）上单调递增.
结合f（x）＝sin（cos x）的单调性可知，f（x）的值域为[－sin 1，sin 1].
1 / 1第5节　三角函数的图象与性质
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质.
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：（0，0），　　　　　　，（π，0），　　　　　　，（2π，0）；
（2）在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：　　　　，，　　　　　　，，（2π，1）.
提醒：函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点（最值点）.
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {xx≠ kπ＋}
值域 R
最小 正周期 2π
奇偶性 奇函数
递增区间 ［－＋2kπ，＋2kπ］ （ －＋kπ，＋kπ）
递减 区间 ［＋2kπ，＋2kπ］ 无
对称中心
对称轴方程 x＝kπ＋ 无
零点 kπ kπ＋ kπ
提醒：正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调.
1.对称性与周期 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期； （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.与三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）； （3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝（k∈Z）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.（　　）
（2）正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.（　　）
（3）已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.（　　）
（4）y＝sin｜x｜是偶函数.（　　）
2.函数y＝2sin（ x－）（x∈[－π，0]）的单调递增区间为（　　）
A.［－π，－］ B.［－π，－］
C.［－，0］ D.［－，0］
3.〔多选〕已知函数f（x）＝sin（ x－）（x∈R），下列结论正确的是（　　）
A.函数f（x）的最小正周期为2π
B.函数f（x）在区间［0，］上单调递增
C.函数f（x）的图象关于直线x＝0对称
D.函数f（x）是奇函数
4.函数y＝tan（ x－）的定义域为　　　　.
5.函数y＝cos（ x＋），x∈［0，］的值域是　　　　.
　　
三角函数的定义域和值域
（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕函数y＝的定义域为　　　　　；
（2）（2026·江苏海门模拟）函数f（x）＝2sin x－cos 2x＋2，x∈［，］的值域为　　　　.
听课记录
1.三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数的图象（三角函数线）来求解. 2.求三角函数值域（最值）的常见类型 （1）形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）； （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x）＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.
训练1 （1）函数y＝tan（ －x）（ x∈［－，］且x≠0）的值域为（　　）
A.[－1，1]　　　　B.（－∞，－1]∪[1，＋∞）
C.（－∞，1] D.[－1，＋∞）
（2）函数y＝lg（sin x）＋的定义域为　　　　；
（3）函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为　　　　.
三角函数的周期性、奇偶性、对称性
（师生共研过关）
（1）已知函数f（x）＝5sin（ 4x＋）（0＜φ＜2π）为偶函数，则φ＝（　　）
A. B.
C.π D.
（2）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（ 2x－），下列说法中正确的有（　　）
A.f（x）与g（x）有相同的零点
B.f（x）与g（x）有相同的最大值
C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴
听课记录
1.奇偶性的判断方法 三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式. 2.周期的计算方法 利用函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为，函数y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为求解. 3.对称轴、对称中心的求法 对于可化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）（或f（x）＝Acos（ωx＋φ））形式的函数，令ωx＋φ＝＋kπ或ωx＋φ＝kπ（k∈Z）.
训练2 （1）〔多选〕已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则（　　）
A.ω＝2
B.函数f（x）为奇函数
C.函数f（x）的图象关于点（ －，0）对称
D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
（2）（2022·新高考Ⅰ卷6题改编）记函数f（x）＝sin＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点中心对称，则f＝　　　　.
三角函数的单调性
（定向精析突破）
考向1　求三角函数的单调区间
（1）函数y＝｜tan x｜在（ －，）上的单调递减区间为　　　　；
（2）（2026·江西赣州联考）已知函数f（x）＝2cos（ －3x），x∈［－，］，则f（x）的单调递增区间是　　　　.
听课记录
求三角函数单调区间的步骤 （1）将函数化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数； （2）把ωx＋φ看作一个整体，再根据y＝sin x和y＝cos x的单调区间及A的正负，列不等式求解.
考向2　三角函数单调性的应用
（1）已知函数f（x）＝2cos（ x＋），设a＝f（ ），b＝f（ ），c＝f（ ），则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞a＞b D.b＞a＞c
（2）已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［－，］上单调递增，则ω的取值范围是　　　　.
听课记录
1.已知三角函数的单调区间求参数，首先要明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解. 2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
训练3 （1）若f（x）＝2sin2x，则f（x）满足（　　）
A.在[0，π]上单调递增
B.在[0，π]上单调递减
C.在［0，］上单调递增
D.在［0，］上单调递减
（2）已知f（x）＝sin（2x－φ）（ 0＜φ＜）在［0，］上单调递增，且f（x）在（ 0，）上有最小值，那么φ的取值范围为　　　　.
第5节　三角函数的图象与性质
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）　　（2）（0，1）　（π，－1）
2.[－1，1]　[－1，1]　2π　π　奇函数　偶函数　[－π＋2kπ，2kπ]　[2kπ，π＋2kπ]　（kπ，0）　x＝kπ
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.D　3.ABC　4.{x∈R｜x≠＋kπ，k∈Z}　5.［－，］
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）　（2）［，5］　解析：（1）法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示，
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）.
法二　要使函数y＝有意义，则sin x－cos x≥0，即sin（ x－）≥0，即2kπ≤x－≤2kπ＋π（k∈Z），解得2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），即原函数的定义域为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）.
（2）f（x）＝2sin x－cos 2x＋2＝2sin x－（1－2sin2x）＋2＝2sin2x＋2sin x＋1＝2（ sin x＋）2＋，因为x∈［，］，所以≤sin x≤1.当sin x＝1时，f（x）max＝5；当sin x＝时，f（x）min＝.所以函数的值域为［，5］.
训练1　（1）B　（2）{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}　（3）［－－，1］
解析：（1）因为－≤x≤且x≠0，所以≤－x≤且－x≠，所以函数y＝tan（ －x）的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
（2）要使函数有意义，则有
解得（k∈Z），所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数的定义域为{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}.
（3）设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1，t∈[－，].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为［－－，1］.
考点2
【例2】　（1）C　（2）BC　解析：（1）因为函数f（x）为偶函数，可得＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝π＋2kπ，k∈Z，又0＜φ＜2π，所以φ＝π.
（2）对于A，令f（x）＝0，则x＝，k∈Z，又g（ ）≠0，故A错误；对于B，f（x）与g（x）的最大值都为1，故B正确；对于C，f（x）与g（x）的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f（x）图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g（x）图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f（x），g（x）的图象的对称轴不相同，故D错误.故选B、C.
训练2　（1）AC　（2）1　解析：（1）f（x）＝sin ωx－cos ωx＝2（ sin ωx－cos ωx）＝2sin（ ωx－），因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以T＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝2sin（ 2x－），故A正确；显然，函数f（x）为非奇非偶函数，故B错误；对于C选项，f（ －）＝2sin［2×（ －）－］＝2sin（－π）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（ －，0）对称，故C正确；对于D选项，f（ ）＝2sin（ 2×－）＝2sin＝－1，所以函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故D错误.
（2）因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin（ ω＋）＝0，所以ω＋＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f（x）＝sin＋2，所以f＝sin（ ×＋）＋2＝sin ＋2＝1.
考点3
【例3】　（1）（ －，0］和（ ，π］　
（2）［－，］，［，］
解析：（1）如图，
观察图象可知，y＝｜tan x｜在（ －，）上的单调递减区间为（ －，0］和（ ，π］.
（2）f（x）＝2cos（ －3x）＝2cos（ 3x－），令2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，得－≤x≤；令k＝1，得≤x≤，∵x∈［－，］，∴f（x）的单调递增区间是［－，］，［，］.
【例4】　（1）A　（2）（ 0，］　解析：（1）a＝f（ ）＝2cos，b＝f（ ）＝2cos，c＝f（ ）＝2cos，因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，＜＜，所以a＞b＞c.
（2）因为x∈［－，］，所以ωx∈［－，］，因为0∈［－，］且y＝sin x在［－，］上单调递增，所以［－，］ ［－，］，即有解得0＜ω≤.
训练3　（1）C　（2）［，）
解析：（1）因为f（x）＝2sin2x＝1－cos 2x，当x∈[0，π]时，2x∈[0，2π]，因为y＝cos x在[0，2π]上不单调，所以f（x）在[0，π]上不单调，故A、B错误；当x∈［0，］时，2x∈[0，π]，因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以f（x）在［0，］上单调递增，故C正确，D错误.故选C.
（2）由x∈［0，］，可得2x－φ∈［－φ，－φ］，又由0＜φ＜，且f（x）在［0，］上单调递增，可得－φ≤，所以≤φ＜.当x∈（ 0，）时，2x－φ∈（ －φ，－φ），由f（x）在（ 0，）上有最小值，可得－φ＞，所以φ＜.综上，≤φ＜.
1 / 1(共68张PPT)
第5节　三角函数的图象与性质
课标要求
1. 能画出y＝ sin x，y＝ cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值.
2. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在 上的性质.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：（0，
0）， 　 　，（π，0）， 　 　，（2π，0）；
（2）在余弦函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点
是： ， ， ， ，（2π，1）.
提醒：函数y＝ sin x，x∈[0，2π]，y＝ cos x，x∈[0，2π]的五个关键点
的横坐标是零点和极值点（最值点）.
　
　
（0，1）　
（π，－1）　
2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）
函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x
图象
定义
域 R R {x x≠
kπ＋ }
函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x
值域 R
最小正 周期 2π
奇偶性 奇函数
递增区间 ［－ ＋2kπ， ＋
2kπ］
（－ ＋kπ， ＋
kπ）
[－1，1]
[－1，1]
2π
π　
奇函数
偶函数
[－π＋2kπ，
2kπ]
函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x
递减区间 ［ ＋2kπ， ＋
2kπ］
无
对称中心
对称轴 方程 x＝kπ＋ 无
零点 kπ kπ＋ kπ
[2kπ，π＋
2kπ]
（kπ，0）
x＝kπ
提醒：正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无
单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调.
1. 对称性与周期
（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是
半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期；
（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2. 与三角函数的奇偶性相关的结论
（1）若y＝A sin （ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋ （k∈Z）；若为奇
函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；
（2）若y＝A cos （ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函
数，则有φ＝kπ＋ （k∈Z）；
（3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝ （k∈Z）.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）余弦函数y＝ cos x的对称轴是y轴. （　×　）
（2）正切函数y＝tan x在定义域内是增函数. （　×　）
（3）已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. （　×　）
（4）y＝ sin ｜x｜是偶函数. （　√　）
×
×
×
√
2. 函数y＝2 sin （x－ ）（x∈[－π，0]）的单调递增区间为（　　）
A. ［－π，－ ］ B. ［－π，－ ］
C. ［－ ，0］ D. ［－ ，0］
√
解析： 　令－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，则－ ＋2kπ≤x≤
＋2kπ，k∈Z. 由于x∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为［－ ，
0］.
3. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin （x－ ）（x∈R），下列结论正确的
是（　　）
A. 函数f（x）的最小正周期为2π
B. 函数f（x）在区间［0， ］上单调递增
C. 函数f（x）的图象关于直线x＝0对称
D. 函数f（x）是奇函数
√
√
√
解析： 　由题意得f（x）＝－ cos x，对于A，T＝ ＝2π，故A正
确；对于B，因为y＝ cos x在［0， ］上单调递减，所以函数f（x）在
［0， ］上单调递增，故B正确；对于C，f（－x）＝－ cos （－x）＝－
cos x＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对
称，故C正确，D错误.
4. 函数y＝tan（x－ ）的定义域为 　{x∈R｜x≠ ＋kπ，k∈Z}　.
解析：由x－ ≠ ＋kπ，k∈Z，得x≠ ＋kπ，k∈Z，故函数y＝tan
（x－ ）的定义域为{x∈R｜x≠ ＋kπ，k∈Z}.
5. 函数y＝ cos （x＋ ），x∈［0， ］的值域是 　［－ ， ］　.
解析：由x∈［0， ］得x＋ ∈［ ， ］，所以y＝ cos （x＋ ）∈
［－ ， ］.
{x∈R｜x≠ ＋kπ，k∈Z}　
［－ ， ］　
02
PART
研透核心考点
三角函数的定义域和值域（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕函数y＝ 的定义域为 　［2kπ＋ ，
；
解析： 法一　要使函数有意义，必须使 sin x－ cos
x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝ sin x和y
＝ cos x的图象，如图所示，
在[0，2π]内，满足 sin x＝ cos x的x为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）.
［2kπ＋ ，
2kπ＋ ］（k∈Z）　
法二　要使函数y＝ 有意义，则 sin x－ cos x≥0，即 sin
（x－ ）≥0，即2kπ≤x－ ≤2kπ＋π（k∈Z），解得2kπ＋
≤x≤2kπ＋ （k∈Z），即原函数的定义域为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］
（k∈Z）.
（2）（2026·江苏海门模拟）函数f（x）＝2 sin x－ cos 2x＋2，x∈
［ ， ］的值域为 　［ ，5］　.
［ ，5］　
解析：f（x）＝2 sin x－ cos 2x＋2＝2 sin x－（1－2 sin 2x）＋2＝2 sin 2x
＋2 sin x＋1＝2（ sin x＋ ）2＋ ，因为x∈［ ， ］，所以 ≤ sin
x≤1.当 sin x＝1时，f（x）max＝5；当 sin x＝ 时，f（x）min＝ .所以函
数的值域为［ ，5］.
1. 三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角
函数的图象（三角函数线）来求解.
2. 求三角函数值域（最值）的常见类型
（1）形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin （ωx＋φ）＋c
的形式，再求值域（最值）；
（2）形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关
于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝a sin x cos x＋b（ sin x± cos x）＋c的三角函数，可先设t＝
sin x± cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.
训练1 （1）函数y＝tan（ －x）（x∈［－ ， ］且x≠0）的值域为
（　B　）
A. [－1，1] B. （－∞，－1]∪[1，＋∞）
C. （－∞，1] D. [－1，＋∞）
解析： 因为－ ≤x≤ 且x≠0，所以 ≤ －x≤ 且 －x≠ ，所以
函数y＝tan（ －x）的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
B
（2）函数y＝lg（ sin x）＋ 的定义域为

　 ；
解析：要使函数有意义，则有 解得
（k∈Z），所以2kπ＜x≤ ＋2kπ，k∈Z，所
以函数的定义域为 .
（3）函数y＝ sin x－ cos x＋ sin x cos x的值域为 .
解析：设t＝ sin x－ cos x，则t2＝ sin 2x＋ cos 2x－2 sin x cos x， sin x cos x
＝ ，且－ ≤t≤ .∴y＝－ ＋t＋ ＝－ （t－1）2＋1，
t∈[－ ， ].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－ 时，ymin＝－ － .
∴函数的值域为［－ － ，1］.
［－ － ，1］　
三角函数的周期性、奇偶性、对称性（师生共研过关）
（1）已知函数f（x）＝5 sin （4x＋ ）（0＜φ＜2π）为偶函数，则
φ＝（　C　）
A. B.
C. π D.
解析： 因为函数f（x）为偶函数，可得 ＝ ＋kπ，k∈Z，所以φ＝π＋
2kπ，k∈Z，又0＜φ＜2π，所以φ＝π.
C
（2）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝ sin 2x和g
（x）＝ sin （2x－ ），下列说法中正确的有（　BC　）
A. f（x）与g（x）有相同的零点
B. f（x）与g（x）有相同的最大值
C. f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D. f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴
BC
解析：对于A，令f（x）＝0，则x＝ ，k∈Z，又g（ ）≠0，故A错
误；对于B，f（x）与g（x）的最大值都为1，故B正确；对于C，f
（x）与g（x）的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f（x）图象的对
称轴方程为2x＝ ＋kπ，k∈Z，即x＝ ＋ ，k∈Z，g（x）图象的对
称轴方程为2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，即x＝ ＋ ，k∈Z，故f（x），
g（x）的图象的对称轴不相同，故D错误.故选B、C.
1. 奇偶性的判断方法
三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函
数一般可化为y＝A cos ωx的形式.
2. 周期的计算方法
利用函数y＝A sin （ωx＋φ），y＝A cos （ωx＋φ）（ω＞0）的周期为
，函数y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为 求解.
3. 对称轴、对称中心的求法
对于可化为f（x）＝A sin （ωx＋φ）（或f（x）＝A cos （ωx＋φ））形
式的函数，令ωx＋φ＝ ＋kπ或ωx＋φ＝kπ（k∈Z）.
训练2 （1）〔多选〕已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx（ω＞0）图象
上相邻两条对称轴之间的距离为 ，则（　AC　）
A. ω＝2
B. 函数f（x）为奇函数
C. 函数f（x）的图象关于点（－ ，0）对称
D. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称
AC
解析： f（x）＝ sin ωx－ cos ωx＝2（ sin ωx－ cos ωx）＝2 sin
（ωx－ ），因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，所以 T＝
，则T＝π，所以T＝ ＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝2 sin （2x－
），故A正确；显然，函数f（x）为非奇非偶函数，故B错误；对于C选
项，f（－ ）＝2 sin ［2×（－ ）－ ］＝2 sin （－π）＝0，所以函
数f（x）的图象关于点（－ ，0）对称，故C正确；
对于D选项，f（ ）＝2 sin （2× － ）＝2 sin ＝－1，所以函数f
（x）的图象不关于直线x＝ 对称，故D错误.
（2）（2022·新高考Ⅰ卷6题改编）记函数f（x）＝ sin ＋b（ω＞
0）的最小正周期为T. 若 ＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点
中心对称，则f ＝ .
1　
解析： 因为 ＜T＜π，所以 ＜ ＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）
的图象关于点 中心对称，所以b＝2，且 sin ＋b＝2，
即 sin （ ω＋ ）＝0，所以 ω＋ ＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以
＜ ω＋ ＜ ，所以 ω＋ ＝4π，解得ω＝ ，所以f（x）＝ sin
＋2，所以f ＝ sin （ × ＋ ）＋2＝ sin ＋2＝1.
三角函数的单调性（定向精析突破）
考向1　求三角函数的单调区间
（1）函数y＝｜tan x｜在（－ ， ）上的单调递减区间为
；
解析： 如图，观察图象可知，y＝｜tan x｜在（－
， ）上的单调递减区间为（－ ，0］和（ ，
π］.
（－
，0］和（ ，π］　
（2）（2026·江西赣州联考）已知函数f（x）＝2 cos （ －3x），x∈
［－ ， ］，则f（x）的单调递增区间是 　［－ ， ］，［ ，
.
解析： f（x）＝2 cos （ －3x）＝2 cos （3x－ ），令2kπ－π≤3x－
≤2kπ，k∈Z，解得 kπ－ ≤x≤ kπ＋ ，k∈Z. 令k＝0，得－
≤x≤ ；令k＝1，得 ≤x≤ ，∵x∈［－ ， ］，∴f（x）的单
调递增区间是［－ ， ］，［ ， ］.
［－ ， ］，［ ，
］　
求三角函数单调区间的步骤
（1）将函数化为y＝A sin （ωx＋φ）或y＝A cos （ωx＋φ）的形式，若ω
＜0，借助诱导公式将ω化为正数；
（2）把ωx＋φ看作一个整体，再根据y＝ sin x和y＝ cos x的单调区间及A
的正负，列不等式求解.
考向2　三角函数单调性的应用
（1）已知函数f（x）＝2 cos （x＋ ），设a＝f（ ），b＝f
（ ），c＝f（ ），则a，b，c的大小关系是（　A　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b
C. c＞a＞b D. b＞a＞c
解析： a＝f（ ）＝2 cos ，b＝f（ ）＝2 cos ，c＝f（ ）＝2 cos
，因为y＝ cos x在[0，π]上单调递减， ＜ ＜ ，所以a＞b＞c.
A
（2）已知函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［－ ， ］上单调递
增，则ω的取值范围是 .
解析：因为x∈［－ ， ］，所以ωx∈［－ ， ］，因为0∈［－
， ］且y＝ sin x在［－ ， ］上单调递增，所以［－ ， ］
［－ ， ］，即有 解得0＜ω≤ .
（0， ］　
1. 已知三角函数的单调区间求参数，首先要明确已知的单调区间应为函数
的单调区间的子集，其次要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间
的关系求解.
2. 比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调
区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
训练3 （1）若f（x）＝2 sin 2x，则f（x）满足（　C　）
A. 在[0，π]上单调递增 B. 在[0，π]上单调递减
C. 在［0， ］上单调递增 D. 在［0， ］上单调递减
解析： 因为f（x）＝2 sin 2x＝1－ cos 2x，当x∈[0，π]时，2x∈[0，
2π]，因为y＝ cos x在[0，2π]上不单调，所以f（x）在[0，π]上不单
调，故A、B错误；当x∈［0， ］时，2x∈[0，π]，因为y＝ cos x在
[0，π]上单调递减，所以f（x）在［0， ］上单调递增，故C正确，D
错误.故选C.
C
（2）已知f（x）＝ sin （2x－φ）（0＜φ＜ ）在［0， ］上单调递增，
且f（x）在（0， ）上有最小值，那么φ的取值范围为 　［ ， ）　.
解析：由x∈［0， ］，可得2x－φ∈［－φ， －φ］，又由0＜φ＜ ，
且f（x）在［0， ］上单调递增，可得 －φ≤ ，所以 ≤φ＜ .当x∈
（0， ）时，2x－φ∈（－φ， －φ），由f（x）在（0， ）上有最
小值，可得 －φ＞ ，所以φ＜ .综上， ≤φ＜ .
［ ， ）　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：105分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 函数f（x）＝ 的定义域为（　　）
A. ［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）
B. ［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）
C. ［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）
D. ［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）
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15
√
解析： 　由题意，函数f（x）＝ 有意义，则满足－2 cos x
－1≥0，即 cos x≤－ ，解得 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，所以函数f
（x）的定义域为［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）.
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2. （2024·全国甲卷13题改编）函数f（x）＝ sin x－ cos x在[0，π]上
的最大值为（　　）
A. 1 B.
C. D. 2
√
解析： 　由题意知f（x）＝ sin x－ cos x＝2 sin （x－ ），当
x∈[0，π]时，x－ ∈［－ ， ］，∴ sin （x－ ）∈［－ ，1］，
于是f（x）∈[－ ，2]，故f（x）在[0，π]上的最大值为2.
1
2
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15
3. （2026·江西赣州模拟）函数f（x）＝ 的最小正周期是（　　）
A. B. C. π D. 2π
√
解析： 　f（x）＝ ＝tan 2x，x≠ ＋kπ（k∈Z），又tan
x≠±1，可得x≠ ＋ π（k∈Z），即f（x）＝tan 2x，x≠ ＋kπ且
x≠ ＋ π（k∈Z），故T＝π.故选C.
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4. （2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－
）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）
A. B. C. D.
√
解析： 　令x－ ＝ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，k∈Z，故y＝2tan（x－
）的图象的对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z，由题意知a＝ ＋ ，
k∈N，其最小值为 .故选B.
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5. 若f（x）＝ cos x－ sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值为
（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　f（x）＝ cos x－ sin x＝ cos （x＋ ），由题意得a＞0，因
为f（x）＝ cos （x＋ ）在[－a，a]上单调递减，所以
解得0＜a≤ ，所以a的最大值是 .
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6. 〔多选〕（2026·山东日照模拟）已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ），
则下列说法中正确的有（　　）
A. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
B. f（x）在（－ ， ）上单调递增
C. 函数f（x）在[0，π]上有两个零点
D. 若f（x1）－f（x2）＝2，则｜x1－x2｜的最小值为
√
√
√
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解析： A选项，x＝ 时，2x＋ ＝ π，因为x＝ π不是y＝ sin x的
对称轴，A错误；B选项，x∈（－ ， ）时，2x＋ ∈（－ ， ），
因为y＝ sin x在（－ ， ）上单调递增，B正确；C选项，当x∈[0，π]
时，2x＋ ∈［ ， ］，故当2x＋ ＝π或2π时，f（x）＝0，故函数f
（x）在[0，π]上有两个零点，C正确；D选项，因为f（x）max＝1，f
（x）min＝－1，由f（x1）－f（x2）＝2得f（x1）＝1，f（x2）＝－1，
所以｜x1－x2｜的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为 T，因为
T＝ ＝π，所以｜x1－x2｜的最小值为 ，D正确.
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7. 比较大小： sin sin .
解析：因为y＝ sin x在 上单调递增且0＞－ ＞－ ＞－ ，故
sin ＞ sin .
＞　
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8. 已知函数f（x）＝ cos （ωx＋φ）（｜φ｜＜π）是奇函数且在x＝π处
取得极大值，则φ可能为 　 　，此时满足题意的一个ω为 　－ （答案不
.
解析：由题得φ＝ ＋kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜π，所以φ＝ 或－ .又f
（x）在x＝π处取得极大值，则ωπ＋φ＝2kπ，k∈Z，当φ＝ 时，ω＝2k
－ ，当φ＝－ 时，ω＝2k＋ .当φ＝ 时，取k＝0，则ω＝－ .
　
－ （答案不
唯一）　
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9. （13分）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝ cos （2x＋φ）
（0≤φ＜π），f（0）＝ .
（1）求φ；
解： 因为f（0）＝ cos φ＝ ，且0≤φ＜π，所以φ＝ .
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（2）设函数g（x）＝f（x）＋f（x－ ），求g（x）的值域和单调区间.
解： g（x）＝f（x）＋f（x－ ）＝ cos （2x＋ ）＋ cos 2x＝
cos 2x cos － sin 2x sin ＋ cos 2x＝ cos 2x－ sin 2x＝ （ cos 2x
－ sin 2x）＝ cos （2x＋ ），
故函数g（x）的值域为[－ ， ].
令2kπ－π≤2x＋ ≤2kπ（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ－ （k∈Z），
所以g（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ－ ］（k∈Z）.
令2kπ≤2x＋ ≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），
所以g（x）的单调递减区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
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10. 设α，β均为锐角，则“α＞2β”是“ sin （α－β）＞ sin β”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
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解析： 因为α，β均为锐角，所以0＜α＜ ，0＜β＜ .当α＞2β
时， ＞α－β＞β＞0，因为函数y＝ sin x在（－ ， ）上单调递增，
所以 sin （α－β）＞ sin β，故“α＞2β”是“ sin （α－β）＞ sin
β”的充分条件；当 sin （α－β）＞ sin β时，由0＜α＜ ，0＜β＜
，得－ ＜α－β＜ ，因为函数y＝ sin x在（－ ， ）上单调递增，
所以α－β＞β，即α＞2β，故“α＞2β”是“ sin （α－β）＞ sin
β”的必要条件.综上所述，“α＞2β”是“ sin （α－β）＞ sin β”的
充要条件.
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11. 已知函数f（x）＝ sin （2x－ ），若当x∈[m，n]（m＜n）时，
f（x）∈［－ ， ］，则n－m的取值范围为（　　）
A. ［ ， ］ B. ［ ，π］
C. ［ ， ］ D. ［ ，π］
√
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解析： 　作出函数f（x）＝ sin （2x－ ）的图象，如图所示.在一个
周期内考虑问题，若要使当x∈[m，n]时，f（x）∈［－ ， ］，则可
满足 或 所以n－m的取值范围为［ ， ］.
故选C.
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12. 〔多选〕（2025·浙江金华一模）设函数f（x）＝ ，则
（　　）
A. f（x）的图象有对称轴
B. f（x）是周期函数
C. f（x）在区间（0， ）上单调递增
D. f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称
√
√
√
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解析： 　函数f（x）的定义域为{x｜x≠ ，k∈Z}，关于原点对
称，∵f（－x）＝ ＝ ＝ ＝f（x），
∴f（x）是偶函数，关于y轴对称，故A正确；∵f（x＋2π）＝
＝ ＝f（x），∴2π是函数f（x）的一个周
期，故B正确；
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f（x）＝ ，∵f（ ）＝ ＝ ＞0，f（ ）＝ ＝0，显然
f（ ）＞f（ ），故f（x）在区间（0， ）上不单调递增，故C错误；
f（ －x）＋f（ ＋x）＝ ＋
＝ ＋ ＝0，∴f（x）的图象
关于点（ ，0）中心对称，故D正确.
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13. 若函数f（x）＝2 sin （n＞0）图象上的相邻一个最高点和一个
最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f（1）＝ .
解析：设f（x）图象上相邻的最高点和最低点的坐标分别为（x1，y1），
（x2，y2），则y1＝2 ，y2＝－2 ，又函数f（x）＝2 sin （n＞
0）为奇函数，∴x1＝－x2，当 ＝ x＝ 时，函数取得最大值2 ，
∴x1＝ ，x2＝－ ，由题意知，函数f（x）＝2 sin （n＞0）图象上
的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，∴（ ）2
＋（2 ）2＝n2 n＝4，则f（1）＝2 sin ＝ .
　
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14. （15分）已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx，ω＞0.
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，求f（x）的
单调递增区间；
解： f（x）＝ sin ωx－ cos ωx
＝2（ sin ωx－ cos ωx）
＝2 sin （ωx－ ），
因为函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以 T＝π，则
T＝2π，
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所以T＝ ＝2π，解得ω＝1，
所以f（x）＝2 sin （x－ ）.
由－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
解得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，
因此f（x）的单调递增区间是［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z.
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（2）若函数f（x）的图象关于点（ ，0）对称，且函数f（x）在［0，
］上单调，求ω的值.
解： 因为f（x）＝2 sin （ωx－ ）的图象关于点（ ，0）对称，
所以 － ＝kπ，k∈Z，
所以ω＝2k＋ ，k∈Z，因为x∈［0， ］，ω＞0，
所以ωx－ ∈［－ ， － ］，又函数f（x）在［0， ］上单调，
所以 解得0＜ω≤2，
由0＜2k＋ ≤2，k∈Z，解得k＝0，此时ω＝ .
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15. （15分）〔创新定义〕定义函数f（x）＝ cos （ sin x）为“正余弦”
函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质，容易证明2π为该函
数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：
f（x＋π）＝ cos [ sin （x＋π）]＝ cos （－ sin x）＝ cos （ sin x）＝f
（x）.可得π也为函数f（x）＝ cos （ sin x）的周期，但是否为该函数的
最小正周期呢？我们可以分区间研究f（x）＝ cos （ sin x）的单调性，函
数f（x）＝ cos （ sin x）在［0， ］上单调递减，在（ ，π］上单调递
增，再结合f（x＋π）＝f（x），可以确定：f（x）＝ cos （ sin x）的最
小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域.定义函数f（x）＝ sin
（ cos x）为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
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（1）求“余正弦”函数的定义域；
解： f（x）＝ sin （ cos x）的定义域为R.
（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
解： 对于函数f（x）＝ sin （ cos x），
f（－x）＝ sin [ cos （－x）]＝ sin （ cos x）＝f（x），所以f（x）是
偶函数.
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（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其
值域.
解： f（x＋2π）＝ sin [ cos （x＋2π）]＝ sin （ cos x）＝f（x），
y＝ cos x在区间[0，π]上单调递减，y＝ sin x在区间[－1，1]上单调递
增，所以f（x）＝ sin （ cos x）在[0，π]上单调递减.
y＝ cos x在区间[π，2π]上单调递增，y＝ sin x在区间[－1，1]上单调递
增，所以f（x）＝ sin （ cos x）在[π，2π]上单调递增.
所以f（x）的最小正周期为2π，
f（x）在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上单调递减，在[2kπ＋π，2kπ＋2π]
（k∈Z）上单调递增.
结合f（x）＝ sin （ cos x）的单调性可知，f（x）的值域为[－ sin 1，
sin 1].
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