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(共68张PPT)
第6节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
课标要求
1. 结合具体实例，了解y＝A sin （ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2. 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 函数y＝A sin （ωx＋φ）的有关概念
y＝A sin （ωx＋
φ）（A＞0，ω ＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ＝

2. 用“五点法”画y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的
简图
用“五点法”画y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
时，要找五个关键点，如表所示：
ωx＋φ
φ
ωx＋φ 0 π 2π
x －

y＝A sin （ωx
＋φ） 0 0 0
－

－

A
－A
3. 函数y＝ sin x的图象通过变换得到y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞
0）的图象的两种途径
提醒：（1）先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单
位长度；（2）先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是
（ω＞0）个单位长度.
1. 函数y＝A sin （ωx＋φ）＋b图象平移的规律：“左加右减，上加下
减”.
2. 在函数y＝A sin （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）中，若其最大值、最
小值分别为M，m，则A＝ ，b＝ .
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）把y＝ sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所
得图象对应的函数解析式为y＝ sin x. （　×　）
（2）将y＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度，得到y＝ sin （2x－ ）
的图象. （　×　）
（3）函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A≠0）的最大值为A，最小值为－
A. （　×　）
（4）y＝2 sin （ x－ ）的初相为－ . （　√　）
×
×
×
√
2. 用五点作图法作y＝2 sin 4x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
（　　）
A. 0， ，π， ，2π B. 0， ， ， ，π
C. 0， ， ， ， D. 0， ， ， ，
√
解析： 由“五点法”作图知：令4x＝0， ，π， ，2π，解得x＝0，
， ， ， ，即为五个关键点的横坐标.
3. 为了得到函数y＝3 sin （2x－ ）的图象，只需把函数y＝3 sin （x－
）的图象上所有的点（　　）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
√
解析： 　将函数y＝3 sin （x－ ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，可得函数y＝3 sin （2x－ ）的图象.
4. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ） 的部分图象如图所
示，则ω＝ .
解析：设f（x）的最小正周期为T，根据题图可知， ＝ ，所以T＝π，
故ω＝2.
2　
5. 将函数f（x）＝ sin （2x－ ）的图象向左平移 个单位长度后得到函
数g（x）的图象，则g（ ）的值为 .
解析：由已知得g（x）＝ sin ［2（x＋ ）－ ］＝ sin 2x，所以g（ ）
＝ sin （2× ）＝1.
1　
02
PART
研透核心考点
函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象及变换（师生共研过关）
已知函数f（x）＝2 sin .
（1）作出f（x）在[0，π]上的图象；
解： 因为x∈[0，π]，所以2x＋ ∈ .
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
（2）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝ sin x的图象经过怎样的变换得
到？
解： 将y＝ sin x图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数y
＝ sin 的图象，再将y＝ sin 图象上所有点的横坐标缩短到原
来的 （纵坐标不变），得到函数y＝ sin 的图象，再将y＝ sin
图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到f
（x）＝2 sin 的图象.
1. 利用“五点法”作函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）的图象，实质是利用
函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2. 当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于
函数值的大小来确定.
训练1 （1）（2026·江苏南京模拟）把函数y＝ cos x图象上所有点的横坐
标变为原来的 （纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移 个单位长
度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　B　）
A. cos （2x－ ） B. cos （2x－ ）
C. cos （ x－ ） D. cos （ x－ ）
解析： 把函数y＝ cos x图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不
变）后的函数为y＝ cos 2x，再将图象上所有的点向右平移 个单位长度
后的函数为y＝ cos ［2（x－ ）］＝ cos （2x－ ）.故选B.
B
（2）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝ sin x与y＝2 sin
（3x－ ）的交点个数为（　C　）
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
解析：因为函数y＝ sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2 sin （3x－ ）的最小正周期为T＝ ，
所以在x∈[0，2π]上函数y＝2 sin （3x－ ）的图
象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
C
求函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式（师生共研过关）
（1）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ），y＝
f（x）的部分图象如图所示，则f（x）＝ ；
tan（2x＋ ）　
解析： 由图象可知， ＝ － ，即 ＝ ，所以ω＝2，再结合图象，可
得2× ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，即｜φ｜＝｜kπ＋ ｜＜ ，所以－ ＜k＜
，又k∈Z，所以k＝0，所以φ＝ ，又图象过点（0，1），代入得Atan
＝1，所以A＝1，函数的解析式为f（x）＝tan（2x＋ ）.
（2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ），如
图，A，B是直线y＝ 与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝ ，
则f（π）＝ .
－ 　
解析：由题图设点A（x1， ），B（x2， ），则｜AB｜＝x2－x1＝ .
由题图可知 其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝ ，解
得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（ ，0），所以4× ＋φ＝2kπ，
k∈Z，则φ＝2kπ－ ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （4x＋2kπ－ ）＝
sin （4x－ ＋2kπ）＝ sin （4x－ ），k∈Z. 故f（π）＝ sin （4π－
）＝ sin ＝－ .
　　确定y＝A sin （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法
（1）求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，b＝
；
（2）求ω：确定函数的最小正周期T，则ω＝ ；
（3）求φ：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还
是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.
训练2 （1）已知函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）在[－π，π]上的图象大致
如图，则f（x）的解析式为（　B　）
B
A. f（x）＝ cos （－ x＋ ）
B. f（x）＝ cos （ x＋ ）
C. f（x）＝ cos （ x－ ）
D. f（x）＝ cos （ x＋ ）
解析： 由图象知π＜T＜2π，即π＜ ＜2π，所以1＜｜ω｜＜2.因为图
象过点（－ ，0），所以 cos （－ ω＋ ）＝0，所以－ ω＋ ＝kπ
＋ ，k∈Z，解得ω＝－ k－ ，k∈Z. 因为1＜｜ω｜＜2，故k＝－1，
得ω＝ ，所以f（x）＝ cos （ x＋ ）.
（2）已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）（ω＞0，φ∈ ）的部分图
象如图，其中f（0）＝1，MN＝ ，则点M的
坐标为 .
（－1，2）　
解析：∵f（0）＝2 sin φ＝1，∴ sin φ＝ .∵φ∈ ，∴φ＝ .又
MN＝ ＝ ，且ω＞0，∴ω＝ ，∴f（x）＝2 sin
.令2 sin （ x＋ ）＝2，结合题图得 x＋ ＝ ，解得x＝－1，故
点M的坐标为（－1，2）.
三角函数图象与性质的综合应用（定向精析突破）
考向1　图象与性质的综合问题
〔多选〕已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜
＜ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. ω＝2
B. 函数f（x）的图象关于直线x＝－ 对称
C. 函数f（x－ ）是偶函数
D. 将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2
sin （x＋ ）的图象
√
√
√
解析： 由题图可得，A＝2， － ＝ × ，解得ω＝2，故A正
确.因为函数f（x）的图象经过点（ ，2），所以2 sin （2× ＋φ）＝
2，即 sin （ ＋φ）＝1，又｜φ｜＜ ，故 ＋φ＝ ，解得φ＝ ，故f
（x）＝2 sin （2x＋ ），当x＝－ 时，2x＋ ＝－ ，此时函数f
（x）取得最小值，故函数f（x）的图象关于直线x＝－ 对称，故B正
确.f（x－ ）＝2 sin （2x－ ＋ ）＝－2 sin 2x，所以f（x－ ）是
奇函数，故C错误.将函数f（x）＝2 sin （2x＋ ）图象上所有点的横坐
标变为原来的2倍，得到函数y＝2 sin （x＋ ）的图象，故D正确.故选
A、B、D.
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
　　首先正确地将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形
结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）.
考向2　三角函数的零点（方程根）
已知函数f（x）＝2 sin （2x－ ），且关于x的方程f（x）＝t
（t∈R）在区间［0， ］上有唯一解，则t的取值范围是
.
解析：因为x∈［0， ］，所以2x－ ∈［－ ， ］，所
以2 sin （2x－ ）∈[－1，2]，且当x＝ 时，f（ ）＝
1，所以其函数图象如图所示.因为关于x的方程f（x）＝t
（t∈R）在区间［0， ］上有唯一解，所以y＝f（x）与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t＜1或t＝2.
[－1，1）
∪{2}　
巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题
　　解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函
数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合
思想解决.
训练3 （1）〔多选〕已知函数f（x）＝ cos （ωx＋φ）（ω＞0，－ ＜φ
＜ ），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移 个单位长度，然后横坐
标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象.若g
（x）为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是（　ACD　）
A. 函数f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称
B. 函数f（x）在区间（0， ）上单调递减
C. 不等式g（x）≥ 的解集为［kπ－ ，kπ－ ］（k∈Z）
D. 方程f（ ）＝g（x）在（0，π）上有2个解
ACD
解析： 根据题意可得g（x）＝ cos （ x＋φ－ π），
因为g（x）的最小正周期为π，所以 ＝π，因为ω＞
0，所以ω＝4，即g（x）＝ cos （2x＋φ－ ），又g
（x）为奇函数，所以φ－ ＝ ＋kπ，k∈Z，解得φ＝ π＋kπ，k∈Z，又－ ＜φ＜ ，所以当k＝－2时，φ＝－ ，所以g（x）＝ cos （2x－ － ）＝－ sin 2x，f（x）＝ cos （4x－ ）.对于A，当x＝ 时，f（ ）＝ cos （4× － ）＝0，所以点（ ，0）是f（x）图象的
一个对称中心，故A正确；对于B，令2kπ≤4x－ ≤π＋2kπ，k∈Z，解得 ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z，易知（0， ）不是［ ＋ ， ＋ ］，k∈Z的子集，故B错误；对于C，g（x）≥ ，即－ sin 2x≥ ，得 sin
2x≤－ ，则－ ＋2kπ≤2x≤－ ＋2kπ，k∈Z，解得kπ－ ≤x≤kπ－ ，k∈Z，故C正确；对于D，在同一直角坐标系中分别画出y1＝f（ ）＝ cos （2x－ ）与y2＝g（x）＝－ sin 2x在[0，π]上的图象，如图所示，
通过图象可知，两函数图象在（0，π）上共有2个交点，
故D正确.
（2）已知函数f（x）＝ cos x（ sin x－ cos x）＋ ，若存在x1，
x2∈[－π，2π]，使得f（x1）f（x2）＝－1，则x1－x2的最大值为 .
解析：f（x）＝ cos x（ sin x－ cos x）＋ ＝ sin x cos x－ cos 2x＋
＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin （2x－ ），所以f（x）∈[－1，1]，要使f
（x1）f（x2）＝－1，则f（x1）＝1且f（x2）＝－1或f（x1）＝－1且f
（x2）＝1，因为x1，x2∈[－π，2π]，所以2x1－ ∈［－ π， π］，
　
2x2－ ∈［－ π， π］，结合正弦函数图象可知，要使x1－x2的值最
大，则f（x1）＝－1，即2x1－ ＝ ，解得x1＝ ，f（x2）＝1，即2x2
－ ＝－ ，解得x2＝－ ，所以x1－x2＝ －（－ ）＝ .
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 函数f（x）＝2 sin （ x＋ ）的周期、振幅、相位、初相分别是（　　）
A. ，2， x， B. 4π，－2，－ ，－
C. ，2，－ x－ ， D. 4π，2， x＋ ，
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√
解析： 　∵函数f（x）＝2 sin （ x＋ ），∴振幅是2，相位是 x＋
，初相是 ，又x的系数是 ，故函数的最小正周期是T＝ ＝4π，故
选D.
2. （2026·山东威海模拟）为了得到函数y＝ sin 3x的图象，只需把函数y
＝ sin （3x－ ）图象上的所有点（　　）
A. 向左平移 个单位长度
B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度
D. 向右平移 个单位长度
√
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解析： 　函数y＝ sin 3x＝ sin ［3（x＋ ）－ ］，因此把函数y＝ sin
（3x－ ）图象上的所有点向左平移 个单位长度得到函数y＝ sin 3x的
图象.故选C.
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3. （2025·北京市第35中学一模）已知函数f（x）的图象的一部分如图1，
则图2中的函数图象对应的函数是（　　）
A. y＝f（2x－ ） B. y＝f（ － ）
C. y＝f（ －1） D. y＝f（2x－1）
√
解析： 　图2相对于图1先向右平移1个单位长度，再将横向缩短为原来的
，图2对应函数为y＝f（2x－1），故选D.
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4. 如图，函数y＝ tan 的部分图象与坐标轴分别交于点D，
E，F，则△DEF的面积为（　　）
A. B.
C. π D. 2π
√
解析： 　在y＝ tan 中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，
1）；令y＝0，解得x＝ － （k∈Z），故E ，F .
所以△DEF的面积为 × ×1＝ .
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5. 方程2 sin （2x＋ ）＝1在区间[－2π，2π）上的解的个数是（　　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 9
√
解析： 　原方程化为 sin
（2x＋ ）＝ ，在同一坐标
系内作出函数y＝ sin （2x＋ ），x∈[－2π，2π）与直线y＝ 的图象，如图，观察图象知，在x∈[－2π，2π）时函数y＝ sin （2x＋ ）的图象与直线y＝ 有8个公共点，所以方程2 sin （2x＋ ）＝1在区间[－2π，2π）上有8个解.故选C.
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6. 〔多选〕函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜
≤ ）的部分图象如图所示，则（　　）
A. f（0）＝－1
B. 函数f（x）的最小正周期是2π
C. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称
D. 将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度以后，所得的
函数图象关于原点对称
√
√
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解析： 　根据函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜
φ｜≤ ）的部分图象可得A＝2， × ＝ ＋ ，解得ω＝2，又f（－
）＝－2，可得2×（－ ）＋φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜≤ ，解得
φ＝－ ，所以f（x）＝2 sin （2x－ ），可得f（0）＝2 sin （－ ）＝
－1，故A正确；可得f（x）的最小正周期为 ＝π，故B错误；令x＝ ，
则f（ ）＝2 sin （2× － ）＝2，为最大值，可得函数f（x）的图象关
于直线x＝ 对称，故C正确；将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度后，可得y＝2 sin （2x＋ ）的图象，可得所得的函数图象不关于原点对称，故D错误.
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7. （2026·江苏宿迁模拟）已知函数f（x）＝ sin x＋ cos x的极值点与g
（x）＝tan（ωx＋ ）的零点完全相同，则ω＝ .
解析：f（x）＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），由x＋ ＝kπ＋ ，
k∈Z，得x＝kπ＋ ，k∈Z　①，对于g（x）＝tan（ωx＋ ），由ωx
＋ ＝nπ，n∈Z，得ωx＝nπ－ ，n∈Z，依题意ω≠0，所以x＝
＝ － ，n∈Z　②，由于函数f（x）＝ sin x＋ cos x的极值点与g
（x）＝tan（ωx＋ ）的零点完全相同，对比①②可得ω＝－1.
－1　
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8. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的部分图象如
图所示，则f（ ）＝ 　－ 　.
－ 　
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解析：由题图可知 T＝ － ＝ （T为f（x）的最小正周期），即T
＝π，所以 ＝π，即ω＝2，故f（x）＝2 cos （2x＋φ）.点（ ，0）可
看作“五点法”中的第二个点，故2× ＋φ＝ ，得φ＝－ ，即f（x）＝
2 cos （2x－ ），所以f（ ）＝2 cos （2× － ）＝－ .
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9. （13分）已知函数f（x）＝－ cos （2x＋ ）＋1－2 sin 2x.
（1）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
解： f（x）＝－ cos （2x＋ ）＋1－2 sin 2x＝ sin 2x＋ cos
2x＝2 sin （2x＋ ）.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的大致图象如图.
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（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移 个单位长度后，再将得到的图
象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）
的图象，求g（x）图象的对称中心.
解： 将函数f（x）＝2 sin （2x＋ ）的图象向右平移 个单位长度
后得到y＝2 sin ［2（x－ ）＋ ］＝2 sin （2x－ ）的图象，再将得到
的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）
＝2 sin （ － ）的图象.
由 － ＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋ ，k∈Z，
故g（x）图象的对称中心为（2kπ＋ ，0），k∈Z.
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10. （2025·河南郑州二模）函数f（x）＝2 sin （2x＋ ）与函数g（x）
＝log2x的图象交点个数为（　　）
A. 3 B. 5
C. 6 D. 7
√
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解析： 　通过五点法得五个点（ ，2），（ ，
0），（ ，－2），（ ，0），（ ，2），
作出周期函数f（x）的图象，再通过点（1，0），
（4，2）作出单调函数g（x）＝log2x的图象，因为4∈（ ， ），所以通过图象可判断它们有3个交点，故选A.
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11. 已知函数f（x）＝ cos 3x－ cos 2x，x∈（0，π），若f（x）有两个
零点x1，x2（x1＜x2），则（　　）
A. ∈{x1，x2} B. x2＝3x1
C. cos x1＋ cos x2＝ D. cos x1 cos x2＝－
√
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解析： 　由f（x）＝0，得 cos 3x＝ cos 2x，而x∈（0，π），则2x∈
（0，2π），3x∈（0，3π），3x－2x＝x∈（0，π），因此3x＋2x＝
2kπ，k∈N，解得x＝ ，k∈N，由x∈（0，π），得k＝1或k＝2，于
是x1＝ ，x2＝ ，对于A， {x1，x2}，A错误；对于B，x2＝2x1，B
错误；对于C， cos ＋ cos ＝ cos － cos ＜0，C错误；对于D， cos
x1 cos x2＝ cos cos ＝－ cos cos ＝－ · ＝－ ，D正确.
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12. 〔多选〕已知函数f（x）＝4 sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的
图象如图所示，点A（ ，2），点B在f（x）的图象上（A，B位置如图
所示），过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD
为平行四边形，且面积为 ，则下列结论正确的有（　　）
A. T＝π
B. f（x）＝4 sin （3x－ ）
C. f（x）在区间［－ ， ］上单调递增
D. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
√
√
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解析： 四边形ACBD为平行四边形，AC＝2，设B（x0，－2），则2
（x0－ ）＝ ，所以x0－ ＝ ，则 ＝ · ＝ ，解得ω＝3，故f（x）
的周期为 ，A错误；f（x）＝4 sin （3x＋φ），将点A（ ，2）的坐标
代入得，4 sin （3× ＋φ）＝2，即 sin （ ＋φ）＝ ，由于点A在f（x）
的单调递增区间上，所以 ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，解得φ＝2kπ－ ，
k∈Z，又｜φ｜＜ ，得φ＝－ ，所以f（x）＝4 sin （3x－ ），故B正
确；当x∈［－ ， ］时，3x－ ∈［－ ， ］，则由正弦函数的性质可
知，f（x）在区间［－ ， ］上单调递增，C正确；由于f（ ）＝4
sin （3× － ）＝0，所以直线x＝ 不是函数f（x）图象的对称轴，D
错误.故选B、C.
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13. （2026·辽宁大连模拟）函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜
）的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则函数y＝f（x）的解
析式为 .
f（x）＝tan（ x－ ）　
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解析：如图所示.区域①和区域③面积相等，故阴影
部分的面积即为矩形ABCD的面积，又｜AB｜＝3，
设函数f（x）的最小正周期为T，则｜AD｜＝T，
由题意可得3T＝6π，解得T＝2π，故 ＝2π，可得ω
＝ ，即f（x）＝tan（ x＋φ），又f（x）的图象过点（ ，－1），即tan（ × ＋φ）＝tan（ ＋φ）＝－1，因为φ∈（－ ， ），所以 ＋φ＝－ ，解得φ＝－ .故f（x）＝tan（ x－ ）.　
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14. （15分）（2026·四川成都段考）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋
φ），其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f（x）图象上相邻的两个对称中
心之间的距离为 ，且在x＝ 处取到最小值－2.
（1）求函数f（x）的解析式；
解： 由题知函数f（x）的最小正周期为2× ＝ ，解得ω＝4，所
以f（x）＝A sin （4x＋φ），
又函数f（x）在x＝ 处取到最小值－2，所以A＝2，且f（ ）＝－2，
即 ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，即φ＝2kπ＋ ，k∈Z.
又0＜φ＜π，可得k＝0，φ＝ ，所以f（x）＝2 sin （4x＋ ）.
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（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍（纵坐标
不变），再向左平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g
（x）的单调递增区间；
解： 函数f（x）＝2 sin （4x＋ ）图象上所有点的横坐标伸长到原
来的2倍（纵坐标不变），得y＝2 sin （2x＋ ）的图象，
再向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为g（x）＝2 sin ［2（x
＋ ）＋ ］＝2 cos 2x，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－ ＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以g（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ，kπ］（k∈Z）.
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（3）若关于x的方程g（x）＝m＋2在x∈［0， ）上有两个不同的实
根，求实数m的取值范围.
解： 函数g（x）＝2 cos 2x，x∈［0， ）的图
象如图所示，
因为方程g（x）＝m＋2在x∈［0， ）上有两个不
同的实根，所以由图可知－2＜m＋2≤ 或m＋2＝2，
解得－4＜m≤ －2或m＝0.
所以m的取值范围为（－4， －2]∪{0}.
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15. 〔创新交汇〕〔多选〕已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω
＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交
于M，N两点，且M在y轴上，则下列选项中正确的有（　　）
A. 函数f（x）的最小正周期是π
B. 函数f（x）在（－ ，－ ）上单调递减
C. 曲线y＝f（x）向左平移 个单位长度后关于直线x
＝ 对称
D. 若圆C的半径为 ，则f（x）＝ sin （2x＋ ）
√
√
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解析： 　对于选项A，由题图可知点C的横坐标为 ＝ ，设f（x）的最小正周期为T，则 ＝ －（－ ）＝ ，∴T＝π，A正确；对于选项B，∵ω＞0，则ω＝ ＝2，∴f（x）＝A sin （2x＋φ），由题图知f（x）的图象过点（－ ，0），故A sin （－ ＋φ）＝0，∴－ ＋φ＝2kπ（k∈Z），∴φ＝ ＋2kπ（k∈Z），又∵0＜φ＜π，∴φ＝ ，∴f（x）＝A sin （2x＋ ），当－ ＜x＜－ 时，－ ＜2x＋ ＜－ ，又∵y＝A sin z在z∈（－ ，－ ）上不单调，∴f（x）＝A sin （2x＋ ）在（－ ，－ ）上不单调，故B错误；
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对于选项C，f（x）的图象向左平移 个单位长度后所得图象对应的函数
g（x）＝A sin ［2（x＋ ）＋ ］＝A sin （2x＋ ）＝A cos 2x，∴g
（ ）＝A cos π＝－A＝g（x）最小值，∴g（x）关于x＝ 对称，C正确；
对于选项D，圆C的半径为 ，连接CM（图略），在Rt△OMC中，OC2
＋OM2＝CM2，∴OM＝ ，将点M（0， ）代入f（x）＝A sin （2x＋
），∴A＝ ，∴f（x）＝ sin （2x＋ ），故D正确.
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THANKS
演示完毕 感谢观看第6节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.函数f（x）＝2sin（ x＋）的周期、振幅、相位、初相分别是（　　）
A.，2，x， B.4π，－2，－，－
C.，2，－x－， D.4π，2，x＋，
2.（2026·山东威海模拟）为了得到函数y＝sin 3x的图象，只需把函数y＝sin（ 3x－）图象上的所有点（　　）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
3.（2025·北京市第35中学一模）已知函数f（x）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（　　）
A.y＝f（ 2x－） B.y＝f（ －）
C.y＝f（ －1） D.y＝f（2x－1）
4.如图，函数y＝tan的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为（　　）
A.　　　B.　　 　C.π　　　D.2π
5.方程2sin（ 2x＋）＝1在区间[－2π，2π）上的解的个数是（　　）
A.4 B.6 C.8 D.9
6.〔多选〕函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ 其中A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）的部分图象如图所示，则（　　）
A.f（0）＝－1
B.函数f（x）的最小正周期是2π
C.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
D.将函数f（x）的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
7.（2026·江苏宿迁模拟）已知函数f（x）＝sin x＋cos x的极值点与g（x）＝tan（ ωx＋）的零点完全相同，则ω＝　　　　.
8.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则f（ ）＝　　　　.
9.（13分）已知函数f（x）＝－cos（ 2x＋）＋1－2sin2x.
（1）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图象的对称中心.
10.（2025·河南郑州二模）函数f（x）＝2sin（ 2x＋）与函数g（x）＝log2x的图象交点个数为（　　）
A.3 B.5 C.6 D.7
11.已知函数f（x）＝cos 3x－cos 2x，x∈（0，π），若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（　　）
A.∈{x1，x2} B.x2＝3x1
C.cos x1＋cos x2＝ D.cos x1cos x2＝－
12.〔多选〕已知函数f（x）＝4sin（ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜）的图象如图所示，点A（ ，2），点B在f（x）的图象上（A，B位置如图所示），过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为，则下列结论正确的有（　　）
A.T＝π
B.f（x）＝4sin（ 3x－）
C.f（x）在区间［－，］上单调递增
D.f（x）的图象关于直线x＝对称
13.（2026·辽宁大连模拟）函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜）的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则函数y＝f（x）的解析式为　　　　.
14.（15分）（2026·四川成都段考）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f（x）图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的方程g（x）＝m＋2在x∈［0，）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
15.〔创新交汇〕〔多选〕已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列选项中正确的有（　　）
A.函数f（x）的最小正周期是π
B.函数f（x）在（ －，－）上单调递减
C.曲线y＝f（x）向左平移个单位长度后关于直线x＝对称
D.若圆C的半径为，则f（x）＝sin（ 2x＋）
第6节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
1.D　2.C　3.D　4.A　
5.C　原方程化为sin（ 2x＋）＝，在同一坐标系内作出函数y＝sin（ 2x＋），x∈[－2π，2π）与直线y＝的图象，如图，观察图象知，在x∈[－2π，2π）时函数y＝sin（ 2x＋）的图象与直线y＝有8个公共点，所以方程2sin（ 2x＋）＝1在区间[－2π，2π）上有8个解.故选C.
6.AC　根据函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ 其中A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）的部分图象可得A＝2，×＝＋，解得ω＝2，又f（ －）＝－2，可得2×（ －）＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜≤，解得φ＝－，所以f（x）＝2sin（ 2x－），可得f（0）＝2sin（ －）＝－1，故A正确；可得f（x）的最小正周期为＝π，故B错误；令x＝，则f（ ）＝2sin（ 2×－）＝2，为最大值，可得函数f（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得y＝2sin（ 2x＋）的图象，可得所得的函数图象不关于原点对称，故D错误.
7.－1　8.－　
9.解：（1）f（x）＝－cos（ 2x＋）＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin（ 2x＋）.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的大致图象如图.
（2）将函数f（x）＝2sin（ 2x＋）的图象向右平移个单位长度后得到y＝2sin［2（ x－）＋］＝2sin（ 2x－）的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）＝2sin（ －）的图象.
由－＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z，
故g（x）图象的对称中心为（ 2kπ＋，0），k∈Z.
10.A　通过五点法得五个点（ ，2），（ ，0），（ ，－2），（ ，0），（ ，2），
作出周期函数f（x）的图象，再通过点（1，0），（4，2）作出单调函数g（x）＝log2x的图象，因为4∈（ ，），所以通过图象可判断它们有3个交点，故选A.
11.D　由f（x）＝0，得cos 3x＝cos 2x，而x∈（0，π），则2x∈（0，2π），3x∈（0，3π），3x－2x＝x∈（0，π），因此3x＋2x＝2kπ，k∈N，解得x＝，k∈N，由x∈（0，π），得k＝1或k＝2，于是x1＝，x2＝，对于A， {x1，x2}，A错误；对于B，x2＝2x1，B错误；对于C，cos＋cos＝cos－cos＜0，C错误；对于D，cos x1cos x2＝coscos＝－coscos＝－·＝－，D正确.
12.BC　四边形ACBD为平行四边形，AC＝2，设B（x0，－2），则2（ x0－）＝，所以x0－＝，则＝·＝，解得ω＝3，故f（x）的周期为，A错误；f（x）＝4sin（3x＋φ），将点A（ ，2）的坐标代入得，4sin（ 3×＋φ）＝2，即sin（ ＋φ）＝，由于点A在f（x）的单调递增区间上，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z，又｜φ｜＜，得φ＝－，所以f（x）＝4sin（ 3x－），故B正确；当x∈［－，］时，3x－∈［－，］，则由正弦函数的性质可知，f（x）在区间［－，］上单调递增，C正确；由于f（ ）＝4sin（ 3×－）＝0，所以直线x＝不是函数f（x）图象的对称轴，D错误.故选B、C.
13.f（x）＝tan（ x－）
解析：如图所示.区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，又｜AB｜＝3，设函数f（x）的最小正周期为T，则｜AD｜＝T，由题意可得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，可得ω＝，即f（x）＝tan（ x＋φ），又f（x）的图象过点（ ，－1），即tan（ ×＋φ）＝tan（ ＋φ）＝－1，因为φ∈（ －，），所以＋φ＝－，解得φ＝－.故f（x）＝tan（ x－）.
14.解：（1）由题知函数f（x）的最小正周期为2×＝，解得ω＝4，所以f（x）＝Asin（4x＋φ），
又函数f（x）在x＝处取到最小值－2，所以A＝2，且f（ ）＝－2，即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z.
又0＜φ＜π，可得k＝0，φ＝，
所以f（x）＝2sin（ 4x＋）.
（2）函数f（x）＝2sin（ 4x＋）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得y＝2sin（ 2x＋）的图象，
再向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为g（x）＝2sin［2（ x＋）＋］＝2cos 2x，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以g（x）的单调递增区间为［－＋kπ，kπ］（k∈Z）.
（3）函数g（x）＝2cos 2x，x∈［0，）的图象如图所示，
因为方程g（x）＝m＋2在x∈［0，）上有两个不同的实根，所以由图可知－2＜m＋2≤或m＋2＝2，
解得－4＜m≤－2或m＝0.
所以m的取值范围为（－4，－2]∪{0}.
15.ACD　对于选项A，由题图可知点C的横坐标为＝，设f（x）的最小正周期为T，则＝－（ －）＝，∴T＝π，A正确；对于选项B，∵ω＞0，则ω＝＝2，∴f（x）＝Asin（2x＋φ），由题图知f（x）的图象过点（ －，0），故Asin（ －＋φ）＝0，∴－＋φ＝2kπ（k∈Z），∴φ＝＋2kπ（k∈Z），又∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝Asin（ 2x＋），当－＜x＜－时，－＜2x＋＜－，又∵y＝Asin z在z∈（ －，－）上不单调，∴f（x）＝Asin（ 2x＋）在（ －，－）上不单调，故B错误；对于选项C，f（x）的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数g（x）＝Asin［2（ x＋）＋］＝Asin（ 2x＋）＝Acos 2x，∴g（ ）＝Acos π＝－A＝g（x）最小值，∴g（x）关于x＝对称，C正确；对于选项D，圆C的半径为，连接CM（图略），在Rt△OMC中，OC2＋OM2＝CM2，∴OM＝，将点M（ 0，）代入f（x）＝Asin（ 2x＋），∴A＝，∴f（x）＝sin（ 2x＋），故D正确.
1 / 1第6节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
1.结合具体实例，了解y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
知识梳理
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x －
y＝ Asin（ωx＋φ） 0 0 0
3.函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径
提醒：（1）先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度；（2）先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位长度.
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.在函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）中，若其最大值、最小值分别为M，m，则A＝，b＝.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.（　　）
（2）将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin（ 2x－）的图象.（　　）
（3）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A≠0）的最大值为A，最小值为－A.（　　）
（4）y＝2sin（ x－）的初相为－.（　　）
2.用五点作图法作y＝2sin 4x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　）
A.0，，π，，2π
B.0，，，，π
C.0，，，，
D.0，，，，
3.为了得到函数y＝3sin（ 2x－）的图象，只需把函数y＝3sin（ x－）的图象上所有的点（　　）
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
4.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω＝　　　　.
5.将函数f（x）＝sin（ 2x－）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（ ）的值为　　　　.
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
（师生共研过关）
已知函数f（x）＝2sin.
（1）作出f（x）在[0，π]上的图象；
（2）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
1.利用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定.
训练1 （1）（2026·江苏南京模拟）把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　　）
A.cos（ 2x－） B.cos（ 2x－）
C.cos（ x－） D.cos（ x－）
（2）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（ 3x－）的交点个数为（　　）
A.3 B.4
C.6 D.8
求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
（师生共研过关）
（1）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜），y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）＝　　　　；
（2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　　　.
听课记录
　　确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法 （1）求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝； （2）求ω：确定函数的最小正周期T，则ω＝； （3）求φ：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.
训练2 （1）已知函数f（x）＝cos（ ωx＋）在[－π，π]上的图象大致如图，则f（x）的解析式为（　　）
A.f（x）＝cos（ －x＋） B.f（x）＝cos（ x＋）
C.f（x）＝cos（ x－） D.f（x）＝cos（ x＋）
（2）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ ω＞0，φ∈）的部分图象如图，其中f（0）＝1，MN＝，则点M的坐标为　　　　.
三角函数图象与性质的综合应用
（定向精析突破）
考向1　图象与性质的综合问题
〔多选〕已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.ω＝2
B.函数f（x）的图象关于直线x＝－对称
C.函数f（ x－）是偶函数
D.将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin（ x＋）的图象
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解决三角函数图象与性质的综合问题的关键 　　首先正确地将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）.
考向2　三角函数的零点（方程根）
已知函数f（x）＝2sin（ 2x－），且关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，则t的取值范围是　　　　.
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巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题 　　解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决.
训练3 （1）〔多选〕已知函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ ω＞0，－＜φ＜），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象.若g（x）为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是（　　）
A.函数f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称
B.函数f（x）在区间（ 0，）上单调递减
C.不等式g（x）≥的解集为［kπ－，kπ－］（k∈Z）
D.方程f（ ）＝g（x）在（0，π）上有2个解
（2）已知函数f（x）＝cos x（sin x－cos x）＋，若存在x1，x2∈[－π，2π]，使得f（x1）f（x2）＝－1，则x1－x2的最大值为　　　　.
第6节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
【夯实必备知识】
知识梳理
1.ωx＋φ　φ　
2.－　　－　　A　－A
3.｜φ｜　　　　A　A
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.C　3.B　4.2　5.1
【研透核心考点】
考点1
【例1】　解：（1）因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
（2）将y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（ x＋）的图象，再将y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到f（x）＝2sin的图象.
训练1　（1）B　（2）C　解析：（1）把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）后的函数为y＝cos 2x，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为y＝cos［2（ x－）］＝cos（ 2x－）.故选B.
（2）因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（ 3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（ 3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
考点2
【例2】　（1）tan（ 2x＋）　（2）－
解析：（1）由图象可知，＝－，即＝，所以ω＝2，再结合图象，可得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即｜φ｜＝｜kπ＋｜＜，所以－＜k＜，又k∈Z，所以k＝0，所以φ＝，又图象过点（0，1），代入得Atan＝1，所以A＝1，函数的解析式为f（x）＝tan（ 2x＋）.
（2）由题图设点A（ x1，），B（ x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（ ，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（ 4x＋2kπ－）＝sin（ 4x－＋2kπ）＝sin（ 4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（ 4π－）＝sin＝－.
训练2　（1）B　（2）（－1，2）
解析：（1）由图象知π＜T＜2π，即π＜＜2π，所以1＜｜ω｜＜2.因为图象过点（ －，0），所以cos（ －ω＋）＝0，所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝－k－，k∈Z.因为1＜｜ω｜＜2，故k＝－1，得ω＝，所以f（x）＝cos（ x＋）.
（2）∵f（0）＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.∵φ∈，∴φ＝.又MN＝＝，且ω＞0，∴ω＝，∴f（x）＝2sin.令2sin（ x＋）＝2，结合题图得x＋＝，解得x＝－1，故点M的坐标为（－1，2）.
考点3
【例3】　ABD　由题图可得，A＝2，－＝×，解得ω＝2，故A正确.因为函数f（x）的图象经过点（ ，2），所以2sin（ 2×＋φ）＝2，即sin（ ＋φ）＝1，又｜φ｜＜，故＋φ＝，解得φ＝，故f（x）＝2sin（ 2x＋），当x＝－时，2x＋＝－，此时函数f（x）取得最小值，故函数f（x）的图象关于直线x＝－对称，故B正确.f（ x－）＝2sin（ 2x－＋）＝－2sin 2x，所以f（ x－）是奇函数，故C错误.将函数f（x）＝2sin（ 2x＋）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin（ x＋）的图象，故D正确.故选A、B、D.
【例4】　[－1，1）∪{2}
解析：因为x∈［0，］，所以2x－∈［－，］，所以2sin（ 2x－）∈[－1，2]，且当x＝时，f（ ）＝1，所以其函数图象如图所示.因为关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，所以y＝f（x）与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t＜1或t＝2.
训练3　（1）ACD　（2）　解析：（1）根据题意可得g（x）＝cos（ x＋φ－π），因为g（x）的最小正周期为π，所以＝π，因为ω＞0，所以ω＝4，即g（x）＝cos（ 2x＋φ－），又g（x）为奇函数，所以φ－＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝π＋kπ，k∈Z，又－＜φ＜，所以当k＝－2时，φ＝－，所以g（x）＝cos（ 2x－－）＝－sin 2x，f（x）＝cos（ 4x－）.对于A，当x＝时，f（ ）＝cos（ 4×－）＝0，所以点（ ，0）是f（x）图象的一个对称中心，故A正确；对于B，令2kπ≤4x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得＋≤x≤＋，k∈Z，易知（ 0，）不是［＋，＋］，k∈Z的子集，故B错误；对于C，g（x）≥，即－sin 2x≥，得sin 2x≤－，则－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故C正确；对于D，在同一直角坐标系中分别画出y1＝f（ ）＝cos（ 2x－）与y2＝g（x）＝－sin 2x在[0，π]上的图象，如图所示，
通过图象可知，两函数图象在（0，π）上共有2个交点，故D正确.
（2）f（x）＝cos x（sin x－cos x）＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin（ 2x－），所以f（x）∈[－1，1]，要使f（x1）f（x2）＝－1，则f（x1）＝1且f（x2）＝－1或f（x1）＝－1且f（x2）＝1，因为x1，x2∈[－π，2π]，所以2x1－∈［－π，π］，2x2－∈［－π，π］，结合正弦函数图象可知，要使x1－x2的值最大，则f（x1）＝－1，即2x1－＝，解得x1＝，f（x2）＝1，即2x2－＝－，解得x2＝－，所以x1－x2＝－（ －）＝.
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