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第7节　余弦定理和正弦定理
（时间：60分钟，满分：98分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，a＝1，c＝，则b＝（　　）
A.1 B.
C.2 D.
2.（2026·湖北武汉模拟）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3a＝2b，B＝2A，则cos A＝（　　）
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则A＝（　　）
A. B.
C. D.
4.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的半径为（　　）
A.4 B.2
C.5 D.
5.（2026·山东菏泽模拟）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝（　　）
A. B.3
C. D.2
6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（　　）
A.若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解
B.若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝角三角形
C.若△ABC为锐角三角形，则sin A＞cos B
D.若＝，则△ABC为等腰三角形
7.（2026·陕西榆林模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋（b＋λa）sin B＝csin C，则λ的取值范围为　　　　.
8.（2025·浙江金华一模）记等腰三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2c－a）cos B＝bcos A，若腰长为2，则△ABC的底边长为　　　　.
9.（15分）（2024·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
（1）求a的值；
（2）求sin A的值；
（3）求cos（B－2A）的值.
10.在△ABC中，tan A＝，tan B＝.若△ABC最长边的长为，则最短边的长为（　　）
A. B.
C.2 D.
11.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是（　　）
A.cos C＝ B.sin B＝
C.a＝3 D.S△ABC＝
12.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是（　　）
A.（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5∶6∶7
B.△ABC为钝角三角形
C.若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6
D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r
13.设A，B，C为△ABC的三个内角，且方程（sin B－sin A）x2＋（sin A－sin C）x＋（sin C－sin B）＝0有两个相等实根，则角B的取值范围为　　　　.
14.（15分）（2026·江苏南通质检）在△ABC中，AC＝2，∠BAC＝，P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠APB＝.
（1）若AP＝PC，求△ABC的面积；
（2）若BC＝，求AP.
15.〔创新情境〕早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时，测出∠SE0M＝；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝，∠E1SE0＝.若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：≈1.7）（　　）
A.2.1R B.2.2R C.2.3R D.2.4R
第7节　余弦定理和正弦定理
1.A　2.D　3.B　4.D　
5.D　因为＝，所以由正弦定理可得：＝，所以3sin Bcos C－sin Acos C＝cos Asin C，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin（A＋C），又因为sin（A＋C）＝sin（π－B）＝sin B，0＜B＜π，所以sin B＞0，故3cos C＝1，解得cos C＝，又因为0＜C＜π，所以sin C＞0，所以sin C＝＝＝，所以tan C＝＝＝2.
6.ABC　由所以△ABC有两解，故A正确；由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcos C＞a2＋b2 cos C＜0，所以C为钝角，即△ABC为钝角三角形，故B正确；因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B＞90° 90°－B＜A＜90° sin（90°－B）＜sin A，即cos B＜sin A，故C正确；因为＝，由正弦定理得：＝ sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故D错误.故选A、B、C.
7.（－2，2）　
8.－或2　解析：∵（2c－a）cos B＝bcos A，由正弦定理得：（2sin C－sin A）cos B＝sin Bcos A，∴sin C＝2sin Ccos B，∵sin C≠0，∴cos B＝，∵B∈（0，π），∴B＝.当B为顶角，则底边AC2＝4＋4－2×2×2×cos＝8－4，∴AC＝－；当B为底角，则该三角形内角分别为，，，则底边长为2，故△ABC的底边长为－或2.
9.解：（1）由＝得a＝c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，即c2＋c2－25＝2·c·c·，
得c2－25＝c2，得c＝6，故a＝c＝4.
（2）因为cos B＝，所以sin B＝＝，
由正弦定理得＝，即＝，得sin A＝.
（3）因为a＜b，所以A＜B，则cos A＞0，
由sin A＝，得cos A＝，
则cos 2A＝2cos2A－1＝，sin 2A＝2sin Acos A＝.
故cos（B－2A）＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A＝×＋×＝.
10.A　在△ABC中，tan（A＋B）＝＝1，因为tan A＜tan B＜1，所以A＜B＜45°，所以最短边为BC，且A＋B＝45°，则C＝135°，最长边为AB，由tan A＝得sin A＝.由＝得BC＝＝，即最短边的长为，故选A.
11.AD　因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.由正弦定理得＝，即＝，所以cos C＝，故A正确；因为cos C＝，所以sin C＝，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，故B错误；因为cos B＝cos 2C＝2cos2C－1＝－，所以B为钝角，所以sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋（ －）×＝，则cos A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝（2）2＋32－2×2×3×＝1，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝，故D正确.故选A、D.
12.BD　因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2x（x＞0），b＝3x，c＝4x，则（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5x∶7x∶6x＝5∶7∶6，故A错误；由题意可知，C为最大角，因为cos C＝＝＝－＜0，所以C为钝角，故B正确；若a＋b＋c＝18，则a＝4，b＝6，c＝8，又cos C＝－，所以sin C＝＝，所以S△ABC＝absin C＝×4×6×＝3，故C错误；由正弦定理得2R＝＝＝，即R＝.由面积公式可得（a＋b＋c）r＝absin C，即×9x×r＝×2x×3x×，所以r＝x，所以＝，即5R＝16r，故D正确.
13.（ 0，］　解析：由已知得Δ＝0，即（sin A－sin C）2－4（sin B－sin A）（sin C－sin B）＝0，由正弦定理，得（a－c）2－4（b－a）（c－b）＝0，展开得a2＋c2＋2ac＋4b2－4bc－4ab＝0，∴（a＋c－2b）2＝0，∴a＋c＝2b，∴b＝，∴cos B＝＝＝－≥－＝.当且仅当a＝c时，等号成立.∵cos B＞0，∴0＜B＜，又y＝cos B在（ 0，）上单调递减，∴B≤（当且仅当a＝c时取等号）.
14.解：（1）在△APC中，因为AP⊥CP，且AP＝CP，所以∠CAP＝.由AC＝2，可得AP＝.
又∠BAC＝，则∠BAP＝－＝.
在△APB中，因为∠APB＝，∠BAP＝，所以∠ABP＝π－－＝，则＝，所以AB＝，
所以S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝××2×＝.
（2）在△ABC中，由余弦定理得7＝4＋AB2－2AB，
解得AB＝3（AB＝－1舍去）.
设∠CAP＝α，则α∈（ 0，），
在△APC中，AP＝2cos α.
在△ABP中，∠BAP＝－α，所以∠ABP＝π－－（ －α）＝α，
则＝，即＝，得tan α＝.
因为α∈（ 0，），所以α＝，
所以AP＝2×＝.
15.A　如图，连接E0E1，在△SE0E1中，SE0＝SE1＝R，∠E1SE0＝，则△SE0E1是正三角形，E0E1＝R.由∠SE0M＝，∠SE1M＝，得∠E1E0M＝，∠E0E1M＝，在△ME0E1中，∠E0ME1＝，由正弦定理得＝，则E1M＝＝R，在△SME1中，由余弦定理得SM＝＝≈R，与2.1R最接近.故选A.
1 / 1第7节　余弦定理和正弦定理
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.理解三角形的面积公式并能应用. 3.能用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
知识梳理
1.余弦定理、正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝　　　　　　； b2＝　　　　　　； c2＝　　　　　 ＝＝＝2R
常见 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ （1）a＝2Rsin A，b＝　　　，c＝　　　　； （2）sin A＝，sin B＝，sin C＝； （3）a∶b∶c＝　　　　　； （4）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； （5）＝＝2R
2.在△ABC中，已知a，b和A时解的情况
A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的 个数 1 2 1 1
提醒：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不确定性.
3.三角形的面积公式
（1）S△ABC＝aha（ha为边a上的高）；
（2）S△ABC＝absin C＝　　　　　　＝　　　　　＝＝2R2sin Asin Bsin C（R为△ABC外接圆半径）；
（3）S△ABC＝r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆半径）.
1.三角形中的边角关系 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B a＞b sin A＞sin B cos A＜cos B. 2.三角形中的三角函数关系 （1）sin（A＋B）＝sin C； （2）cos（A＋B）＝－cos C； （3）sin＝cos； （4）cos＝sin.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（　　）
（2）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.（　　）
（3）当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形.（　　）
（4）在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解.（　　）
2.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝（　　）
A.2 B.1
C. D.
3.〔一题多解〕（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（　　）
A.45° B.60°
C.120° D.135°
4.（2026·湖南长沙雅礼中学测试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有（　　）
A.一个 B.两个
C.0个 D.不能确定
5.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，且b＝2，c＝，则A＝　　　　.
利用正、余弦定理解三角形
（师生共研过关）
（2025·天津高考16题节选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝.
（1）求A的值；
（2）求c的值.
　　在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
训练1 （1）（2026·四川外国语大学附中模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）（2024·全国甲卷11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝（　　）
A. B.
C. D.
判断三角形形状
（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＝，2bcos A＝c，则△ABC的形状是（　　）
A.等腰直角三角形
B.等腰钝角三角形
C.等边三角形
D.以上结论均不正确
（2）（2026·上海嘉定第一中学期中）在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围为　　　　.
听课记录
判定三角形形状的两种常用途径 提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.
训练2 （1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
（2）（2026·江苏苏州检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a－ccos B＝b－ccos A，则△ABC的形状是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
与三角形面积有关的问题
（师生共研过关）
（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3＋，求c.
三角形面积公式的应用原则 （1）对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式； （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
训练3 （1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为2，则△ABC内切圆的半径为　　　　；
（2）（2022·新高考Ⅱ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
①求△ABC的面积；
②若sin Asin C＝，求b.
海伦—秦九韶公式
　　通过人A必修二P55阅读与思考我们知道秦九韶公式S＝与海伦公式S＝，p＝（a＋b＋c）是等价的，因此我们统称为海伦—秦九韶公式.海伦—秦九韶公式给出了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度出现，因此在题目条件只有边的关系时，可以考虑利用海伦—秦九韶公式解题.
（1）〔一题多解〕在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2，若2sin C＝3sin A，则△ABC的面积为　　　　；
（2）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，记△ABC的面积为S，且满足bsin B＋2csin C＝4asin A，试求的最大值.
第7节　余弦定理和正弦定理
【夯实必备知识】
知识梳理
1.b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C　（1）2Rsin B　2Rsin C　（3）sin A∶sin B∶sin C
3.（2）bcsin A　acsin B　
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.D　3.A　4.B　5.120°或60°
【研透核心考点】
考点1
【例1】　解：（1）因为asin B＝bcos A，所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，
因为B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝.
又因为A∈（0，π），所以A＝.
（2）因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）×，化简得b2＋b－2＝0，
又b＞0，故b＝1.
由c＝2b＋1，得c＝3.
训练1　（1）C　（2）C　解析：（1）由正弦定理及acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－cos Asin B＝sin C，即sin（A－B）＝sin C＝sin（A＋B）.因为A－B＜A＋B，所以A－B＋A＋B＝π，解得A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝.故选C.
（2）由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝60°，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以（sin A＋sin C）2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝.
考点2
【例2】　（1）C　（2）（，3）　解析：（1）因为2bcos A＝c＞0，所以A为锐角.由余弦定理得2b×＝c，得b2＝a2，a＝b，则B为锐角.
法一　由＝及余弦定理得＝，即＝，即＝，由于b2－a2＝0，所以b2－c2＝0，即b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形.
法二　由＝及正弦定理得sin Ccos C＝sin Acos A，从而A＝C或A＋C＝（由B为锐角，舍去）.综上，A＝B＝C，即△ABC为等边三角形.
（2）∵△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，∴由余弦定理得cos C＝＜0，即5－c2＜0，解得c＞.又c＜a＋b＝3，∴边c的取值范围是（，3）.
训练2　（1）A　（2）D　解析：（1）由＜cos A，得＜cos A.又B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin C＜sin Bcos A，即sin（A＋B）＜sin Bcos A，所以sin Acos B＜0.因为sin A＞0，所以cos B＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
（2）因为a－ccos B＝b－ccos A，由余弦定理得a－c×＝b－c×，化简得＝，若a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2，此时△ABC为直角三角形；若a2＋b2－c2≠0，则a＝b，此时△ABC为等腰三角形.综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
考点3
【例3】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈（0，π），所以C＝，
又sin C＝cos B，所以＝cos B，
即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.
（2）由（1）可得A＝，
则sin A＝sin＝sin（ ＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝，
从而a＝·c＝c，
又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），
将a＝c代入，解得c＝2.
训练3　（1）－1　解析：因为△ABC的面积为2，A＝60°，所以bcsin A＝2，解得bc＝8.又b＋c＝6，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－3bc＝12，所以a＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋6.设△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝（a＋b＋c）r＝×（2＋6）r＝2，解得r＝－1.
（2）解：①由S1－S2＋S3＝，得（a2－b2＋c2）＝，即a2－b2＋c2＝2，
又a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1.
由sin B＝，得cos B＝或cos B＝－（舍去），所以ac＝＝，
则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝.
②由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝，
即b2＝×＝，得b＝.
衔接教材
【例】　（1）　解析：法一（常规解法）　因为2sin C＝3sin A，则2c＝2（a＋2）＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cos C＝＝，所以C为锐角，则sin C＝＝，因此，S△ABC＝absin C＝×4×5×＝.
法二（海伦—秦九韶公式解法）　因为2sin C＝3sin A，则2c＝2（a＋2）＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，p＝（a＋b＋c）＝，S＝
＝.
（2）解：依题可得：4a2＝b2＋2c2，代入海伦—秦九韶公式S＝可得，＝＝，其中t＝，故当t＝时，取得最大值.
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第7节　余弦定理和正弦定理
课标要求
1. 掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2. 理解三角形的面积公式并能应用.
3. 能用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 余弦定理、正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，R为△ABC外接
圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝ ； b2＝ ； c2＝ ＝ ＝ ＝2R
b2＋c2－2bc cos A　
c2＋a2－2ca cos B　
a2＋b2－2ab cos C　
定理 余弦定理 正弦定理
常见 变形 cos A＝
； cos B＝
； cos C＝ （1）a＝2R sin A，b＝ ，c
＝ ；
（2） sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ；
（3）a∶b∶c＝ ；
（4）a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin
C＝c sin A；
（5） ＝ ＝2R
2R sin B　
2R sin C　
sin A∶ sin B∶ sin C　
2. 在△ABC中，已知a，b和A时解的情况
A为锐角 A为钝角
或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 1 2 1 1
提醒：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和
一边的对角，该三角形具有不确定性.
3. 三角形的面积公式
（1）S△ABC＝ aha（ha为边a上的高）；
（2）S△ABC＝ ab sin C＝ 　 bc sin A　＝ 　 ac sin B　＝ ＝2R2 sin A sin
B sin C（R为△ABC外接圆半径）；
（3）S△ABC＝ r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆半径）.
bc sin A　
ac sin B　
1. 三角形中的边角关系
在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B a＞
b sin A＞ sin B cos A＜ cos B.
2. 三角形中的三角函数关系
（1） sin （A＋B）＝ sin C；
（2） cos （A＋B）＝－ cos C；
（3） sin ＝ cos ；
（4） cos ＝ sin .
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. （　×　）
（2）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.
（　×　）
（3）当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形. （　×　）
（4）在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解. （　×　）
×
×
×
×
2. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝ ，B
＝ ，a＝1，则b＝（　　）
A. 2 B. 1 C. D.
√
解析： 由正弦定理，得 ＝ ，故b＝ ＝ ＝ ×2＝ .
故选D.
3. 〔一题多解〕（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋
，AB＝ ，则A＝（　　）
A. 45° B. 60°
C. 120° D. 135°
√
解析： 　法一（通解）　由余弦定理得 cos A＝ ＝
＝ ，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°.
法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜
60°，排除B、C、D，故选A.
4. （2026·湖南长沙雅礼中学测试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边
分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有
（　　）
A. 一个 B. 两个
C. 0个 D. 不能确定
√
解析： 　由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得 ＝
，所以 sin B＝ .因为a＜b，所以B＞A，故B有两解，即符合条件
的三角形有两个.
5. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为 ，且
b＝2，c＝ ，则A＝ .
解析：已知S△ABC＝ bc sin A＝ ，则有 ×2× sin A＝ ，所以 sin A＝
.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°或120°.
120°或60°　
02
PART
研透核心考点
利用正、余弦定理解三角形（师生共研过关）
（2025·天津高考16题节选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c.已知a sin B＝ b cos A，c－2b＝1，a＝ .
（1）求A的值；
解： 因为a sin B＝ b cos A，所以由正弦定理可得 sin A sin B＝ sin B
cos A，
因为B∈（0，π），所以 sin B＞0，所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝ .
又因为A∈（0，π），所以A＝ .
（2）求c的值.
解：因为c－2b＝1，a＝ ， cos A＝ ，所以由a2＝b2＋c2－2bc cosA，
可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）× ，化简得b2＋b－2＝0，
又b＞0，故b＝1.
由c＝2b＋1，得c＝3.
　　在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用
余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定
理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
训练1 （1）（2026·四川外国语大学附中模拟）在△ABC中，内角A，
B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝ ，则B＝
（　C　）
A. B. C. D.
解析： 由正弦定理及a cos B－b cos A＝c，得 sin A cos B－ cos A sin B＝
sin C，即 sin （A－B）＝ sin C＝ sin （A＋B）.因为A－B＜A＋B，所
以A－B＋A＋B＝π，解得A＝ .所以B＝π－A－C＝π－ － ＝ .故
选C.
C
（2）（2024·全国甲卷11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ ac，则 sin A＋ sin C＝（　C　）
A. B. C. D.
C
解析： 由正弦定理得 sin A sin C＝ sin 2B，因为B＝60°，所以 sin A sin C
＝ sin 2B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac· cos B＝a2＋c2－ac＝
ac，所以a2＋c2＝ ac，所以 sin 2A＋ sin 2C＝ sin A sin C，所以（ sin A
＋ sin C）2＝ sin 2A＋ sin 2C＋2 sin A sin C＝ sin A sin C＝ ，又 sin A＞
0， sin C＞0，所以 sin A＋ sin C＝ .
判断三角形形状（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所
对的边，且满足 ＝ ，2b cos A＝c，则△ABC的形状是（　C　）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰钝角三角形
C. 等边三角形 D. 以上结论均不正确
解析： 因为2b cos A＝c＞0，所以A为锐角.由余弦定理得2b×
＝c，得b2＝a2，a＝b，则B为锐角.
C
法一　由 ＝ 及余弦定理得 ＝ ，即 ＝
，即 ＝ ，由于b2－a2＝0，所以b2－c2＝0，即b＝c，
所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形.
法二　由 ＝ 及正弦定理得 sin C cos C＝ sin A cos A，从而A＝C或
A＋C＝ （由B为锐角，舍去）.综上，A＝B＝C，即△ABC为等边三
角形.
（2）（2026·上海嘉定第一中学期中）在钝角△ABC中，角A，B，C所
对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围
为 .
解析：∵△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，∴由余弦定
理得 cos C＝ ＜0，即5－c2＜0，解得c＞ .又c＜a＋b＝3，
∴边c的取值范围是（ ，3）.
（ ，3）　
判定三角形形状的两种常用途径
提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式
推出角的关系.
训练2 （1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ＜
cos A，则△ABC为（　A　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等边三角形
解析： 由 ＜ cos A，得 ＜ cos A. 又B∈（0，π），所以 sin B＞0，所
以 sin C＜ sin B cos A，即 sin （A＋B）＜ sin B cos A，所以 sin A cos B＜0.
因为 sin A＞0，所以 cos B＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
A
（2）（2026·江苏苏州检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若a－c cos B＝b－c cos A，则△ABC的形状是（　D　）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
D
解析：因为a－c cos B＝b－c cos A，由余弦定理得a－c× ＝b
－c× ，化简得 ＝ ，若a2＋b2－c2＝0，即a2
＋b2＝c2，此时△ABC为直角三角形；若a2＋b2－c2≠0，则a＝b，此时
△ABC为等腰三角形.综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
与三角形面积有关的问题（师生共研过关）
（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，对比已知a2＋b2－c2＝ ab，
可得 cos C＝ ＝ ＝ ，因为C∈（0，π），所以C＝ ，
又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）若△ABC的面积为3＋ ，求c.
解：由（1）可得A＝ ，
则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理
有 ＝ ，
从而a＝ · cP＝ c，
又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1），
将a＝ c代入，解得c＝2 .
三角形面积公式的应用原则
（1）对于面积公式S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，一般是已知哪一
个角就使用哪一个公式；
（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的
转化.
训练3 （1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝
60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为2 ，则△ABC内切圆的半径为 　
；
解析：因为△ABC的面积为2 ，A＝60°，所以 bc sin A＝2 ，解得
bc＝8.又b＋c＝6，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2
－3bc＝12，所以a＝2 ，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2 ＋6.设
△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝ （a＋b＋c）r＝ ×（2 ＋6）
r＝2 ，解得r＝ －1.
－1　
（2）（2022·新高考Ⅱ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，
S3.已知S1－S2＋S3＝ ， sin B＝ .
①求△ABC的面积；
②若 sin A sin C＝ ，求b.
解：①由S1－S2＋S3＝ ，得 （a2－b2＋c2）＝ ，即a2－b2＋c2＝2，
又a2－b2＋c2＝2ac cos B，所以ac cos B＝1.
由 sin B＝ ，得 cos B＝ 或 cos B＝－ （舍去），所以ac＝ ＝
，
则△ABC的面积S＝ ac sin B＝ × × ＝ .
②由 sin A sin C＝ ，ac＝ 及正弦定理知 ＝ ＝ ＝ ，
即b2＝ × ＝ ，得b＝ .
海伦—秦九韶公式
　　通过人A必修二P55阅读与思考我们知道秦九韶公式S＝
与海伦公式S＝
，p＝ （a＋b＋c）是等价的，因此我们统
称为海伦—秦九韶公式.海伦—秦九韶公式给出了三角形的面积和边长之
间的定量关系，没有角度出现，因此在题目条件只有边的关系时，可以考
虑利用海伦—秦九韶公式解题.
（1）〔一题多解〕在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，
b，c，b＝a＋1，c＝a＋2，若2 sin C＝3 sin A，则△ABC的面积
为 ；
　
解析：法一（常规解法）　因为2 sin C＝3 sin A，则2c＝2（a＋2）＝
3a，则a＝4，故b＝5，c＝6， cos C＝ ＝ ，所以C为锐角，则
sin C＝ ＝ ，因此，S△ABC＝ ab sin C＝ ×4×5× ＝
.
法二（海伦—秦九韶公式解法）　因为2 sin C＝3 sin A，则2c＝2（a＋
2）＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，p＝ （a＋b＋c）＝ ，
S＝ ＝ .
（2）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，记△ABC的
面积为S，且满足b sin B＋2c sin C＝4a sin A，试求 的最大值.
解：依题可得：4a2＝b2＋2c2，代入海伦—秦九韶公式S＝
可得， ＝ ＝
，其中t＝ ，故当t＝ 时， 取得最大值 .
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：98分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，a＝
1，c＝ ，则b＝（　　）
A. 1 B.
C. 2 D.
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√
解析： 　根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋3－2 × ＝
1，则b＝1.故选A.
2. （2026·湖北武汉模拟）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别是
a，b，c，若3a＝2b，B＝2A，则 cos A＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　因为3a＝2b，所以3 sin A＝2 sin B＝2 sin 2A＝4 sin A cos A，因
为A∈（0，π），所以 sin A＞0，所以3＝4 cos A，即 cos A＝ .故选D.
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3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ＝
，则A＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　在△ABC中，由 ＝ 及正弦定理，得 ＝ ，
即（a＋b）（b－a）＝c（b－c），即b2＋c2－a2＝bc，故 cos A＝
＝ ，又A∈（0，π），故A＝ .
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4. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝1，C＝
，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的半径为（　　）
A. 4 B. 2
C. 5 D.
√
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解析： 　因为b＝1，C＝ ，△ABC的面积S＝2，所以S＝ a×1× sin
＝2，解得a＝4 ，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝（4 ）2＋
12－2×4 ×1× ＝25，解得c＝5（负值舍去），所以结合正弦定理可
知，△ABC的外接圆的半径为 ＝ ，故选D.
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5. （2026·山东菏泽模拟）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且 ＝ ，则tan C＝（　　）
A. B. 3
C. D. 2
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解析： 　因为 ＝ ，所以由正弦定理可得： ＝ ，所
以3 sin B cos C－ sin A cos C＝ cos A sin C，即3 sin B cos C＝ sin A cos C＋ cos
A sin C＝ sin （A＋C），又因为 sin （A＋C）＝ sin （π－B）＝ sin B，
0＜B＜π，所以 sin B＞0，故3 cos C＝1，解得 cos C＝ ，又因为0＜C＜
π，所以 sin C＞0，所以 sin C＝ ＝ ＝ ，所以
tan C＝ ＝ ＝2 .
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6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结
论正确的是（　　）
A. 若A＝45°，a＝ ，b＝ ，则△ABC有两解
B. 若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝角三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则 sin A＞ cos B
D. 若 ＝ ，则△ABC为等腰三角形
√
√
√
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解析： 　由 所以△ABC有两解，故A
正确；由余弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cos C＞a2＋b2 cos C＜0，所以C
为钝角，即△ABC为钝角三角形，故B正确；因为△ABC为锐角三角形，
所以A＋B＞90° 90°－B＜A＜90° sin （90°－B）＜ sin A，即
cos B＜ sin A，故C正确；因为 ＝ ，由正弦定理得： ＝
sin 2A＝ sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝
90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故D错误.故选A、B、C.
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7. （2026·陕西榆林模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，若a sin A＋（b＋λa） sin B＝c sin C，则λ的取值范围
为 .
解析：因为a sin A＋（b＋λa） sin B＝c sin C，由正弦定理得c2＝a2＋b2
＋λab，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以λ＝－2 cos C，因为
C∈（0，π），所以 cos C∈（－1，1），故λ∈（－2，2）.
（－2，2）　
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解析：∵（2c－ a） cos B＝ b cos A，由正弦定理得：（2 sin C－
sin A） cos B＝ sin B cos A，∴ sin C＝2 sin C cos B，∵ sin C≠0，
∴ cos B＝ ，∵B∈（0，π），∴B＝ .当B为顶角，则底边AC2＝4＋4
－2×2×2× cos ＝8－4 ，∴AC＝ － ；当B为底角，则该三角
形内角分别为 ， ， ，则底边长为2 ，故△ABC的底边长为 －
或2 .
8. （2025·浙江金华一模）记等腰三角形ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，已知（2c－ a） cos B＝ b cos A，若腰长为2，则
△ABC的底边长为 .
－ 或2 　
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9. （15分）（2024·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分
别是a，b，c.已知 cos B＝ ，b＝5， ＝ .
（1）求a的值；
解： 由 ＝ 得a＝ c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B，即 c2＋c2－25＝2· c·c· ，
得 c2－25＝ c2，得c＝6，故a＝ c＝4.
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（2）求 sin A的值；
解： 因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
得 sin A＝ .
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（3）求 cos （B－2A）的值.
解： 因为a＜b，所以A＜B，则 cos A＞0，
由 sin A＝ ，得 cos A＝ ，
则 cos 2A＝2 cos 2A－1＝ ， sin 2A＝2 sin A cos A＝ .
故 cos （B－2A）＝ cos B cos 2A＋ sin B sin 2A＝ × ＋ × ＝ .
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10. 在△ABC中，tan A＝ ，tan B＝ .若△ABC最长边的长为 ，则最
短边的长为（　　）
A. B.
C. 2 D.
√
解析： 　在△ABC中，tan（A＋B）＝ ＝1，因为tan A＜tan B
＜1，所以A＜B＜45°，所以最短边为BC，且A＋B＝45°，则C＝
135°，最长边为AB，由tan A＝ 得 sin A＝ .由 ＝ 得BC＝
＝ ，即最短边的长为 ，故选A.
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11. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝
2 ，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是（　　）
A. cos C＝ B. sin B＝
C. a＝3 D. S△ABC＝
√
√
解析： 　因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C. 由正弦定理
得 ＝ ，即 ＝ ，所以 cos C＝ ，故A正确；因为 cos
C＝ ，所以 sin C＝ ，所以 sin B＝ sin 2C＝2 sin C cos C＝2× ×
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＝ ，故B错误；因为 cos B＝ cos 2C＝2 cos 2C－1＝－ ，所以B为钝
角，所以 sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝ × ＋
（－ ）× ＝ ，则 cos A＝ ，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝
（2 ）2＋32－2×2 ×3× ＝1，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝ bc
sin A＝ ×2 ×3× ＝ ，故D正确.故选A、D.
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12. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是（　　）
A. （a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5∶6∶7
B. △ABC为钝角三角形
C. 若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6
D. 若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r
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解析： 　因为 sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4，由正弦定理 ＝
＝ ＝2R，可得a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2x（x＞0），b＝3x，c
＝4x，则（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5x∶7x∶6x＝5∶7∶6，
故A错误；由题意可知，C为最大角，因为 cos C＝ ＝
＝－ ＜0，所以C为钝角，故B正确；若a＋b＋c＝18，则a
＝4，b＝6，c＝8，又 cos C＝－ ，所以 sin C＝ ＝ ，所
以S△ABC＝ ab sin C＝ ×4×6× ＝3 ，故C错误；
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由正弦定理得2R＝ ＝ ＝ ，即R＝ .由面积公式可得 （a＋b
＋c）r＝ ab sin C，即 ×9x×r＝ ×2x×3x× ，所以r＝ x，所
以 ＝ ，即5R＝16r，故D正确.
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13. 设A，B，C为△ABC的三个内角，且方程（ sin B－ sin A）x2＋（ sin
A－ sin C）x＋（ sin C－ sin B）＝0有两个相等实根，则角B的取值范围
为 .
（0， ］　
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解析：由已知得Δ＝0，即（ sin A－ sin C）2－4（ sin B－ sin A）（ sin C
－ sin B）＝0，由正弦定理，得（a－c）2－4（b－a）（c－b）＝0，
展开得a2＋c2＋2ac＋4b2－4bc－4ab＝0，∴（a＋c－2b）2＝0，∴a
＋c＝2b，∴b＝ ，∴ cos B＝ ＝ ＝
－ ≥ － ＝ .当且仅当a＝c时，等号成立.∵ cos B＞
0，∴0＜B＜ ，又y＝ cos B在（0， ）上单调递减，∴B≤ （当且仅
当a＝c时取等号）.
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14. （15分）（2026·江苏南通质检）在△ABC中，AC＝2，∠BAC＝ ，
P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠APB＝ .
（1）若AP＝PC，求△ABC的面积；
解： 在△APC中，因为AP⊥CP，且AP＝CP，所以∠CAP＝ .由
AC＝2，可得AP＝ .
又∠BAC＝ ，则∠BAP＝ － ＝ .
在△APB中，因为∠APB＝ ，∠BAP＝ ，所以∠ABP＝π－ －
＝ ，则 ＝ ，所以AB＝ ，
所以S△ABC＝ AB·AC· sin ∠BAC＝ × ×2× ＝ .
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（2）若BC＝ ，求AP.
解： 在△ABC中，由余弦定理得7＝4＋AB2－2AB，
解得AB＝3（AB＝－1舍去）.
设∠CAP＝α，则α∈（0， ），
在△APC中，AP＝2 cos α.
在△ABP中，∠BAP＝ －α，所以∠ABP＝π－ －（ －α）＝α，
则 ＝ ，即 ＝ ，得tan α＝ .
因为α∈（0， ），所以α＝ ，所以AP＝2× ＝ .
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15. 〔创新情境〕早期天文学家常采用“三角法”测量
行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星
M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体
的位置如图所示.
地球在E0位置时，测出∠SE0M＝ ；行星M绕太阳运动一周回到原来位
置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝ ，∠E1SE0＝ .若地球的轨
道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：
≈1.7）（　　）
A. 2.1R B. 2.2R
C. 2.3R D. 2.4R
√
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解析： 如图，连接E0E1，在△SE0E1中，SE0＝SE1＝
R，∠E1SE0＝ ，则△SE0E1是正三角形，E0E1＝R. 由
∠SE0M＝ ，∠SE1M＝ ，得∠E1E0M＝ ，
∠E0E1M＝ ，在△ME0E1中，∠E0ME1＝ ，由正弦定理得 ＝ ，则E1M＝ ＝ R，在△SME1中，由余弦定理得SM＝ ＝ ≈ R，与2.1R最接近.故选A.
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