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第9节　三角函数与解三角形的实际应用
（时间：60分钟，满分：83分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为（　　）
A. km B. km
C. km D.2 km
2.一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin∠ACB＝（　　）
A.sin 70° B.sin 75°
C.cos 70° D.
3.一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（　　）
A.h（t）＝－6sin t＋6
B.h（t）＝－6cos t＋6
C.h（t）＝－6sin t＋8
D.h（t）＝－6cos t＋8
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
5.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区边界轮廓是半径为200米，圆心角为的扇形AOB.O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD＝米，则圆弧的长为（　　）
A.20π米 B.30π米 C.50π米 D.60π米
6.〔多选〕（2026·江苏南通调研）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式h（t）＝2sin（ t＋）确定，则下列说法正确的是（　　）
A.小球在开始振动（即t＝0 s）时在平衡位置上方cm处
B.每秒钟小球能往复振动2π次
C.函数h（t）的图象关于直线t＝对称
D.小球从t＝ s到t＝ s运动的路程是5 cm
7.〔一题多解〕落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75 m，则滕王阁的高度OP＝　　　　m.
8.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为　　　　小时.
9.如图，一艘海轮从A处出发，沿北偏东75°的方向航行（2－2）n mile到达海岛B，然后从B处出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.则点A到C的直线距离AC的长为　　　　 n mile；如果下次航行直接从A出发到达C，则∠CAB的大小为　　　　.
10.（2026·山东临沂模拟）在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为（　　）
A.7公里 B.8公里
C.9公里 D.10公里
11.〔多选〕（2026·重庆模拟）解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来此打卡拍照.现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图所示），A为解放碑的最顶端，B为基座（即B在A的正下方），在步行街上（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测得CD的长为100 m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是（　　）
A.∠BCD，∠BDC B.∠ACD，∠ADC
C.∠BCD，∠ACD D.∠BCD，∠ADC
12.〔多选〕如图所示，某摩天轮最高点离地面高度为128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客第一次随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中正确的为（　　）
A.摩天轮离地面最近的距离为4米
B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cost＋68
C.若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30
D. t1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
13.（2026·贵州贵阳诊断）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h＝1.5 m，某建筑物高度h1＝4.5 m，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离a1＝1.2 m，将镜子后移a m，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离a2＝3.2 m，则a＝　　　　.
14.（15分）如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0（ cos，sin）开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝时，A，B两点间的距离；
（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈（ 0，］时，y的取值范围.
第9节　三角函数与解三角形的实际应用
1.A　2.A　3.D　4.B　
5.C　连接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝π－∠DOA＝.在△OCD中，由正弦定理可得＝，即＝，则sin∠DCO＝＝，因为∠DCO＝∠COA，且0＜∠COA＜，所以∠DCO＝∠COA＝，所以圆弧的长为×200＝50π米.
6.ACD　h（0）＝2sin（ 0＋）＝，A正确.小球往复振动的最小正周期为T＝＝2π，所以每秒钟小球能往复振动次，B错误.h（ ）＝2sin（ ＋）＝2sin＝－2，则函数h（t）的图象关于直线t＝对称，C正确.－＝＝，h（ ）＝2sin（ ＋）＝2sin＝2，h（ ）＝2sin（ ＋）＝2sin（ 2π－）＝－1，所以小球从t＝ s到t＝ s运动的路程是2＋2＋1＝5（cm），D正确.故选A、C、D.
7.15　解析：设OP＝h，则OA＝＝h，OB＝＝h，OC＝＝h.
法一（两角互补，余弦值互为相反数）　由∠OBC＋∠OBA＝180°得cos∠OBC＝－cos∠OBA，
由余弦定理得＝－，化简得h2＝3 375，易知h＞0，所以h＝15，即OP为15 m.
法二（同角的余弦值相等）　在△OCB中，cos∠OCB＝，在△OCA中，cos∠OCA＝，所以＝，化简得h2＝3 375，易知h＞0，所以h＝15，即OP为15 m.
8.1　解析：设A地东北方向上存在点P到城市B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，由余弦定理得PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40·cos 45°，化简得x2－40x＋700＝0，设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝40，x1x2＝700，所以｜x1－x2｜＝＝20，即图中P1P2＝20千米，所以城市B处于危险区的时间为＝1（小时）.
9.2　45°　解析：依题意，在△ABC中，AB＝2－2，BC＝4，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝（2－2）2＋42＋（2－2）×4＝24，所以AC＝2，故AC的长为2 n mile.根据正弦定理得，＝，所以sin∠CAB＝＝×＝，又∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°.
10.D　依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，在△ABC中BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos θ，即182＝182＋142－2×18×14cos θ，解得cos θ＝，所以cos θ＝2cos2－1＝，又θ为锐角，解得cos＝（负值舍去），在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos ＝182＋142－2×18×14×＝100，所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10公里.故选D.
11.ABD　对于A，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，由正弦定理求得CB，从而求得AB，故A正确；对于B，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠ACD，∠ADC，在△ACD中，由正弦定理求得AC，从而求得AB，故B正确；对于C，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠BCD，∠ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB，故C错误；对于D，由∠ACB，∠BCD借助直角三角形和余弦定理，用AB表示出CB，BD，AC，AD，然后结合∠ADC在△ADC中利用余弦定理列方程，解方程求得AB，故D正确.
12.BC　由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8（米），故A不正确；t分钟后，转过的角度为t，则h＝60－60cost＋8＝－60cost＋68，故B正确；h＝－60cost＋68，周期为＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0，30]，又高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，则＝15，则t1＋t2＝30，故C正确；令0≤t≤π，解得0≤t≤15，令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，则h在t∈[0，15]上单调递增，在t∈[15，20]上单调递减，当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝－60cos（ ×20）＋68＝98＞90，所以h＝90在t∈[0，20]只有一个解，故D不正确.
13.6　解析：如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置为B，第一次观察时人眼睛位置为C，第二次观察时镜面位置为D，
设O到B之间的距离为a0 m ，由光线反射性质得∠ABO＝∠CBD，所以tan∠ABO＝tan∠CBD，即＝　①，同理可得＝　②，由①②可得＝，解得a0＝，代入①整理得a＝＝＝6.
14.解：（1）连接AB，OA，OB（图略），
当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
（2）依题意，y1＝sin（ 2t＋），
y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin（ 2t＋）－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos（ 2t＋），
即函数关系式为y＝cos（ 2t＋）（t＞0），
当t∈（ 0，］时，2t＋∈（ ，］，
所以cos（ 2t＋）∈［－1，），
故当t∈（ 0，］时，y的取值范围为［－，）.
1 / 1第9节　三角函数与解三角形的实际应用
1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做　　　，目标视线在水平视线下方的角叫做　　　
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做　　　.方位角θ的范围是　　　　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α 例：
坡角与 坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比（坡度），即i＝＝tan θ
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）东北方向就是北偏东45°的方向.（　　）
（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（　　）
（3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0，］.（　　）
（4）方位角与方向角的实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.（　　）
2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A.北偏东10°　　　　B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝　　　　.
4.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为　　　km.
5.已知某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y＝a＋bsin（ x＋）（a，b为常数）.若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为　　　　 ℃.
三角函数模型的应用
（师生共研过关）
〔多选〕如图所示，一半径为4 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每60 s逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　）
A.点P距离水面的高度h（单位：m）与t（单位：s）的函数解析式为h＝4cos（ t＋）＋2
B.点P第一次到达最高点需要20 s
C.当水轮转动155 s时，点P距离水面2 m
D.当水轮转动50 s时，点P在水面下方，距离水面2 m
听课记录
三角函数模型应用的两种体现 （1）已知函数模型求解数学问题； （2）把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
训练1 （1）（2025·浙江绍兴一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10 min内（含10 min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是（　　）
A.16 B.17 C.18 D.19
（2）某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.
月份x 1 2 3 4
收购价格y/（元/斤） 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（单位：元/斤）与相应月份之间的函数关系为　　　　.
解三角形应用举例
（定向精析突破）
考向1　测量距离问题
（1）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　）
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
（2）为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°， 则基站A，B之间的距离为（　　）
A.10 km B.30（－1）km
C.30（－1）km D.10 km
听课记录
测量距离问题的类型及解法 （1）类型：①两点间可视但不可达；②两点间既不可视也不可达； （2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
考向2　测量高度问题
某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为（　　）
A.10米 B.20米
C.米 D.米
听课记录
测量高度问题的三个注意点 （1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念； （2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形； （3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
考向3　测量角度问题
（1）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝（　　）
A. B.－2
C.－1 D.－1
（2）已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘救援艇.岛A处的一艘故障船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船？（ 参考数据：sin 38°取，sin 22°取）
训练2 （1）中国古代四大名楼鹳雀楼（实物图略）位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）
A.74 m B.60 m
C.52 m D.91 m
（2）〔多选〕一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的（　　）
A.北偏东75°
B.南偏东15°
C.东北方向
D.东南方向
（3）如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos∠BAD＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为　　　　海里.
第9节　三角函数与解三角形的实际应用
【夯实必备知识】
知识梳理
仰角　俯角　方位角　0°≤θ＜360°
诊断自测
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.B　3.a　4.　5.31
【研透核心考点】
考点1
【例1】　BCD　设点P距离水面的高度h（单位：m）和时间t（单位：s）的函数解析式为h＝Asin（ωt＋φ）＋B（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜），由题意得解得故h＝4sin（ t－）＋2＝－4cos（ t＋）＋2，故A错误；对于B，令h＝6，即h＝4sin（ t－）＋2＝6，由题意得t－＝，解得t＝20，故B正确；对于C，令t＝155，代入h＝4sin（ t－）＋2，解得h＝2，故C正确；对于D，令t＝50，代入h＝4sin（ t－）＋2，解得h＝－2，故D正确.
训练1　（1）B　（2）y＝sin（ x－）＋6（答案不唯一）　解析：（1）设乙家庭转动t min出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，0＜t≤10，只需考虑旋转的第一周内即可，而摩天轮的座舱每分钟转动＝，则乙家庭的座舱t min转过的弧度数为t，摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为＝，甲家庭的座舱转过的弧度数为＋t，依题意，甲、乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则＋t＋t＝2π，整理得k＝48－t＋1≥17，当且仅当t＝10时取等号，所以k的最小值是17.
（2）设y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0），由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin（ x＋φ）＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin（ ＋φ）＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin（ x－）＋6.
考点2
【例2】　（1）A　（2）D
解析：（1）依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，AB＝40×＝20（海里），由正弦定理得＝，即＝，因此BC＝＝10（海里），所以B，C两点间的距离是10海里.
（2）因为∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，在△ACD中，∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10，在△BDC中，∠CBD＝180°－（30°＋45°＋45°）＝60°，由正弦定理得BC＝＝5＋5，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝（10）2＋（5＋5）2－2×10×（5＋5）cos 75°＝500，所以AB＝10，即基站A，B之间的距离为10 km.
【例3】　D　依题意可得示意图如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，∠BCA＝180°－105°－30°＝45°，AB＝40，所以由正弦定理得＝，解得BC＝20，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CD＝BC·tan 30°＝20×＝，则红豆树的高度为米.
【例4】　（1）C　在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理知＝，故BC＝＝＝50（－），在△BDC中，＝，故＝，∴sin∠BDC＝－1，即sin（θ＋90°）＝－1，即cos θ＝－1.
（2）解：如图，
设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/小时，
结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝9＋25－2×3×5×（ －）＝49，
所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故救援艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船.
训练2　（1）A　（2）AB　（3）3
解析：（1）在Rt△ABC中，AC＝＝，∠ACM＝180°－∠ACB－∠MCN＝105°，∠CAM＝15°＋30°＝45°，在△ACM中，∠CMA＝180°－∠CAM－∠ACM＝30°，由＝，得MC＝·sin 45°＝·sin 45°＝74（m），在Rt△MNC中，MN＝MC·sin 45°＝74（m）.故选A.
（2）画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16（n mile），∴AB＝16 n mile.又BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，∴＝，∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°；当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B.
（3）由圆的内接四边形对角互补，得∠BAD＋∠BCD＝π，cos∠BCD＝cos（π－∠BAD）＝－cos∠BAD＝，所以sin∠BCD＝＝.在△BCD中，由正弦定理得＝＝2r＝5（r为圆形海域的半径），得BD＝3，所以小岛B与小岛D之间的距离为3海里.
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第9节　三角函数与解三角形的实际应用
课标要求
1. 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做 ，目标视线在水平视线下方的角叫做
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向
到目标方向线之间的夹角叫做
.方位角θ的范围是

仰角　
俯角　
方位
角　
0°≤θ＜
360°　
术语名称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成
的锐角，通常表达为北（南）偏东
（西）α 例：
坡角与 坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角
（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水
平宽度之比叫坡比（坡度），即i＝
＝tan θ
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）东北方向就是北偏东45°的方向. （　√　）
（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关
系为α＋β＝180°. （　×　）
（3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0， ］. （　×　）
（4）方位角与方向角的实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的
位置关系. （　√　）
√
×
×
√
2. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东
40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A. 北偏东10° B. 北偏西10°
C. 南偏东10° D. 南偏西10°
√
解析： 　灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得
∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－
50°＝10°，即北偏西10°，故选B.
3. 如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D
两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝
.
解析：由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝ a，所以
在Rt△ADB中，AB＝ AD＝ a.
a　
4. 如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧
道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，
B两点间的距离为 km.
解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理 ＝ ，得AB＝
＝ ＝ （km）.
　
5. 已知某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y＝a＋
b sin （ x＋ ）（a，b为常数）.若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月
份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.
解析：将（6，22），（12，4）代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y
＝13－18 sin （ x＋ ）.当x＝8时，y＝13－18 sin （ ×8＋ ）＝31.
31　
02
PART
研透核心考点
三角函数模型的应用（师生共研过关）
〔多选〕如图所示，一半径为4 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，
已知水轮每60 s逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中
点P0）开始计时，则（　　）
A. 点P距离水面的高度h（单位：m）与t（单位：s）的函数解析式为h
＝4 cos （ t＋ ）＋2
B. 点P第一次到达最高点需要20 s
C. 当水轮转动155 s时，点P距离水面2 m
D. 当水轮转动50 s时，点P在水面下方，距离水面2 m
√
√
√
解析： 　设点P距离水面的高度h（单位：m）和时间t（单位：s）的
函数解析式为h＝A sin （ωt＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ），由
题意得 解得 故h＝4
sin （ t－ ）＋2＝－4 cos （ t＋ ）＋2，故A错误；
对于B，令h＝6，即h＝4 sin （ t－ ）＋2＝6，由题意得 t－ ＝ ，
解得t＝20，故B正确；对于C，令t＝155，代入h＝4 sin （ t－ ）＋2，
解得h＝2，故C正确；对于D，令t＝50，代入h＝4 sin （ t－ ）＋2，
解得h＝－2，故D正确.
三角函数模型应用的两种体现
（1）已知函数模型求解数学问题；
（2）把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数
的有关知识解决问题.
训练1 （1）（2025·浙江绍兴一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐
设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮
最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，均匀设置有48个座舱
（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客
在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 min.甲、乙两户家庭
去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家
庭坐进座舱开始计时，10 min内（含10 min）出现了两户家庭的座舱离地
面高度一样的情况，则k的最小值是（　B　）
B
A. 16 B. 17
C. 18 D. 19
解析： 设乙家庭转动t min出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，0＜
t≤10，只需考虑旋转的第一周内即可，而摩天轮的座舱每分钟转动 ＝
，则乙家庭的座舱t min转过的弧度数为 t，摩天轮的两个相邻座舱中
点间的圆弧所对圆心角为 ＝ ，甲家庭的座舱转过的弧度数为
＋ t，依题意，甲、乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对
称，则 ＋ t＋ t＝2π，整理得k＝48－ t＋1≥17，当且仅当
t＝10时取等号，所以k的最小值是17.
（2）某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个
月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.
月份x 1 2 3 4
收购价格y/（元/斤） 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（单位：元/斤）与相应月份之间
的函数关系为 .
y＝ sin （ x－ ）＋6（答案不唯一）　
解析：设y＝A sin （ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0），由题意得A＝1，B
＝6，T＝4，因为T＝ ，所以ω＝ ，所以y＝ sin （ x＋φ）＋6.因为
当x＝1时，y＝6，所以6＝ sin （ ＋φ）＋6，结合表中数据得 ＋φ＝
2kπ，k∈Z，可取φ＝－ ，所以y＝ sin （ x－ ）＋6.
解三角形应用举例（定向精析突破）
考向1　测量距离问题
（1）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向
直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，
其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，
C两点间的距离是（　A　）
A. 10 海里 B. 10 海里
C. 20 海里 D. 20 海里
A
解析： 依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°
＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，
AB＝40× ＝20（海里），由正弦定理得 ＝
，即 ＝ ，因此BC＝ ＝10 （海里），所以B，C两点间的距离是10 海里.
（2）为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四
个5G基站A，B，C，D. 已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10
km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，
∠ADC＝30°，∠ADB＝45°， 则基站A，B之间的距离为（　D　）
A. 10 km B. 30（ －1）km
C. 30（ －1）km D. 10 km
D
解析：因为∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，所以∠BCD
＝45°，∠CAD＝30°，在△ACD中，∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD
＝10 ，在△BDC中，∠CBD＝180°－（30°＋45°＋45°）＝60°，
由正弦定理得BC＝ ＝5 ＋5 ，在△ABC中，由余弦定理
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos ∠ACB＝（10 ）2＋（5 ＋5 ）
2－2×10 ×（5 ＋5 ） cos 75°＝500，所以AB＝10 ，即基站
A，B之间的距离为10 km.
测量距离问题的类型及解法
（1）类型：①两点间可视但不可达；②两点间既不可视也不可达；
（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个
三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
考向2　测量高度问题
某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他
选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部
C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在
北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为（　　）
A. 10 米 B. 20 米
C. 米 D. 米
√
解析： 　依题意可得示意图如图所示，在△ABC中，
∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，∠BCA＝180°－
105°－30°＝45°，AB＝40，所以由正弦定理得
＝ ，解得BC＝20 ，在Rt△BCD中，
∠CBD＝30°，所以CD＝BC·tan 30°＝20 ×
＝ ，则红豆树的高度为 米.
测量高度问题的三个注意点
（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；
（2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好
画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
考向3　测量角度问题
（1）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶
端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山
坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则 cos θ
＝（　C　）
C
A. B. －2
C. －1 D. －1
解析：　在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－
135°＝30°，由正弦定理知 ＝ ，故BC＝ ＝
＝50（ － ），在△BDC中， ＝ ，故
＝ ，∴ sin ∠BDC＝ －1，即 sin （θ＋90°）＝ －
1，即 cos θ＝ －1.
（2）已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘救援艇.岛A
处的一艘故障船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救
援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船？（参考
数据： sin 38°取 ， sin 22°取 ）
解：如图，设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方
向上一点，救援艇的速度为x海里/小时，
结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－
22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°＝9＋
25－2×3×5×（－ ）＝49，
所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得 sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ，所以
∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故救援艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5
小时追赶上该故障船.
训练2 （1）中国古代四大名楼鹳雀楼（实物图略）位于山西省运城市永济
市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某
同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，
高约为37 m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部
A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角
为15°，则鹳雀楼的高度约为（　A　）
A
A. 74 m B. 60 m
C. 52 m D. 91 m
解析： 在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ，∠ACM＝180°－∠ACB
－∠MCN＝105°，∠CAM＝15°＋30°＝45°，在△ACM中，∠CMA
＝180°－∠CAM－∠ACM＝30°，由 ＝ ，得MC＝
· sin 45°＝ · sin 45°＝74 （m），在Rt△MNC中，MN
＝MC· sin 45°＝74（m）.故选A.
（2）〔多选〕一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°
方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午
10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在
B处的（　AB　）
A. 北偏东75° B. 南偏东15°
C. 东北方向 D. 东南方向
AB
解析：画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×
＝16（n mile），∴AB＝16 n mile.又BS＝8 n mile，
∠BAS＝30°，∴ ＝ ，
∴ sin ∠ASB＝ ，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.
当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°；当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B.
（3）如图，某直径为5 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小
岛C相距5海里， cos ∠BAD＝－ .则小岛B与小岛D之间的距离
为 海里.
3 　
解析：由圆的内接四边形对角互补，得∠BAD＋∠BCD＝π， cos ∠BCD
＝ cos （π－∠BAD）＝－ cos ∠BAD＝ ，所以 sin ∠BCD＝
＝ .在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ＝2r＝5
（r为圆形海域的半径），得BD＝3 ，所以小岛B与小岛D之间的距离
为3 海里.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：83分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝
60°，则A，C两点之间的距离为（　　）
A. km B. km
C. km D. 2 km
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√
解析： 　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝180°－
75°－60°＝45°，由正弦定理得 ＝ ，所以
AC＝2 × ＝ （km）.
2. 一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示.随后
该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测
得灯塔C在其北偏东25°方向，则 sin ∠ACB＝（　　）
A. sin 70° B. sin 75°
C. cos 70° D.
√
解析： 　由题意可知，∠ABC＝45°＋25°＝70°，AB＝20海里，由正
弦定理可得 ＝ ，代入数据得 sin ∠ACB＝ sin 70°.故选A.
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3. 一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，
风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离
h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（　　）
A. h（t）＝－6 sin t＋6 B. h（t）＝－6 cos t＋6
C. h（t）＝－6 sin t＋8 D. h（t）＝－6 cos t＋8
√
解析： 　设h（t）＝A cos ωt＋B（A＜0，ω＞0），∵每12 min旋转一
周，∴ ＝12，∴ω＝ .由题意得，h（t）的最大值与最小值分别为14，
2，∴ 解得 ∴h（t）＝－6 cos t＋8.
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4. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD
为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
√
解析： 依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，
又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得 cos ∠CAD＝ ＝ ＝ ＝ ，又0°＜∠CAD＜180°，所以
∠CAD＝45°，所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为
45°.故选B.
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5. 如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区边界轮廓是半径为
200米，圆心角为 的扇形AOB. O为南门位置，C为东门位置，小区里有
一条平行于AO的小路CD，若OD＝ 米，则圆弧 的长为（　　）
A. 20π米 B. 30π米
C. 50π米 D. 60π米
√
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解析： 连接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝π
－∠DOA＝ .在△OCD中，由正弦定理可得 ＝ ，即
＝ ，则 sin ∠DCO＝ ＝ ，因为∠DCO＝∠COA，且0
＜∠COA＜ ，所以∠DCO＝∠COA＝ ，所以圆弧 的长为 ×200
＝50π米.
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6. 〔多选〕（2026·江苏南通调研）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，
它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式
h（t）＝2 sin （t＋ ）确定，则下列说法正确的是（　　）
A. 小球在开始振动（即t＝0 s）时在平衡位置上方 cm
处
B. 每秒钟小球能往复振动2π次
C. 函数h（t）的图象关于直线t＝ 对称
D. 小球从t＝ s到t＝ s运动的路程是5 cm
√
√
√
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解析： 　h（0）＝2 sin （0＋ ）＝ ，A正确.小球往复振动的
最小正周期为T＝ ＝2π，所以每秒钟小球能往复振动 次，B错误.h
（ ）＝2 sin （ ＋ ）＝2 sin ＝－2，则函数h（t）的图象关于
直线t＝ 对称，C正确. － ＝ ＝ ，h（ ）＝2 sin （ ＋ ）
＝2 sin ＝2，h（ ）＝2 sin （ ＋ ）＝2 sin （2π－ ）＝－1，
所以小球从t＝ s到t＝ s运动的路程是2＋2＋1＝5（cm），D正确.
故选A、C、D.
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7. 〔一题多解〕落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名
楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕
王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为
30°，60°，45°，且AB＝BC＝75 m，则滕王阁的高度OP
＝ m.
15 　
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解析：设OP＝h，则OA＝ ＝ h，OB＝ ＝ h，OC＝
＝h.
法一（两角互补，余弦值互为相反数）　由∠OBC＋∠OBA＝180°得
cos ∠OBC＝－ cos ∠OBA，由余弦定理得 ＝－
，化简得h2＝3 375，易知h＞0，所以h＝15 ，
即OP为15 m.
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法二（同角的余弦值相等）　在△OCB中， cos ∠OCB＝ ，
在△OCA中， cos ∠OCA＝ ，所以 ＝
，化简得h2＝3 375，易知h＞0，所以h＝15 ，即OP
为15 m.
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8. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，
离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方
向40千米处，则城市B处于危险区的时间为 小时.
1　
解析：设A地东北方向上存在点P到城市B的距离为30千米，AP＝x，在
△ABP中，由余弦定理得PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB· cos A，即302＝x2＋
402－2x·40· cos 45°，化简得x2－40 x＋700＝0，设方程的两根为x1，
x2，则x1＋x2＝40 ，x1x2＝700，所以｜x1－x2｜＝
＝20，即图中P1P2＝20千米，所以城市B处于危险
区的时间为 ＝1（小时）.
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9. 如图，一艘海轮从A处出发，沿北偏东75°的方向航行（2 －2）n
mile到达海岛B，然后从B处出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达
海岛C. 则点A到C的直线距离AC的长为 n mile；如果下次航行
直接从A出发到达C，则∠CAB的大小为 .
2 　
45°　
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解析：依题意，在△ABC中，AB＝2 －2，BC＝4，∠ABC＝180°－
75°＋15°＝120°，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos
∠ABC＝ ＋42＋（2 －2）×4＝24，所以AC＝2 ，故
AC的长为2 n mile.根据正弦定理得， ＝ ，所以 sin
∠CAB＝ ＝ × ＝ ，又∠CAB为锐角，所以∠CAB＝
45°.
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10. （2026·山东临沂模拟）在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮
台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东
偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的
同一目标，接着A改向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点
M，则B炮台与弹着点M的距离为（　　）
A. 7公里 B. 8公里
C. 9公里 D. 10公里
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解析： 　依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，
AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝
，在△ABC中BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos θ，即182
＝182＋142－2×18×14 cos θ，解得 cos θ＝ ，所以
cos θ＝2 cos 2 －1＝ ，又θ为锐角，解得 cos ＝ （负值舍去），在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB cos ＝182＋142－2×18×14× ＝100，所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10公里.故选D.
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11. 〔多选〕（2026·重庆模拟）解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来
此打卡拍照.现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出
测量方案示意图（如图所示），A为解放碑的最顶端，B为基座（即B在
A的正下方），在步行街上（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测
得CD的长为100 m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝ ，则根据下列
各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是（　　）
A. ∠BCD，∠BDC B. ∠ACD，∠ADC
C. ∠BCD，∠ACD D. ∠BCD，∠ADC
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√
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解析： 　对于A，已知CD＝100 m，∠ACB＝ ，∠BCD，
∠BDC，在△BCD中，由正弦定理求得CB，从而求得AB，故A正确；对
于B，已知CD＝100 m，∠ACB＝ ，∠ACD，∠ADC，在△ACD中，由
正弦定理求得AC，从而求得AB，故B正确；对于C，已知CD＝100 m，
∠ACB＝ ，∠BCD，∠ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB，故
C错误；对于D，由∠ACB，∠BCD借助直角三角形和余弦定理，用AB表
示出CB，BD，AC，AD，然后结合∠ADC在△ADC中利用余弦定理列
方程，解方程求得AB，故D正确.
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12. 〔多选〕如图所示，某摩天轮最高点离地面高度为128米，转盘直径为
120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时
针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客第一次随舱旋转至距离地面最远处.
以下关于摩天轮的说法中正确的为（　　）
A. 摩天轮离地面最近的距离为4米
B. 若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－
60 cos t＋68
C. 若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30
D. t1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
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解析： 　由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8（米），
故A不正确；t分钟后，转过的角度为 t，则h＝60－60 cos t＋8＝－60
cos t＋68，故B正确；h＝－60 cos t＋68，周期为 ＝30，由余弦型
函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0，30]，又高度相等，
则t1，t2关于t＝15对称，则 ＝15，则t1＋t2＝30，故C正确；令0≤ t≤π，解得0≤t≤15，令π≤ t≤2π，解得15≤t≤30，则h在t∈[0，15]上单调递增，在t∈[15，20]上单调递减，当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝－60 cos （ ×20）＋68＝98＞90，所以h＝90在t∈[0，20]只有一个解，故D不正确.
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13. （2026·贵州贵阳诊断）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在
如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h＝1.5 m，某建筑物高度h1＝
4.5 m，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物
顶部的位置，测量人与镜子间的距离a1＝1.2 m，将镜子后移a m，重复前
面的操作，测量人与镜子间的距离a2＝3.2 m，则a＝ .
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解析：如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为
O，第一次观察时镜面位置为B，第一次观察时人
眼睛位置为C，第二次观察时镜面位置为D，
设O到B之间的距离为a0 m ，由光线反射性质得∠ABO＝∠CBD，所以
tan∠ABO＝tan∠CBD，即 ＝ 　①，同理可得 ＝ 　②，由①
②可得 ＝ ，解得a0＝ ，代入①整理得a＝ ＝
＝6.
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14. （15分）如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上
的动点.动点A从初始位置A0（ cos ， sin ）开始，按逆时针方向以角速
度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方
向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝ 时，A，B两点间的距离；
解： 连接AB，OA，OB（图略），
当t＝ 时，∠xOA＝ ＋ ＝ ，∠xOB＝ ，
所以∠AOB＝ .
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2 cos ＝7，
即A，B两点间的距离为 .
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（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈
（0， ］时，y的取值范围.
解： 依题意，y1＝ sin （2t＋ ），
y2＝－2 sin 2t，
所以y＝ sin （2t＋ ）－2 sin 2t＝ cos 2t－ sin 2t＝
cos （2t＋ ），
即函数关系式为y＝ cos （2t＋ ）（t＞0），
当t∈（0， ］时，2t＋ ∈（ ， ］，
所以 cos （2t＋ ）∈［－1， ），
故当t∈（0， ］时，y的取值范围为［－ ， ）.
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