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第10节　三角函数、解三角形中的最值（范围）问题
（时间：60分钟，满分：71分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.若函数f（x）＝（1＋tan x）cos x，0≤x＜，则f（x）的最大值为（　　）
A.1 B.2
C.＋1 D.＋2
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为（　　）
A.（2，4） B.（1，3）
C.（0，3） D.（3，4）
3.如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在AB上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设∠APC＝θ（ 0＜θ＜），则当PC＋PD最小时，AP＝（　　）
A.8 km B.10 km
C.12 km D.15 km
4.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，则下列说法中正确的是（　　）
A.若A＝，则S＝3 B.S的最大值为3
C.AM＝3 D.角A的最小值为
5.（2026·陕西安康模拟）函数y＝的最大值与最小值之和为　　　　.
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h.若a＝4，h＝，则bc的最小值为　　　　；若h＝a，则的最大值为　　　　.
7.（10分）△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cos A＋2cos取得最大值，并求出这个最大值.
8.（15分）〔一题多解〕（2026·东北四市联合体考试）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝.
（1）求角A的大小；
（2）若BC＝2，求·的最大值.
9.（15分）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＝.
（1）证明：△ABC是倍角三角形；
（2）若c＝9，当S取最大值时，求tan B.
第10节　三角函数、解三角形中的最值（范围）问题
1.B　2.A　3.C　
4.ABC　若A＝，根据a2＝b2＋c2－2bccos A，可得bc＝12，所以S＝bcsin A＝×12×＝3，故选项A正确；因为24＝b2＋c2≥2bc，则bc≤12，当且仅当b＝c＝2时等号成立，由余弦定理可得cos A＝＝＝，则S＝bc·sin A＝bc＝≤＝3，故选项B正确；因为2＝＋，所以4｜｜2＝c2＋b2＋2bccos A＝c2＋b2＋2bc·＝2（b2＋c2）－a2＝2×24－12＝36，解得｜｜＝3，故选项C正确；因为24＝b2＋c2≥2bc，则bc≤12，所以cos A＝≥，当且仅当b＝c＝2时取等号，所以角A的最大值为，故选项D错误.故选A、B、C.
5.－　解析：函数y＝的定义域为R，y＝ 2sin x－ycos x＝3y＋1，则｜3y＋1｜＝｜sin（x－φ）｜≤，即8y2＋6y－3≤0，解得－≤y≤－，于是ymin＝－，ymax＝－，所以函数y＝的最大值与最小值之和为－.
6.6　4　解析：若a＝4，h＝，由S△ABC＝bcsin∠BAC＝ah＝×4×＝3，得bcsin∠BAC＝6，因为sin∠BAC∈（0，1]，所以6≤bc，当且仅当sin∠BAC＝1，即∠BAC＝90°时，取等号，所以bc的最小值为6.若h＝a，由S△ABC＝bcsin∠BAC＝a×a，得a2＝2bcsin∠BAC，由余弦定理得2bcsin∠BAC＝b2＋c2－2bccos∠BAC，整理得b2＋c2＝4bc（ sin∠BAC＋cos∠BAC）＝4bcsin（ ∠BAC＋），所以＝4sin（ ∠BAC＋），当∠BAC＝时，取得最大值4.
7.解：由A＋B＋C＝π，得＝－，
则cos＝sin.
所以cos A＋2cos＝cos A＋2sin＝1－2sin2＋2sin.
令t＝sin，由0＜A＜π，可得0＜＜，t∈（0，1），则原式可看作关于t的二次函数，即y＝－2（ t－）2＋.
当t＝，即sin＝，A＝时，cos A＋2cos取得最大值，最大值为.
8.解：（1）法一　因为tan A＋tan B＝，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝＝，
由正弦定理得tan A＋tan B＝，
又＋＝＝＝，所以＝，显然cos B≠0，
又在△ABC中，sin C＞0，
所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，
所以A＝.
法二　tan A＋tan B＝＋＝＝＝，
因为tan A＋tan B＝，
所以＝，
所以＝，得＝c，
即＝sin C，
因为sin C≠0，所以tan A＝1，
又A∈（0，π），所以A＝.
（2）法一　·＝bccos A＝bc＝×sin Bsin C＝4sin Bsin C＝2[cos（B－C）－cos（B＋C）]＝2［cos（B－C）＋］，　
因为0＜B＜，0＜C＜，所以－＜B－C＜，则·≤2（ 1＋）＝2＋2，当且仅当B＝C时“＝”成立.
故·的最大值为2＋2.
法二　由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2bccos A＝c2＋b2－bc＝4，
又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时“＝”成立，
所以4＋bc≥2bc，则bc≤，
·＝bccos A≤×＝2＋2，所以·的最大值为2＋2.
9.解：（1）证明：因为sin C＝＝＝，又sin C≠0，所以＝1，则b2＝c2－ab，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得2ccos B＝a＋b，
由正弦定理，得2sin Ccos B＝sin A＋sin B.
sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入上式可得sin Ccos B＝sin Bcos C＋sin B，
即sin Ccos B－sin Bcos C＝sin B，
sin（C－B）＝sin B，
则有C－B＝B，C＝2B，或C－B＋B＝π（舍去），
故△ABC是倍角三角形.
（2）因为C＝2B，所以A＝π－B－C＝π－3B＞0，
故0＜B＜，则tan B∈（0，），
由＝，得a＝＝＝，
则S＝acsin B＝asin B
＝··sin B＝·
＝·
＝（sin 2B＋cos 2Btan B）
＝（ ＋·tan B）
＝·，
设x＝tan B，x∈（0，），f（x）＝，
则f'（x）
＝
＝，
令f'（x）＝0，得x2＝2－3或x2＝－2－3（舍去），
当0＜x2＜2－3时，f'（x）＞0，
当2－3＜x2＜3时，f'（x）＜0，
则f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，
故当x＝时，f（x）取最大值，则S也取最大值，
此时tan B＝.
1 / 1第10节　三角函数、解三角形中的最值（范围）问题
　　三角函数、解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及两类：一是三角函数式中的最值（范围）问题；二是三角形中的最值（范围）问题，其求解方法多样，常用的方法有：利用三角函数的性质求最值（范围）；利用基本不等式求最值（范围）；转化为其他函数求最值（范围）等.
　　
三角函数式中的最值（范围）问题
（师生共研过关）
（1）函数y＝的最大值与最小值分别为（　　）
A.，－ B.，－
C.，－ D.，－
（2）（2025·全国Ⅰ卷19题改编）函数f（x）＝5cos x－cos 5x在区间［0，］的最大值为　　　　.
听课记录
1.同角不同次型三角函数与一次（二次）函数结合的函数式求最值问题，一般不能通过三角恒等变换化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，因此不能利用三角函数的性质求最值，常利用导数法先判断给定区间上的单调性（极值），从而求得最值（范围）. 2.形如y＝（a，c不同时为0）的最值（范围）问题的解法： （1）数形结合法：借助解析几何中直线的斜率模型，其关键是将所给函数值看作是两点连线的斜率，其中一个是定点，另一个是在一条已知曲线上的动点，然后通过解析法求出斜率的最大值和最小值，就是所求函数的最值； （2）反求法：将原函数化为asin x－cycos x＝dy－b，得到sin（x－φ）＝，再由｜sin（x－φ）｜≤1，解不等式≤1，得y的范围.
训练1 （1）函数y＝的最大值是　　 　，最小值是　　　　；
（2）函数f（x）＝2sin（ x＋）＋cos 2x的最大值为　　　　.
三角形中的最值（范围）问题
（定向精析突破）
考向1　利用三角函数的性质求最值（范围）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B.
（1）求角C的大小；
（2）求sin A＋sin B＋sin C的取值范围.
　　先利用正弦定理化角为边，再利用三角形内角和定理和辅助角公式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的性质求解.
考向2　利用基本不等式求最值（范围）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋（cos B－2sin B）·cos A＝0.
（1）求cos A的值；
（2）若b＋c＝1，求a的取值范围.
　　求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.
考向3　转化为其他函数求最值（范围）
（2026·福建福州开学考试）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ab＝2acos C＋2ccos A.
（1）求a；
（2）若tan B＋tan C＝2，求△ABC面积的取值范围.
　　利用换元法构造关于新元且熟知的函数（如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数等），在新元所在的区间内求最值（范围），有时也可利用导数求最值（范围）.
训练2 （2026·贵州贵阳模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cos C＝.
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，试求△ABC周长的取值范围.
第10节　三角函数、解三角形中的最值（范围）问题
考点1
【例1】　（1）A　（2）3
解析：（1）如图，
令点M（cos x，sin x），则点M为单位圆上的动点.设点N（－2，0），则y即为线段MN的斜率kMN＝＝.作NP，NQ分别切☉O于点P，Q，显然，当直线MN与单位圆相切时，斜率可达到最值.ymax＝kPN＝tan 30°＝，ymin＝kQN＝tan（－30°）＝－.
（2）因为f（x）＝5cos x－cos 5x，所以f'（x）＝－5sin x＋5sin 5x.令f'（x）＝0，得sin x＝sin 5x，又x∈［0，］，所以x＝5x或x＝π－5x，所以x＝0或x＝，所以x，f'（x），f（x）的关系如表所示：
x 0 （ 0，） （ ，］
f'（x） 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递增 极大值 单调递减
因为f（ ）＝5cos－cos＝3，所以函数f（x）＝5cos x－cos 5x在区间［0，］的最大值为3.
训练1　（1）6　　（2）
解析：（1）原函数可化为sin x＝，而－1≤sin x≤1，所以－1≤≤1，所以≤y≤6，因此原函数的最大值是6，最小值是.
（2）f（x）＝2sin（ x＋）＋cos 2x＝2sin（ x＋）＋sin［2（ x＋）］，令θ＝x＋，g（θ）＝2sin θ＋sin 2θ，所以g'（θ）＝2cos θ＋2cos 2θ＝2cos θ＋2（2cos2θ－1）＝4cos2θ＋2cos θ－2＝2（2cos θ－1）（cos θ＋1），因为cos θ＋1≥0恒成立，所以令2cos θ－1＞0，解得θ∈（ 2kπ－，2kπ＋）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递增，令2cos θ－1＜0，解得θ∈（ 2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递减，所以当θ＝2kπ＋（k∈Z）时，g（θ）取得最大值，所以g（θ）max＝g（ ）＝2×＋＝，即f（x）的最大值为.
考点2
【例2】　解：（1）因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B，
所以1－2sin2A＋1－2sin2B－（1－2sin2C）＝1－2sin Asin B，
整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B.
由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝，
因为C∈（0，π），所以C＝.
（2）sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin（ －A）＋＝sin A＋sincos A－cos sin A＋＝sin A＋cos A＋＝sin（ A＋）＋.
在△ABC中，因为C＝，所以0＜A＜，
所以＜A＋＜，所以＜sin（ A＋）≤1，
所以＜sin（ A＋）＋≤，
所以sin A＋sin B＋sin C的取值范围为（ ，］.
【例3】　解：（1）因为cos C＋（cos B－2sin B）cos A＝0，cos C＝－cos（A＋B）＝－cos Acos B＋sin Asin B，
所以－cos Acos B＋sin Asin B＋cos Acos B－2sin Bcos A＝0，
即sin Asin B－2sin Bcos A＝0.
又0＜B＜π，0＜A＜π，所以sin B≠0，sin A＝2cos A＞0，A为锐角，
所以9cos2A＝1，cos A＝.
（2）由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－bc.
因为bc≤（ ）2，所以a2≥（b＋c）2＝，所以a≥，
当且仅当b＝c＝时，等号成立.
又a＜b＋c＝1，所以a的取值范围为［，1）.
【例4】　解：（1）因为ab＝2acos C＋2ccos A，
由正弦定理得asin B＝2sin Acos C＋2sin Ccos A＝2sin（A＋C），
又因为A＋C＝π－B，可得sin（A＋C）＝sin B，所以asin B＝2sin B，
因为B∈（0，π），可得sin B＞0，所以a＝2.
（2）由（1）知a＝2，即BC＝2，
如图所示，
AD为边BC上的高，不妨设B为锐角，
设AD＝x，BD＝y，
当C为锐角时，则CD＝2－y，故tan B＝，tan C＝，
当C为钝角时，则CD＝y－2，故tan B＝，tan C＝，
因为tan B＋tan C＝2，所以＋＝2，整理得x＝y（2－y），
所以△ABC的面积为S＝BC·AD＝×2x＝x，
因为y＞0，可得x＝y（2－y）＝－（y2－2y）＝－[（y－1）2－1]，
当y＝1时，x取得最大值，最大值为1，且x＞0，
所以△ABC面积的取值范围为（0，1].
训练2　解：（1）证明：因为cos C＝，由正弦定理可得sin Acos C＋sin Ccos A＝sin C，即sin（A＋C）＝sin C，
在△ABC中，sin（A＋C）＝sin B，所以sin B＝sin C，又因为B，C均为△ABC的内角，即B＝C，
即证得△ABC为等腰三角形.
（2）由（1）可得C＝B∈（ 0，），
由正弦定理可得＝＝＝2R，而2R＝1，
所以a＝sin A＝sin（π－2B）＝sin 2B，b＝sin B，c＝sin C＝sin B，
所以a＋b＋c＝sin 2B＋2sin B，
设f（x）＝sin 2x＋2sin x，x∈（ 0，），
则f'（x）＝2cos 2x＋2cos x＝（2cos x－1）（2cos x＋2），
当x∈（ 0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（ ，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
所以f（x）max＝f（ ）＝，
f（0）＝0，f（ ）＝2，所以f（x）∈（ 0，］.
所以△ABC周长的取值范围是（ 0，］.
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第10节　
三角函数、解三角形中的最值（范围）问题
重难解读
　　三角函数、解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及两类：一是三角函数式中的最值（范围）问题；二是三角形中的最值（范围）问题，其求解方法多样，常用的方法有：利用三角函数的性质求最值（范围）；利用基本不等式求最值（范围）；转化为其他函数求最值（范围）等.
三角函数式中的最值（范围）问题（师生共研过关）
（1）函数y＝ 的最大值与最小值分别为（　A　）
A. ，－ B. ，－
C. ，－ D. ，－
A
解析： 如图，令点M（ cos x， sin x），则点M为单位
圆上的动点.设点N（－2，0），则y即为线段MN的斜
率kMN＝ ＝ .作NP，NQ分别切☉O于
点P，Q，显然，当直线MN与单位圆相切时，斜率可达到最值.ymax＝kPN＝tan 30°＝ ，ymin＝kQN＝tan（－30°）＝－ .
（2）（2025·全国Ⅰ卷19题改编）函数f（x）＝5 cos x－ cos 5x在区间
［0， ］的最大值为 　3 　.
解析：因为f（x）＝5 cos x－ cos 5x，所以f'（x）＝－5 sin x＋5 sin 5x.
令f'（x）＝0，得 sin x＝ sin 5x，又x∈［0， ］，所以x＝5x或x＝π－
5x，所以x＝0或x＝ ，所以x，f'（x），f（x）的关系如表所示：
x 0 （0， ） （ ， ］
f'（x） 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递增 极大值 单调递减
3 　
因为f（ ）＝5 cos － cos ＝3 ，所以函数f（x）＝5 cos x－ cos 5x
在区间［0， ］的最大值为3 .
1. 同角不同次型三角函数与一次（二次）函数结合的函数式求最值问题，
一般不能通过三角恒等变换化为y＝A sin （ωx＋φ）的形式，因此不能利
用三角函数的性质求最值，常利用导数法先判断给定区间上的单调性（极
值），从而求得最值（范围）.
2. 形如y＝ （a，c不同时为0）的最值（范围）问题的解法：
（1）数形结合法：借助解析几何中直线的斜率模型，其关键是将所给函
数值看作是两点连线的斜率，其中一个是定点，另一个是在一条已知曲线
上的动点，然后通过解析法求出斜率的最大值和最小值，就是所求函数的
最值；
（2）反求法：将原函数化为a sin x－cy cos x＝dy－b，得到 sin （x－φ）
＝ ，再由｜ sin （x－φ）｜≤1，解不等式
≤1，得y的范围.
训练1 （1）函数y＝ 的最大值是 ，最小值是 　 　；
解析： 原函数可化为 sin x＝ ，而－1≤ sin x≤1，所以－1≤
≤1，所以 ≤y≤6，因此原函数的最大值是6，最小值是 .
6　
　
（2）函数f（x）＝2 sin （x＋ ）＋ cos 2x的最大值为 　 　.
解析：f（x）＝2 sin （x＋ ）＋ cos 2x＝2 sin （x＋ ）＋ sin ［2（x
＋ ）］，令θ＝x＋ ，g（θ）＝2 sin θ＋ sin 2θ，所以g'（θ）＝2
cos θ＋2 cos 2θ＝2 cos θ＋2（2 cos 2θ－1）＝4 cos 2θ＋2 cos θ－2＝2
（2 cos θ－1）（ cos θ＋1），因为 cos θ＋1≥0恒成立，所以令2 cos θ
－1＞0，解得θ∈（2kπ－ ，2kπ＋ ）（k∈Z），此时函数g（θ）单
调递增，令2 cos θ－1＜0，解得θ∈（2kπ＋ ，2kπ＋ ）（k∈Z），
此时函数g（θ）单调递减，所以当θ＝2kπ＋ （k∈Z）时，g（θ）取
得最大值，所以g（θ）max＝g（ ）＝2× ＋ ＝ ，即f（x）的最
大值为 .
　
三角形中的最值（范围）问题（定向精析突破）
考向1　利用三角函数的性质求最值（范围）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos 2A＋
cos 2B－ cos 2C＝1－2 sin A sin B.
（1）求角C的大小；
解： 因为 cos 2A＋ cos 2B－ cos 2C＝1－2 sin A sin B，
所以1－2 sin 2A＋1－2 sin 2B－（1－2 sin 2C）＝1－2 sin A sin B，
整理得 sin 2A＋ sin 2B－ sin 2C＝ sin A sin B.
由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得 cos C＝ ＝ ，
因为C∈（0，π），所以C＝ .
（2）求 sin A＋ sin B＋ sin C的取值范围.
解： sin A＋ sin B＋ sin C＝ sin A＋ sin （ －A）＋ ＝ sin A＋ sin
cos A－ cos sin A＋ ＝ sin A＋ cos A＋ ＝ sin （A＋ ）＋ .
在△ABC中，因为C＝ ，所以0＜A＜ ，
所以 ＜A＋ ＜ ，所以 ＜ sin （A＋ ）≤1，
所以 ＜ sin （A＋ ）＋ ≤ ，
所以 sin A＋ sin B＋ sin C的取值范围为（ ， ］.
　　先利用正弦定理化角为边，再利用三角形内角和定理和辅助角公
式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的
性质求解.
考向2　利用基本不等式求最值（范围）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos C＋
（ cos B－2 sin B） cos A＝0.
（1）求 cos A的值；
解： 因为 cos C＋（ cos B－2 sin B） cos A＝0， cos C＝－ cos （A＋
B）＝－ cos A cos B＋ sin A sin B，
所以－ cos A cos B＋ sin A sin B＋ cos A cos B－2 sin B cos A＝0，
即 sin A sin B－2 sin B cos A＝0.
又0＜B＜π，0＜A＜π，所以 sin B≠0， sin A＝2 cos A＞0，A为锐角，
所以9 cos 2A＝1， cos A＝ .
（2）若b＋c＝1，求a的取值范围.
解：由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2－ bc.
因为bc≤（ ）2，所以a2≥ （b＋c）2＝ ，所以a≥ ，
当且仅当b＝c＝ 时，等号成立.
又a＜b＋c＝1，所以a的取值范围为［ ，1）.
　　求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正
弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等
量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.
考向3　转化为其他函数求最值（范围）
（2026·福建福州开学考试）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，ab＝2a cos C＋2c cos A.
（1）求a；
解： 因为ab＝2a cos C＋2c cos A，
由正弦定理得a sin B＝2 sin A cos C＋2 sin C cos A＝2 sin （A＋C），
又因为A＋C＝π－B，可得 sin （A＋C）＝ sin B，所以a sin B＝2 sin
B，
因为B∈（0，π），可得 sin B＞0，所以a＝2.
（2）若tan B＋tan C＝2，求△ABC面积的取值范围.
解：由（1）知a＝2，即BC＝2，
如图所示，AD为边BC上的高，不妨设B为锐角，
设AD＝x，BD＝y，
当C为锐角时，则CD＝2－y，故tan B＝ ，tan C＝ ，
当C为钝角时，则CD＝y－2，故tan B＝ ，tan C＝ ，
因为tan B＋tan C＝2，所以 ＋ ＝2，整理得x＝y（2－y），
所以△ABC的面积为S＝ BC·AD＝ ×2x＝x，
因为y＞0，可得x＝y（2－y）＝－（y2－2y）＝－[（y－1）2－1]，
当y＝1时，x取得最大值，最大值为1，且x＞0，
所以△ABC面积的取值范围为（0，1].
　　利用换元法构造关于新元且熟知的函数（如一次函数，二次函数，指
数函数，对数函数等），在新元所在的区间内求最值（范围），有时也可
利用导数求最值（范围）.
训练2 （2026·贵州贵阳模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分
别为a，b，c，且满足 cos C＝ .
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
解： 证明：因为 cos C＝ ，由正弦定理可得 sin A cos C＋ sin C cos A
＝ sin C，即 sin （A＋C）＝ sin C，
在△ABC中， sin （A＋C）＝ sin B，所以 sin B＝ sin C，又因为B，C均
为△ABC的内角，即B＝C，
即证得△ABC为等腰三角形.
（2）若△ABC的外接圆直径为1，试求△ABC周长的取值范围.
解：由（1）可得C＝B∈（0， ），
由正弦定理可得 ＝ ＝ ＝2R，而2R＝1，
所以a＝ sin A＝ sin （π－2B）＝ sin 2B，b＝ sin B，c＝ sin C＝ sin B，
所以a＋b＋c＝ sin 2B＋2 sin B，
设f（x）＝ sin 2x＋2 sin x，x∈（0， ），
则f'（x）＝2 cos 2x＋2 cos x＝（2 cos x－1）（2 cos x＋2），
当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（ ， ）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
所以f（x）max＝f（ ）＝ ，
f（0）＝0，f（ ）＝2，所以f（x）∈（0， ］.
所以△ABC周长的取值范围是（0， ］.
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：71分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若函数f（x）＝（1＋ tan x） cos x，0≤x＜ ，则f（x）的最大值
为（　　）
A. 1 B. 2
C. ＋1 D. ＋2
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√
解析： 　f（x）＝（1＋ · ） cos x＝ cos x＋ sin x＝2 sin （x＋
），∴当x＝ 时，f（x）取得最大值2.
2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－
1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为（　　）
A. （2，4） B. （1，3）
C. （0，3） D. （3，4）
√
解析： 　由a＝c－1，b＝c＋1，则b＞c＞a，所以c＋c－1＞c＋1，
故c＞2，由△ABC为钝角三角形，则 cos B＜0，即
＜0，得c2（c－1）（c－4）＜0，故1＜c＜4，故c的取值范围为（2，
4）.
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3. 如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为
CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在AB
上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设∠APC＝θ
（0＜θ＜ ），则当PC＋PD最小时，AP＝（　　）
A. 8 km B. 10 km C. 12 km D. 15 km
√
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解析： 　由题意得，PC＋PD＝ ＋ ＝ ＋ （0＜θ
＜ ），令y＝ ＋ （0＜θ＜ ），则y'＝ ，令y'＝0，
则tan θ＝ ，当y'＞0时，tan θ＞ ，当y'＜0时，tan θ＜ .故当tan θ＝
时，y取得最小值，此时AP＝ ＝ ＝12.
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4. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC
边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2 ，b2＋c2＝24，则下
列说法中正确的是（　　）
A. 若A＝ ，则S＝3 B. S的最大值为3
C. AM＝3 D. 角A的最小值为
√
√
√
解析： 若A＝ ，根据a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得bc＝12，所以S
＝ bc sin A＝ ×12× ＝3 ，故选项A正确；因为24＝b2＋c2≥2bc，
则bc≤12，当且仅当b＝c＝2 时等号成立，由余弦定理可得 cos A＝
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＝ ＝ ，则S＝ bc· sin A＝ bc ＝
≤ ＝3 ，故选项B正确；因为2 ＝ ＋
，所以4｜ ｜2＝c2＋b2＋2bc cos A＝c2＋b2＋2bc· ＝2
（b2＋c2）－a2＝2×24－12＝36，解得｜ ｜＝3，故选项C正确；
因为24＝b2＋c2≥2bc，则bc≤12，所以 cos A＝ ≥ ，当且仅当
b＝c＝2 时取等号，所以角A的最大值为 ，故选项D错误.故选A、B、C.
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5. （2026·陕西安康模拟）函数y＝ 的最大值与最小值之和为
.
解析：函数y＝ 的定义域为R，y＝ 2 sin x－y cos x＝3y＋
1，则｜3y＋1｜＝ ｜ sin （x－φ）｜≤ ，即8y2＋6y－
3≤0，解得－ ≤y≤－ ，于是ymin＝－ ，ymax＝－ ，
所以函数y＝ 的最大值与最小值之和为－ .
－
　
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6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为
h.若a＝4，h＝ ，则bc的最小值为 ；若h＝ a，则 的最大
值为 .
6　
4　
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解析：若a＝4，h＝ ，由S△ABC＝ bc sin ∠BAC＝ ah＝ ×4× ＝3，
得bc sin ∠BAC＝6，因为 sin ∠BAC∈（0，1]，所以6≤bc，当且仅当
sin ∠BAC＝1，即∠BAC＝90°时，取等号，所以bc的最小值为6.若h＝
a，由S△ABC＝ bc sin ∠BAC＝ a× a，得a2＝2 bc sin ∠BAC，由
余弦定理得2 bc sin ∠BAC＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，整理得b2＋c2＝
4bc（ sin ∠BAC＋ cos ∠BAC）＝4bc sin （∠BAC＋ ），所以
＝4 sin （∠BAC＋ ），当∠BAC＝ 时， 取得最大值4.
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7. （10分）△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时， cos A＋2
cos 取得最大值，并求出这个最大值.
解：由A＋B＋C＝π，得 ＝ － ，
则 cos ＝ sin .
所以 cos A＋2 cos ＝ cos A＋2 sin ＝1－2 sin 2 ＋2 sin .
令t＝ sin ，由0＜A＜π，可得0＜ ＜ ，t∈（0，1），则原式可看作关
于t的二次函数，即y＝－2（t－ ）2＋ .
当t＝ ，即 sin ＝ ，A＝ 时， cos A＋2 cos 取得最大值，最大值
为 .
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8. （15分）〔一题多解〕（2026·东北四市联合体考试）在△ABC中，内
角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝ .
（1）求角A的大小；
解： 法一　因为tan A＋tan B＝ ，所以由余弦定理得tan A＋
tan B＝ ＝ ，
由正弦定理得tan A＋tan B＝ ，
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又 ＋ ＝ ＝ ＝ ，所以
＝ ，显然 cos B≠0，
又在△ABC中， sin C＞0，
所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝1，
所以A＝ .
法二　tan A＋tan B＝ ＋ ＝ ＝ ＝
，
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因为tan A＋tan B＝ ，
所以 ＝ ，
所以 ＝ ，得 ＝c，
即 ＝ sin C，
因为 sin C≠0，所以tan A＝1，
又A∈（0，π），所以A＝ .
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（2）若BC＝2，求 · 的最大值.
解：法一　 · ＝bc cos A＝ bc＝ × sin B sin C＝4 sin B sin
C＝2 [ cos （B－C）－ cos （B＋C）]＝2 ［ cos （B－C）＋
］，
因为0＜B＜ ，0＜C＜ ，所以－ ＜B－C＜ ，则 · ≤2
（1＋ ）＝2 ＋2，当且仅当B＝C时“＝”成立.
故 · 的最大值为2 ＋2.
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法二　由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2bc cos A＝c2＋b2－ bc＝4，
又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时“＝”成立，
所以4＋ bc≥2bc，则bc≤ ，
· ＝bc cos A≤ × ＝2 ＋2，所以 · 的最大值为2
＋2.
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9. （15分）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么
这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A，B，
C所对的边分别为a，b，c，且 sin C＝ .
（1）证明：△ABC是倍角三角形；
解： 证明：因为 sin C＝ ＝ ＝ ，
又 sin C≠0，所以 ＝1，则b2＝c2－ab，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得2c cos B＝a＋b，
由正弦定理，得2 sin C cos B＝ sin A＋ sin B.
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sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C，
代入上式可得 sin C cos B＝ sin B cos C＋ sin B，
即 sin C cos B－ sin B cos C＝ sin B，
sin （C－B）＝ sin B，
则有C－B＝B，C＝2B，或C－B＋B＝π（舍去），
故△ABC是倍角三角形.
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（2）若c＝9，当S取最大值时，求tan B.
解： 因为C＝2B，所以A＝π－B－C＝π－3B＞0，
故0＜B＜ ，则tan B∈（0， ），
由 ＝ ，得a＝ ＝ ＝ ，
则S＝ ac sin B＝ a sin B
＝ · · sin B＝ ·
＝ ·
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＝ （ sin 2B＋ cos 2Btan B）
＝ （ ＋ ·tan B）
＝ · ，
设x＝tan B，x∈（0， ），f（x）＝ ，
则f'（x）＝ ＝ ，
令f'（x）＝0，得x2＝2 －3或x2＝－2 －3（舍去），
当0＜x2＜2 －3时，f'（x）＞0，
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当2 －3＜x2＜3时，f'（x）＜0，
则f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ， ）上单
调递减，
故当x＝ 时，f（x）取最大值，则S也取最大值，
此时tan B＝ .
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