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微专题　含绝对值的三角函数性质
　　含绝对值的三角函数性质是高考的热点，解决此类问题常用分类讨论和数形结合思想.
1.y＝｜sin x｜的图象
y＝｜sin x｜的图象是将y＝sin x图象中x轴下方的图象沿x轴对折上去得到的（x轴上方图象保持不变），如图1.
2.y＝sin｜x｜的图象
y＝sin｜x｜的图象是将y＝sin x图象中y轴左边部分除掉，再将y轴右边的部分对折到左边得到的（y轴右边图象保持不变），如图2.
3.y＝｜sin x｜＋｜cos x｜的图象与性质
令f（x）＝｜sin x｜＋｜cos x｜，由f（ x＋）＝｜sin（ x＋）｜＋｜cos（ x＋）｜＝｜cos x｜＋｜－sin x｜＝｜sin x｜＋｜cos x｜＝f（x），知f（x）是周期函数，最小正周期T＝.
先作x∈［0，］部分的函数图象，然后沿x轴向左、向右平移（ 每次平移个单位长度）可得到y＝｜sin x｜＋｜cos x｜（x∈R）的图象，如图3.
因此从图象可以得到它的性质：①定义域为R；②值域为[1，]；③图象关于y轴对称，为偶函数；④在［－，］（k∈Z）上单调递减，在［，＋］（k∈Z）上单调递增；⑤最小正周期为.
sin｜x｜（cos｜x｜）型三角函数的性质
关于函数f（x）＝sin｜x｜，下列说法正确的是（　　）
A.f（x）的最小值为0
B.f（x）为奇函数
C.f（x）的最小正周期为π
D.f（x）在（ －，－）上单调递减
听课记录
　　解决关于sin｜x｜（cos｜x｜）型三角函数问题的关键是先判断sin｜x｜（cos｜x｜）是偶函数，其次是研究x≥0时的函数性质，最后根据偶函数的对称性即可得到x＜0时的函数性质，从而解决问题.
｜sin x｜（｜cos x｜）型三角函数的性质
〔多选〕若f（x）＝｜sin x｜＋cos x，则（　　）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）在区间（ ，）上单调递增
C.f（x）的最小正周期为π
D.f（x）在区间（ －，）上的最小值为1
听课记录
　　解决有关｜sin x｜（｜cos x｜）型三角函数问题，其关键点在于根据sin x（cos x）的符号构造分段函数，逐段分析函数的图象与性质即可.
带双绝对值的三角函数性质
〔多选〕已知函数f（x）＝｜sin x｜＋｜cos x｜，则下列说法正确的是（　　）
A.是f（x）的周期
B.f（x）的最小值为
C.f（ －x）＝f（x）
D.f（x）＝在［－，］上有两解
听课记录
　　解决此类带双绝对值的三角函数问题，分析函数的奇偶性和周期性是两个必备的过程.此类问题的解题步骤可以归纳为： （1）分析奇偶性、周期性； （2）去绝对值，写成分段函数； （3）画出草图，结合图象和对称性的定义判断，包括代入必要的特殊值.
1.下列函数中，最小正周期为的是（　　）
A.y＝cos｜2x｜
B.y＝｜cos x｜
C.y＝｜sin 2x｜
D.y＝｜tan（ x－）｜
2.已知函数f（x）＝tan x＋｜tan x｜，则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的最小正周期为
B.点（ －，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
C.f（x）的值域为[0，＋∞）
D.不等式f（x）＞2的解集为（ ＋2kπ，＋2kπ）（k∈Z）
3.〔多选〕设函数f（x）＝2sin2x－3sin｜x｜＋1，则（　　）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）在[－2π，2π]上有6个零点
C.f（x）的最小值为－
D.f（x）在［－，0］上单调递减
微专题　含绝对值的三角函数性质
【例1】　D　f（x）＝sin｜x｜＝最小值为－，所以A不正确；又由f（－x）＝sin｜－x｜＝sin｜x｜＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，所以B不正确；因为f（ ）＝sin＝1，f（ π＋）＝sin（ π＋）＝－1，所以f（ ）≠f（ π＋），π不是f（x）的周期，所以C不正确；当x＜0时，f（x）＝－sin x，函数f（x）在［－，－］上单调递减，又因为（ －，－） ［－，－］，所以函数f（x）在（ －，－）上单调递减，D正确，故选D.
【例2】　AD　因为f（x）＝｜sin x｜＋cos x，定义域为R，所以f（－x）＝｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝｜sin x｜＋cos x＝f（x），所以f（x）是偶函数，所以选项A正确.当x∈（ ，）时，f（x）＝｜sin x｜＋cos x＝sin x＋cos x＝sin（ x＋），因为x∈（ ，），所以x＋∈（ ，），所以函数f（x）＝sin（ x＋）在（ ，）上单调递减，所以选项B错误.因为f（x＋π）＝｜sin（x＋π）｜＋cos（x＋π）＝｜－sin x｜－cos x＝｜sin x｜－cos x，而f（x）＝｜sin x｜＋cos x，所以f（x＋π）＝f（x）不恒成立，所以选项C错误.因为函数f（x）是偶函数，所以要求f（x）在区间（ －，）上的最小值，只需讨论f（x）在［0，）上的最小值，当x∈［0，）时，f（x）＝｜sin x｜＋cos x＝sin x＋cos x＝sin（ x＋），因为x∈［0，），所以x＋∈［，），当x＋＝，即x＝0时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（0）＝1，所以选项D正确.综上，选A、D.
【例3】　AD　∵f（ x＋）＝｜sin（ x＋）｜＋｜cos（ x＋）｜＝｜cos x｜＋｜sin x｜＝f（x），∴是f（x）的周期，故A正确；当x∈［0，］时，f（x）＝｜sin x｜＋｜cos x｜＝sin x＋cos x＝sin（ x＋），则x＋∈［，］，∴1≤sin（ x＋）≤，函数f（x）的最小值为1，故B错误；由f（ ）＝｜sin ｜＋｜cos ｜＝≠f（0）＝1，故C错误；当x∈［0，］时，f（x）＝｜sin x｜＋｜cos x｜＝sin x＋cos x＝sin（ x＋），此时f（x）在x∈［0，］上单调递增，在x∈［，］上单调递减，在x＝处取得最大值，故f（x）＝在x∈［0，］上有唯一解，又∵f（－x）＝｜sin（－x）｜＋｜cos（－x）｜＝｜sin x｜＋｜cos x｜＝f（x），∴f（x）为偶函数，因此f（x）＝在x∈［－，0）上有唯一解，∴f（x）＝在［－，］上有两解，故D正确.故选A、D.
强化训练
1.C　
2.C　f（x）＝tan x＋｜tan x｜＝作出函数f（x）的图象，如图.
观察图象，f（x）的最小正周期为π，A错误；f（x）的图象没有对称中心，B错误；f（x）的值域为[0，＋∞），C正确；不等式f（x）＞2，即x∈［kπ，＋kπ）（k∈Z）时，2tan x＞2，得tan x＞1，解得＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，所以f（x）＞2的解集为（ ＋kπ，＋kπ）（k∈Z），D错误.故选C.
3.ABC　对于A，函数f（x）的定义域为R，由f（－x）＝2sin2（－x）－3sin｜－x｜＋1＝2sin2x－3sin｜x｜＋1＝f（x），可得f（x）是偶函数，A正确；对于B，当x≥0时，f（x）＝2sin2x－3sin x＋1，由2sin2x－3sin x＋1＝0，可得sin x＝或sin x＝1，则当x∈[0，2π]时，x＝或x＝或x＝，又f（x）是偶函数，则当x∈[－2π，0]时，x＝－或x＝－或x＝－，则f（x）在[－2π，2π]上有6个零点，B正确；对于C，当x≥0时，f（x）＝2sin2x－3sin x＋1＝2（ sin x－）2－，则当sin x＝时，f（x）取得最小值－，又f（x）是偶函数，则f（x）的最小值为－，C正确；对于D，f（ －）＝2sin2（ －）－3sin｜－｜＋1＝（ 1－）＋1＜1，f（0）＝2sin20－3sin｜0｜＋1＝1，则f（ －）＜f（0），则f（x）在［－，0］上不单调递减，D错误.故选A、B、C.
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　微专题　含绝对值的三角函数性质
　　含绝对值的三角函数性质是高考的热点，解决此类问题常用分类讨论
和数形结合思想.
1. y＝｜ sin x｜的图象
y＝｜ sin x｜的图象是将y＝ sin x图象中x轴下方的图象沿x轴对折上去得
到的（x轴上方图象保持不变），如图1.
2. y＝ sin ｜x｜的图象
y＝ sin ｜x｜的图象是将y＝ sin x图象中y轴左边部分除掉，再将y轴右边
的部分对折到左边得到的（y轴右边图象保持不变），如图2.
3. y＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜的图象与性质
令f（x）＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜，由f（x＋ ）＝｜ sin （x＋ ）｜
＋｜ cos （x＋ ）｜＝｜ cos x｜＋｜－ sin x｜＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜＝
f（x），知f（x）是周期函数，最小正周期T＝ .
先作x∈［0， ］部分的函数图象，然后沿x轴向左、向右平移（每次
平移 个单位长度）可得到y＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜（x∈R）的图
象，如图3.
因此从图象可以得到它的性质：①定义域为R；②值域为[1， ]；③图
象关于y轴对称，为偶函数；④在［ － ， ］（k∈Z）上单调递减，
在［ ， ＋ ］（k∈Z）上单调递增；⑤最小正周期为 .
sin ｜x｜（ cos ｜x｜）型三角函数的性质
关于函数f（x）＝ sin ｜x｜，下列说法正确的是（　D　）
A. f（x）的最小值为0
B. f（x）为奇函数
C. f（x）的最小正周期为π
D. f（x）在（－ ，－ ）上单调递减
D
解析：　f（x）＝ sin ｜x｜＝ 最小值为－ ，所
以A不正确；又由f（－x）＝ sin ｜－x｜＝ sin ｜x｜＝f（x），所
以函数f（x）为偶函数，所以B不正确；因为f（ ）＝ sin ＝1，f（π
＋ ）＝ sin （π＋ ）＝－1，所以f（ ）≠f（π＋ ），π不是f（x）
的周期，所以C不正确；当x＜0时，f（x）＝－ sin x，函数f（x）在
［－ ，－ ］上单调递减，又因为（－ ，－ ） ［－ ，－
］，所以函数f（x）在（－ ，－ ）上单调递减，D正确，故选D.
　　解决关于 sin ｜x｜（ cos ｜x｜）型三角函数问题的关键是先判断
sin ｜x｜（ cos ｜x｜）是偶函数，其次是研究x≥0时的函数性质，最后
根据偶函数的对称性即可得到x＜0时的函数性质，从而解决问题.
｜ sin x｜（｜ cos x｜）型三角函数的性质
〔多选〕若f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x，则（　AD　）
A. f（x）是偶函数
B. f（x）在区间（ ， ）上单调递增
C. f（x）的最小正周期为π
D. f（x）在区间（－ ， ）上的最小值为1
AD
解析：　因为f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x，定义域为R，所以f（－x）
＝｜ sin （－x）｜＋ cos （－x）＝｜ sin x｜＋ cos x＝f（x），所以f
（x）是偶函数，所以选项A正确.当x∈（ ， ）时，f（x）＝｜ sin
x｜＋ cos x＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），因为x∈（ ， ），所以
x＋ ∈（ ， ），所以函数f（x）＝ sin （x＋ ）在（ ， ）上单
调递减，所以选项B错误.因为f（x＋π）＝｜ sin （x＋π）｜＋ cos （x＋
π）＝｜－ sin x｜－ cos x＝｜ sin x｜－ cos x，而f（x）＝｜ sin x｜＋ cos
x，所以f（x＋π）＝f（x）不恒成立，所以选项C错误.因为函数f（x）
是偶函数，所以要求f（x）在区间（－ ， ）上的最小值，
只需讨论f（x）在［0， ）上的最小值，当x∈［0， ）时，f（x）
＝｜ sin x｜＋ cos x＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），因为x∈［0， ），
所以x＋ ∈［ ， ），当x＋ ＝ ，即x＝0时，函数f（x）取得最小
值，最小值为f（0）＝1，所以选项D正确.综上，选A、D.
　　解决有关｜ sin x｜（｜ cos x｜）型三角函数问题，其关键点在于根据
sin x（ cos x）的符号构造分段函数，逐段分析函数的图象与性质即可.
带双绝对值的三角函数性质
〔多选〕已知函数f（x）＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜，则下列说法正确
的是（　AD　）
A. 是f（x）的周期
B. f（x）的最小值为
C. f（ －x）＝f（x）
D. f（x）＝ 在［－ ， ］上有两解
AD
解析：　∵f（x＋ ）＝｜ sin （x＋ ）｜＋｜ cos （x＋ ）｜＝｜ cos
x｜＋｜ sin x｜＝f（x），∴ 是f（x）的周期，故A正确；当x∈［0，
］时，f（x）＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋
），则x＋ ∈［ ， ］，∴1≤ sin （x＋ ）≤ ，函数f（x）
的最小值为1，故B错误；由f（ ）＝｜ sin ｜＋｜ cos ｜＝ ≠f
（0）＝1，故C错误；
当x∈［0， ］时，f（x）＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜＝ sin x＋ cos x＝
sin （x＋ ），此时f（x）在x∈［0， ］上单调递增，在x∈［ ， ］
上单调递减，在x＝ 处取得最大值 ，故f（x）＝ 在x∈［0， ］
上有唯一解，又∵f（－x）＝｜ sin （－x）｜＋｜ cos （－x）｜＝｜
sin x｜＋｜ cos x｜＝f（x），∴f（x）为偶函数，因此f（x）＝ 在
x∈［－ ，0）上有唯一解，∴f（x）＝ 在［－ ， ］上有两解，
故D正确.故选A、D.
　　解决此类带双绝对值的三角函数问题，分析函数的奇偶性和周期性是
两个必备的过程.此类问题的解题步骤可以归纳为：
（1）分析奇偶性、周期性；
（2）去绝对值，写成分段函数；
（3）画出草图，结合图象和对称性的定义判断，包括代入必要的特殊值.
1. 下列函数中，最小正周期为 的是（　　）
A. y＝ cos ｜2x｜ B. y＝｜ cos x｜
C. y＝｜ sin 2x｜ D. y＝｜tan（x－ ）｜
√
解析： 　A中，y＝ cos ｜2x｜＝ cos 2x，最小正周期为π；B中，由图象
知y＝｜ cos x｜的最小正周期为π；C中，y＝｜ sin 2x｜的最小正周期为
；D中，y＝｜tan（x－ ）｜的最小正周期为π.
2. 已知函数f（x）＝tan x＋｜tan x｜，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为
B. 点（－ ，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
C. f（x）的值域为[0，＋∞）
D. 不等式f（x）＞2的解集为（ ＋2kπ， ＋2kπ）（k∈Z）
√
解析： f（x）＝tan x＋｜tan x｜＝
作出
函数f（x）的图象，如图.
观察图象，f（x）的最小正周期为π，A错
误；f（x）的图象没有对称中心，B错
误；f（x）的值域为[0，＋∞），C正确；不等式f（x）＞2，即x∈［kπ， ＋kπ）（k∈Z）时，2tan x＞2，得tan x＞1，解得 ＋kπ＜x＜ ＋kπ，k∈Z，所以f（x）＞2的解集为（ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z），D错误.故选C.
3. 〔多选〕设函数f（x）＝2 sin 2x－3 sin ｜x｜＋1，则（　　）
A. f（x）是偶函数
B. f（x）在[－2π，2π]上有6个零点
C. f（x）的最小值为－
D. f（x）在［－ ，0］上单调递减
√
√
√
解析： 　对于A，函数f（x）的定义域为R，由f（－x）＝2 sin 2
（－x）－3 sin ｜－x｜＋1＝2 sin 2x－3 sin ｜x｜＋1＝f（x），可得f
（x）是偶函数，A正确；对于B，当x≥0时，f（x）＝2 sin 2x－3 sin x＋
1，由2 sin 2x－3 sin x＋1＝0，可得 sin x＝ 或 sin x＝1，则当x∈[0，2π]
时，x＝ 或x＝ 或x＝ ，又f（x）是偶函数，则当x∈[－2π，0]时，
x＝－ 或x＝－ 或x＝－ ，则f（x）在[－2π，2π]上有6个零点，B
正确；
对于C，当x≥0时，f（x）＝2 sin 2x－3 sin x＋1＝2（ sin x－ ）2－ ，
则当 sin x＝ 时，f（x）取得最小值－ ，又f（x）是偶函数，则f（x）
的最小值为－ ，C正确；对于D，f（－ ）＝2 sin 2（－ ）－3 sin ｜－
｜＋1＝（1－ ）＋1＜1，f（0）＝2 sin 20－3 sin ｜0｜＋1＝1，则f
（－ ）＜f（0），则f（x）在［－ ，0］上不单调递减，D错误.故选A、
B、C.
THANKS
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