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微专题　利用射影定理解三角形的边角问题
　　设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.
（1）〔一题多解〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝　　　　；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝acos C－2acos B，则＝　　　　.
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1.〔一题多解〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，c＝4，C＝，则△ABC的面积为　　　　.
3.（2026·河北名校联盟测试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是△ABC的中线.若AD＝2，且b2＋c2＋bc＝（bcos C＋ccos B）2，则△ABC面积的最大值为　　　　.
微专题　利用射影定理解三角形的边角问题
【例】　（1）　（2）2　
解析：（1）法一　asin Bcos C＋csin Bcos A＝b sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B sin Acos C＋sin Ccos A＝sin（A＋C）＝sin（π－B）＝sin B＝，a＞b A＞B B为锐角 B＝.
法二　由射影定理，asin Bcos C＋csin Bcos A＝（acos C＋ccos A）sin B＝bsin B＝b，故sin B＝.又a＞b，所以A＞B，即B为锐角，故B＝.
（2）由射影定理，b－2c＝acos C－2acos B，即acos C＋ccos A－2（acos B＋bcos A）＝acos C－2acos B，整理得ccos A＝2bcos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，所以c＝2b，即＝2.
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1.B　法一 等式中每一项都有齐次的边，故由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sin A＝sin2A，结合A∈（0，π）知sin A＞0，故sin A＝1，所以A＝，即△ABC为直角三角形.
法二 由射影定理，bcos C＋ccos B＝a＝asin A sin A＝1 A＝，即△ABC为直角三角形.
2.4　解析：由＝，即2c＝a＋acos C＋ccos A，由射影定理可得a＋b＝2c，因为c＝4，所以a＋b＝2c＝8，又C＝，所以由余弦定理得，cos C＝＝＝＝，解得ab＝16，所以△ABC的面积为absin C＝absin＝ab＝4.
3.4　解析：由bcos C＋ccos B＝a，又b2＋c2＋bc＝（bcos C＋ccos B）2，可得b2＋c2＋bc＝a2，cos A＝＝－，又A∈（0，π），所以A＝，因为AD是△ABC中BC边上中线，则＝＋，即2＝＋，所以4＝＋＋2·，所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc，可得bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，故S△ABC＝bcsin A＝bc≤4，即△ABC面积的最大值为4.
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微专题　利用射影定理解三角形的边角问题
　　设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有
a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A. 以“a
＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故
名射影定理.
（1）〔一题多解〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，a sin B cos C＋c sin B cos A＝ b，且a＞b，则B＝ 　 　；
解析： 法一　a sin B cos C＋c sin B cos A＝ b sin A sin B cos C＋ sin C sin
B cos A＝ sin B sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin （A＋C）＝ sin （π－B）
＝ sin B＝ ，a＞b A＞B B为锐角 B＝ .
　
法二　由射影定理，a sin B cos C＋c sin B cos A＝（a cos C＋c cos A） sin B
＝b sin B＝ b，故 sin B＝ .又a＞b，所以A＞B，即B为锐角，故B＝
.
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c
＝a cos C－2a cos B，则 ＝ .　
解析：由射影定理，b－2c＝a cos C－2a cos B，即a cos C＋c cos A－2
（a cos B＋b cos A）＝a cos C－2a cos B，整理得c cos A＝2b cos A，因为
△ABC为锐角三角形，所以 cos A≠0，所以c＝2b，即 ＝2.
2　
1. 〔一题多解〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不确定
√
解析： 　法一 等式中每一项都有齐次的边，故由正弦定理得 sin B cos C
＋ sin C cos B＝ sin 2A，即 sin （B＋C）＝ sin （π－A）＝ sin A＝ sin
2A，结合A∈（0，π）知 sin A＞0，故 sin A＝1，所以A＝ ，即△ABC为
直角三角形.
法二 由射影定理，b cos C＋c cos B＝a＝a sin A sin A＝1 A＝ ，即
△ABC为直角三角形.
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ＝ ，
c＝4，C＝ ，则△ABC的面积为 　4 　.
解析：由 ＝ ，即2c＝a＋a cos C＋c cos A，由射影定理可得a＋b
＝2c，因为c＝4，所以a＋b＝2c＝8，又C＝ ，所以由余弦定理得，
cos C＝ ＝ ＝ ＝ ，解得ab＝16，所以
△ABC的面积为 ab sin C＝ ab sin ＝ ab＝4 .
4 　
解析：由b cos C＋c cos B＝a，又b2＋c2＋bc＝（b cos C＋c cos B）2，可
得b2＋c2＋bc＝a2， cos A＝ ＝－ ，又A∈（0，π），所以A＝
，因为AD是△ABC中BC边上中线，则 ＝ ＋ ，即2 ＝
＋ ，所以4 ＝ ＋ ＋2 · ，所以16＝b2＋c2－
bc≥2bc－bc，可得bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，故S△ABC
＝ bc sin A＝ bc≤4 ，即△ABC面积的最大值为4 .
3. （2026·河北名校联盟测试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，AD是△ABC的中线.若AD＝2，且b2＋c2＋bc＝（b cos C＋c
cos B）2，则△ABC面积的最大值为 .
4 　
THANKS
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