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微专题　三角函数中有关ω的求解
　　在三角函数的图象与性质中，参数ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.本微专题整理了以下几种参数ω的求法，以供参考.
利用三角函数的对称性求解
（1）已知函数f（x）＝cos（ ωx＋）（ω＞0）的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为（ ，0），则ω有（　　）
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
（2）（2026·贵州贵阳七校联考）已知函数f（x）＝cos（ ωx－）（ω＞0）的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A.（ ，］ B.（ ，］
C.［，） D.［，）
听课记录
已知对称性求ω的方法 　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式（组），进而可以研究ω的取值范围.
利用三角函数的单调性求解
（2026·陕西适应性检测）已知函数f（x）＝sin ωxcos ωx－sin2ωx（ω＞0），若f（x）在（ ，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　）
A.（ 0，］ B.（ 0，］
C.［，］ D.［，］
听课记录
　　根据函数f（x）在已知区间上的单调性，结合三角函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，建立不等式（组），即可求ω的取值范围.
利用三角函数的最值求解
（1）已知函数f（x）＝sin（ ωx＋）（ω＞0）在区间（ 0，）内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（　　）
A.（ ，］ B.［，）
C.（ ，］ D.［，）
（2）已知函数f（x）＝2sin ωx在区间［－，］上的最小值为－2，则实数ω的取值范围是　　　　.
听课记录
　　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式（组），进而求出ω的值或取值范围.
利用三角函数的零点求解
（1）（2025·北京高考8题）设函数f（x）＝sin（ωx）＋cos（ωx）（ω＞0），若f（x＋π）＝f（x）恒成立，且f（x）在［0，］上存在零点，则ω的最小值为（　　）
A.8 B.6
C.4 D.3
（2）（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
听课记录
已知零点个数求ω取值范围的方法 　　对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值.
1.已知函数f（x）＝2sin（ ωx＋）（ω＞0）满足f（ －x）＝f（ x－），则ω的最小值为（　　）
A. B.
C.1 D.2
2.（2024·北京高考6题）设函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）.已知f（x1）＝－1，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为，则ω＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.（2026·浙江杭州模拟）已知ω≠0，函数f（x）＝sin（ ωx＋）在（ 0，）上有三条对称轴和两个极小值，则（　　）
A.＜ω≤ B.＜ω≤
C.－≤ω＜－ D.－≤ω＜－
4.若直线x＝是曲线y＝sin（ ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，且函数y＝sin（ ωx－）在区间［0，］上不单调，则ω的最小值为（　　）
A.9 B.7
C.11 D.3
5.已知f（x）＝sin ωx（ω∈N*），若在区间［0，］上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝2，则ω的值可以为　　　.（填一个值即可）
6.已知函数f（x）＝sin（ ωx－）（ω＞0），若f（x）在区间（ ，π］内没有零点，则ω的取值范围为　　　　　　.
7.已知函数f（x）＝2sin（ ωx－）（ω＞0）在（ 0，）上存在最值，且在（ ，π）上单调，则ω的取值范围为　　　　.
8.（2026·湖南九校联盟第二次联考）已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx，ω＞0，若沿x轴方向平移f（x）的图象，总能保证平移后的曲线与直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为　　　　.
微专题　三角函数中有关ω的求解
【例1】　（1）A　（2）C　解析：（1）因为三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是，所以对称中心（ ，0）到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥.又因为T＝，所以≤，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A.
（2）f（x）＝cos（ ωx－）（ω＞0），令ωx－＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，函数f（x）的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，即0≤≤π有三个整数k符合，由0≤≤π，可得0≤≤1，可得0≤1＋4k≤4ω，则k＝0，1，2，即1＋4×2≤4ω＜1＋4×3，所以≤ω＜.
【例2】　C　f（x）＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx－＝sin（ 2ωx＋）－，因为ω＞0，所以当x∈（ ，π）时，2ωx＋∈（ ωπ＋，2ωπ＋），又f（x）在（ ，π）上单调递减，所以k∈Z，解得＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，由知，当且仅当k＝0时，ω有满足题意的取值，此时≤ω≤，故选C.
【例3】　（1）A　（2）（－∞，－2]∪［，＋∞）　解析：（1）因为ω＞0，所以当0＜x＜时，有＜ωx＋＜ω＋.因为f（x）在区间（ 0，）内有最大值，但无最小值，结合函数图象得＜ω＋≤，解得＜ω≤，故选A.
（2）显然ω≠0.若ω＞0，当x∈［－，］时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间［－，］上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥；若ω＜0，当x∈［－，］时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间［－，］上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－2]∪［，＋∞）.
【例4】　（1）C　（2）[2，3）　解析：（1）函数f（x）＝sin（ωx）＋cos（ωx）＝sin（ ωx＋）（ω＞0），设函数f（x）的最小正周期为T，由f（x＋π）＝f（x）可得kT＝π（k∈N*），所以T＝＝（k∈N*），即ω＝2k（k∈N*）.又函数f（x）在［0，］上存在零点，且当x∈［0，］时，ωx＋∈［，＋］，所以＋≥π，即ω≥3.综上，ω的最小值为4.故选C.
（2）由已知可得，方程cos ωx＝1在[0，2π]上有且仅有3个不同的实数解，作出y＝cos ωx（ω＞0）与y＝1的图象如图所示，则≤2π＜，所以2≤ω＜3，即ω∈[2，3）.
强化训练
1.A　2.B　
3.C　∵x∈（ 0，），当ω＞0时，ωx＋∈（ ，＋），若f（x）在（ 0，）上有两个极小值，则f（x）至少有4条对称轴，不满足题意；当ω＜0时，ωx＋∈（ ＋，），又函数f（x）＝sin（ ωx＋）在（ 0，）上有三条对称轴和两个极小值，∴－≤＋＜－，解得－≤ω＜－，综上，－≤ω＜－.
4.C　因为直线x＝是曲线y＝sin（ ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，当x∈［0，］时，ωx－∈［－，π－］，因为f（x）在［0，］上不单调，所以π－＞，解得ω＞9，所以ω的最小值为11.
5.5（答案不唯一，大于等于5的正整数均可）
6.（ 0，）∪［，）
7.［，］　解析：当0＜x＜时，因为ω＞0，则－＜ωx－＜－，因为函数f（x）在（ 0，）上存在最值，则－＞，解得ω＞2.当＜x＜π时，－＜ωx－＜πω－，因为函数f（x）在（ ，π）上单调，则（ －，πω－） （ kπ－，kπ＋）（k∈Z），所以其中k∈Z，解得k－≤ω≤k＋（k∈Z），所以k－≤k＋（k∈Z），解得k≤且k∈Z，又因为ω＞0，则k∈{0，1，2}.当k＝0时，0＜ω≤；当k＝1时，1≤ω≤；当k＝2时，≤ω≤.又因为ω＞2，因此ω的取值范围是［，］.
8.［2，）　解析：f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝2sin（ ωx＋），若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数为g（x）＝2sin（ωx＋φ）.令g（x）＝1，即sin（ωx＋φ）＝，x∈[0，π]，取z＝ωx＋φ，则z∈[φ，ωπ＋φ].依题意知，sin z＝在[φ，ωπ＋φ]上至少有2解，至多有3解，则须使区间[φ，ωπ＋φ]的长度在2π到之间，即2π≤ωπ＜，解得2≤ω＜.
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微专题　三角函数中有关ω的求解
　　在三角函数的图象与性质中，参数ω的求解是近几年高考的一个热点
内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.本
微专题整理了以下几种参数ω的求法，以供参考.
利用三角函数的对称性求解
（1）已知函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）（ω＞0）的一条对称轴为直
线x＝ ，一个对称中心为（ ，0），则ω有（　A　）
A. 最小值2 B. 最大值2
C. 最小值1 D. 最大值1
A
解析： 因为三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是 ，所以对称中心
（ ，0）到对称轴x＝ 间的距离用周期可表示为 － ≥ .又因为T＝
，所以 ≤ ，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A.
（2）（2025·贵州贵阳七校联考）已知函数f（x）＝ cos （ωx－ ）（ω
＞0）的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是
（　C　）
A. （ ， ］ B. （ ， ］
C. ［ ， ） D. ［ ， ）
C
解析：f（x）＝ cos （ωx－ ）（ω＞0），令ωx－ ＝kπ，k∈Z，则x
＝ ，k∈Z，函数f（x）的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对
称轴，即0≤ ≤π有三个整数k符合，由0≤ ≤π，可得
0≤ ≤1，可得0≤1＋4k≤4ω，则k＝0，1，2，即1＋4×2≤4ω＜1＋
4×3，所以 ≤ω＜ .
已知对称性求ω的方法
　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为
，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可
根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代
换的思想，建立关于ω的不等式（组），进而可以研究ω的取值范围.
利用三角函数的单调性求解
（2026·陕西适应性检测）已知函数f（x）＝ sin ωx cos ωx－ sin 2ωx
（ω＞0），若f（x）在（ ，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是
（　　）
A. （0， ］ B. （0， ］
C. ［ ， ］ D. ［ ， ］
√
解析： 　f（x）＝ sin ωx cos ωx－ sin 2ωx＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx－ ＝
sin （2ωx＋ ）－ ，因为ω＞0，所以当x∈（ ，π）时，2ωx＋ ∈
（ωπ＋ ，2ωπ＋ ），又f（x）在（ ，π）上单调递减，所以
k∈Z，解得 ＋2k≤ω≤ ＋k，k∈Z，由
知，当且仅当k＝0时，ω有满足题意的取值，此时
≤ω≤ ，故选C.
　　根据函数f（x）在已知区间上的单调性，结合三角函数的单调区间，
确定函数f（x）的单调区间，建立不等式（组），即可求ω的取值范围.
利用三角函数的最值求解
（1）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（0， ）内
有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（　A　）
A. （ ， ］ B. ［ ， ）
C. （ ， ］ D. ［ ， ）
解析： 因为ω＞0，所以当0＜x＜ 时，有 ＜ωx＋ ＜ ω＋ .因为f
（x）在区间（0， ）内有最大值，但无最小值，结合函数图象得 ＜ ω
＋ ≤ ，解得 ＜ω≤ ，故选A.
A
（2）已知函数f（x）＝2 sin ωx在区间［－ ， ］上的最小值为－2，则
实数ω的取值范围是 .
（－∞，－2]∪［ ，＋∞）　
解析：显然ω≠0.若ω＞0，当x∈［－ ， ］时，－ ω≤ωx≤ ω，因为
函数f（x）＝2 sin ωx在区间［－ ， ］上的最小值为－2，所以－ ω≤
－ ，解得ω≥ ；若ω＜0，当x∈［－ ， ］时， ω≤ωx≤－ ω，因
为函数f（x）＝2 sin ωx在区间［－ ， ］上的最小值为－2，所以 ω≤
－ ，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－
2]∪［ ，＋∞）.
　　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等
式（组），进而求出ω的值或取值范围.
利用三角函数的零点求解
（1）（2025·北京高考8题）设函数f（x）＝ sin （ωx）＋ cos
（ωx）（ω＞0），若f（x＋π）＝f（x）恒成立，且f（x）在［0， ］
上存在零点，则ω的最小值为（　C　）
A. 8 B. 6
C. 4 D. 3
C
解析： 函数f（x）＝ sin （ωx）＋ cos （ωx）＝ sin （ωx＋ ）（ω
＞0），设函数f（x）的最小正周期为T，由f（x＋π）＝f（x）可得kT
＝π（k∈N*），所以T＝ ＝ （k∈N*），即ω＝2k（k∈N*）.又函数
f（x）在［0， ］上存在零点，且当x∈［0， ］时，ωx＋ ∈［ ，
＋ ］，所以 ＋ ≥π，即ω≥3.综上，ω的最小值为4.故选C.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝ cos ωx－1（ω＞0）在区
间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 .
解析：由已知可得，方程 cos ωx＝1在[0，2π]
上有且仅有3个不同的实数解，作出y＝ cos ωx
（ω＞0）与y＝1的图象如图所示，则 ≤2π
＜ ，所以2≤ω＜3，即ω∈[2，3）.
[2，3）　
已知零点个数求ω取值范围的方法
　　对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确
定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零
点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值.
1. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋ ）（ω＞0）满足f（ －x）＝f（x
－ ），则ω的最小值为（　　）
A. B.
C. 1 D. 2
√
解析： 由已知可得函数f（x）＝2 sin （ωx＋ ）（ω＞0）满足f（
－x）＝f（x－ ），即f（ －x）＝f（ ＋x），所以f（x）的图象关
于直线x＝ 对称，所以 ＋ ＝ ＋kπ（k∈Z），所以ω＝4k＋
（k∈Z），又ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值为 .
2. （2024·北京高考6题）设函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）.已知f（x1）
＝－1，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为 ，则ω＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
√
解析： 　因为f（x）＝ sin ωx∈[－1，1]，且f（x1）＝－1，f（x2）＝
1，｜x1－x2｜min＝ ，所以f（x）的最小正周期T＝2× ＝π，所以ω＝
＝2.
3. （2026·浙江杭州模拟）已知ω≠0，函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）在
（0， ）上有三条对称轴和两个极小值，则（　　）
A. ＜ω≤ B. ＜ω≤
C. － ≤ω＜－ D. － ≤ω＜－
√
解析： ∵x∈（0， ），当ω＞0时，ωx＋ ∈（ ， ＋ ），若f
（x）在（0， ）上有两个极小值，则f（x）至少有4条对称轴，不满足
题意；当ω＜0时，ωx＋ ∈（ ＋ ， ），又函数f（x）＝ sin （ωx
＋ ）在（0， ）上有三条对称轴和两个极小值，∴－ ≤ ＋ ＜－
，解得－ ≤ω＜－ ，综上，－ ≤ω＜－ .
4. 若直线x＝ 是曲线y＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）的一条对称轴，且函
数y＝ sin （ωx－ ）在区间［0， ］上不单调，则ω的最小值为（　　）
A. 9 B. 7
C. 11 D. 3
√
解析： 　因为直线x＝ 是曲线y＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）的一条对称
轴，则 ω－ ＝kπ＋ ，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，当x∈［0， ］
时，ωx－ ∈［－ ， π－ ］，因为f（x）在［0， ］上不单调，所
以 π－ ＞ ，解得ω＞9，所以ω的最小值为11.
5. 已知f（x）＝ sin ωx（ω∈N*），若在区间［0， ］上存在两个不相
等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝2，则ω的值可以为
.（填一个值即可）
解析：因为0≤x≤ ，所以0≤ωx≤ ，又f（x）＝ sin ωx（ω∈N*）在
区间［0， ］上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝
2，所以 ≥ ，解得ω≥5（ω∈N*），所以ω的值可以为5.
5（答案不
唯一，大于等于5的正整数均可）　
6. 已知函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0），若f（x）在区间
（ ，π］内没有零点，则ω的取值范围为 　（0， ）∪［ ， ）　　.
解析：由f（x）在区间（ ，π］内没有零点，得 π－ ＜ ＝ ，得ω＜
，同时需满足 k∈Z，解得3k＋ ≤ω＜k＋ ，
k∈Z，显然当k＝0和k＝－1时符合条件，且ω＞0，所以ω的取值范围为
（0， ）∪［ ， ）.
（0， ）∪［ ， ）　　
解析：当0＜x＜ 时，因为ω＞0，则－ ＜ωx－ ＜ － ，因为函数f
（x）在（0， ）上存在最值，则 － ＞ ，解得ω＞2.当 ＜x＜π
时， － ＜ωx－ ＜πω－ ，因为函数f（x）在（ ，π）上单调，
则（ － ，πω－ ） （kπ－ ，kπ＋ ）（k∈Z），所以
7. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx－ ）（ω＞0）在（0， ）上存在最值，
且在（ ，π）上单调，则ω的取值范围为 　［ ， ］　.
［ ， ］　
其中k∈Z，解得 k－ ≤ω≤k＋ （k∈Z），所以
k－ ≤k＋ （k∈Z），解得k≤ 且k∈Z，又因为ω＞0，则k∈{0，
1，2}.当k＝0时，0＜ω≤ ；当k＝1时，1≤ω≤ ；当k＝2时，
≤ω≤ .又因为ω＞2，因此ω的取值范围是［ ， ］.
8. （2026·湖南九校联盟第二次联考）已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos
ωx，ω＞0，若沿x轴方向平移f（x）的图象，总能保证平移后的曲线与
直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的
取值范围为 .
［2， ）　
解析：f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝2 sin （ωx＋ ），若沿x轴方向平
移，考虑其任意性，不妨设得到的函数为g（x）＝2 sin （ωx＋φ）.令g
（x）＝1，即 sin （ωx＋φ）＝ ，x∈[0，π]，取z＝ωx＋φ，则
z∈[φ，ωπ＋φ].依题意知， sin z＝ 在[φ，ωπ＋φ]上至少有2解，至多有3
解，则须使区间[φ，ωπ＋φ]的长度在2π到 之间，即2π≤ωπ＜ ，解得
2≤ω＜ .
THANKS
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