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(共77张PPT)
第九章　统计与成对数据的统计分析
9.2　用样本估计总体
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)、离散程度参数(标准差、方差、极差),理解集中趋势参数和离散程度参数的统计含义. 2.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义. 3.结合实例,会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T9
新课标Ⅱ卷T4 全国二卷T1
必备知识　回顾
1.百分位数
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据__________这个值.
1
知识梳理
p%
大于或等于
2.平均数、中位数和众数
(1)平均数:(x1+x2+…+xn).
(2)中位数:将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,处在最____的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的______(当数据个数是偶数时).
(3)众数:一组数据中出现次数____的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
中间
平均数
最多
3.方差和标准差
(1)方差:s2=(xi-)2或.
(2)标准差:s=.
4.总体方差和总体标准差
(1)一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则总体方差S2=(Yi-)2,S=为总体标准差.
(2)加权式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=fi(Yi-)2.
1.分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中,如果样本量是按比例分配,记总的样本平均数为ω,样本方差为s2.
以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为x,方差为;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为y,方差为.则x=xi,(xi-x)2,
y=yi,(yi-y)2.
则①ω=y;
②s2={m[+(x-ω)2]+n[+(y-ω)2]}.
知识拓展
2.若x1,x2,…,xn的平均数为,则mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为+a.
3.数据x1,x2,…,xn与数据x'1=x1+a,x'2=x2+a,…,x'n=xn+a的方差相等,即数据经过平移后方差不变.
4.若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对一组数据来说,平均数和中位数总是非常接近. (　 　)
(2)方差与标准差具有相同的单位.(　 　)
(3)若一组数中每个数都减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.(　 　)
(4)在频率分布直方图中,可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.(　 　)
基础检测
×
×
√
√
2.(人教A版必修第二册P181练习T1改编)为了合理调配电力资源,某市欲了解全市50 000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了200户进行调查,得到其日用电量的平均数为6.5 kW·h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数 (　 　)
A.一定为6.5 kW·h B.高于6.5 kW·h
C.低于6.5 kW·h D.约为6.5 kW·h
解析:由样本的数字特征与总体的数字特征的关系,可知全市居民用户日用电量的平均数约为6.5 kW·h.故选D.
D
3.(人教A版必修第二册P215练习T2改编)若数据x1,x2,…,x9的方差为2,则数据2x1,2x2,…,2x9的方差为 (　 　)
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:根据方差的性质可知,数据x1,x2,…,x9的方差s2=2,那么数据2x1,2x2,…,2x9的方差为22s2=8.故选D.
D
4.若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94,96,95,则这组数据的众数是____,中位数是________.
解析:将这组数据从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,95,96,96,其中96出现的次数最多,则这组数据的众数是96,中位数是=92.5.
96
92.5
关键能力　提升
考点1 样本数字特征的简单计算
【例1】　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050)
频数 6 12 18
亩产量 [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200)
频数 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是 (　 　)
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
C
【解析】　对于A,根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1 050 kg,故A错误;对于B,亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34,所以低于1 100 kg的稻田占比为×100%=66%,故B错误;对于C,稻田亩产量的极差的最大值小于1 200-900=300(kg),最小值大于
1 150-950=200(kg),故C正确;对于D,这100块稻田亩产量的平均值的最小值为×(900×6+950×12+1 000×18+1 050×30+1 100×24+1 150×10)
=1 042(kg),故D错误.故选C.
(2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　 　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
BD
【解析】　对于A,C,取x1=1,x2=x3=x4=x5=2,x6=9,则x2,x3,x4,x5的平均数等于2,标准差为0,x1,x2,…,x6的平均数等于3,标准差为,故A,C均不正确;对于B,根据中位数的定义,将x1,x2,…,x6按从小到大的顺序进行排列,中位数是中间两个数的算术平均数,由于x1是最小值,x6是最大值,故x2,x3,x4,x5的中位数是将x2,x3,x4,x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数,与x1,x2,…,x6的中位数相等,故B正确;对于D,根据极差的定义知,x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差,故D正确.故选BD.
1.求一组数据的数字特征时,要掌握其方法,不要混淆.
2.中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”,我们需根据实际需要选择使用.
规律总结
【对点训练1】　(1)(多选)(2025·福建厦门三模)甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示,则 (　 　)
A.甲得分的极差大于乙得分的极差
B.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
BC
解析:对于A,甲5场比赛的得分由低到高分别为15,16,18,21,30,乙5场比赛的得分由低到高分别为4,10,16,22,38,则甲得分的极差为30-15=15,乙得分的极差为38-4=34,故甲得分的极差小于乙得分的极差,故A错误;对于B,甲得分的平均数为=20,乙得分的平均数为=18,则甲得分的平均数大于乙得分的平均数,故B正确;对于C,甲得分的中位数为18,乙得分的中位数为16,则甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确;对于D,甲得分的方差为×[(15-20)2+(16-20)2+(18-20)2+(21-20)2+(30-20)2]=29.2,乙得分的方差为×[(4-18)2+(10-18)2+(16-18)2+(22-18)2+(38-18)2]=136,故甲得分的方差小于乙得分的方差,故D错误.故选BC.
(2)(2025·浙江杭州二模)已知数据x1,x2,…,xn的方差s2=0,则(　 　)
A.=n B.(xi-x1)2=n
C.xi=0 D.|xi-x1|2=0
D
解析:因为s2=(xi-)2=0,所以(xi-)2=0,即xi=(i=1,2,…,n),即x1=x2=…=xn,所以|xi-x1|2=0.故选D.
考点2 总体集中趋势的估计
【例2】　(2025·天津和平区二模)某人工智能公司为优化新开发的语言模型,在其模型试用人群中开展满意度问卷调查,满意度采用计分制(满分100分),统计满意度并绘制成如图所示的频率分布直方图,图中m=2n,则下列结论错误的是 (　 　)
A.n=0.015
B.满意度计分的众数约为75分
C.满意度计分的平均数约为79分
D.满意度计分的第25百分位数约为70分
C
【解析】　对于A,由频率分布直方图可得,(0.01+n+0.035 +m +0.01) × 10=1,又m=2n,所以n=0.015,m=0.03,故A正确;对于B,满意度计分的众数估计值为最高矩形底边中点的横坐标,即75分,故B正确;对于C,满意度计分的平均数约为(55×0.01+65×0.015+75×0.035+85×0.03+ 95× 0.01) ×10=76.5(分),故C错误;对于D,前两组的频率之和为0.25,所以满意度计分的第25百分位数约为70分,故D正确.故选C.
频率分布直方图中的数字特征
(1)众数:最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数:中位数左边和右边的矩形的面积之和相等.
(3)平均数:各组区间的中点值与对应频率之积的和.
(4)对称分布:平均数≈中位数,右偏分布:平均数>中位数,左偏分布:平均数<中位数.
规律总结
【对点训练2】　(多选)(苏教版必修第二册P250例6改编)某校为了解高一年级的某次物理考试成绩情况,随机抽取了100名学生的成绩,作出频率分布直方图如图所示,成绩排在前10%的学生将获得“A+”称号,则下列选项正确的是 (　 　)
A.估计该校高一年级学生此次物理考试成绩低于70分的比例为46%
B.估计该校高一年级学生此次物理考试成绩的众数为75分
C.估计该校高一年级学生此次物理考试成绩在84分以上的
将获得“A+”称号
D.估计该校高一年级学生此次物理考试成绩的平均数为71.6分
ABC
解析:由题意,(0.004+0.010+x+0.030+0.040)×10=1,解得x=0.016.对于A,估计该校高一年级学生此次物理考试成绩低于70分的比例为(0.016+0.030)×10=0.46,故A正确;对于B,由题图知,此次物理考试成绩在70~80分的这一组所对应的矩形最高,故可估计该校高一年级学生此次物理考试成绩的众数为75分,故B正确;对于C,由题图知,该校高一年级学生此次物理考试成绩在84分以上的约占×0.010×10+0.004×10=0.1,依题意知,估计这些学生将获得“A+”称号,故C正确;对于D,由题意,估计该校高一年级学生此次物理考试成绩的平均数为0.16×55+0.3×65+0.4×75
+0.1×85+0.04×95=70.6(分),故D错误.故选ABC.
考点3 总体离散程度的估计
【例3】　某工厂现有甲、乙两条生产线,可生产同一型号的产品.为了提高生产线的稳定性和产品的质量,计划对其中一条生产线进行技术升级.为此,让甲、乙两条生产线各生产8天(每天生产的时间、产品总数均相同),两条生产线每天生产的次品数如下.
项目 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
甲 0 1 1 0 1 1 1 1
乙 1 2 3 0 0 0 1 1
(1)分别计算这两组数据的平均数和方差;
【解】设甲组数据的平均数和方差分别为,,乙组数据的平均数和方差分别为,.
则,;=1,×[3×(0-1)2+(2-1)2+(3-1)2+3×(1-1)2]=1.
(2)请依据所学统计知识,结合(1)中的数据,给出升级哪条生产线的建议,并说明你的理由.
【解】因为,所以甲生产线生产的次品数的平均数小于乙生产线生产的次品数的平均数.
因为,所以甲生产线较乙生产线生产的产品质量更稳定.
综上,选择乙生产线进行升级.
总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越小,数据的离散程度越小.
规律总结
【对点训练3】　某果园试种了A,B两个品种的桃树各10棵,并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量(单位:kg)如表,记A,B两个品种各10棵树产量的平均数分别为,方差分别为.
A 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90
B 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数;
解:A品种10棵树的产量(单位:kg)由小到大排列为40,50,60,60,70,80,80,80,90,90,
则A品种产量的极差为50 kg,中位数为75 kg,
B品种10棵树的产量(单位:kg)由小到大排列为40,50,60,60,70,80,80,80,80,100,
则B品种产量的极差为60 kg,中位数为75 kg.
(2)求,,,;
解:×(40+50+60+60+70+80+80+80+90+90)=70,
×(302+202+2×102+02+3×102+2×202)=260,
×(40+50+60+60+70+80+80+80+80+100)=70,
×(302+202+2×102+02+4×102+302)=280.
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种,依据以上计算结果分析选择哪个品种更合适,并说明理由.
解:由=70可得A,B两个品种平均产量相等,又,所以A品种产量更稳定,故选择A品种.
【例】　(多选)某社区通过简单随机抽样,获得了100户居民的月均用水量数据,并绘制出如图所示的频率分布直方图,由该图可以估计 (　 　)
A.平均数>中位数 B.中位数>平均数
C.中位数>众数 D.众数>平均数
AC
【解析】　由题中直方图在右边“拖尾”知,平均数大于中位数,故A正确;由题图估计中位数接近7.2 t,众数为5.7 t,所以中位数大于众数,故C正确.故选AC.
本题考查了平均数、中位数、众数的运算.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形状有关.准确理解概念的本质是解题的关键.
创新解读
高考真题 教材典题
(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 (　 　) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
考教衔接
CD
高考真题 教材典题
考教衔接
解析:设样本数据x1,x2,…,xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为,m,σ,t,依题意得,新样本数据y1,y2,…,yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为+c,m+c,σ,t,因为c≠0,所以A,B不正确,C,D正确.故选CD.
课时作业68
1.(5分)下列说法正确的是 (　 　)
A.众数可以准确地反映出总体的情况
B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数
C.平均数与中位数都有局限性,都不能准确地反映出总体的情况
D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越小
基础巩固
C
解析:对于A,众数只利用了出现次数最多的那个值的信息,因此,众数只能传递数据中很少的一部分信息,故A错误.对于B,一组数据的平均数不可能大于这组数据的每个数,故B错误.对于C,中位数不受少数极端值的影响,对极端值不敏感,平均数能较好地反映样本数据全体的信息,但易受极端值影响,故C正确.对于D,一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大,稳定性越差,故D错误.故选C.
2.(5分)(2025·山东聊城三模)已知数据x,9,7,9的中位数和平均数相等,那么x的值为(　 　)
A.5 B.7
C.5或9 D.7或11
D
解析:平均数为,若这组数据从小到大排列为x,7,9,9,则中位数为=8,所以=8,解得x=7,符合题意;若这组数据从小到大排列为7,x,9,9,则中位数为,所以,解得x=7,符合题意;若这组数据从小到大排列为7,9,9,x,则中位数为9,所以=9,解得x=11,符合题意.综上所述,x的值为7或11.故选D.
3.(5分)(2025·天津南开区二模)某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测中的数学平均分分别为a,b,c,若按不同选课组合采用分层随机抽样的方法抽取了一个容量为120的样本,抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20,40,60,则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为 (　 　)
A.
C.c
C
解析:因为三个不同选课组合的学生人数分别为20,40,60,所以三个不同选课组合的学生的人数所占的比例分别为,,,所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为c.故选C.
4.(5分)(2025·江苏南通三模)已知9个数据:x1,x2,…,x8,x9的均值为,方差为2,现将加入,则新数据的方差为 (　 　)
A. B.2 C. D.18
解析:由题意得2=,∴18=,则新数据的方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x9-)2+()2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x9-)2]=.故选A.
A
5.(5分)(2025·山东威海三模)某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试,所得成绩的频率分布直方图如图所示,则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为(　 　)
A.87.5分　 B.85分
C.82.5分　 D.80分
C
解析:成绩落在[60,70)内的频率为0.01×10=0.1,成绩落在[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,成绩落在[80,90)内的频率为0.04×10=0.4,因为0.1+0.3=0.4<0.5,0.1+0.3+0.4=0.8>0.5,所以中位数落在[80,90)内,设中位数为x分,则0.1+0.3+(x-80)×0.04=0.5,解得x=82.5.故选C.
6.(5分)(人教B版必修第二册P91习题5-1BT3(1)改编)下列结论错误的是(　 　)
A.一组数据2,1,4,3,5,3,3的平均数、众数、中位数相同
B.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲
C.一组数据1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的80%分位数为4.5
D.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差为0,则这组数据的众数唯一
B
解析:对于A,平均数为=3,众数为3,将数据从小到大依次排
列为1,2,3,3,3,4,5,∴中位数为3,故A正确.对于B,乙组数据的平均数为
=7,则乙组数据的方差为×[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=4.4<5,∴两组数据中较稳定的是乙,故B错误.对于C,该组数据共10个数,由10×80%=8,知该组数据的80%分位数为=4.5,故C正确.对于D,设这组数据的平均数为,由方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=0,得x1=x2=…=xn=,则这组数据的众数唯一,故D正确.故选B.
7.(6分,多选)(2026·T8联考)已知一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为(≠0),将这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据x1+,x2+,x3+,…,xn+,则新数据与原数据相比 (　 　)
A.极差相同 B.平均数不同
C.方差不同 D.中位数相同
AB
解析:对于A,极差为最大值与最小值的差,∴极差相同,故A正确;对于B,原数据的平均数,新数据的平均数
=,∴平均数不同,故B正确;对于C,原数据的方差[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],新数据的方差[(x1+)2+
(x2+)2+…+(xn+)2]=,∴方差相同,故C错误;对于D,中位数显然不同,故D错误.故选AB.
8.(6分,多选)(2025·山东青岛三模)某学校组织全体学生参加了文创大赛,随机抽取了400名学生的成绩进行统计,得频率分布直方图(如图),则 (　 　)
A.图中x的值为0.020
B.该样本中成绩在区间[90,100]内的学生有160人
C.估计全校学生成绩的平均数为86.5分
D.估计全校学生成绩的80%分位数为95分
BD
解析:对于A,由(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1,得x=0.030,故A错误;对于B,成绩在区间[90,100]内的学生人数为400×0.040×10=160,故B正确;对于C,平均数=55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84
(分),故C错误;对于D,低于90分的频率为1-0.4=0.6,设样本数据的80%分位数为n分,则,解得n=95,故D正确.故选BD.
9.(5分)一个样本容量为4的样本的平均数为18,现样本加入新数8,此时样本数据的和为____.
解析:设这个样本容量为4的样本中,各数据分别为x1,x2,x3,x4,则=18,所以x1+x2+x3+x4=72,现样本加入新数8,此时样本数据的和为80.
80
10.(5分)某市2025年5月份某一周的日最高气温(单位:℃)分别为25,28,30,29,31,32,28,则这周的日最高气温的第75百分位数为____ ℃.
解析:将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32.因为7×75%=5.25,所以这周的日最高气温的第75百分位数为从小到大排列后的第6个数据31 ℃.
31
11.(10分)某地统计局就某地居民的月收入(单位:元)情况调查了10 000人,并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图),每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在[2 500,3 000)内.
(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析,则月收入在[4 000,4 500)内的应抽取多少人
解:因为(0.000 2+0.000 4+0.000 3+0.000 1)×500=0.5,所以2a==0.001,
a=0.000 5,故月收入在[4 000,4 500)内的频率为0.25,所以月收入在
[4 000,4 500)内应抽取的人数为0.25×100=25.
(2)估计该地居民的月收入的中位数.
解:月收入在[2 500,3 500)内的频率是(0.000 4+0.000 2)×500=0.3,月收入在[3 500,4 000)内的频率是500a=500×0.000 5=0.25,所以样本数据的中位数在[3 500,4 000)内,且为3 500+×500=3 900(元).
(3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替,估计该地居民月收入的平均数.
解:2 750×0.1+3 250×0.2+3 750×0.25+4 250×0.25+4 750×0.15+5250×
0.05=3 900(元),
所以估计该地居民月收入的平均数为3 900元.
12.(12分)某大学大一、大二、大三、大四分别有“机器人”兴趣团队10个、20个、30个、40个.为挑选优秀团队,现用按比例分配的分层随机抽样的方法,从以上团队中抽取20个.
(1)应从大三团队中抽取多少个
解:由题意知,大三团队个数占总团队个数的,则应从大三团队中抽取20×=6(个).
(2)将20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两组的成绩如下:
甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142
乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140
从甲、乙两组中选一组强化训练,备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差,并分析应选择哪一组参赛,理由是什么
解:甲组成绩的平均数×(125+141+140+137+122+114+119+139
+121+142)=130(分),
乙组成绩的平均数×(127+116+144+127+144+116+140+140+116
+140)=131(分),
甲组数据的方差×[(125-130)2+(141-130)2+(140-130)2+(137-130)2+(122-130)2+(114-130)2+(119-130)2+(139-130)2+(121-130)2+(142-130)2]=104.2,
乙组数据的方差×[(127-131)2+(116-131)2+(144-131)2+(127-131)2+(144-131)2+(116-131)2+(140-131)2+(140-131)2+(116-131)2+(140-131)2]=128.8.
选甲组理由:甲、乙两组平均数相差不大,但,由此可知甲组比乙组成绩稳定;
选乙组理由:,且成绩在140分以上(含140分)的8个团队中,有5个在乙组,成绩最高的2个团队也都在乙组,则在比赛中,估计乙组获胜的可能性大.
13.(5分)某中学从高一学生中抽取了50名男生、50名女生调查高一学生身高的情况.已知这100名学生身高的方差为48,其中50名男生身高的平均数为172.5 cm,方差为16,50名女生身高的平均数为162.5 cm,则50名女生身高的方差为(　 　)
A.15 B.24
C.30 D.36
C
素养提升
解析:设50名男生身高的平均数和方差分别是,,50名女生身高的平均数和方差分别是,,则=172.5 cm,=16,=162.5 cm,可得100名学生身高的平均数×(50)=167.5(cm).
所以这100名学生身高的方差s2=[+()2],即48=×[16+(172.5-167.5)2]+×[+(162.5-167.5)2],解得=30.故选C.
14.(6分,多选)(2025·安徽合肥三模)有一组样本数据1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10,现去除其中的两个数据,去除的两个数据分别记为x和y(xA.若xy=18,则极差不变
B.若xy=18,则第75百分位数不变
C.若x+y=11,则平均数不变
D.若x+y=11,则中位数不变
ACD
解析:对于A,若xy=18,则x=2,y=9或x=3,y=6,所以去除数据前后,极差均为10-1=9,故A正确;对于B,原数据中第75百分位数是第8个数8,若xy=18,可取x=2,y=9,则数据变为1,3,4,5,6,7,8,10,8×0.75=6,则第75百分位数是第6个数和第7个数的平均数,即=7.5,所以第75百分位数改变了,故B错误;对于C,原数据的平均数为,当x+y=11时,新数据的平均数为,则平均数不变,故C正确;对于D,原数据的中位数为,若x+y=11,则x=1,y=10或x=2,y=9或x=3,y=8或x=4,y=7或x=5,y=6,所以去除数据后新数据的中位数为,则中位数不变,故D正确.故选ACD.
15.(15分)(2025·安徽合肥二模)某中学高三某班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表:
在比例分配的分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第一层样本记为x1,x2,x3,…,xn,其平均数记为,方差记为;把第二层样本记为y1,y2,y3,…,ym,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为s2.
创新训练（概念深度理解）
性别 参加考试人数 平均成绩 标准差
男 30 100 16
女 20 90 19
(1)求证:s2={n[+()2]+m[+()2]};
解:证明:s2=
{}，
因为[2(xi-)()]=2()(xi-)=2()(x1+x2+x3+…+xn-)=0,同理[2(yi-)()]=0,
所以s2={n[+()2]+m[+()2]}.
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差.(精确到1)
解:该班参加考试学生成绩的平均数为,方差为s2,
则×(30×100+20×90)=96(分),
所以s2=×{30×[256+(100-96)2]+20×[361+(90-96)2]}=322,又≈18,所以s≈18.
即该班参加考试学生成绩的平均数为96分,标准差约为18.
本课结束

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