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(共74张PPT)
第十章　计数原理、概率
10.2　排列与组合
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式、组合数公式. 2.能利用排列、组合解决简单的实际问题. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T13
新课标Ⅱ卷T3 新课标Ⅱ卷T14
必备知识　回顾
1.排列与组合
(1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个____.
(2)排列数
1
知识梳理
定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示
全排列的概念 把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列
排列
阶乘的概念 正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用_____表示.=n!,0!=1
排列数公式(n, m∈N*,m≤n) 连乘式=____________________________
阶乘式
(3)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个____.
n!
n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)
组合
(4)组合数
定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的______,用符号表示
组合数 公式 乘积式 =
阶乘式
两个 性质 性质1
性质2
组合数
2.常用公式
(1)=(n-m+1);(n+1)!-n!=n·n!.
(2).
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. (　 　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　 　)
(3)若组合式,则x=m成立.(　 　)
(4)k. (　 　)
基础检测
×
×
×
√
2.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T8改编)小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排家长,则这4个人的入园顺序的种数是(　 　)
A.4　　　 B.6　　　
C.12　　　 D.24
解析:先排首尾两个位置,有种排法,再排中间两个位置,有种排法,所以这4个人的入园顺序的种数是=4.故选A.
A
3.(人教A版选择性必修第三册P26习题6.2T8(1)改编)= (　 　)
A.24 B.60
C.48 D.72
解析:=24.故选A.
A
4.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T3(2)改编)五一小长假期间,旅游公司决定从6辆旅游大巴1,2,3,4,5,6中选出4辆分别开往紫蒙湖、美林谷、黄岗梁、乌兰布统四个景区承担载客任务,要求每个景区都要有一辆大巴前往,每辆大巴只开往一个景区,且这6辆大巴中1,2不去乌兰布统,则不同的选择方案共有 (　 　)
A.360种 B.240种
C.216种 D.168种
解析:这6辆旅游大巴中1,2不去乌兰布统,则不同的选择方案共有=240(种).故选B.
B
关键能力　提升
考点1 排列问题
【例1】　有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法数.
(1)选5人排成一排;
【解】　从7人中选5人排列,有=7×6×5×4×3=2 520(种).
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
【解】分两步完成,先选3人站前排,有种方法,余下4人站后排,有种方法,共有=5 040(种).
(3)(一题多解)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;
【解】　方法一(特殊元素优先法)　先排甲,有5种方法,其余6人有种方法,共有5×=3 600(种).
方法二(特殊位置优先法)　最左边和最右边两个位置可安排另6人中的两人,有种方法,其他有种方法,共有=3 600(种).
(4)(一题多解)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边;
【解】　方法一(特殊元素优先法)　甲在最右边时,其余可全排列,有种方法;甲不在最右边时,可从余下的5个位置任选一个,有种,而乙可在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个,有种,其余人全排列,有种方法,共有=3 720(种).
方法二(间接法)　7人全排列,有种方法,其中甲在最左边时,有种方法,乙在最右边时,有种方法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有种方法,故共有=3 720(种).
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
【解】　由于甲、乙、丙的顺序一定,则满足条件的方法共有=840(种).
排列应用问题的分类与解法
对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
规律总结
【对点训练1】　(1)(2025·湖北十堰三模)从1,2,3,4,5中任取三个不同的数组成一个三位数,则在所有组成的数中能被3整除的数有(　 　)
A.24个 B.30个
C.32个 D.48个
解析:能被3整除,则这三个数字之和为3的倍数,则取出的这三个数可能的情况为(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5),则在所有组成的数中能被3整除的数有4=4×3×2×1=24(个).故选A.
A
(2)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,不同的排法种数是(　 　)
A.96 B.192
C.384 D.768
解析:由题意,要求数学课排在上午,体育课排在下午,有=8(种)排法,再排其余4节,有=24(种)排法,根据分步乘法计数原理,共有8×24=192(种)排法.故选B.
B
考点2 组合问题
【例2】　某中学选出了6名男教师和4名女教师共10名教师,其中1名主任(男)和1名副主任(女),现要组成6人支教小组,依下列条件各有多少种选派方法
(1)6人支教小组中,有3名男教师和3名女教师;
【解】由题意得,从6名男教师里选3名有=20(种)选派方法,从4名女教师里选3名有=4(种)选派方法,由分步乘法计数原理得,共有=
80(种)选派方法.
(2)6人支教小组中,既有男教师,又有女教师;
【解】由题意得,从10名教师里选6名有=210(种)选派方法,
而只有4名女教师,则6名教师里不可能全是女教师,
若全是男教师,有=1(种)选派方法,故既有男教师,又有女教师的选派方法有=210-1=209(种).
(3)6人支教小组中,至少有1名主任参加;
【解】由题意得,从10名教师里选6名有=210(种)选派方法,从不是主任的8名教师里选6名有=28(种)选派方法,则至少有1名主任参加有=210-28=182(种)选派方法.
(4)6人支教小组中,既有主任,又有女教师.
【解】由题意得,从10名教师里选6名有=210(种)选派方法,
从不是主任的8名教师里选6名有=28(种)选派方法,
若有主任,且没有女教师,有=1(种)选派方法,则既有主任,又有女教师有210-28-1=181(种)选派方法.
组合问题常见的两类题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
规律总结
【对点训练2】　要从5名女生,7名男生中选出5名代表,按下列要求,分别有多少种不同的选法
(1)至少有1名女生入选;
解:至少有1名女生入选,即从12名中任选5名,再排除全是男生的种数,故至少有1名女生入选有=771(种)选法.
(2)至多有2名女生入选;
解:至多有2名女生入选,则没有女生的选法有=21(种),只有1名女生的选法有=175(种),有2名女生的选法有=350(种),根据分类加法计数原理得,不同的选法共有21+175+350=546(种).
(3)男生甲和女生乙入选;
解:男生甲和女生乙入选,即在剩下的10人中选出3人,有=120(种)选法.
(4)男生甲和女生乙不能同时入选;
解:男生甲和女生乙不能同时入选,有=672(种)选法.
(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选.
解:男生甲、女生乙至少有一个人入选,则有=540(种)选法.
考点3 排列组合的综合应用
命题角度1　相邻相间问题
【例3】　(1)若7名同学站成一排,则4名男同学必须站在一起,3名女同学也必须站在一起的排法共有______种.
【解析】　完成这个事件,可以分三步,先将3名女同学“捆绑”在一起,将她们看成一个元素,有种排法,再将4名男同学“捆绑”在一起,将他们看成一个元素,有种排法,这时一共有2个“捆绑”后的元素,将其全排列,则有种排法,所以一共有=288(种)排法.
288
(2)若7名同学站成一排,则甲、乙必须相邻,且丙不能站在排头和排尾的排法共有______种.
【解析】　完成这个事件,可以分三步,先将甲、乙“捆绑”在一起,将其看成一个元素,有种排法,且此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以再从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有种排法,最后将剩下的4个元素进行全排列,有种排法,所以一共有=960(种)排法.
960
(3)若7名同学站成一排,则甲、乙、丙这3名同学彼此不能相邻的排法共有__________种.
【解析】　先将其余4名同学全排列,有种排法,此时他们之间有5个“空”,再将甲、乙、丙这3名同学分别插入这5个“空”中,有种排法,所以一共有=1 440(种)排法.
1 440
(4)若7名同学站成一排,则4名男同学彼此不能相邻,3名女同学彼此也不能相邻的排法共有______种.
【解析】　先将3名女同学全排列,有种排法,此时她们之间有4个“空”,再将4名男同学分别插入这4个“空”中,有种排法,所以一共有=144(种)排法.
144
命题角度2　分组分配问题
【例4】　(1)将6本不同的书分成3堆,每堆2本,有多少种分法
【解】　先分第一堆有种分法,再分第二堆,有种分法,最后分第三堆,有种分法,但堆与堆之间没有区别,故把6本不同的书平均分成3堆,共有=15(种)分法.
(2)将6本不同的书分成3堆,一堆4本,另两堆各1本,有多少种分法
【解】无序部分均匀分组问题,共有=15(种)分法.
(3)将6本不同的书平均分给3人,每人2本,有多少种分法
【解】依题意,将6本不同的书平均分给3人,由分步乘法计数原理得,不同的分法有=15×6×1=90(种).
(4)将6本不同的书分给3人,1人1本,1人2本,1人3本,有多少种分法
【解】先选1本有种选法,再从余下的5本中选2本有种选法,
最后余下的3本全选有种选法,同时3人不同,需要排序,故有=360(种)分法.
(5)将6本不同的书分给4人,每人至少1本,有多少种分法
【解】分两类:
第一类,当4人分得的书的本数为1,1,1,3时,共有=480(种)分法;
第二类,当4人分得的书的本数为1,1,2,2时,共有=1 080(种)分法.
由分类加法计数原理,知共有480+1 080=1 560(种)不同分法.
命题角度3　相同元素分配问题
【例5】　将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空;
【解】　先把6个相同的小球排成一行,然后在小球之间形成的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,故共有=10(种)放法.
(2)恰有一个空盒子.
【解】　恰有一个空盒子,第一步先选出一个盒子,有种选法,第二步在小球之间形成的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,由分步乘法计数原理得,共有=40(种)放法.
1.相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
2.对于分堆与分配问题应注意三点:
(1)处理分配问题要注意先分堆再分配.
(2)被分配的元素是不同的.
(3)分堆时要注意是否均匀.
规律总结
3.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入
隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板.
【对点训练3】　(1)(2025·湖南娄底二模)长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市,其当地美食也独具特色.某个假期期间,一名游客前往长沙旅游打卡,现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝(选择的2种美食不分先后顺序),若三天后他品尝完这6种美食,则这三天他选择美食的不同选法种数为(　 　)
A.90　　 B.120
C.150　　 D.180
A
解析:将6种美食平均分成3组,有=15(种)不同的分法,该游客每天选择其中一组美食进行品尝,有=6(种)不同的选法,所以这三天他选择美食的不同选法种数为15×6=90.故选A.
(2)阳春三月,草长莺飞;丝绦拂堤,尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,3位妈妈互不相邻照顾孩子;3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面;为了防止2名男宝打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面.则不同的排法共有______种.
288
解析:第一步,先将3名妈妈作全排列,共有种排法;第二步,将3名女宝“捆绑”在一起,共有种排法;第三步,将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素,在第一步形成的2个空中选择1个插入,有种排法;第四步,首先将2名男宝之中的一人,插入第三步后相邻的两个妈妈中间,然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个,共有2=288.
【例】　记f(n)(x)为函数f(x)的n阶导数,且f(2)(x)=[f'(x)]',f(n)(x)=
[f(n-1)(x)]'(n≥3,n∈N*).若f(n)(x)存在,则称f(x)n阶可导.英国数学家泰
勒发现:若f(x)在x0附近n+1阶可导,则可构造Tn(x)=f(x0)+(x-x0)+
(x-x0)2+…+(x-x0)n(称为n次泰勒多项式)来逼近f(x)在x0附近的函数值.据此计算f(x)=ex在x0=0处的3次泰勒多项式T3(x)=
__________;g(x)=-在x0=-1处的10次泰勒多项式中x3的系数为______.
1+x+
330
【解析】　∵f(x)=ex,∴f(n)(x)=ex,f(n)(0)=1,n∈N*,∴T3(x)=f(0)+
(x-0)+(x-0)2+(x-0)3,∴T3(x)=1+x+.∵g(x)=-,
∴g'(x)=x-2,g(2)(x)=-2x-3,g(3)(x)=3!·x-4,…,g(9)(x)=9!x-10,g(10)(x)=
-10!x-11,∴g'(-1)=1,g(2)(-1)=2,g(3)(-1)=3!,…,g(9)(-1)=9!,
g(10)(-1)=10!,∴T10(x)=1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+…+(x+1)10.故x3的系数为=330.
本题以高等数学的泰勒展开式为载体,把导数、组合数的性质与计算交汇命题,综合性较强,命题角度新颖,解答本题需先求函数f(x)=ex的n阶导数,根据泰勒多项式求T3(x),求g(x)=-的1阶至10阶导数,求出其10次泰勒多项式,再根据二项式定理求x3的系数,化简求其值.
创新解读
高考真题 教材典题
(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　 　) A.30种　　　　 　　　　　B.60种 C.120种 D.240种 (人教A版选择性必修第三册P25练习T3)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩,现要从中选3门考试成绩.
(1)共有多少种不同的选法
(2)如果物理和化学恰有1门被选,那么共有多少种不同的选法
(3)如果物理和化学至少有1门被选,那么共有多少种不同的选法
考教衔接
C
解析:甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤:先从6种课外读物中选择一种作为甲、乙两人共同的选择,再从剩下的5种中选择互不相同的两种,所以符合题意的选法共有=120(种).故选C.
课时作业71
1.(5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中偶数的个数为(　 　)
A.48 B.60
C.72 D.120
解析:若四位数为偶数,则个位数为2或4,其余位数不重复即可,所以偶数的个数为=48.故选A.
基础巩固
A
2.(5分)(2025·江苏镇江三模)2025年,省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整,每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名,其中甲、乙两所学校至多报一所,则该考生报名的可能情况种数是 (　 　)
A.12 B.9
C.6 D.15
解析:从6所大学中任选4所,有种,其中甲、乙两所学校同时被选到,有种,所以该考生报名的可能情况种数是=9.故选B.
B
3.(5分)某超市在清明节期间出售2款甲品牌的清明果,2款乙品牌的清明果,1款丙品牌的清明果.若将这5款清明果并排摆在货架的同一层上,则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有(　 　)
A.12种 B.18种
C.24种 D.48种
解析:将2款甲品牌的清明果,2款乙品牌的清明果分别捆绑,则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有=24(种).故选C.
C
4.(5分)(2026·安徽芜湖模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析,5人的名次排列的不同情况可能有(　 　)
A.27种 B.54种
C.108种 D.324种
解析:分三步完成,冠军有种可能,乙的名次有种可能,余下三人有种可能,所以5人的名次排列有=54(种)不同情况.故选B.
B
5.(5分)(2025·江西萍乡二模)将六个连续的整数随机排成一行,则从左到右先递增再递减的排列方式有 (　 　)
A.720种 B.120种
C.32种 D.30种
解析:六个连续的整数随机排成先递增再递减的单峰序列,峰顶必须是最大整数.峰顶位置k可在第2,3,4,5位,对于每个k,左边需选(k-1)个数并按升序排列,右边选(6-k)个数并按降序排列.当k=2时,左边选1个数,方式有=5(种);当k=3时,左边选2个数,方式有=10(种);当k=4时,左边选3个数,方式有=10(种);当k=5时,左边选4个数,方式有=5(种).故排列方式共有5+10+10+5=30(种).故选D.
D
6.(5分)(2025·江西九江三模)含甲、乙的5名同学分成两组参加志愿服务活动,则甲、乙不同组的分配方案有 (　 　)
A.6种 B.8种
C.12种 D.16种
B
解析:5名同学分成两组,有1和4分组以及2和3分组这两种情况.若甲在1人组,乙在4人组,这是1种情况;若甲在4人组,乙在1人组,这又是1种情况.故1和4分组时甲、乙不同组的方案数为1+1=2.若甲在2人组,乙在3人组,则从剩下3人中选1人与甲一组,有=3(种)情况;若甲在3人组,乙在2人组,则从剩下3人中选1人与乙一组,也有=3(种)情况.故2和3分组时甲、乙不同组的方案数为3+3=6. 根据分类加法计数原理,将两种分组情况的方案数相加,可得甲、乙不同组的分配方案共有2+6=8(种). 故选B.
7.(5分)(2025·黑龙江哈尔滨一模)2024年10月30日,神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站,激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名航天员分别是“70后”蔡旭哲,“80后”叶光富、李聪、李广苏,“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻,大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排,两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间,其他两位“80后”彼此不相邻,两位“90后”彼此不相邻,则不同的站法共有 (　 　)
A.16种 B.32种
C.48种 D.64种
B
解析:两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间,有种站法,剩下的四名航天员共有种站法,其中两位“80后”彼此相邻,两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的站法共有2种,所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间,其他两位“80后”彼此不相邻,两位“90后”彼此不相邻,则不同的站法共有()=32(种).故选B.
8.(8分,多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是 (　 　)
A.若甲、乙不相邻,则不同的排法共有36种
B.若甲、乙必须相邻,则不同的排法有48种
C.若甲、乙、丙按从左到右的顺序(可以不相邻)排列,则不同的排法共有20种
D.若五个人去三个城市游览,每人只能去一个城市,则有125种不同的游览方法
BC
解析:对于A,若甲、乙不相邻,则不同的排法共有=72(种),故A错误;对于B,若甲、乙必须相邻,则不同的排法有=48(种),故B正确;对于C,若甲、乙、丙按从左到右的顺序(可以不相邻)排列,则不同的排法共有=20(种),故C正确;对于D,若五个人去三个城市游览,每人只能去一个城市,则有35=243(种)不同的游览方法,故D错误.故选BC.
9.(8分,多选)甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报一个运动队,每个运动队至少报1名同学,则 (　 　)
A.所有不同的报法种数为34
B.若甲必须报足球队,则所有不同的报法种数为12
C.若甲、乙都不报足球队,则所有不同的报法种数为14
D.若甲、乙不报同一个运动队,则所有不同的报法种数为30
BCD
解析:对于A,将4人分成3组,再分配即可,故不同的报法种数为=36,故A错误;对于B,若足球队只有甲报,则有=6(种)报法,若足球队有2人报,则有=6(种)报法,故不同的报法种数为6+6=12,故B正确;对于C,若足球队有2人报,则有=2(种)报法,若足球队有1人报,则有=12(种)报法,故不同的报法种数为2+12=14,故C正确;对于D,若甲、乙报同一个运动队,则有=6(种)报法,由A知总的报法有36种,所以甲、乙不报同一个运动队的所有不同的报法种数为30,故D正确.故选BCD.
10.(8分,多选)某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的1,2,3,4四个区参加规培工作,下列选项正确的是 (　 　)
A.若四个区都有人去,则共有24种不同的安排方法
B.若恰有一个区无人去,则共有144种不同的安排方法
C.若甲不去1区,乙不去2区,且每区均有人去,则共有18种不同的安排方法
D.若这4名医生只能去1,2两个区参加工作,且这两个区都必须有人去,则共有14种不同的安排方法
ABD
解析:对于A,若四个区都有人去,则共有=24(种)不同的安排方法,故A正确;对于B,若恰有一个区无人去,则共有=6×24=144(种)不同的安排方法,故B正确;对于C,已知甲不去1区,乙不去2区,且每区均有人去,若甲去2区,则有=6(种)不同的安排方法,若甲去3区或4区中的一个,此时乙有两种选法,则有=8(种)不同的安排方法,由分类加法计数原理得,共有6+8=14(种)不同的安排方法,故C错误;对于D,将4名医生分为两组,一组1名一组3名或一组2名一组2名,再安排到1,2两个区参加工作,共有=(4+3)×2=14(种)不同的安排方法,故D正确.故选ABD.
解析:对于A,若四个区都有人去,则共有=24(种)不同的安排方法,故A正确;对于B,若恰有一个区无人去,则共有=6×24=144(种)不同的安排方法,故B正确;对于C,已知甲不去1区,乙不去2区,且每区均有人去,若甲去2区,则有=6(种)不同的安排方法,若甲去3区或4区中的一个,此时乙有两种选法,则有=8(种)不同的安排方法,由分类加法计数原理得,共有6+8=14(种)不同的安排方法,故C错误;对于D,将4名医生分为两组,一组1名一组3名或一组2名一组2名,再安排到1,2两个区参加工作,共有=(4+3)×2=14(种)不同的安排方法,故D正确.故选ABD.
11.(4分)已知不定方程x1+x2+x3+x4=12,则不定方程正整数解的组数为______.
解析:问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为=165.
165
12.(4分)(2025·陕西商洛三模)设计一个五位的信息密码,每位数字均在0~9中选取,则含有数字1,6,8,且1,6,8都只出现一次的信息密码有__________个.
解析:先从5个数位选择3个数位分别排1,6,8,剩余的2个数位上的数字从0,2,3,4,5,7,9中选择,每个数位有7种选择,由分步乘法计数原理可知,满足条件的信息密码的个数为×72=60×49=2 940.
2 940
13.(5分)如图,一只蚂蚁位于点M处,沿着方格线运动,去搬运位于N处的糖块,M→N的最短路线有______条.
150
解析:由题可知,M→N的最短路线必经过A点或B点,如图,则M→A的最短路线有条,A→N的最短路线有条;M→B的最短路线有条,B→N的最短路线有条.因为M→N的最短路线有M→A→N和M→B→N,所以M→N的最短路线有=10×10+5×10=150(条).
14.(5分)(2025·江苏南通二模)有3个男生和2个女生站成一排合影,则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法种数为 (　 　)
A.18 B.36
C.72 D.144
B
素养提升
解析:设5个位置依次为1,2,3,4,5,特殊元素优先考虑,女生甲不在两端,则只能在中间3个位置,2个女生不相邻,则①甲在位置2,另一个女生只能在位置4或5,有2种选择;②甲在位置3,另一个女生只能在位置1或5,有2种选择;③甲在位置4,另一个女生只能在位置1或2,有2种选择.根据分类加法计数原理,两个女生的排法共有2+2+2=6(种),剩余3个男生全排列,有=6(种)排法,根据分步乘法计数原理,不同排法种数为6×6=36.故选B.
15.(5分)(2025·江苏南京二模)现有一盒子里装有序号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小、质地完全相同的小球,甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同),记录被抽取的球的序号分别为a1,a2,a3,则满足|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a1|=6的情况有(　 　)
A.54种 B.55种
C.56种 D.58种
A
解析:由|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a1|=6,得max{a1,a2,a3}-min{a1,a2,a3}=3,不妨设min{a1,a2,a3}=x,则max{a1,a2,a3}=x+3,还有一个数为x+d,显然x∈{1,2,3},d∈{0,1,2,3},对于任意x取值,都有如下情况:当d=0时,三个数为x,x,x+3,对应a1,a2,a3,有=3(种)情况;当d=1时,三个数为x,x+1,x+3,对应a1,a2,a3,有=6(种)情况;当d=2时,三个数为x,x+2,x+3,对应a1,a2,a3,有=6(种)情况;当d=3时,三个数为x,x+3,x+3,对应a1,a2,a3,有=3(种)情况.所以一共有3×(3+6+6+3)=54(种)情况.故选A.
16.(8分,多选)下列等式中正确的是 (　 　)
A.=28
B.
C.
D.()2=
BCD
创新训练（创新考法）
解析:对于A,(1+x)8=x8,令x=1,得28=1+,则=28-1,故A错误.对于B,因为,所以,故B正确.对于C,因为,所以
,故C正确.对于D,(1+x)16=(1+x)8(1+x)8,对于(1+x)16,含x8的项的系数为,对于(1+x)8(1+x)8,要得到含x8的项,需从第一个式子取出k(0≤k≤8,k∈N)个x,再从第二个式子取出(8-k)个x,它们对应的系数和为()2,所以()2=,故D正确.故选BCD.
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