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(共59张PPT)
第十章　计数原理、概率
10.3　二项式定理
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2023 2024 2025


必备知识　回顾
1.二项式定理
1
知识梳理
二项式 定理 (a+b)n=___________________________________________ (n∈N*)
二项 展开式 bn(n∈N*)叫做(a+b)n的二项展开式
通项 ________叫做二项展开式的通项,是展开式中的第______项,可记作Tk+1=an-kbk(k=0,1,2,…,n)
二项式 系数 各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数
bn
an-kbk
k+1
2.二项式系数的性质
(1)对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由将函数f(r)=的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值:当k<时,随k的增加而增大;当k>时,随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和:=__,且奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即+…=2n-1.
2n
3.杨辉三角的性质
(1)最外层全是1,第二层(含1)是自然数列1,2,3,4,…,第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15,….
(2)对称性:每行中与首末两端“等距离”之数相等,即.
(3)递归性:除1以外的数都等于“肩上”两数之和,即.
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等,即+….
(5)第n行所有数的和为2n,即=2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项. (　 　)
(2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a,b无关.(　 　)
(3)通项Tk+1=an-kbk中的a和b不能互换. (　 　)
(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.(　 　)
基础检测
×
√
√
×
2.(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T6(1)改编)在(2x-1)8的展开式中,x2的系数为______.
解析:在(2x-1)8的展开式中,通项Tk+1=(2x)8-k(-1)k=(-1)k28-kx8-k,令8-k=2,解得k=6,所以x2的系数是(-1)622=112.
3.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5(5)改编)(x2+x+y)7的展开式中,x5y3的系数为______.
解析:由题意可知,x5y3只能为1项x2,3项x和3项y相乘而得,所以x5y3的系数为=140.
4.(1-3x)7的展开式中所有项的系数之和为________.
解析:令x=1,可得所有项的系数之和为(1-3)7=(-2)7=-128.
112
140
-128
关键能力　提升
考点1 通项公式的应用
命题角度1　形如(a+b)n(n∈N*)的展开式
【例1】　(1)(2025·河北张家口二模)的展开式中x3项的系数为(　 　)
A.-55 B.-64
C.-80 D.-124
C
【解析】　·(2x)5-k·=(-1)k·25-k·
·x5-2k,k≤5,k∈N,令5-2k=3,得k=1,所以展开式中x3项的系数为(-1)·24·
=-80.故选C.
(2)在二项式(+x)7的展开式中,系数为有理数的项的个数是(　 　)
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】　展开式的通项为Tk+1=xk,易知当7-k=0或2或4或6,即k=7或5或3或1时,项的系数为有理数,故系数为有理数的项的个数是4.故选A.
A
求二项展开式中的问题,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项即可.
规律总结
命题角度2　形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式
【例2】　(2025·四川德阳二模)已知(1+ax)·(2-x)4(a∈R)的展开式中x4的系数为17,则实数a的值为 (　 　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
【解析】　根据题意,(2-x)4展开式的通项为Tk+1=24-k(-x)k,所以(1+ax)(2-x)4(a∈R)的展开式中含x4的项为1×24-4(-x)4+ax·24-3(-x)3=
x4-8ax4=(1-8a)x4,则1-8a=17,解得a=-2.故选A.
A
对于几个多项式积的展开式的问题,一般可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
规律总结
命题角度3　形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式
【例3】　(2025·湖南长沙二模)(1+2x-3y)5的展开式中含x3y的项的系数为________.
【解析】　因为(1+2x-3y)5=(1+2x-3y)(1+2x-3y)(1+2x-3y)(1+2x-3y)(1+
2x-3y),所以含x3y的项为(-3y)(2x)3·1=-480x3y,故含x3y的项的系数为-480.
-480
求三项展开式中某些指定的项的方法
(1)两项看成一项,利用二项式定理展开.
(2)因式分解,转化为两个二项式再求解.
(3)看作多个因式的乘积,用组合的知识解答.
规律总结
【对点训练1】　(1)(2025·山东泰安一模)若的展开式的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为 (　 　)
A.-240 B.-60
C.60 D.240
解析:由题意知,2n=64,解得n=6.展开式的通项为Tk+1=(-2x)k=
(-2)k·,由k-3=0,解得k=2,∴常数项为T3=(-2)2·x0=60.故选C.
C
(2)(2025·广东广州二模)(1-2x)4的展开式中x2的系数为(　 　)
A.24 B.-24
C.-36 D.-40
解析:因为(1-2x)4展开式的通项为Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk,所以x2的系数为(-2)1+(-2)3=-40.故选D.
D
(3)(2026·陕西咸阳一模)若(x2+x+1)5=a0+a1x+…+a10x10,则a1= (　 　)
A.1 B.5
C.10 D.15
解析:由题设,对于a1x项,x2取0次,x取1次,1取4次,故a1==5.故选B.
B
考点2 二项式系数与项的系数问题
命题角度1　二项式系数和与系数和
【例4】　(多选)已知(1-2x2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(　 　)
A.a0+a1+a2+a3+…+a10=1
B.a0+a2+a4+a6+a8+a10=-1
C.a1+a3+a5+a7+a9=-1
D.a1+2a2+3a3+…+10a10=-20
BD
【解析】　对于A,令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a10=(1-2×12)5=-1①,故A错误;对于B,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=[1-2×(-1)2]5=-1②,①+②得,2a0+2a2+2a4+2a6+2a8+2a10=-2,解得a0+a2+a4+a6+a8+a10=-1,故B正确;对于C,①-②得,2a1+2a3+2a5+2a7+2a9=0,解得a1+a3+a5+a7+a9=0,故C错误;对于D,对等式两边同时求导,得-20x(1-2x2)4=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1,得a1+2a2+…+10a10=-20×1×(1-2×12)4=-20,故D正确.故选BD.
命题角度2　系数的最值
【例5】　(2024·全国甲卷理)的展开式中,各项系数中的最大值为__.
5
【解析】　由题意,得展开式的通项为Tk+1=xk,k≤10且k∈N,设展开式中第k+1项的系数最大,则
,又k∈N,故k=8,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为=5.
1.赋值法的应用
一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)-g(-1)].
2.二项展开式中系数最大项的求法
如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用从而解得k.
规律总结
【对点训练2】　(1)(多选)已知(x+2)7=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3
+…+a6(x+1)6+a7(x+1)7,则 (　 　)
A.a5=21
B.-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=0
C.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=448
D.a0,a1,a2,…,a7这8个数中a6最大
AC
解析:(x+2)7=[1+(x+1)]7=(x+1)0+(x+1)1+…+(x+1)7,所以ai=(i=0,1,2,…,7),对于A,结合已知可得,a5==21,故A正确;对于B,令x=-2,得到(x+2)7=0,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=0,而a0==1,解得
-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-1,故B错误;对于C,由二项式定理可得,a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7==448,故C正确;对于D,由二项式系数的性质得,a3,a4在这8个数中最大,故D错误.故选AC.
(2)已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则的值为(　 　)
A.
C. D.26
解析:由题意可得,a==70,又展开式的通项为Tk+1=2kxk,设第k+1项的系数最大,则求得k=5或6,此时,
b=7×28,∴.故选B.
B
考点3 二项式定理的综合应用
【例6】　(1)(2025·江西新余模拟)100除92 025的余数为(　 　)
A.48 B.49
C.50 D.51
【解析】　92 025=(10-1)2 025=(-1)0·102 025+…+(-1)2 02410+
(-1)2 025·100=102[(-1)0102 023+…+(-1)2 023]+20 249,因为
102[(-1)0·102 023+…+(-1)2 023]是100的倍数,而20 249除以100的余数为49,所以100除92 025的余数为49.故选B.
B
(2)0.9910的小数点后第三位数字为 (　 　)
A.4 B.0
C.2 D.3
【解析】　因为0.9910=(1-0.01)10=1-·0.019+0.0110=1-0.1+0.004 5-0.000 12+…-10×0.019+0.0110=0.904 3…,因此,0.9910的小数点后第三位数字为4.故选A.
A
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式.
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n不是很大,|x|比较小时,(1+x)n的近似值可由其展开式的前几项的和来确定.
规律总结
【对点训练3】　(1)(2025·湖北武汉一模)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满十进一就是十进制,满八进一就是八进制,即“满几进一”就是几进制,不同进制的数可以相互转换,如十进制下,159=2×82+3×8+7,用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的719,则这个八进制数的最后一位为 (　 　)
A.3 B.4
C.5 D.7
解析:719=(8-1)19=819-×8-1,而×8-1=151=2×82+2×8+7,故最后一位数为7.故选D.
D
(2)某银行大额存款的年利率为3%,小张于2025年初存入大额存款10万元,按照复利计算,8年后他能得到的本利和约为(单位:万元,结果保留一位小数)(　 　)
A.12.6 B.12.7
C.12.8 D.12.9
解析:存入大额存款10万元,按照复利计算,每年末本利和是以10为首项,1+3%为公比的等比数列,所以本利和S=10×(1+3%)8=10×(×0.038)≈12.7.故选B.
B
高考真题 教材典题
(2022·新高考Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答). (人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T5(1))求(1-2x)5(1+3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项.
考教衔接
解析:(x+y)8展开式的通项为Tk+1=x8-kyk,k=0,1,…,8.令k=6,得T6+1=x2y6;令k=5,得T5+1=x3y5,所以(x+y)8的展开式中x2y6的系数为=-28.
-28
课时作业72
1.(5分)(2025·湖南永州三模)(1-2x)7的展开式的第4项系数是(　 　)
A.-280 B.280
C.-560 D.560
解析:(1-2x)7的展开式的第4项系数是(-2)3=35×(-8)=-280.故选A.
基础巩固
A
2.(5分)(2026·山东临沂一模)(1+x)10的展开式中的一项是(　 　)
A.45x B.90x2
C.120x3 D.240x4
解析:(1+x)10展开式的通项为Tk+1=xk,对比选项依次代入k=1,2,3,4得对应项,即(1+x)10的展开式中的项可以是10x,45x2,120x3,210x4.故选C.
C
3.(5分)(2025·北京海淀区二模)在的展开式中,x2的系数为-10,则a=(　 　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:·akx5-3k
(0≤k≤5,k∈N),令5-3k=2,可得k=1,所以x2的系数为·a=5a=-10,解得a=-2.故选A.
A
4.(5分)(2025·北京朝阳区二模)已知的展开式中,第4项和第6项的系数相等,则n=(　 　)
A.7 B.8
C.9 D.10
解析:(x2)n-kx2n-3k,根据题意有,由组合数的性质有n=8.故选B.
B
5.(5分)已知二项式(3x-1)n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大,则n为 (　 　)
A.15 B.10
C.9 D.8
解析:(3x-1)n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大,故第5项为中间项,展开式共有9项,所以n=8.故选D.
D
6.(5分)设(1-mx)5=a0+a1x+…+a5x5,若a0+a1+a2+a3+a4+a5=32,则m=(　 　)
A.1 B.-3
C.3 D.-1
解析:令x=1,则可得(1-m)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5.又a0+a1+a2+a3+a4+a5
=32,则m=-1.故选D.
D
7.(5分)(2025·辽宁沈阳二模)在(1-x)(1+2x)5的展开式中,x3的系数是(　 　)
A.-40 B.-20
C.20 D.40
解析:(1-x)(1+2x)5=(1+2x)5-x(1+2x)5,(1+2x)5展开式的通项为Tk+1=
(2x)k(k∈{0,1,2,3,4,5}),所以含x3的项是1×(2x)3+(-x)×(2x)2
=80x3-40x3=40x3.即x3的系数是40.故选D.
D
8.(5分)(2025·广东佛山三模)若的展开式中的常数项为31,则a=(　 　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:依题意,(ax2)1·12=31,所以1+30a=31,即a=1.故选C.
C
9.(8分,多选)(2025·安徽马鞍山二模)已知二项式
,则(　 　)
A.展开式中共有6项
B.展开式中二项式系数的和为64
C.展开式中常数项为
D.展开式中系数最大的项为第2项
BC
解析:由题可得,(-1)kx-k=
(-1)k.对于A,令x=1,可得展开式各项系数和,则 n=6,则展开式共有7项,故A错误;对于B,二项式系数和为=
(1+1)6=64,故B正确;对于C,对于通项,令=0 k=2,则常数项为T3=(-1)2=,故C正确;对于D,由通项,可得各项系数依次为(-1)0=,(-1)1=-,(-1)2=,·(-1)3=
-,(-1)4=,(-1)5=-3,(-1)6=1,则系数最大的项为第5项,故D错误.故选BC.
10.(8分,多选)(2025·浙江温州二模)已知二项展开式(1-x)2 025=
a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则(　 　)
A.a0=1
B.a1+a2+…+a2 025=0
C.a1+a2 024=0
D.a0+a2+a4+…+a2 024=22 024
ACD
解析:对于A,令x=0,则a0=1,故A正确;对于B,令x=1,则a0+a1+a2+…+
a2 025=0①,所以a1+a2+…+a2 025=-1,故B错误;对于C,a1x=·(-x)1=
-2 025x,所以a1=-2 025,a2 024x2 024=·(-x)2 024=2 025x2 024,所以a2 024=
2 025,所以a1+a2 024=0,故C正确;对于D,令x=-1,则22 025=a0-a1+a2-a3+…+a2 024-a2 025②,①+②可得,22 024=a0+a2+a4+…+a2 024,故D正确.故选ACD.
11.(8分,多选)(2025·江西上饶二模)若(x+2)(x-1)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2
+a3(x+1)3+…+a9(x+1)9,则下列结论正确的是 (　 　)
A.a1+a2+a3+…+a9=2
B.a7=96
C.a0+2a1+22a2+23a3+…+29a9=4
D.a1+2a2+3a3+…+9a9=-15
BD
解析:对于A,令x=-1,得a0=28=256,令x=0,得a0+a1+a2+a3+…+a9=2,因此a1+a2+a3+…+a9=2-a0=-254,故A错误;对于B,(x+2)(x-1)8=[(x+1)+1]
[(x+1)-2]8,因此a7=×(-2)2+×(-2)=112-16=96,故B正确;对于C,令x+1=2,即x=1,得a0+2a1+22a2+23a3+…+29a9=0,故C错误;对于D,原等式两边求导得,(x-1)8+8(x+2)(x-1)7=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+9a9(x+1)8,令x=0,得a1+2a2+3a3+…+9a9=(-1)8+8×2×(-1)7=-15,故D正确.故选BD.
12.(5分)(2025·重庆渝中区二模)(x-1)的展开式中常数项为______.
解析:=(-2)kx4-2k,k∈N,
k≤4,所以(x-1)展开式中常数项可能情况如下:①当4-2k=-1时,显然无解,②当4-2k=0时,解得k=2,此时常数项为T3·(-1)=-(-2)2=-24.
-24
13.(5分)(2026·T8联考)已知(n∈N*)的展开式中,第6项系数与第7项系数之比为3∶1,则n的值为__.
解析:∵T6=,∴第6项系数为·25,又T7=,
∴第7项系数为·26,
∴,∴(n-5)!=(n-6)!,∴n=6.
6
14.(5分)已知二项式(x+a)6,a∈N*的展开式中第4项的系数最大,则a的值为__.
解析:二项式(x+a)6展开式的通项为Tk+1=·x6-k,其中a∈N*,由(其中k≥1),即
1
即
解得,依题意可知,k=3使上式成立,故,所以a=1.
15.(5分)若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,则2(a1+a3+…+a99)-4被8除的余数为(　 　)
A.2 B.3
C.4 D.5
C
素养提升
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a100=3100,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a100=1,两式相减得,2(a1+a3+a5+…+a99)=3100-1,所以2(a1+a3+…+a99)-4=3100-5,因为3100-5=950-5=(8+1)50-5=·8-8+4,k∈N,因为·8-8能被8整除,所以2(a1+a3+…+a99)-4被8除的余数为4.故选C.
16.(6分)设a=,b=,c=ln,则 (　 　)
A.a>c>b B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
解析:b=,b-a==
==
>0,所以b>a;又c=ln=a,所以b>a>c.故选B.
B
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