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(共68张PPT)
第十章　计数原理、概率
10.6　离散型随机变量的分布列及其数字特征
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解离散型随机变量及其分布列的概念. 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T21 全国一卷T14
新课标Ⅱ卷T18
必备知识　回顾
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有____的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi__0(i=1,2,…,n).
(2)p1+p2+…+pn=__.
1
知识梳理
唯一
≥
1
4.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)=____________________=xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的________.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
x1p1+x2p2+…+xnpn
平均水平
(2)方差
称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的______,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的________.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=__________.
(2)D(aX+b)=__________.(a,b为常数)
标准差
偏离程度
aE(X)+b
a2D(X)
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
(2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2.
(4)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　 　)
(3)随机试验的结果与随机变量有对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应. (　 　)
(4)方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小. (　 　)
基础检测
×
√
√
√
2.(人教A版选择性必修第三册P66练习T1改编)已知离散型随机变量X的分布列为
则E(X)= (　 　)
A.
解析:由题意可得,E(X)=1×.故选A.
X 1 2 3
P
A
3.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)随机变量X与Y满足Y=2X+1,若D(X)=2,则D(Y)= (　 　)
A.8 B.5
C.4 D.2
解析:D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=4×2=8.故选A.
A
4.(人教A版选择性必修第三册P67练习T3改编)有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 (　 　)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
B
解析:已知样本方差D(X乙)=3.4,D(X甲)=11,由此估计,乙种水稻的方差
为3.4,甲种水稻的方差为11.因为3.4<11,所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B.
关键能力　提升
考点1 离散型随机变量分布列的性质
【例1】　(多选)已知离散型随机变量X的分布列为
则下列选项正确的是 (　 　)
A.m+n=0.7
B.若m=0.3,则P(X>3)=0.5
C.若m=0.9,则n=-0.2
D.P(X=1)=2P(X=6)
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
ABD
【解析】　对于A,由分布列的性质,可得0.2+m+n+0.1=1,解得m+n=0.7,故A正确;对于B,若m=0.3,可得n=0.4,则P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5,故B正确;对于C,由概率的定义,知m≥0,n≥0,故C错误;对于D,由P(X=1)=0.2,P(X=6)=0.1,得P(X=1)=2P(X=6),故D正确.故选ABD.
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
规律总结
【对点训练1】　(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示,其中a,b,c成等差数列,则下列选项正确的是 (　 　)
A.a=
C.c= D.P(|X|=1)=
X -1 0 1
P a b c
BD
解析:由题意,得a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.对于B,D,由分布列的性质,得a+b+c=3b=1,∴b=,∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-,故B,D正确;对于A,C,∵题目中未给出a与c的关系,只知道a+c=,∴无法求出a与c的值,故A,C错误.故选BD.
考点2 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题角度1　离散型随机变量的分布列及数字特征
【例2】　某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛,本次比赛共分三个环节,每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个(决赛)环节,前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败,即终止比赛.现有甲、乙、丙三位同学参加比赛,甲同学通过前两个环节的概率分别为,乙同学和丙同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为.
(1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率;
【解】甲、乙、丙三位同学仅通过第一个环节的概率分别为P1=,P2=,P3=,
所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率P=.
(2)设进入决赛的同学人数为X,求X的分布列与数学期望.
【解】记甲、乙、丙三位同学进入决赛分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望E(X)=0×.
X 0 1 2 3
P
命题角度2　均值(数学期望)与方差的性质及应用
【例3】　(多选)已知随机变量ξ的分布列如下:
则下列结论正确的是 (　 　)
A.E(ξ)=1 B.E(2ξ+1)=2
C.D(ξ)= D.D(2ξ+1)=5
ξ 0 1 2 3
P m
ACD
【解析】　由分布列的性质,可得m+=1,解得m=,所以E(ξ)=0×=1,则E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=3,又由D(ξ)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2+×(3-1)2=,可得D(2ξ+1)=4D(ξ)=5.故选ACD.
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义,写出ξ的所有可能取值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值、方差的定义求E(ξ),D(ξ).
规律总结
【对点训练2】　某班级有甲、乙两名同学参加数学竞赛,甲获奖的概率为0.6,乙获奖的概率为0.5,且两人是否获奖相互独立.
(1)求两人都获奖的概率;
解:两人都获奖的概率P=0.6×0.5=0.3.
(2)设X为两人中获奖的人数,求X的分布列和数学期望.
解:依题意,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2,P(X=1)=0.6×(1-0.5)+(1-0.6)×0.5=0.5,P(X=2)=0.3,
所以X的分布列为
期望E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1.
X 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
考点3 均值与方差中的决策问题
【例4】　为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求X,Y的概率分布列;
【解】　依题意,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,
∴X的概率分布列为
Y的概率分布列为
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)求X,Y的数学期望与方差,以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
【解】由(1)可得,E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环),
E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环),
D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21,
由于E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高,∵D(X)∴甲比乙的射击技术好,故应选拔甲射手参加奥运会.
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,则再用方差来决定.
规律总结
【对点训练3】　甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏,令甲班同学目测的误差为X(单位:cm),乙班同学目测的误差为Y(单位:cm).根据游戏记录,统计结果为P(X=-2)=0.1,P(X=-1)=0.2,P(X=0)
=0.4,P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.1;P(Y=-2)=0.05,P(Y=-1)=0.15,P(Y=0)=
0.6,P(Y=1)=0.15,P(Y=2)=0.05.
(1)分别列出随机变量X,Y的分布列.
解:根据已知条件,X的分布列是
Y的分布列是
X -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
Y -2 -1 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
(2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度 解释你的理由(可以通过观察给出答案,但必须包含必要的计算过程).
解:直观观察X的分布离散程度较大,所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度.由(1)知,E(X)=-2×0.1-1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0,
E(Y)=-2×0.05-1×0.15+0×0.6+1×0.15+2×0.05=0,所以E(X)=E(Y),
所以要通过两个班数据的方差比较,说明哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度.
因为D(X)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,D(Y)=
(-2)2×0.05+(-1)2×0.15+02×0.6+12×0.15+22×0.05=0.7,所D(X)>D(Y),
故乙班的情况波动小,所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度.
高考真题 教材典题
(北师大版选择性必修第一册P202习题6-2 A组T6)在一个箱子里装有编号为1,2,3,4,5的完全一样的5个球,现从中同时取出2个球,设X表示取出球的最大编号,求X的分布列.
考教衔接
解析:方法一　依题意,X的可能取值为1,2,3,总的选取可能数为53=125,其中X=1:三次抽取同一球,选择球的编号有5种方式,故P(X=1)=
,X=2:恰好两种不同球被取出(即一球出现两次,另一球出现一次),选取出现两次的球有5种方式,选取出现一次的球有4种方式,其中选取出现一次球的位置有3种可能,故事
高考真题 教材典题
(北师大版选择性必修第一册P202习题6-2 A组T6)在一个箱子里装有编号为1,2,3,4,5的完全一样的5个球,现从中同时取出2个球,设X表示取出球的最大编号,求X的分布列.
件X=2的可能情况有5×4×3=60(种),故P(X=2)=,X=3:三种不同球被取出,由排列数可知事件X=3的可能情况有5×4×3=60(种),故P(X=3)=,所以E(X)=1×
.
方法二　依题意,假设随机变量Xi,i=1,2,3,4,5,其中Xi=
Xi,由题意可知,球i在单次抽取中未被取出的概率为,由于抽取独立,三次均未取出球i的概率P(Xi=0)=,因此球i至少被取出一次的概率为P(Xi=1)=1-,故E(Xi)=,则由期望的线性性质,得E(X)=EE(Xi)=5E(Xi)=5×.
课时作业75
1.(5分)某活动室有足球和篮球,从中随机挑选2个球,若这2个球中足球的个数为X,且X的分布列如下表所示,则p= (　 　)
A.
解析:由题意可知,7p++p=1,解得p=.故选A.
基础巩固
A
X 0 1 2
P 7p p
2.(5分)随机变量X的分布列如下表所示,若随机变量Y=2X-1,则随机变量Y的数学期望E(Y)=(　 　)
A.
解析:由题意得,a=1-,故E(X)=0×,而Y=2X-1,从而E(Y)=2E(X)-1=2×.故选A.
A
X 0 1 2
P a
3.(5分)离散型随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,
P(X=2)=b,E(X)=1,则D(2X-1)= (　 　)
A.-0.2 B.0.6
C.0.8 D.1.6
解析:由题知,所以D(X)=(0-1)2×0.2+
(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4,所以D(2X-1)=4D(X)=1.6.故选D.
D
4.(5分)随机变量ξ的分布列如下表,若E(ξ)=,则D(ξ)= (　 　)
A.
解析:由.所以D(ξ)=.故选D.
D
ξ -1 0 1 2
P 2a a 2a b
5.(5分)某企业将9个培训名额分配给4个部门,每个部门至少分得1个名额,设ξ为这4个部门中分得的最少名额数,则ξ的方差为 (　 　)
A.
解析:依题意,ξ的可能取值为1,2,P(ξ=2)=,P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=,则ξ的期望E(ξ)=1×,方差D(ξ)=.故选C.
C
6.(5分)(2025·贵州黔东南一模)在规定时间内,甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5,0.6,0.5,且这三人是否能按时完成任务相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X,则E(X)= (　 　)
A.1.5 B.1.6
C.1.7 D.1.8
B
解析:由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=0.5×0.4×0.5=0.1,
P(X=1)=0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.5+0.5×0.4×0.5=0.35,P(X=3)=0.5×0.6×0.5=0.15,所以P(X=2)=1-0.1-0.35-0.15=0.4,所以E(X)=0×0.1+
1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.故选B.
7.(6分,多选)(人教A版选择性必修第三册P69例6改编)已知投资甲、乙两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下,则 (　 　)
A.m+n=0.5
B.投资两种项目的收益期望相等
C.E(2X+1)=4,D(2X+1)=6.4
D.投资甲项目的风险比乙项目高
ABD
X/百万元 -1 0 2
P 0.2 m 0.6
Y/百万元 0 1 2
P 0.3 0.4 n
解析:对于A,依题意可得,0.2+m+0.6=1,所以m=0.2,0.3+0.4+n=1,所以n=0.3,所以m+n=0.5,故A正确;对于B,C,E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6
=1,E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,所以E(X)=E(Y),E(2X+1)=2E(X)+1
=3,故B正确,C错误;对于D,D(X)=(-1-1)2×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2×
0.6=1.6,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,则D(X)>D(Y),又E(X)=E(Y),所以投资甲项目的风险比乙项目高,故D正确.故选ABD.
8.(6分,多选)已知随机变量X,Y均服从两点分布,若P(X=1)=P(Y=1)=,且P(XY=0)=1,则(　 　)
A.E(3X+2)=3
B.P(XY=1)=0
C.P(X=0,Y=1)=
D.P(X=Y)=
ABD
解析:对于A,因为随机变量X,Y均服从两点分布,P(X=1)=P(Y=1)=,所以P(X=0)=P(Y=0)=,E(X)=E(Y)=,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=3,故A正确;对于B,因为P(XY=0)=1,所以P(XY=1)=P(X=1,Y=1)=0,故B正确;对于C,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=1)=,解得P(X=0,Y=1)=,故C错误;对于D,P(X=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=0)=,解得P(X=1,Y=0)=
,P(XY=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=1,所以P(X=0,Y=0)=,P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=0)=0+,故D正确.故选ABD.
9.(5分)某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的分布列为
则P(X≥9)=______.
解析:由分布列可得,0.06+0.14+m+2m+0.2=1,解得m=0.2,则P(X≥9)=0.4+0.2=0.6.
0.6
X 6 7 8 9 10
P 0.06 0.14 m 2m 0.2
10.(5分)(2026·河南南阳一模)某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,则该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,公司应要求顾客交保险金为____________元.
(p+0.1)a
解析:设保险公司应要求顾客交x元保险金,若ξ元表示公司每年的收益额,则ξ是一个随机变量,ξ的取值范围为{x-a,x},P(ξ=x-a)=p,P(ξ=x)=1-p,则ξ的分布列为
因此,公司每年收益的期望值E(ξ)=p(x-a)+x(1-p)=x-ap,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,则x-ap=0.1a,解得x=ap+0.1a=(p+0.1)a.
ξ x-a x
P p 1-p
11.(18分)对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:
887　939　643　996　715　838　1 082
923　901　1 182　1 035　863　772　943
1 035　1 022　855　1 118　768　809
将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.
(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率,分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率.
解:将20年的年降水量按照降水量等级分类,可知降水量偏少的年份有4年,概率可估计为=0.2;降水量适中的年份有10年,概率可估计为=0.5;降水量偏多的年份有6年,概率可估计为=0.3.
于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2,0.5,0.3.
(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/亩)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植 请说明理由.
作物种类 年降水量 偏少 适中 偏多
甲 8 12 8
乙 12 10 7
丙 7 10 12
解:作物丙最适合在该地区推广种植.理由如下:设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润(单位:千元)分别是随机变量X,Y,Z,则X的分布列为
故种植甲则每亩地获利的期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10,
Y的分布列为
X 8 12
P 0.5 0.5
Y 12 10 7
P 0.2 0.5 0.3
故种植乙则每亩地获利的期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5,
Z的分布列为
故种植丙则每亩地获利的期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10,所以E(Y)0.5×(10-10)2+0.3×(12-10)2=3,D(X)>D(Z),故种植丙时获利的稳定性更好.因此,作物丙最适合在该地区推广种植.
Z 7 10 12
P 0.2 0.5 0.3
12.(20分)已知某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表:
项目 红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件A为小明取到红色外观的模型,事件B为小明取到米色内饰的模型,求P(B)和P(B|A),并判断事件A和事件B是否独立.
解:由题表知,棕色内饰、红色外观的模型有12个,米色内饰、红色外观的模型有2个,∴P(A)=.
红色外观、米色内饰的模型有2个,蓝色外观、米色内饰的模型有3个,
∴P(B)=.
红色外观、米色内饰的模型有2个,
∴P(AB)=,则P(B|A)=
.
∵P(A)P(B)=,∴P(A)P(B)≠P(AB),即事件A和事件B不独立.
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设.
假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色;
假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;
假设3:该抽奖活动的奖金额为一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元.
请你分析奖项对应的结果,设X为奖金额,写出X的分布列并求出X的数学期望.
解:由题意知,X的所有可能取值为600,300,150.
外观和内饰均为同色的概率P1=,
外观和内饰都异色的概率
P2=,
仅外观或仅内饰同色的概率P3=1-,
∵,∴三等奖对应拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色,二等奖对应拿到的两个模型外观和内饰均为同色,一等奖对应拿到的两个模型外观和内饰都异色,
∴P(X=150)=,P(X=300)=,P(X=600)=,
则X的分布列为
则E(X)=150×=277.
X 150 300 600
P
13.(5分)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=0.3,D(ξ)=0.76,则E(ξ)=______.
解析:设P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,则0.3+a+b=1,即a+b=0.7,则E(ξ)=0×0.3+1×a+2×b=a+2b,E(ξ2)=02×0.3+12×a+22×b=a+4b,由D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=a+4b-(a+2b)2=3b+0.7-(b+0.7)2=0.76,整理得b2-1.6b+0.55=0,而0≤b≤0.7,解得b=0.5,a=0.2,所以E(ξ)=a+2b=1.2.
1.2
素养提升
14.(5分)(2026·安徽滁州一模)如图,某停车区域共有6个停车位,现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X,则X的数学期望为__.

1
解析:X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=
,P(X=2)=
,P(X=3)=,所以X的数学期望为E(X)=0×=1.
本课结束

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