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湖南省长沙市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025秋 柳东新区期中）在有理数1、0、﹣1、﹣2中，最小的有理数是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
2．（3分）（2024春 城厢区校级期中）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2024春 崇阳县期末）下列生活现象中，属于平移现象的是（　　）
A．急刹车时汽车在地面滑行
B．风车的转动
C．足球在草地上滚动
D．钟摆的摆动
4．（3分）（2022秋 南海区校级月考）已知点P（2﹣x，3x+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣6，6） B．（3，﹣3）
C．（6，﹣6）或（3，3） D．（﹣6，6）或（﹣3，﹣3）
5．（3分）（2024春 鼓楼区校级期末）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．假命题的逆命题未必是假命题
D．所有定理都是真命题
7．（3分）（2025 五华区校级模拟）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当a＝6，b＝7时，该微观粒子的能量E的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间
8．（3分）（2025秋 中原区期中）《热辣滚烫》电影展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小强和小华也去观看了电影，如图是利用平面直角坐标系绘制的影院内平面图，若分别以正东、正北为x轴、y轴正方向，小明在（﹣2，﹣3），小强在（﹣1，0），那么小华的位置是（　　）
A．（2，3） B．（1，1） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
9．（3分）（2025春 昌乐县校级期中）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180°
10．（3分）（2024春 武汉期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m+3n＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 容城县月考）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于　 　 ．
12．（3分）（2024春 普陀区期末）请写出一个在直角坐标平面内不属于任何象限的点的坐标：　 　 ．
13．（3分）（2024春 凤庆县期末）已知是关于x，y的二元一次方程ax+3y＝5的解，则a的值是　 　 ．
14．（3分）（2024春 滨海新区校级期中）若（2+a）2与互为相反数，则点（a，b）在第 　 　 象限．
15．（3分）（2025春 旌阳区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝125°，则∠EOC的度数为 　 　 ．
16．（3分）（2025秋 襄都区期中）已知a﹣1与3﹣2a是正实数b的两个不相等的平方根，那么b＝　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2024 双柏县三模）计算：．
18．（6分）用加减消元法解方程组：．
19．（6分）（2023春 海淀区校级月考）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BC．
20．（8分）（2025春 铁西区期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置，将点A向下平移5个单位到点C，点B为（2，1）．
（1）写出点C的坐标为 　 　 ．
（2）画出三角形ABC，并求出三角形ABC的面积．
（3）若点D在y轴上，且三角形ABD的面积等于三角形ABC面积的一半，直接写出点D的坐标．
21．（8分）（2025秋 四川校级期末）（1）化简：3（x2y+2xy）﹣2（3xy﹣x2y）；
（2）解方程：．
22．（9分）（2023秋 交城县期中）探究三角形的内角和．
（1）下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明．
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
已知：如图，△ABC，
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交AB于点F．
（2）请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理．
23．（9分）（2025秋 南川区月考）在某校组织的科技节活动中，需要制作一批科技小作品，准备购买A零件、B零件和C零件共500个（每种零件都要有），其中B零件的单价比A零件的单价贵0.6元，买4个A零件和2个B零件共需要6元．
（1）A零件和B零件的单价分别是多少元？
（2）若要求购买C零件的数量是A零件的3倍，A零件和B零件的单价不变，其中C零件的单价为m元，在总数量不变的前提之下，无论这三种零件的数量如何分配，总费用始终不变，求此时m的值和总费用．
24．（10分）（2021春 金东区期末）为庆祝中国共产党百年华诞，某区组织各校给每个老师都购买一套价值150元的党史书，供全区教师学习，书店给出一次购买80套以上时8折优惠．
（1）甲校购买此套书共付费5250元，求甲校购买此书的套数．
（2）乙校购买此套书共付费10200元，求乙校购买此书的套数．
（3）丙校单独支付购书款比丁校单独支付购书款少600元，两校单独支付购书款之和为22200元．
①求丙校、丁校单独支付书款数．
②若丙校和丁校两校合并一次性支付购书款，问与分别单独支付相比可以节省多少元？
25．（10分）（2024春 珠海期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A（0，a），B（b，0），C（3，4）．
（1）请直接写出A、B的坐标；
（2）若点在第二象限内，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，求出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025秋 柳东新区期中）在有理数1、0、﹣1、﹣2中，最小的有理数是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
【考点】有理数大小比较．
【专题】数形结合；实数；运算能力．
【答案】A．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴最小的数是：﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）（2024春 城厢区校级期中）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】空间观念．
【答案】D
【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：∠1和∠2是同位角的是D选项，
故选：D．
【点评】本题考查了同位角的定义，掌握两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角是解题的关键．
3．（3分）（2024春 崇阳县期末）下列生活现象中，属于平移现象的是（　　）
A．急刹车时汽车在地面滑行
B．风车的转动
C．足球在草地上滚动
D．钟摆的摆动
【考点】生活中的平移现象．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，可得答案．
【解答】解：A、急刹车时汽车在地面滑行，属于平移现象，故A符合题意；
B、风车的转动，不属于平移现象，故B不符合题意；
C、足球在草地上滚动，不属于平移现象，故C不符合题意；
D、钟摆的摆动，不属于平移现象，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了图形的平移，掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解题的关键．
4．（3分）（2022秋 南海区校级月考）已知点P（2﹣x，3x+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣6，6） B．（3，﹣3）
C．（6，﹣6）或（3，3） D．（﹣6，6）或（﹣3，﹣3）
【考点】点的坐标．
【专题】分类讨论；平面直角坐标系；运算能力．
【答案】C
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（2﹣x，3x+6），且点P到两坐标轴的距离相等，
∴|2﹣x|＝|3x+6|，
∴2﹣x＝3x+6或2﹣x＝﹣3x﹣6，
解得x＝﹣1或x＝﹣4，
∴点P的坐标为（6，﹣6）或（3，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，列出绝对值方程是解题的关键，难点在于绝对值方程的求解．
5．（3分）（2024春 鼓楼区校级期末）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解．
【解答】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
60×（1﹣10%）＝54（公顷），
由题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到相等关系是解题的关键．
6．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．假命题的逆命题未必是假命题
D．所有定理都是真命题
【考点】命题与定理．
【专题】其他问题；推理能力．
【答案】B
【分析】由命题、逆命题、定理、逆定理的概念，即可判定．
【解答】解：A、C、D中的说法正确，故A、C、D不符合题意；
B、定理不一定都有逆定理，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握命题、逆命题、定理、逆定理的概念
7．（3分）（2025 五华区校级模拟）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当a＝6，b＝7时，该微观粒子的能量E的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间
【考点】估算无理数的大小；二次根式的性质与化简．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】把a、b的值代入即可计算E的值，再利用夹逼法估算的取值范围即可．
【解答】解：当a＝6，b＝7时，
，
∵，
∴，
即该微观粒子的能量E的值在6和7之间，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
8．（3分）（2025秋 中原区期中）《热辣滚烫》电影展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小强和小华也去观看了电影，如图是利用平面直角坐标系绘制的影院内平面图，若分别以正东、正北为x轴、y轴正方向，小明在（﹣2，﹣3），小强在（﹣1，0），那么小华的位置是（　　）
A．（2，3） B．（1，1） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】B
【分析】根据小明在（﹣2，﹣3），小强在（﹣1，0）建立平面直角坐标系，进而得解．
【解答】解：平面直角坐标系如下：
所以小华的位置是（1，1）；
故选：B．
【点评】本题考查了实际问题中确定位置，正确建立平面直角坐标系是关键．
9．（3分）（2025春 昌乐县校级期中）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据DF∥AC，可得∠C＝DFB，由∠C＝∠EDF，等量代换得到∠DFB＝∠EDF，进而推出DE∥BC，再结合平行线的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵DF∥AC，
∴∠C＝DFB（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠EDF，
∴∠DFB＝∠EDF（等量代换），
∴DE∥BC，故选项A正确，不符合题意；
∴∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等），故选项B正确，不符合题意；
∴∠AED＝∠C，
∴∠AED＝∠BFD，故选项C正确，不符合题意；
∴∠B+∠BDE＝180°，
∵∠CED与∠BDE不一定相等，
∴∠B+∠CED不一定等于180°，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理及性质的熟练掌握．
10．（3分）（2024春 武汉期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m+3n＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据方程组组的解为，得m+n＝2，m﹣n＝4，由此得m＝3，n＝﹣1，进而可得m+3n的值．
【解答】解：∵方程组的解为，
m，n满足二元一次方程组可看成关于（m+n）和（m﹣n）的二元一次方程组，
∴m+n＝2，m﹣n＝4，
解得：m＝3，n＝﹣1，
∴m+3n＝3+3×（﹣1）＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧，理解二元一次方程组的解是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 容城县月考）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于　2　 ．
【考点】实数的性质；相反数．
【专题】计算题；实数；符号意识；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：∵a和﹣1互为相反数，
∴a+（﹣1）＝0，
∴a＝1，
∴a+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
12．（3分）（2024春 普陀区期末）请写出一个在直角坐标平面内不属于任何象限的点的坐标：　（0，﹣1）（答案不唯一）　 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；几何直观．
【答案】（0，﹣1）（答案不唯一）．
【分析】根据x轴或y轴上的点不属于任何象限解答即可．
【解答】解：在直角坐标平面内不属于任何象限的点的坐标可以是（0，﹣1）等．
故答案为：（0，﹣1）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了点的坐标：平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应．也考查了各象限内的点的坐标特点．
13．（3分）（2024春 凤庆县期末）已知是关于x，y的二元一次方程ax+3y＝5的解，则a的值是　4　 ．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据题意可得：把代入方程ax+3y＝5中得：2a﹣3＝5，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：把代入方程ax+3y＝5中得：2a﹣3＝5，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（3分）（2024春 滨海新区校级期中）若（2+a）2与互为相反数，则点（a，b）在第 　二　 象限．
【考点】非负数的性质：算术平方根；点的坐标；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】二．
【分析】根据相反数的定义得到，再由非负性的性质求出a＝﹣2，b＝6，据此可得答案．
【解答】解：∵（2+a）2与互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴2+a＝0，6﹣b＝0，
∴a＝﹣2，b＝6，
∴（a，b），即（﹣2，6）在第二象限，
故答案为：二．
【点评】本题主要考查了非负性的性质，判断点所在的象限，正确进行计算是解题关键．
15．（3分）（2025春 旌阳区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝125°，则∠EOC的度数为 　35°　 ．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】35°．
【分析】根据对顶角性质得∠BOC＝∠AOD＝125°，再根据EO⊥AB得∠BOE＝90°，然后根据∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE即可得出答案．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝125°，
∴∠BOC＝∠AOD＝125°，
∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝35°，
故答案为：35°．
【点评】此题主要考查了垂线的定义，对顶角的性质，理解垂线的定义，对顶角的性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
16．（3分）（2025秋 襄都区期中）已知a﹣1与3﹣2a是正实数b的两个不相等的平方根，那么b＝　1　 ．
【考点】平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可．
【解答】解：根据题意可知，a﹣1与3﹣2a互为相反数，即 a﹣1+3﹣2a＝0，
解得：a＝2，
∴a﹣1＝1，3﹣2a＝﹣1，
解得：b＝12＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平方根，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2024 双柏县三模）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】6．
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，再计算立方根和去绝对值以及乘法，最后计算加减法即可．
【解答】解：
＝6．
【点评】本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
18．（6分）用加减消元法解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①+②×2得：7x＝14，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得：2+2y＝4，
解得：y＝1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有两种：代入消元法及加减消元法．
19．（6分）（2023春 海淀区校级月考）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BC．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠BAF（两直线平行，同位角相等；），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠BAF（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠CAD，
∴∠3＝∠CAD（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
【分析】根据平行线的性质与判定即可求解．
【解答】证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠BAF（两直线平行，同位角相等；），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠BAF（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠CAD，
∴∠3＝∠CAD（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
20．（8分）（2025春 铁西区期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置，将点A向下平移5个单位到点C，点B为（2，1）．
（1）写出点C的坐标为 　（﹣2，﹣4）　 ．
（2）画出三角形ABC，并求出三角形ABC的面积．
（3）若点D在y轴上，且三角形ABD的面积等于三角形ABC面积的一半，直接写出点D的坐标．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）（﹣2，﹣4）．
（2）画图见解答；10．
（3）（0，）或（0，）．
【分析】（1）由图可得，点A的坐标为（﹣2，1），根据平移的性质可得答案．
（2）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可；利用三角形的面积公式计算即可．
（3）设点D的坐标为（0，m），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由图可得，点A的坐标为（﹣2，1），
∵点A向下平移5个单位到点C，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
（2）如图，三角形ABC即为所求．
三角形ABC的面积为10．
（3）设点D的坐标为（0，m），
∵三角形ABD的面积等于三角形ABC面积的一半，
∴，
解得m或，
∴点D的坐标为（0，）或（0，）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
21．（8分）（2025秋 四川校级期末）（1）化简：3（x2y+2xy）﹣2（3xy﹣x2y）；
（2）解方程：．
【考点】解一元一次方程；整式的加减．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）5x2y；
（2）x＝﹣5．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则计算即可；
（2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【解答】解：（1）3（x2y+2xy）﹣2（3xy﹣x2y）
＝3x2y+6xy﹣6xy+2x2y
＝5x2y；
（2），
去分母，得3（x﹣3）＝2（2x+1）﹣6，
去括号，得3x﹣9＝4x+2﹣6，
移项、合并同类项，得﹣x＝5，
将系数化为1，得x＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元一次方程，整式的加减，掌握解一元一次方程的方法，整式的加减运算法则是解题的关键．
22．（9分）（2023秋 交城县期中）探究三角形的内角和．
（1）下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明．
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
已知：如图，△ABC，
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交AB于点F．
（2）请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理．
【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交AB于点F，根据平行线的性质将三个内角转化到平角，即可得证；
（2）如图，过点A作DE∥BC，依据平行线的性质，即可得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，从而可求证三角形的内角和为180°．
【解答】证明：（1）在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交AB于点F，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC，∠A＝∠CED，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠BDF，∠CED＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF，
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°，
（2）如图，过点A作DE∥BC，
则∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC．（两直线平行，内错角相等）
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠DAB+∠BAC+∠C＝180°．（平角的定义）
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
即三角形的内角和为180°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，关键是三角形内角和定理的应用．
23．（9分）（2025秋 南川区月考）在某校组织的科技节活动中，需要制作一批科技小作品，准备购买A零件、B零件和C零件共500个（每种零件都要有），其中B零件的单价比A零件的单价贵0.6元，买4个A零件和2个B零件共需要6元．
（1）A零件和B零件的单价分别是多少元？
（2）若要求购买C零件的数量是A零件的3倍，A零件和B零件的单价不变，其中C零件的单价为m元，在总数量不变的前提之下，无论这三种零件的数量如何分配，总费用始终不变，求此时m的值和总费用．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A零件的单价为0.8元，B零件的单价为1.4元．
（2）m的值为1.6元，总费用为700元．
【分析】（1）设A零件的单价为x元，B零件的单价为y元，根据题意列方程组即可解答；
（2）设购买A零件的数量为a个，则购买C零件的数量为3a个，购买B零件的数量为（500﹣a﹣3a）＝（500﹣4a）个，根据题意列方程组即可解答．
【解答】解：（1）设A零件的单价为x元，B零件的单价为y元，
根据题意得，
解得，
答：A零件的单价为0.8元，B零件的单价为1.4元．
（2）设购买A零件的数量为a个，则购买C零件的数量为3a个，购买B零件的数量为（500﹣a﹣3a）＝（500﹣4a）个，
根据题意得0.8a+1.4（500﹣4a）+3am＝0.8a+700﹣5.6a+3am＝700﹣4.8a+3am，
因为无论这三种零件的数量如何分配，总费用始终不变，
所以a的系数为0，
即﹣4.8+3m＝0，
解得m＝1.6，
将m＝1.6代入方程，可得700﹣4.8a+3a×1.6＝700﹣4.8a+4.8a＝700，
答：m的值为1.6元，总费用为700元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．
24．（10分）（2021春 金东区期末）为庆祝中国共产党百年华诞，某区组织各校给每个老师都购买一套价值150元的党史书，供全区教师学习，书店给出一次购买80套以上时8折优惠．
（1）甲校购买此套书共付费5250元，求甲校购买此书的套数．
（2）乙校购买此套书共付费10200元，求乙校购买此书的套数．
（3）丙校单独支付购书款比丁校单独支付购书款少600元，两校单独支付购书款之和为22200元．
①求丙校、丁校单独支付书款数．
②若丙校和丁校两校合并一次性支付购书款，问与分别单独支付相比可以节省多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）35套；
（2）68套或85套；
（3）①丙校10800元，丁校11400元；
②若丙购买90套，丁购买95套，合并支付与分开支付费用一样；
若丙购买72套，丁购买95套，此时合并支付可节省2160元；
若丙购买90套，丁购买76套，此时合并支付可节省2280元；
若丙购买72套，丁购买76套，此时合并支付可节省4440元．
【分析】（1）首先分析发现甲校购书在80套以内，直接除法计算即可；
（2）乙校购书可能在80套以下或者以上，分两种情况计算即可；
（3）①设丙校单独购买支付款为a元，则丁校单独购买支付款为（a+600）元，根据题意列一元一次方程a+a+600＝22200，求解即可得到丙、丁两校的购书款；②分别计算出丙、丁两校分别可能购书的套数，然后分4种情况计算可节省的购书款即可．
【解答】解：（1）5250÷150＝35（套），
答：甲校买了35套；
（2）设10200元买了x套，
当x≤80时，则150x＝10200，解得x＝68，
当x＞80 时，则150x 0.8＝10200，解得x＝85，
答：乙校买了68套或85套；
（3）①设丙校单独购买支付款为a元，则丁校单独购买支付款为（a+600）元，
由题意得，
a+a+600＝22200，
解得，a＝10800，
a+600＝10800+600＝11400（元），
答：丙校单独支付款为10800元，丁校单独支付款为11400元；
②10800÷150＝72（套），10800÷150÷0.8＝90（套），
故丙校购书72套或90套；
11400÷150＝76（套），11400÷150÷0.8＝95（套），
故丁校购书76套或95套；
若丙购买90套，丁购买95套，合并支付与分开支付费用一样；
若丙购买72套，丁购买95套，22200﹣（72+95）×150×0.8＝2160（元），此时合并支付可节省2160元；
若丙购买90套，丁购买76套，22200﹣（90+76）×150×0.8＝2280（元），此时合并支付可节省2280元；
若丙购买72套，丁购买76套，22200﹣（72+76）×150×0.8＝4440（元），此时合并支付可节省4440元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据题意分类讨论，并列出方程是解本题的关键．
25．（10分）（2024春 珠海期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A（0，a），B（b，0），C（3，4）．
（1）请直接写出A、B的坐标；
（2）若点在第二象限内，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，求出点P的坐标．
【考点】三角形的面积；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；三角形；推理能力．
【答案】（1）点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，0）；
（2）3﹣m；
（3）．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得出点A、B的坐标；
（2）根据S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP计算即可；
（3）先求出△ABC的面积，即可得到3﹣m＝6，从而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵，
又∵|a﹣2|≥0，，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∵点A（0，a），B（b，0），
∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，0）；
（2）∵点在第二象限内，
∴m＜0，
∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP
＝3﹣m；
（3）∵A（0，2），B（3，0），C（3，4），
∴，
由题意得，3﹣m＝6，
∴m＝﹣3，
∴点P的坐标．
【点评】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，解题的关键是熟记三角形的面积公式．

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