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湖南省长沙市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025春 普宁市校级月考）下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2021秋 南岗区校级期末）下列各数：、、π、，其中无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）（2024春 雨花区期末）已知点A（a+1，a﹣2）在x轴上，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（3分）（2024春 陈仓区期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠BOD＝25°，则∠AOC的度数为（　　）
A．115° B．155° C．75° D．135°
5．（3分）（2024春 大足区校级期中）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．无限小数就是无理数
C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．实数与数轴上的点一一对应
6．（3分）（2024 沈丘县二模）下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2024 吉林二模）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝∠2＝∠3，下列说法错误的是（　　）
A．∠1＝90° B．b⊥c C．a∥b D．a⊥b
8．（3分）（2024春 朝阳区期末）解二元一次方程组时，由①﹣②可得（　　）
A．﹣2y＝1 B．﹣2y＝﹣1 C．﹣4y＝﹣1 D．4y＝﹣1
9．（3分）（2024春 北辰区期中）如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC．下列关于距离的语句：
①线段PB的长是点P到直线a的距离；
②PA，PB，PC三条线段中，PB最短；
③线段AC的长是点A到直线PC的距离；
④线段PC是点C到直线PA的距离．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）（2025 山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025春 青秀区校级期末）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 　 　 ．
12．（3分）（2024春 浦东新区期末）如图，已知直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1＝115°，则直线c与直线a的夹角是 　 　 度．
13．（3分）（2025秋 南海区校级月考）若一个正数的两个不同平方根分别是a+5和2a﹣11，则a＝　 　 ．
14．（3分）（2025春 郯城县期末）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为（2，90°），目标B的位置为　 　 ．
15．（3分）（2023春 天山区校级期末）若点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上，则m的值是 　 　 ．
16．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解是，关于a，b的二元一次方程组的解是　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）求下列各式中x的值：
（1）x2﹣81＝0；
（2）25﹣64x2＝0；
（3）4（1﹣2x）2﹣1＝0．
18．（6分）（2024春 昭阳区期中）如图，直线AB与CD被直线EF所截，交点分别为M、N．已知AB∥CD，求证：∠EMB＝∠CNF．
19．（6分）（2025秋 即墨区月考）解方程组：
（1）；
（2）．
20．（8分）（2023秋 铁西区期末）一副三角板ABC．DBE，如图1放置，三角板的一边重合（∠D＝30°、∠BAC＝45°）．
（1）请直接写出图1中，∠ABD＝　 　 度；
（2）如图2，将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度：
①若旋转到∠DBC＝90°时，请求出∠ABE的度数；
②若旋转到0°＜∠CBE＜45°时，请求出∠DBC+∠ABE的度数．
21．（8分）（2025春 防城港期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到△A1B1C1．
（1）请在图中画出△A1B1C1；
（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
22．（9分）（2025秋 平武县期中）如图，AD⊥BE，BC⊥BE，AB∥CD，点C，D，E在同一条直线上．
（1）判断AD，BC的位置关系，并说明理由．
（2）若∠E＝28°，求∠ABC的度数．
23．（9分）（2024春 马尾区校级期中）已知2a﹣1的立方根为3，a+3b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
24．（10分）（2025春 梁平区期末）已知二元一次方程2x+5y＝28．
（1）若x、y互为相反数，求3x+2y的值；
（2）直接写出此方程的所有正整数解．
25．（10分）（2023春 章丘区期中）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE＝90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E＝90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE＝∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025春 普宁市校级月考）下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可．
【解答】解：根据对顶角的定义可知，只有选项B的∠1与∠2是对顶角，其它都不是．
故选：B．
【点评】本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义．
2．（3分）（2021秋 南岗区校级期末）下列各数：、、π、，其中无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：，、是有理数；
π是无理数；
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的定义，掌握根据无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有π的数，③形如0.1010010001 （每两个1增加一个0）．”是解题的关键．
3．（3分）（2024春 雨花区期末）已知点A（a+1，a﹣2）在x轴上，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0解答即可．
【解答】解：∵点P（a+1，a﹣2）在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，
∴a﹣2＝0，
即a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
4．（3分）（2024春 陈仓区期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠BOD＝25°，则∠AOC的度数为（　　）
A．115° B．155° C．75° D．135°
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据垂直的定义求出∠BOC＝65°，再根据平角的定义即可得到∠AOC．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠BOD＝25°，
∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝65°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝115°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂线，熟记垂线的定义，求出∠BOC＝65°是解题的关键．
5．（3分）（2024春 大足区校级期中）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．无限小数就是无理数
C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．实数与数轴上的点一一对应
【考点】命题与定理；实数；实数与数轴；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角．
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质、无理数的概念、点到直线的距离的概念、实数与数轴判断即可．
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、无限不循环小数就是无理数，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、实数与数轴上的点一一对应，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）（2024 沈丘县二模）下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】立方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A选项：，故本选项错误；
B选项：，故本选项错误；
C选项：，故本选项错误；
D选项：，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质，关键是二次根式性质的运用．
7．（3分）（2024 吉林二模）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝∠2＝∠3，下列说法错误的是（　　）
A．∠1＝90° B．b⊥c C．a∥b D．a⊥b
【考点】平行线的判定；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】由邻补角的性质得到∠1+∠2＝180°，而∠1＝∠2，得到∠1＝90°，由∠3＝∠1＝90°，判定b⊥c，由a⊥c，b⊥c，推出a∥b，a和b不垂直．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝90°，
故A不符合题意；
∵∠3＝∠1＝90°，
∴b⊥c，
故B不符合题意；
∵∠1＝90°，
∴a⊥c，
∵b⊥c，
∴a∥b，
故C不符合题意；
a和b平行，不垂直，
故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定，邻补角、对顶角，垂线，关键是掌握垂直的定义，平行线的判定方法，邻补角的性质．
8．（3分）（2024春 朝阳区期末）解二元一次方程组时，由①﹣②可得（　　）
A．﹣2y＝1 B．﹣2y＝﹣1 C．﹣4y＝﹣1 D．4y＝﹣1
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】①﹣②得出（2x+y）﹣（2x﹣3y）＝3﹣4，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：①﹣②，得4y＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
9．（3分）（2024春 北辰区期中）如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC．下列关于距离的语句：
①线段PB的长是点P到直线a的距离；
②PA，PB，PC三条线段中，PB最短；
③线段AC的长是点A到直线PC的距离；
④线段PC是点C到直线PA的距离．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】点到直线的距离；比较线段的长短；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】根据点到直线距离的定义及垂线段最短，对题目中给出语句逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：∵PB⊥a，
∴线段PB的长是点P到直线a的距离，
故①正确；
根据垂线段最短得：PA，PB，PC三条线段中，PB最短，
故②正确；
∵AC与PC不垂直，
∴线段AC的长不是点A到直线PC的距离，
故③不正确；
∵PA⊥PC，
∴线段PC的长是点C到直线PA的距离，
故④正确．
综上所述：正确的是①②④，共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了点到直线距离的定义及垂线段最短，准确识图，熟练掌握点到直线距离的定义及垂线段最短是解决问题的关键．
10．（3分）（2025 山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025春 青秀区校级期末）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 　垂线段最短　 ．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】垂线段最短
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：使所开挖的水渠最短，其依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查的是垂线段的性质，熟记垂线段最短是解题的关键．
12．（3分）（2024春 浦东新区期末）如图，已知直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1＝115°，则直线c与直线a的夹角是 　115或65　 度．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】115或65．
【分析】先根据平行线的性质得出∠2的度数，再由平角的定义即可得出∠3的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1＝115°，
∴∠2＝∠1＝115°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣115°＝65°，
∴直线c与直线a的夹角是115°或65°．
故答案为：115或65．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
13．（3分）（2025秋 南海区校级月考）若一个正数的两个不同平方根分别是a+5和2a﹣11，则a＝　2　 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据一个正数的两个平方根的特点列方程求解即可．
【解答】解：根据题意可知，a+5+2a﹣11＝0，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键．
14．（3分）（2025春 郯城县期末）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为（2，90°），目标B的位置为　（4，30°）　 ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（4，30°）
【分析】第1个数字为点所在圈数，第2个数据为所在射线对应的角度，从而得出答案．
【解答】解：由题意知目标B的位置表示为（4，30°），
故答案为：（4，30°）．
【点评】本题考查坐标确定位置，理解有序数对所表示的实际意义是做此题的关键．
15．（3分）（2023春 天山区校级期末）若点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上，则m的值是 　或2　 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】或2．
【分析】分点P在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在x轴上时，﹣1﹣3m＝0，解得m；
当点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在y轴上时，m﹣2＝0，解得m＝2．
故答案为：或2．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
16．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解是，关于a，b的二元一次方程组的解是　　 ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】设2a+b＝t，2b＝s，可得，进而根据题意得到关于s、t的二元一次方程组的解是，则，解方程组即可得到答案．
【解答】解：设2a+b＝t，2b＝s，
原方程组转化为．
∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴关于s、t的二元一次方程组的解是．
∴．
解得，
∴关于a，b的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）求下列各式中x的值：
（1）x2﹣81＝0；
（2）25﹣64x2＝0；
（3）4（1﹣2x）2﹣1＝0．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x＝±9；
（2）x＝±；
（3）x或x．
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据平方根的定义解方程即可；
（3）根据平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣81＝0，
x2＝81，
x＝±9；
（2）25﹣64x2＝0，
64x2＝25，
，
x＝±；
（3）4（1﹣2x）2﹣1＝0，
4（1﹣2x）2＝1，
，
1﹣2x，
x或x．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
18．（6分）（2024春 昭阳区期中）如图，直线AB与CD被直线EF所截，交点分别为M、N．已知AB∥CD，求证：∠EMB＝∠CNF．
【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见解析．
【分析】根据两直线平行，同位角相等得出∠AMN＝∠CNF，再根据对顶角相等得出∠AMN＝∠EMB，然后根据等量代换即可得证．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠CNF（两直线平行，同位角相等），
∵∠AMN＝∠EMB（对顶角相等），
∴∠EMB＝∠CNF（等量代换）．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握各知识点是解题的关键．
19．（6分）（2025秋 即墨区月考）解方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）把原方程组变形为：，然后再根据加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
②×3，得6x﹣3y＝24③，
①+③，得10x＝30，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得2×3﹣y＝8，
解得：y＝﹣2，
∴方程组的解为；
（2），
整理，得，
①+②，得6x＝24，
解得：x＝4，
把x＝4代入②，得3×4﹣2y＝8，
解得：y＝2，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
20．（8分）（2023秋 铁西区期末）一副三角板ABC．DBE，如图1放置，三角板的一边重合（∠D＝30°、∠BAC＝45°）．
（1）请直接写出图1中，∠ABD＝　15　 度；
（2）如图2，将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度：
①若旋转到∠DBC＝90°时，请求出∠ABE的度数；
②若旋转到0°＜∠CBE＜45°时，请求出∠DBC+∠ABE的度数．
【考点】角的计算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）15；
（2）①∠ABE＝15°，
②∠DBC+∠ABE＝105°．
【分析】（1）算出∠DBE、∠ABC的角度，∠ABD＝∠DBE﹣∠ABC，可得；
（2）①∠ABE＝∠DBE+∠ABC﹣∠DBC，
②∠DBC+∠ABE＝∠DBE+∠ABC．
【解答】解：（1）∠DBE＝90°﹣∠D＝60°，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝45°，
∠ABD＝∠DBE﹣∠ABC＝15°，
故答案为：15；
（2）①∠DBE＝90°﹣∠D＝60°，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝45°，
∠ABE＝∠DBE+∠ABC﹣∠DBC＝15°，
②∵0°＜∠CBE＜45°，
∴0°＜∠ABE＜45°，
∠DBC+∠ABE＝∠DBE+∠ABC＝105°．
【点评】本题考查了角的计算，关键是计算正确．
21．（8分）（2025春 防城港期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到△A1B1C1．
（1）请在图中画出△A1B1C1；
（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）A1（﹣2，﹣2），B1（0，2），C1（﹣3，1）；
（3）5．
【分析】（1）根据平移，确定变化后的坐标，描点画图即可；
（2）根据平移规律确定点的坐标即可；
（3）利用分割法计算面积即可．
【解答】解：（1）将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到△A1B1C1，如图即为所求；
（2）根据（1）得A1（﹣2，﹣2），B1（0，2），C1（﹣3，1）．
（3）根据题意，得△ABC得面积为：
．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，三角形的面积，熟练掌握平移和作图是解题的关键．
22．（9分）（2025秋 平武县期中）如图，AD⊥BE，BC⊥BE，AB∥CD，点C，D，E在同一条直线上．
（1）判断AD，BC的位置关系，并说明理由．
（2）若∠E＝28°，求∠ABC的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）118°．
【分析】（1）根据垂直定义求出∠EFD＝∠EBC＝90°，根据“同位角相等，两直线平行”即可得证；
（2）根据平行线的性质求出∠ABE＝∠E＝20°，结合垂直定义根据角的和差求解即可．
【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴∠EFD＝90°，∠EBC＝90°，
∴∠EFD＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠E＝28°，
∵BC⊥BE，
∴∠EBC＝90°，
∴∠ABC＝∠EBC+∠ABE＝118°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（9分）（2024春 马尾区校级期中）已知2a﹣1的立方根为3，a+3b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】±4．
【分析】利用立方根及算术平方根的定义列出方程，得到a与b的值，确定出a+2b的值，即可求出平方根．
【解答】解：由题意得2a﹣1＝27，a+3b﹣1＝16，
解得：a＝14，b＝1，
则a+2b＝14+2＝16，
∵（±4）2＝16，
∴a+2b的平方根是±4．
【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根和平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
24．（10分）（2025春 梁平区期末）已知二元一次方程2x+5y＝28．
（1）若x、y互为相反数，求3x+2y的值；
（2）直接写出此方程的所有正整数解．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）或．
【分析】（1）由题意得x＝﹣y，将其代入2x+5y＝28中解得y的值后即可求得x的值，再将其代入3x+2y中计算即可；
（2）根据题意写出该方程的所有正整数解即可．
【解答】解：（1）∵x、y互为相反数，
∴x＝﹣y，
∵2x+5y＝28，
∴﹣2y+5y＝28，
解得：y，
则x，
那么3x+2y＝x+2（x+y）0；
（2）当y＝1时，2x+5＝28，此时x＝11.5，不符合题意，
当y＝2时，2x+10＝28，此时x＝9，符合题意，
当y＝3时，2x+15＝28，此时x＝6.5，不符合题意，
当y＝4时，2x+20＝28，此时x＝4，不符合题意，
当y＝5时，2x+25＝28，此时x＝1.5，不符合题意，
综上，此方程的所有正整数解为或．
【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
25．（10分）（2023春 章丘区期中）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE＝90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E＝90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE＝∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
【考点】平行线的判定与性质；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）平行，证明见解析；
（2）存在，；
（3）∠BAC＝∠PQC+∠QPC．
【分析】（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE＝90°可知∠BAC+∠ACD＝180，故可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，故∠BAE+∠ECD＝90°，再由∠MCE＝∠ECD即可得出结论；
（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD＝180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ＝180°，故∠BAC＝∠PQC+∠QPC．
【解答】解：（1）平行．
理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）存在，．
理由如下：
过E作EF∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠E＝90°，
∴∠BAE+∠ECD＝90°，
∵∠MCE＝∠ECD，
∴；
（3）∵AB∥CD，，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ＝180°，
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC．
【点评】本题考查平行线的判定与性质及三角形内角和定理，涉及到角平分线的定义，根据题意作出平行线是解答此题的关键．

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