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广西南宁市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2023春 广饶县期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024春 海门区期末）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝2，c＝3 B．，，
C．a＝13，b＝14，c＝15 D．a＝15，b＝8，c＝17
3．（3分）（2024春 平谷区期末）如果函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数，那么（　　）
A．a＝﹣2或a＝0 B．a＝﹣2 C．a＝0 D．a＝1
4．（3分）（2024 邯郸模拟）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
（1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
5．（3分）（2023 贾汪区一模）某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件数 4 5 6 7 8
人数 2 6 5 4 3
这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（　　）
A．5、6 B．5、5 C．6、5 D．6、6
6．（3分）（2025春 延津县期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2025春 平武县期末）如图，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象交于点P，下列结论：①b＜0；②ac＜0；③当m＞1时，am+b＞cm+d；④a+b＝c+d；⑤c＞d．所有正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤
8．（3分）（2024秋 清苑区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）（2025春 镇平县期中）血药浓度（PlasmaConcentration）指药物吸收后在血浆内的总浓度，已知药物在体内的浓度随着时间而变化．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，有以下关于成人患者使用该药物的有关说法：①从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大；②当t＝1时，血药浓度达到最大为4amg/L；③每间隔4h服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3.8小时时，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒．以上说法中，正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
10．（3分）（2025春 余干县期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A．6 B． C．4 D．16
11．（3分）（2024春 天长市期中）如图，已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，且AB＝10，BC＝8，连接OC，则OC的长度是（　　）
A． B． C． D．4
12．（3分）（2024 新城区校级一模）若一次函数y＝（m﹣1）x﹣m﹣4的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．﹣4≤m＜1 B．m＞1 C．m≤﹣4 D．0＜m＜1
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）（2024秋 太康县校级期末）若要使二次根式有意义，则x的取值范围为　 　 ．
14．（3分）（2024春 瑞安市期中）甲、乙、丙三名运动员在最近的5次训练测试中，平均成绩都是85分，方差分别是S甲2＝11.0（分2），S乙2＝26.2（分2），S丙2＝10.4（分2），则这三名运动员5次训练测试中成绩最稳定的是 　 　 .（填“甲”或“乙”或“丙”）
15．（3分）（2025 宁江区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为 　 　 ．
16．（3分）（2025 光泽县模拟）如图1，在边长为2的正方形纸片ABCD上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以B，C为圆心，以1为半径作四分之一圆，剪去图1中的阴影部分，得到图2．用两个图2中的纸片，在每个纸片上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有 　 　 种．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）（2024春 朔州期末）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（10分）（2025 青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．
19．（10分）（2024 雁塔区校级模拟）为了解“枕头冬瓜”和“矮冬瓜”两种冬瓜的质量情况，某校科技小组从蔬菜大棚中分别随机调查两种冬瓜各20个，对其质量x（单位：斤）进行整理分析（数据分为五组：A.4≤x＜6，B.6≤x＜8，C.8≤x＜10，D.10≤x＜12，E.12≤x≤14），下面给出了部分信息：
“枕头冬瓜”质量统计表
组别 质量x（斤） 频数（个） 组内冬瓜的平均质量/斤
A 4≤x＜6 1 4.4
B 6≤x＜8 5 7
C 8≤x＜10 3 8
D 10≤x＜12 a 11.8
E 12≤x≤14 4 13.5
“枕头冬瓜”，“矮冬瓜”质量的平均数、中位数、众数、极差如下表：
品种 平均数 中位数 众数 极差
枕头冬瓜 b 11 10 8.5
矮冬瓜 9.9 c 9 10
“矮冬瓜”产量在C组中的数据是：8，8，9，9，9．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述统计图表中，a＝　 　 ，c＝　 　 ，扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数为 　 　 °；
（2）求出“枕头冬瓜”质量的平均数；
（3）若蔬菜大棚种植的“枕头冬瓜”有3000个，“矮冬瓜”有2500个，请估计质量在“10≤x＜12”范围的冬瓜的个数．
20．（10分）（2023秋 金凤区校级期中）周末，乐乐坐公交车到凤凰公园，他出发后0.8时到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到公园．乐乐离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往凤凰公园．如图是他们离家路程s（km）与乐乐离家时间t（h）的关系图．
（1）乐乐在新华书店逗留了 　 　 h；乐乐家到凤凰公园的距离是 　 　 km；
（2）分别求出乐乐从新华书店到凤凰公园的平均速度以及爸爸驾车的平均速度；
（3）求出乐乐从家到新华书店时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式．
21．（10分）（2025秋 市北区期末）文具店售卖笔记本和钢笔两种文具共100件，笔记本每本进价15元，售价20元；钢笔每支进价35元，售价45元．
（1）若文具店购进笔记本和钢笔恰好用去2700元，求购进笔记本和钢笔各多少件；
（2）若设文具店购进笔记本m件，将两种文具全部售出后的总利润为w元，求w与m的函数关系式．
22．（12分）（2025春 长宁区校级期中）我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形ABCD是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图1，点E是边AD的中点，作出边BC的中点F；
（2）如图2，在平行四边形ABCD的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形MNPQ是平行四边形；
（3）如图3，若四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上一点（BG＞GD），作一个菱形，使得AG为菱形的一边．
23．（12分）（2024春 泗水县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数y＝﹣mx+6的图象与边OA、BC分别交于点D、E，并且满足AD＝CE，点P是线段DE上的一个动点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P在∠AOC平分线上，求点P的坐标；
（3）连接OP，若OP把四边形ODEC面积分成3：5两部分，求点P的坐标；
（4）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2023春 广饶县期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、2，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）（2024春 海门区期末）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝2，c＝3 B．，，
C．a＝13，b＝14，c＝15 D．a＝15，b＝8，c＝17
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵22+22≠32，
∴a、b、c不能组成的三角形，不是直角三角形；
B、∵（）2+（）2≠（）2，
∴a、b、c不能组成的三角形，不是直角三角形；
C、∵132+142≠152，
∴a、b、c不能组成的三角形，不是直角三角形；
D、∵152+82＝172，
∴a、b、c能组成的三角形，是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．（3分）（2024春 平谷区期末）如果函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数，那么（　　）
A．a＝﹣2或a＝0 B．a＝﹣2 C．a＝0 D．a＝1
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据正比例函数定义可得|a+1|＝1且a+2≠0，再解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a+2）x|a+1|是正比例函数，
∴|a+1|＝1且a+2≠0，
解得：a＝0，
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的概念，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
4．（3分）（2024 邯郸模拟）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
（1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由作图得AB＝AD＝CB＝CD，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案．
【解答】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD，
∴AB＝AD＝CB＝CD，
∵四条边相等的四边形是菱形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：D．
【点评】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识，根据“四条边相等的四边形是菱形“证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
5．（3分）（2023 贾汪区一模）某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件数 4 5 6 7 8
人数 2 6 5 4 3
这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（　　）
A．5、6 B．5、5 C．6、5 D．6、6
【考点】众数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得．
【解答】解：因为5出现的次数最多，
所以众数是5，
将这组数据按从小到大进行排序后，第11个数和第10个数的平均数即为中位数，
所以中位数是，
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．
6．（3分）（2025春 延津县期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减乘除计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键．
7．（3分）（2025春 平武县期末）如图，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象交于点P，下列结论：①b＜0；②ac＜0；③当m＞1时，am+b＞cm+d；④a+b＝c+d；⑤c＞d．所有正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据函数的图象以及一次函数的性质判断即可．
【解答】解：由图象可知一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，故①错误；
∵由图象可知一次函数y＝cx+d的图象经过一、二、三象限，
∴c＞0，d＞0，
∴ac＜0，故②正确；
由图象可知，当m＞1时，am+b＜cm+d，故③错误；
∵一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象交于点P，且P的横坐标为1，
∴a+b＝c+d，故④正确；
∵函数y＝cx+d与x轴的交点为（﹣，0），且﹣＞﹣1，c＞0，
∴c＞d，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．难度适中．
8．（3分）（2024秋 清苑区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，则∠AFB＝90°，再由直角三角形斜边上的中线性质得AB＝2EF＝4，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AFB＝90°，
∵E为AB的中点，且EF＝2，
∴AB＝2EF＝4，
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
9．（3分）（2025春 镇平县期中）血药浓度（PlasmaConcentration）指药物吸收后在血浆内的总浓度，已知药物在体内的浓度随着时间而变化．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，有以下关于成人患者使用该药物的有关说法：①从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大；②当t＝1时，血药浓度达到最大为4amg/L；③每间隔4h服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3.8小时时，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒．以上说法中，正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，通过观察图象的变化情况分别判断即可．
【解答】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，
∴观察图象的变化情况可知：
从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度先逐渐增大，再逐渐减小，故①错误，不符合题意；
当t＝1时，血药浓度达到最大为4amg/L，故②正确，符合题意；
每间隔4h服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，故③正确，符合题意；
首次服用该药物1单位3.8小时后，血药浓度高于最低有效浓度，立即再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故④正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数与图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
10．（3分）（2025春 余干县期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A．6 B． C．4 D．16
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质，易证△BAC≌△ECD（AAS），可得AB＝CE，BC＝DE，根据a，c的面积以及勾股定理即可求出b的面积．
【解答】解：直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，如图，
根据题意，得AC＝CD，∠ABC＝∠CED＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠ECD＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
在△BAC和△ECD中，
，
∴△BAC≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE，
∴AB2＝5，DE2＝11，
∴BC2＝11，
根据勾股定理，AC2＝5+11＝16，
∴b的面积为16，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11．（3分）（2024春 天长市期中）如图，已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，且AB＝10，BC＝8，连接OC，则OC的长度是（　　）
A． B． C． D．4
【考点】勾股定理；矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为点D、E、F，由角平分线的性质得OD＝OF＝OE，设OE＝x，再证明Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），得AD＝AE＝6﹣x，同理BD＝BF＝8﹣x，易证AD＝AE＝6﹣x，BD＝BF＝8﹣x，利用AB＝AD+BD，解得x＝2，然后由勾股定理求得OC的长度即可．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为点D、E、F，
则四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF，OF＝CE，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵AO是∠CAB的角平分线，BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACB的角平分线，
∴OD＝OF＝OE，
设OE＝x，则OD＝OF＝CE＝CF＝OE＝x，
∴AE＝6﹣x，BF＝8﹣x，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴AD＝AE＝6﹣x，
同理BD＝BF＝8﹣x，
又∵AB＝AD+BD＝10，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
解得：x＝2，
∴CE＝OE＝2，
∴OC2，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键．
12．（3分）（2024 新城区校级一模）若一次函数y＝（m﹣1）x﹣m﹣4的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．﹣4≤m＜1 B．m＞1 C．m≤﹣4 D．0＜m＜1
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质解答判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣1）x﹣m﹣4的图象不经过第三象限，
∴m﹣1＜0，﹣m﹣4≥0，
解得m≤﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）（2024秋 太康县校级期末）若要使二次根式有意义，则x的取值范围为　　 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件得6x﹣2≥0，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．（3分）（2024春 瑞安市期中）甲、乙、丙三名运动员在最近的5次训练测试中，平均成绩都是85分，方差分别是S甲2＝11.0（分2），S乙2＝26.2（分2），S丙2＝10.4（分2），则这三名运动员5次训练测试中成绩最稳定的是 　丙　 .（填“甲”或“乙”或“丙”）
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】丙．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵S甲2＝11.0（分2），S乙2＝26.2（分2），S丙2＝10.4（分2），
∴S丙2＜S甲2＜S乙2，
∴这三名运动员5次训练测试中成绩最稳定的是丙．
故答案为：丙．
【点评】本题考查了方差的定义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是关键．
15．（3分）（2025 宁江区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为 　3　 ．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】3
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m的图象向下平移3个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：y＝﹣2x+m﹣3，
∵一次函数y＝﹣2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，
∴m﹣3＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数图象平移的规律是解题关键．
16．（3分）（2025 光泽县模拟）如图1，在边长为2的正方形纸片ABCD上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以B，C为圆心，以1为半径作四分之一圆，剪去图1中的阴影部分，得到图2．用两个图2中的纸片，在每个纸片上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有 　3　 种．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】3．
【分析】可求得2个图3的面积为4，可知拼成的正方形的边长为2，由此可得到剪拼方法．
【解答】解：由题意可知，2个图3的面积为4，可知拼成的正方形的边长为2，因此各剪1刀都得到边长为2的边，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形．
在每个图形上各剪一刀，如图所示：
拼接成的图形，如图所示：
拼接成的图形，如图所示：
拼接成的图形，如图所示：
共3种方法，
故答案为：3．
【点评】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）（2024春 朔州期末）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）原式根据二次根式的运算法则进行化简，再合并即可得到结果；
（2）原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，再约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）
；
（2）

，
当时，原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，分式的加减运算，关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
18．（10分）（2025 青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．
【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）矩形，证明见解析．
【分析】（1）证明OD是△ABC的中位线，得OD∥AC，再证明四边形AEDC是平行四边形，得AE＝CD，进而证明AE＝BD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，再由矩形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点O，D分别是边AB，BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE＝CD，
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形AEBD是矩形，证明如下：
∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
由（1）可知，四边形AEBD是平行四边形，
∴平行四边形AEBD是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19．（10分）（2024 雁塔区校级模拟）为了解“枕头冬瓜”和“矮冬瓜”两种冬瓜的质量情况，某校科技小组从蔬菜大棚中分别随机调查两种冬瓜各20个，对其质量x（单位：斤）进行整理分析（数据分为五组：A.4≤x＜6，B.6≤x＜8，C.8≤x＜10，D.10≤x＜12，E.12≤x≤14），下面给出了部分信息：
“枕头冬瓜”质量统计表
组别 质量x（斤） 频数（个） 组内冬瓜的平均质量/斤
A 4≤x＜6 1 4.4
B 6≤x＜8 5 7
C 8≤x＜10 3 8
D 10≤x＜12 a 11.8
E 12≤x≤14 4 13.5
“枕头冬瓜”，“矮冬瓜”质量的平均数、中位数、众数、极差如下表：
品种 平均数 中位数 众数 极差
枕头冬瓜 b 11 10 8.5
矮冬瓜 9.9 c 9 10
“矮冬瓜”产量在C组中的数据是：8，8，9，9，9．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述统计图表中，a＝　7　 ，c＝　9　 ，扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数为 　72　 °；
（2）求出“枕头冬瓜”质量的平均数；
（3）若蔬菜大棚种植的“枕头冬瓜”有3000个，“矮冬瓜”有2500个，请估计质量在“10≤x＜12”范围的冬瓜的个数．
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）7，9，72；
（2）10斤；
（3）1800个．
【分析】（1）用总数减去其他频数可得a的值，根据中位数的定义可得c的值；用360°乘B组所占百分比可得扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）利用样本估计总体可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，a＝20﹣1﹣5﹣3﹣4＝7，c9.5，
扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数为：360°×（1﹣10%﹣15%﹣30%）＝72°；
故答案为：7，9，72；
（2）“枕头冬瓜”质量的平均数为（4.4+7×5+8×3+11.8×7+13.5×4）＝10；
即“枕头冬瓜”质量的平均数为10斤；
（3）30002500×30%＝1050+750＝1800（个），
答：质量在“10≤x＜12”范围的冬瓜的个数大约为1800个．
【点评】本题考查了用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数、极差，解决本题的关键是综合运用以上知识．
20．（10分）（2023秋 金凤区校级期中）周末，乐乐坐公交车到凤凰公园，他出发后0.8时到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到公园．乐乐离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往凤凰公园．如图是他们离家路程s（km）与乐乐离家时间t（h）的关系图．
（1）乐乐在新华书店逗留了 　1.7　 h；乐乐家到凤凰公园的距离是 　30　 km；
（2）分别求出乐乐从新华书店到凤凰公园的平均速度以及爸爸驾车的平均速度；
（3）求出乐乐从家到新华书店时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】（1）1.7h，30km；
（2）12km/h，30km/h；
（3）s＝15t（0≤t≤0.8）．
【分析】（1）根据图象中数据坐标，即可求解；
（2）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；
（3）根据图象得出乐乐的速度为15（km/h），即可得他离家路程s与乐乐离家时间t之间的关系式．
【解答】解：（1）由图可得，乐乐在新华书店逗留了2.5﹣0.8＝1.7h，
乐乐家到凤凰公园的距离是30km，
故答案为：1.7，30；
（2）乐乐从新华书店到泉城公园的平均速度为：，
乐乐爸爸驾车的平均速度为：；
（3）设乐乐从家到新华书店的速度为
∴乐乐从家到新华书店时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式：s＝15t（0≤t≤0.8）．
【点评】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．
21．（10分）（2025秋 市北区期末）文具店售卖笔记本和钢笔两种文具共100件，笔记本每本进价15元，售价20元；钢笔每支进价35元，售价45元．
（1）若文具店购进笔记本和钢笔恰好用去2700元，求购进笔记本和钢笔各多少件；
（2）若设文具店购进笔记本m件，将两种文具全部售出后的总利润为w元，求w与m的函数关系式．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）购进笔记本40件，购进钢笔60件；
（2）w＝﹣5m+1000．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w关于m的函数关系式．
【解答】解：（1）设购进笔记本x件，则购进钢笔（100﹣x）件，
由题意可得：15x+35（100﹣x）＝2700，
解得x＝40，
∴100﹣x＝60，
答：购进笔记本40件，购进钢笔60件；
（2）由题意可得，
w＝（20﹣15）m+（45﹣35）（100﹣m）＝﹣5m+1000，
即w与m的函数关系式是w＝﹣5m+1000．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和列出相应的方程．
22．（12分）（2025春 长宁区校级期中）我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形ABCD是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图1，点E是边AD的中点，作出边BC的中点F；
（2）如图2，在平行四边形ABCD的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形MNPQ是平行四边形；
（3）如图3，若四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上一点（BG＞GD），作一个菱形，使得AG为菱形的一边．
【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作法及理由见解答；
（2）作法及理由见解答；
（2）作法及理由见解答．
【分析】（1）连接AC、BD交于点O，得到 ABCD的对称中心L，则BF＝DEADBC，所以点F是边BC的中点；
（2）连接AC、BD交于点T，得到 ABCD的对称中心T，在AB上任取M，在BC边上任取一点N，使点M、N不与 ABCD的顶点重合，再连接并延长MT交CD于点P，连接并延长NT交AD于点Q，则TM＝TP，TQ＝TN，所以四边形MNPQ是平行四边形；
（3）连接AC交BD于点L，得到正方形ABCD的对称中心L，连接并延长AG交CD于点H，连接并延长HL交AB于点K，再连接CK交BD于点R，连接AR、CG，可证明LR＝LG，而LA＝LC，AC⊥RG，则四边形AGCR就是所求的菱形．
【解答】解：（1）如图1，
作法：1．连接AC、BD交于点O；
2．连接并延长EO交BC于点F，
点F就是所求的边BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，OB＝OD，
∴∠OBF＝∠ODE，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∵点E是边AD的中点，
∴BF＝DEADBC，
∴点F是边BC的中点．
（2）如图2，
作法：1．连接AC、BD交于点T；
2．在AB上任取M，在BC边上任取一点N，使点M、N不与 ABCD的顶点重合；
3．连接并延长MT交CD于点P，连接并延长NT交AD于点Q；
4．连接MN、NP、PQ、QM，
点M、N、P、Q及四边形MNPQ就是所求的图形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝CB，TA＝TC，
∴∠TAM＝∠TCP，∠TQA＝∠TNC，
在△ATM和△CTP中，
，
∴△ATM≌△CTP（ASA），
∴TM＝TP，
在△ATQ和△CTN中，
，
∴△ATQ≌△CTN（ASA），
∴TQ＝TN，
∴四边形MNPQ是平行四边形．
（3）如图3，
作法：1．连接AC交BD于点L；
2．连接并延长AG交CD于点H；
3．连接并延长HL交AB于点K；
4．连接CK交BD于点R；
5．连接AR、CG，
四边形AGCR就是所求的菱形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，CB＝AD，∠CBK＝∠ADH＝90°，AC⊥BD，LA＝LC，LB＝LD，
∴∠LKB＝∠LHD，∠RBK＝∠GDH，
在△BLK和△DLH中，
，
∴△BLK≌△DLH（AAS），
∴BK＝DH，
在△CBK和△ADH中，
，
∴△CBK≌△ADH（SAS），
∴∠BKC＝∠DHA，
在△BRK和△DGH中，
，
∴△BRK≌△DGH（ASA），
∴BR＝DG，
∴LB﹣BR＝LD﹣DG，
∴LR＝LG，
∵LA＝LC，LR＝LG，
∴四边形AGCR是平行四边形，
∵AC⊥RG，
∴四边形AGCR是菱形．
【点评】此题重点考查中对称图形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质、菱形的判定等知识，正确地作出平行四边形的对称中心是解题的关键．
23．（12分）（2024春 泗水县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数y＝﹣mx+6的图象与边OA、BC分别交于点D、E，并且满足AD＝CE，点P是线段DE上的一个动点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P在∠AOC平分线上，求点P的坐标；
（3）连接OP，若OP把四边形ODEC面积分成3：5两部分，求点P的坐标；
（4）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）
（3）（3，4）或；
（4）点Q的坐标为或．
【分析】（1）先令x＝0，即可求得OD＝6，然后利用AD＝CE求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接OP，直线交x轴于点H，先证明矩形NOMP是正方形，即有MP＝MO＝NP＝NO，再根据，即可作答；
（3）先求得四边形OAED的面积，然后分两种情况求解即可；
（4）分四边形OPDQ是菱形和四边形OPQD是菱形两种情况求解即可．
【解答】解：（1）对于y＝﹣mx+6，令x＝0，解得y＝6，
则D的坐标是（0，6），OD＝6，
∵点B的坐标为（6，8），
∴OC＝6，OA＝BC＝8，
∴AD＝8﹣6＝2，
∵AD＝CE，
∴CE＝2，则E的坐标是（6，2），
把E的坐标代入y＝﹣mx+6得2＝﹣6m+6，
解得，
∴；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接OP，直线交x轴于点H，如图，
∵点P在∠AOC平分线上，
∴，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∠NOM＝90°，
∴四边形NOMP是矩形，
∴PO平分∠AOC，PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴PM＝PN，
∴矩形NOMP是正方形，
∴MP＝MO＝NP＝NO，
当y＝0时，，
解得：x＝9，
∴OH＝9，
∵OD＝6，，MP＝NP，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
，
当S△OPD：S四边形OCEP＝3：5时，
则，
∴，
∴m＝3，
∴，
∴P（3，4），
当S△OPD：S四边形OCEP＝5：3时，
则，
∴，
∴m＝5，
∴，
∴，
综上可知，点P的坐标为：（3，4）或；
（4）当四边形OPDQ是菱形时，如图，
∵四边形OPDQ是菱形，
∴PQ⊥OD，PG＝QG，OG＝DG，
∵OD＝6，
∴OG＝3，
∵P的纵坐标是3，把y＝3代入，
得，
解得：，
则P的坐标是，
∴Q的坐标是；
当四边形OPQD是菱形时，如图，
∵四边形OPQD是菱形，
∴OP＝OD＝PQ＝6，PQ∥OD，
设P的横坐标是n，则纵坐标是，
则，
解得：或0（舍去），
则P的坐标是
∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是，
∴Q的坐标是，
综上，点Q的坐标为或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键．

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