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广西南宁市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 防城区期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024秋 福鼎市期中）下列函数中，正比例函数是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝x D．
3．（3分）（2025春 越秀区校级月考）下列各组线段中，能够组成直角三角形一组是（　　）
A．1，1， B．1，2，3 C．2，2，2 D．6，8，10
4．（3分）（2025春 东城区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列能表示y是x的函数的是（　　）
A．A B．y＝3x﹣1
C．
x 1 2 3 4 5
y 5 10 15 16 17
D．以上都是
6．（3分）（2024春 海港区期末）将直线l1：y＝2x﹣2平移得到直线l2：y＝2x+4，下列说法正确的是（　　）
A．将l1向左平移3个单位长度得到l2
B．将l1向左平移6个单位长度得到l2
C．将l1向上平移2个单位长度得到l2
D．将l1向上平移4个单位长度得到l2
7．（3分）（2023春 莲湖区期末）如图，是一个“机器图”，它直观地表示了自变量和因变量之间的关系．即“输入”一个x的值，就可以“输出”一个y的值，下列说法不正确的是（　　）
A．当x＝0时，y＝0
B．当自变量x的值增加1时，y的值也增加1
C．当y＝3时，x＝1
D．随着自变量x的值的增大，y的值也增大
8．（3分）（2023 镇平县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，DE⊥CB，垂足为E，若DE＝2，则AC的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（3分）（2025春 仓山区期中）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，OA＝3，OB＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．16 C．24 D．28
10．（3分）（2023秋 亭湖区校级期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x﹣5图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（3分）（2025秋 福田区校级期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　）
A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2
12．（3分）（2025春 万州区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，F为对角线BD上一点，连结AF，过点F作EF⊥AF，交BC于点E，连结AE，若，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）（2025春 东西湖区期中）已知n是正整数，是整数，请写一个符合题意的n的值 　 　 ．
14．（3分）（2025秋 温江区校级期中）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+4的图象的交点A的横坐标为，则关于x的不等式kx+4≤﹣2x的解集为　 　 ．
15．（3分）（2023秋 郑州期中）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，北另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 　 　 海里．
16．（3分）（2025 许昌模拟）如图1，在Rt△ABC中，点D为AC的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
17．（2023春 拱墅区校级期中）（1）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，；
（2）计算：．
18．（2025 新蔡县三模）如图，在△ABC中，M为边BC的中点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠CMN，使∠CMN＝∠B，且射线MN交AC于点O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若在（1）中的射线ON上有一点P，且OP＝OM，连接AP，求证：四边形MBAP是平行四边形．
19．（2024秋 泗洪县校级期中）为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门C和西门A之间修建了四边形ABCD循环步道．如图，经勘测，点B在点A的正南方，点C在点A的正东方，DA⊥DC，且点D到点A，C的距离相等，已知AB＝1000米，BC＝2600米．（参考数据：，）
（1）求A，C两点之间的长度；
（2）小庆准备从西门A跑步到东门C去见小渝，因A，C之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路，请计算说明小庆应选择A﹣B﹣C路线，还是A﹣D﹣C路线？（结果精确到1米）
20．（2025 常熟市模拟）甲乙两名同事计划周末登“虞山”，两人从山下同一地点出发，相约11：00之前到达山顶某景区，甲先出发，中途在休息一段时间后保持原速继续登山；乙晚出发40分钟，比甲早到达山顶．从8：30开始计时，时长记为t分钟，甲、乙两人登山的路程记为y甲、y乙．甲、乙两人登山的路程y甲、y乙与时长t之间的函数关系如图所示．
（1）乙到达山顶的时间为 　 　 ；
（2）记甲的速度为v1，乙的速度为v2．
①甲、乙两人的速度之比的值为 　 　 ；
②已知甲的速度v1＝80米/分钟，在乙登山的过程中，若|y甲﹣y乙|＝2000，求t的值．
21．（2024春 雷州市校级期中）阅读理解题：
像，a（a≥0），，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：和，和，和等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①　 　 ，②　 　 ；
（2）计算：；
（3）已知a，b，c试比较a，b，c的大小．
22．（2024春 荷塘区期末）如图，一次函数y1＝﹣3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx﹣6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，﹣3）．
（1）求y1，y2的解析式；
（2）若直线y2＝mx﹣6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标；
（3）若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2025秋 界首市期末）在矩形ABCD中，E是AB边上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折得到△FCE．
（1）如图1，若AB＝6，BC＝8，当点F在矩形对角线AC上时，求BE的长；
（2）如图2，当点F在AD上时，若AB＝6，BC＝2BE，求BC的长；
（3）如图3，当点F在AD上时，延长EF与∠DCF的平分线交于点G，CG交AD于点H，，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 防城区期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A． 是最简二次根式，符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，学会如何化简二次根式是解题的关键．
2．（3分）（2024秋 福鼎市期中）下列函数中，正比例函数是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝x D．
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、y＝2x+1，是一次函数，但不是正比例函数，故A不符合题意；
B、y＝x2﹣1，是二次函数，不是正比例函数，故B不符合题意；
C、y＝x，是一次函数，也是正比例函数，故C符合题意；
D、，是反比例函数，不是正比例函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
3．（3分）（2025春 越秀区校级月考）下列各组线段中，能够组成直角三角形一组是（　　）
A．1，1， B．1，2，3 C．2，2，2 D．6，8，10
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A．∵，
∴以1，1，为边不能组成直角三角形，故A选项不符合题意；
B．∵1+2＝3，
∴以1，2，3为边不能组成直角三角形，故B选项不符合题意；
C．∵22+22≠22，
∴以2，2，2为边不能组成直角三角形，故C选项不符合题意；
D．∵62+82＝100＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
4．（3分）（2025春 东城区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法法则对C选项进行判断，根据二次根式的减法法则对D选项进行判断即可，
【解答】解：A．，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D． 和不是同类项，不能进行减法运算，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的运算等知识点，熟练掌握二次根式加减乘除法则进行运算是解决问题的关键．
5．（3分）下列能表示y是x的函数的是（　　）
A．A
B．y＝3x﹣1
C．
x 1 2 3 4 5
y 5 10 15 16 17
D．以上都是
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】D
【分析】根据函数的定义判断即可．
【解答】解：根据函数的定义，ABC中y均是x的函数，
∴D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
6．（3分）（2024春 海港区期末）将直线l1：y＝2x﹣2平移得到直线l2：y＝2x+4，下列说法正确的是（　　）
A．将l1向左平移3个单位长度得到l2
B．将l1向左平移6个单位长度得到l2
C．将l1向上平移2个单位长度得到l2
D．将l1向上平移4个单位长度得到l2
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解答】解：A、将l1向左平移3个单位长度得y＝2（x+3）﹣2＝2x+4，符合题意；
B、将l1向左平移6个单位长度得y＝2（x+6）﹣2＝2x+10，不符合题意；
B、将l1向上平移2个单位长度得y＝2x﹣2+2＝2x，不符合题意；
D、将l1向上平移4个单位长度得y＝2x﹣2+4＝2x+2，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，掌握平移规律是解题的关键．
7．（3分）（2023春 莲湖区期末）如图，是一个“机器图”，它直观地表示了自变量和因变量之间的关系．即“输入”一个x的值，就可以“输出”一个y的值，下列说法不正确的是（　　）
A．当x＝0时，y＝0
B．当自变量x的值增加1时，y的值也增加1
C．当y＝3时，x＝1
D．随着自变量x的值的增大，y的值也增大
【考点】函数的图象；常量与变量．
【专题】函数及其图象；模型思想；应用意识．
【答案】B
【分析】根据函数关系式y＝3x解答即可．
【解答】解：由y＝3x得：
当x＝0时，y＝0，原说法正确，故选项A不符合题意；
当自变量x的值增加1时，y的值增加3，原说法错误，故本选项符合题意；
当y＝3时，x＝1，原说法正确，故选项A不符合题意；
随着自变量x的值的增大，y的值也增大，原说法正确，故选项A不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象以及常量与变量，熟练掌握求函数值是解决本题的关键．
8．（3分）（2023 镇平县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，DE⊥CB，垂足为E，若DE＝2，则AC的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝DBAB，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得点E是BC的中点，从而可得DE是△ABC的中位线，最后利用三角形的中位线定理可得AC＝2DE＝4，即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，
∴CD＝DBAB，
∵DE⊥CB，
∴点E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC＝2DE＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形的中位线定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
9．（3分）（2025春 仓山区期中）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，OA＝3，OB＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．16 C．24 D．28
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由菱形的性质推出AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝8，即可得到菱形ABCD的面积AC BD＝24．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB，
∵OA＝3，OB＝4，
∴AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积AC BD6×8＝24．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）．
10．（3分）（2023秋 亭湖区校级期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x﹣5图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x﹣5，k＝﹣3，b＝﹣5，
∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
11．（3分）（2025秋 福田区校级期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　）
A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论．
【解答】解：由题意得，ab×4+（b﹣a）2＝13，（b﹣a）2＝1，
∴2ab＝12，
∵（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab＝1+24＝25，
∴b+a＝5（负值已舍），
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键．
12．（3分）（2025春 万州区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，F为对角线BD上一点，连结AF，过点F作EF⊥AF，交BC于点E，连结AE，若，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过点F作直线垂直AD于点P，交BC于点H，则△PDF是等腰直角三角形，由勾股定理得PF＝PDDF＝1，进而得AP＝2，AF，证明四边形CDPH是矩形得PH＝CD＝3，则AP＝FH＝2，再证明∠PAF＝∠HFE，继而可依据“ASA”判定△APF和△FHE全等得AF＝EF，然后再由勾股定理即可求出AE的长．
【解答】解：过点F作直线垂直AD于点P，交BC于点H，如图所示：
∴∠HPD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为3，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝3，∠C＝∠ADC＝90°，∠ADF＝∠CBD＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，即PF＝PD，
在Rt△PDF中，DF，
由勾股定理得：DFPF，
∴PF＝PDDF1，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
在Rt△APF中，由勾股定理得：AF，
∵∠HPD＝∠C＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDPH是矩形，
∴PH＝CD＝3，∠APF＝∠FHE＝90°，
∴FH＝PH﹣PF＝2，
∴AP＝FH＝2，
∵∠APF＝∠FHE＝90°，
∴∠PAF+∠AFP＝90°，
∵EF⊥AF，
∴∠HFE+∠AFP＝90°，
∴∠PAF＝∠HFE，
在△APF和△FHE中，
，
∴△APF≌△FHE（ASA），
∴AF＝EF，
又∵EF⊥AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）（2025春 东西湖区期中）已知n是正整数，是整数，请写一个符合题意的n的值 　2（答案不唯一）．　 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】2（答案不唯一）．
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：∵n是正整数，是整数，
∴4．
则n＝2．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
14．（3分）（2025秋 温江区校级期中）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+4的图象的交点A的横坐标为，则关于x的不等式kx+4≤﹣2x的解集为x　 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】依据题意，再利用数形结合的思想即可解决问题．
【解答】解：由题意得，不等式kx+4≤﹣2x的解集是函数y＝kx+4的图象在函数y＝﹣2x的图象下方的部分对应的自变量的取值范围，
∵A的横坐标为，
∴结合函数的图象可得，不等式kx+4≤﹣2x的解集为x．
故答案为：x．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
15．（3分）（2023秋 郑州期中）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，北另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 　40　 海里．
【考点】勾股定理的应用；方向角．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】40．
【分析】分别计算出2小时后两船行驶的距离，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，2小时后行驶了32海里，
另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，2小时后行驶了24海里，
∴离开港口2小时后，两船相距（海里），
故答案为：40．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
16．（3分）（2025 许昌模拟）如图1，在Rt△ABC中，点D为AC的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 　4　 ．
【考点】动点问题的函数图象；垂线段最短；勾股定理．
【专题】函数及其图象．
【答案】4．
【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD＝3，从而求出AD＝CD＝3，CA＝2CD＝6，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP⊥AB时，AP＝（3+2）﹣3＝2，根据勾股定理即可求出PC，即可解答．
【解答】解：∵动点P从点D出发，线段CP的长度为y，运动时间为x秒，
根据图象可知，当x＝0时，y＝3，
∴CD＝3，
∵点D为AC边中点，
∴AD＝CD＝3，CA＝2CD＝6，
由图象可知，当运动时间x＝（3+2）s时，y最小，即CP最小，
∴根据垂线段最短，此时CP⊥AB，
如图所示，
此时点P运动的路程DA+AP＝1×（3+2）＝3+2，
∴AP＝（3+2）﹣3＝2，
∴在Rt△APC中，
PC4，
即m＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是动点问题的函数图象，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．（2023春 拱墅区校级期中）（1）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，；
（2）计算：．
【考点】二次根式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）﹣x+y，；
（2）5．
【分析】（1）先算括号内的，再算除法，化简后将x，y的值代入计算；
（2）先算零指数幂，负整数指数幂，乘方运算，去绝对值，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝[x2+4xy+4y2﹣（3x2﹣xy+3xy﹣y2）﹣5y2]÷2x
＝（x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2）÷2x
＝（﹣2x2+2xy）÷2x
＝﹣x+y，
当x＝﹣2，y时，
原式＝﹣（﹣2）
＝2
；
（2）原式＝3﹣1+4﹣1
＝5．
【点评】本题考查整式化简求值和实数的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算法则和实数相关的运算法则．
18．（2025 新蔡县三模）如图，在△ABC中，M为边BC的中点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠CMN，使∠CMN＝∠B，且射线MN交AC于点O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若在（1）中的射线ON上有一点P，且OP＝OM，连接AP，求证：四边形MBAP是平行四边形．
【考点】作图—基本作图；平行四边形的判定．
【专题】作图题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明MP＝AB，MP∥AB可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所；
（2）证明：∵∠CMN＝∠B，
∴MP∥AB，
∵CM＝MB，
∴OC＝OA，
∴AB＝2OM，
∵OM＝OP，
∴MP＝AB，
∴四边形MBAP是平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2024秋 泗洪县校级期中）为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门C和西门A之间修建了四边形ABCD循环步道．如图，经勘测，点B在点A的正南方，点C在点A的正东方，DA⊥DC，且点D到点A，C的距离相等，已知AB＝1000米，BC＝2600米．（参考数据：，）
（1）求A，C两点之间的长度；
（2）小庆准备从西门A跑步到东门C去见小渝，因A，C之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路，请计算说明小庆应选择A﹣B﹣C路线，还是A﹣D﹣C路线？（结果精确到1米）
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A，C两点之间的长度为2400米；
（2）小庆选择A—D—C路线较短．
【分析】（1）根据题意得∠BAC＝90°，根据勾股定理得到AC2400（米）；
（2）根据题意得到DA⊥DC，AD＝CD，根据勾股定理求得AD＝CD＝1200米，得到A—B—C路线长为1000+2600＝3600（米），A—D—C路线长为1697+1697＝3394（米），比较即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意，∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1000米，BC＝2600米，
∴AC2400（米），
答：A，C两点之间的长度为2400米；
（2）由（1）得AC＝2400米，
∵DA⊥DC，AD＝CD，
∴∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2＝24002，
∴AD＝CD＝1200米，
∴A﹣B﹣C路线长为：AB+BC＝1000+2600＝3600（米），
A﹣D﹣C路线长为：AD+DC＝120012003394（米），
∵3394＜3600，
∴小庆应选择A﹣D﹣C路线，
答：小庆应选择A﹣D﹣C路线．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
20．（2025 常熟市模拟）甲乙两名同事计划周末登“虞山”，两人从山下同一地点出发，相约11：00之前到达山顶某景区，甲先出发，中途在休息一段时间后保持原速继续登山；乙晚出发40分钟，比甲早到达山顶．从8：30开始计时，时长记为t分钟，甲、乙两人登山的路程记为y甲、y乙．甲、乙两人登山的路程y甲、y乙与时长t之间的函数关系如图所示．
（1）乙到达山顶的时间为 　10：30　 ；
（2）记甲的速度为v1，乙的速度为v2．
①甲、乙两人的速度之比的值为 　　 ；
②已知甲的速度v1＝80米/分钟，在乙登山的过程中，若|y甲﹣y乙|＝2000，求t的值．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）10：30；
（2）①；②或110．
【分析】（1）根据乙出发的时刻和到达景区所用的时间计算即可；
（2）①根据速度＝路程÷时间分别用含b的代数式将甲、乙的速度表示出来并求出二者的比值即可；
②根据甲的速度和甲、乙的速度比值求出乙的速度，由路程＝速度×时间分别求出y甲、y乙的关于t的函数关系式并代入|y甲﹣y乙|＝2000，得到关于t的方程并求解即可．
【解答】解：（1）120分钟＝2小时，
∴乙到达山顶的时间为10：30．
故答案为：10：30．
（2）①v1（米/分钟），v2，
∴．
故答案为：．
②a＝60×80＝4800，v280＝120（米/分钟），
则y乙＝120（t﹣40）＝120t﹣4800（40≤t≤120），
当0≤t≤60时，y甲＝80t，
当60＜t≤90时，y甲＝4800，
当90＜t≤150时，y甲＝4800+80（t﹣90）＝80t﹣2400．
当0≤t≤60时，|y甲﹣y乙|＝80t﹣（120t﹣4800）＝2000，
解得t＝70（舍去），
当60＜t≤90时，|y甲﹣y乙|＝|4800﹣（120t﹣4800）|＝2000，
解得t或t（舍去），
当90＜t≤120时，|y甲﹣y乙|＝120t﹣4800﹣（80t﹣2400）＝2000，
解得t＝110，
∴t或110．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
21．（2024春 雷州市校级期中）阅读理解题：
像，a（a≥0），，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：和，和，和等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①　　 ，②　　 ；
（2）计算：；
（3）已知a，b，c试比较a，b，c的大小．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）①；②；
（2）2023；
（3）a＞b＞c．
【分析】（1）利用分母有理化的方法进行运算即可；
（2）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解；
（3）取各数的倒数，再对分母进行分母有理化运算，从而可求解．
【解答】解：（1）①；
②，
故答案为：，；
（2）
＝2024﹣1
＝2023；
（3），
同理：，
，
∵，
∴a＞b＞c．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法．
22．（2024春 荷塘区期末）如图，一次函数y1＝﹣3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx﹣6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，﹣3）．
（1）求y1，y2的解析式；
（2）若直线y2＝mx﹣6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标；
（3）若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y1＝﹣3x+3，；
（2）点P的坐标为（4，0）或（﹣4，﹣12）；
（3）M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣6），点D的坐标为（4，0），得到BD＝3，AC＝9，然后根据S△ACP＝4S△BDE列方程求解即可；
（3）首先得到A（0，3），D（4，0），E（2，﹣3），然后分3种情况讨论：①当AD为对角线时；②当AE为对角线时；③当ED为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）将E（2，﹣3）代入y1＝﹣3x+b，得﹣3＝﹣3×2+b，
解得b＝3．
将E（2，﹣3）代入y2＝mx﹣6，得﹣3＝2m﹣6，
解得．
∴y1，y2的解析式分别为y1＝﹣3x+3，；
（2）对于y1＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），
对于，当x＝0时，y＝﹣6；当y＝0时，x＝4，
∴点C的坐标为（0，﹣6），点D的坐标为（4，0），
∴BD＝3，AC＝9，
∴，
设点P的坐标为，
则，
∵S△ACP＝4S△BDE，
∴，
解得n＝4或n＝﹣4，
∴符合条件的点P的坐标为（4，0）或（﹣4，﹣12）；
（3）存在，点M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）．
如图，由（1）（2）可知A（0，3），D（4，0），E（2，﹣3），
设点M的坐标为（m，n）．
①当AD为对角线时，，，
解得m＝2，n＝6．
∴点M的坐标为（2，6）；
②当AE为对角线时，，，
解得m＝﹣2，n＝0．
∴点M的坐标为（﹣2，0）；
③当ED为对角线时，，，
解得m＝6，n＝﹣6．
∴点M的坐标为（6，﹣6）．
综上所述，当点M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）时，以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解．
23．（2025秋 界首市期末）在矩形ABCD中，E是AB边上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折得到△FCE．
（1）如图1，若AB＝6，BC＝8，当点F在矩形对角线AC上时，求BE的长；
（2）如图2，当点F在AD上时，若AB＝6，BC＝2BE，求BC的长；
（3）如图3，当点F在AD上时，延长EF与∠DCF的平分线交于点G，CG交AD于点H，，求的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）设BE＝x，根据折叠的性质可得CF＝CB＝8、EF＝BE＝x、AE＝AB﹣BE＝6﹣x，再根据勾股定理可得AC＝10，进而得到AF＝2，最后运用勾股定理即可解答；
（2）由矩形的性质可得∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝6，再结合折叠的性质可得∠AEF＝∠DFC，进而说明△AEF∽△DFC即，然后根据勾股定理即可求解；
（3）如图，过点H作HM⊥CF于点M，再证△DCH≌△MCH（AAS）可得CM＝CD，进而得到FM＝CF﹣CM＝BC﹣CD＝AD﹣CD，△FMH∽△FDC；则有，设FH＝x，DH＝MH＝y，则有，最后代入即可解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
设BE＝x，
根据折叠的性质可得∠EFC＝∠ABC＝90°＝∠AFE，CF＝CB＝8、EF＝BE＝x，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣x，
在Rt△ABC中，，
∴AF＝2，
在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
∴（6﹣x）2＝22+x2，
解得，
即．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质可知：∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，BC＝CF＝2BE＝2EF，
∴∠AFE+∠DFC＝∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠DFC，
∴△AEF∽△DFC，
∴，
∴AF＝3，
设BE＝EF＝t，则有AE＝6﹣t，BC＝2t，
∴在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2，
∴t2＝32+（6﹣t）2，
解得，
∴；
（3）如图，过点H作HM⊥CF于点M．
∵，
∴由折叠的性质可知：BC＝CF＝AD＝2FH，
∵CG平分∠DCF，∠D＝90°，
∴∠DCH＝∠MCH，DH＝MH．
∵∠HMC＝∠D＝90°，
∴△DCH≌△MCH（AAS），
∴CM＝CD，
∴FM＝CF﹣CM＝BC﹣CD＝AD﹣CD．
∵∠FMH＝∠FDC＝90°，∠MFH＝∠DFC，
∴△FMH∽△FDC，
∴，
∴，
设FH＝x，DH＝MH＝y，则有，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

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