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第一章 特殊平行四边形
问题解决活动:
作内嵌于正方形的正八边形
1. 认识正八边形内接于正方形的两种情形，掌握正八边形的对称性与边角特征，能推导其与正方形的边长、对角线之间的数量关系。
2.能运用尺规作图完成两种正八边形的绘制，体会数形结合与对称性在几何作图中的应用。
在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案。
例如，图中的古建筑藻井图案就是一个正方形里面嵌套了正八边形。
如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗
理解问题 (1)正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形，请画出相应的草图。
有两种情形：
一种是正八边形八个顶点均在正方形的边上，如图1；
一种是正八边形的四个顶点在正方形的边上，如图2。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
图1
图2
理解问题 (2)正八边形有哪些具体特征
正八边形是轴对称图形和旋转对称图形(最小旋转角为45°)，
正八边形的八条边相等，
八个内角相等，均为135°，
八个外角相等，均为45°，
对角线互相平分且相等。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
拟定计划 (1)观察画的草图，分析其中的正八边形满足哪些特定条件。
例如，正八边形经过哪些特殊的点，图中的角、线段具有哪些确定的数量关系，具有哪些特殊的角，边长有哪些特点，等等。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
①如图，当正八边形的八个顶点均在正方形的边上时，
正八边形经过正方形四条边的中点，这四个中点也是正八边形边的中点，
即 AM= EM，CM = MD，所以 AC= DE。
由正方形的性质可知∠BAC=90°，AO=OE，AO⊥OE。
因为∠ACB=∠ABC=45°，所以AB=AC。
设AB=AC=DE=a，则在Rt△ABC中，BC== a，
所以CD=BC= a，所以AE=AC+CD+DE=2a+ a 。
在Rt△AOE中，AO +OE =AE ，即2AO =AE 。
所以AO=AE= (2a+ a)=a+ a。
因为AD=AC+CD=a+ a，所以AD=AO。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
②如图，当正八边形的四个顶点在正方形的边上时，
此时令正八边形的四个顶点为正方形四边的中点，
因为∠DOC=45°，
所以另外四个顶点在正方形的对角线上，且OC=OD。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
拟定计划 (2)根据分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。
当正八边形的八个顶点均在正方形的边上时，
以正方形的各个顶点为圆心，对角线长的一半为半径画弧，
与正方形的四条边相交，共八个交点，
依次连接这八个交点即可得到所要作的正八边形。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
实施计划 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形。
①作八个顶点均在正方形的边上的正八边形。
作法:如图，连接AC，BD交于点O；
以点A为圆心，AO的长为半径画弧，
分别交AD，AB于点E，F；
同理可得点M，N，G，H，P，Q；
依次连接E，Q，M，F，G，N，P，H，E。
正八边形EQMFGNPH 即为所求。
O
A
B
C
D
E
F
M
P
H
Q
G
N
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
拟定计划 (2)根据分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。
当正八边形的四个顶点在正方形的边上时，
可取正方形四条边的中点，
再以正方形对角线的交点为圆心，其边长的一半为半径画弧，
与正方形的对角线相交，共四个交点，
再依次连接这八个点即可得到所要作的正八边形。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
实施计划 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形。
②作四个顶点在正方形的边上的正八边形。
作法:如图，连接AC，BD交于点O；
作线段AD的垂直平分线EO，交AD于点E，交BC于点G；
作线段AB的垂直平分线FO，交AB于点F，交CD于点H；
以点O为圆心，OE长为半径画弧，
分别交OA， OB， OC，OD于点M，N，P，Q；
依次连接E，M，F，N，G，P，H，Q，E。
正八边形EMFNGPHQ即为所求。
O
A
B
C
D
E
F
P
H
Q
G
N
M
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法 这些方法各有什么特点
①计算法作图:基于正方形作正八边形，先计算出
正八边形的边长与正方形的边长、对角线之间的数
量关系，然后依据计算结果作图。
如正八边形的八个顶点都在正方形的边上时，正方
形的边长是正八边形边长的(1+ )倍，正方形对角
线长的一半是正八边形边长的倍等。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法 这些方法各有什么特点
②旋转对称作图：基于正方形与正八边形都是旋转对称图形，其中正方形的最小旋转角是90°，而正八边形的最小旋转角为45°，刚好是正方形最小旋转角的一半，故可借助正方形的四条对称轴进行作图。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
回顾反思 (2)在探索作图方法的过程中，你积累了哪些经验
分析几何问题时，先明确关键数量关系(如线段、角等)，再将代数关系转化为尺规作图操作的依据。
充分利用对称性简化作图步骤。
同一问题可能有多种解法，根据需求选择合适的方法。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
1.当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的四条边上时，我们称这个矩形为菱形的内嵌矩形。如图，已知菱形ABCD，请用尺规作出它的一个内嵌矩形。
第一种作法：
如图1，分别以点A，C为圆心，小于AD的长为半径作圆，分别与AD，AB，BC，CD相交于点E，F，G，H；
顺次连接E，F，G，H，E。
矩形EFGH即为所求作的图形。
A
B
C
D
图1
E H
F G
1.当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的四条边上时，我们称这个矩形为菱形的内嵌矩形。如图，已知菱形ABCD，请用尺规作出它的一个内嵌矩形。
第二种作法：
如图2，在菱形ABCD的边AB上任取两点E，F；
分别过点E，F作AB的垂线，交DC于点H，G；
连接EF，GH。
A
B
C
D
图2
F
H
G
E
矩形EFGH即为所求作的图形。
2.尝试用一张正方形纸片折出一个正八边形。
在生产劳动过程中，我们往往通过尺规作图的方式去获得所需的图形，进而将其转化为建筑结构、设备零件等，但在用尺规作图之前，我们需要研究用到哪些知识，搞清楚其作图原理，然后才能制定详细的作图步骤，以保证作图的正确性和准确性。不过随着智能化、自动化工具的不断更新，人们在动手操作这一块的活动在减少，但其运行的核心原理还是离不开人的构思与设计。

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