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1.1 认识特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
1.经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程，理解菱形、矩形、正方形的概念，以及它们与平行四边形的关系。
2. 经历折叠、画图等探究过程，了解特殊平行四边形的轴对称性，进一步增强几何直观。
在学习三角形时，我们认识了特殊的三角形：等腰三角形、直角三角形。我们是怎么研究它们的？
类似地，在平行四边形“家族”中，也有一些特殊的“成员”。
从“边”或“角”去研究
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
图中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗
四边相等
四个角都等于90°
四边相等，
四个角都等于90°
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
平行四边形的两组对边分别相等，如果只缩短长边，你能发现什么？
图中平行四边形的一组邻边相等，故存在一组邻边相等的特殊平行四边形.
思考：从平行四边形的边或角考虑，你认为可能有哪些特殊的平行四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
思考：从平行四边形的边或角考虑，你认为可能有哪些特殊的平行四边形？
平行四边形的两组对角分别相等，如果只改变角的大小，你能发现什么？
图中平行四边形的一个角等于90°，故存在一个角等于90°的特殊平行四边形。
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
平行四边形的两组对边分别相等，两组对角分别相等，如果缩短长边、改变角的大小，你能发现什么？
存在有一组邻边相等，且有一个角是90°的特殊平行四边形。
思考：从平行四边形的边或角考虑，你认为可能有哪些特殊的平行四边形？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
问题1 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们都具有一般平行四边形的所有性质，你能分别列举一些这样的性质吗
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
两组对边分别相等且平行，两组对角分别相等，对角线互相平分，都是中心对称图形。
问题2 请你画图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系。
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
四边形
平行四边形
梯形
矩形
菱形
正方形
知识点1 菱形、矩形、正方形的概念
如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形:
a.两组对边分别平行; b.两组对角分别相等; c.一组邻边相等; d.一个角是直角，顺次添加的条件: ①a→c→d;②a→b→c;③b→d→c。则正确的添加顺序是(　　)
A.仅①　 B.①② C.①③ D.②③
例1
C
知识点2 菱形、矩形、正方形的对称性
菱形是轴对称图形吗 如果是，它有几条对称轴 矩形呢 正方形呢
图形
对称性 对称轴
对称轴条数
对角线所在直线
过对边中点的直线
对角线所在直线及过对边中点的直线
2条
2条
4条
菱形、矩形、正方形都是轴对称图形
知识点2 菱形、矩形、正方形的对称性
正方形ABCD的边长为3，∠D=90°，点E，F分别是对角线AC上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，则图中阴影部分的面积等于 。
例2
4.5
知识点2 菱形、矩形、正方形的对称性
如图，正方形ABCD绕着它的对称中心点O旋转，旋转多少度后能够与原正方形重合
解：旋转的度数为90°，180°，270°，360°，...，旋转的度数是90°的正整数倍。
O
2.如图，在菱形ABCD中，AB=AD，∠ABD=30°，求∠C的度数。
解： ∵AB =AD，∠ABD =30°，
∴∠ADB =∠ABD =30°，
∴ ∠A=180°-∠ADB - ∠ABD=180°-30°-30°=120°。
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=120°。
A
B
C
D
3.如图，已知正方形ABCD，AB=AD=3，∠ADC=90°，P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE∶PF=1∶2时，PC的值为 。
解：连接AP。
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB//CD，∴ ∠DAB + ∠ADC=180°。
∵ ∠ADC=90°，∴ ∠BAD=90°。
∵ PF⊥AD，PE⊥AB，
∴∠PEB=90°=∠BAD，∠PFD=90°=∠BAD，
∴AF//EP，AE//FP，
∴四边形AEPF是平行四边形， ∴ PE=AF。
∵AB =AD，∴ ∠ABD=∠ADB。
∵AE//FP，∴ ∠ABD=∠FPD，
∴∠ADB= ∠FPD，∴ PF=FD，
∴PF+PE=FD+AF=AD=3。
∵PE∶PF=1∶2，∴AF=PE=1，PF=2，
∴AP= = =
在正方形ABCD中，点A，C关于对角线BD所在直线对称，点P在BD上，
∴ PC=AP= 。
3.如图，已知正方形ABCD，AB=AD=3，∠ADC=90°，P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE∶PF=1∶2时，则PC的值为 .
4.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC。
(1)求证：四边形DFCG是矩形;
(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长。
(1)证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，即 DG//FC。
又DG=FC，∴四边形DFCG是平行四边形。
又DF⊥BC，∴∠DFC=90°，
∴平行四边形DFCG是矩形。
4.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC。
(1)求证:四边形DFCG是矩形。
(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长。
(2)解：∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°。
∴∠BDF =90° - ∠B=45°= ∠B，
∴BF=DF=3。
∵DG=FC=5，
∴BC=BF+FC=3+5=8。
由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DE= BC=4，CG=DF =3，∠G= ∠DFC=90°，
∴EG=DG-DE=5-4=1，
∴CE== = 。
∵E为AC的中点，∴AC=2CE=2 。
特殊平行四边形
概念
性质
菱形 有一组邻边相等的平行四边形
矩形 有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等，并且有一
正方形 个角是直角的平行四边形
菱形、矩形、正方形是特殊的平行四边形，它们具有一般平行四边形的所有性质
菱形、矩形、正方形都是轴对称图形，
菱形、矩形都有两条对称轴，
正方形有四条对称轴

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