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第一章 特殊平行四边形
1.2 菱形的性质与判定
课时1
1.从菱形的定义出发，围绕它的相关元素(如边、角、对角线)探索并证明菱形的性质定理。
2.能利用菱形的性质进行计算和证明，进而解决相关问题。
我们知道菱形具有平行四边形的所有性质。
对称性:中心对称图形。
边:两组对边分别平行且相等。
角:两组对角分别相等。
对角线:对角线相互平分。
思考：菱形还有哪些特殊性质呢
A
C
B
D
O
请你尝试证明这些猜想.
猜想：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。
菱形的定义
一组邻边相等
菱形的性质
两组对边相等
A
C
B
D
O
四条边相等
菱形的定义
一组邻边相等
菱形的性质
对角线互相平分
对角线互相垂直
三线合一
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。
求证：(1)AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD。
知识点 菱形的性质
A
C
B
D
O
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC(菱形的对边相等)。
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD。
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。
求证：(1)AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD.
A
C
B
D
O
(2)∵ AB＝AD，
∴ △ABD是等腰三角形。
又∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OB＝OD(菱形的对角线互相平分)，
在等腰三角形ABD中，
∵ OB＝OD，
∴ AO⊥BD，即AC⊥BD。
知识点 菱形的性质
定理1：菱形的四条边相等。
几何语言：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD。
定理2：菱形的对角线互相垂直。
几何语言：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD。
A
C
B
D
O
知识点 菱形的性质
跟踪训练
如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC=140°，则∠BCA等于( )
A．40° B．30° C．20° D．15°
C
知识点 菱形的性质
问题1 你是如何发现菱形的特殊性质的
依据菱形的定义可知菱形的邻边相等，再结合菱形具有平行四边形的所有性质(即两组对边分别相等，对角线互相平分)以及等腰三角形“三线合一”可知菱形的特殊性质。
A
C
B
D
O
知识点 菱形的性质
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6。(1)求AB和AC的长;(2)求菱形ABCD的面积。
例1
A
B
C
D
O
知识点 菱形的性质
解： (1) ∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BD (菱形的四条边相等)，
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB=OD=BD =×6=3(菱形的对角线互相平分)。
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB = BD = 6。
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA +OB =AB ，
∴OA = ==.
∴AC=2OA=(菱形的对角线相互平分)。
知识点 菱形的性质
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6。(1)求AB和AC的长;(2)求菱形ABCD的面积。
例1
A
B
C
D
O
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6。 (1)求AB和AC的长;(2)求菱形ABCD的面积。
例1
(2)菱形ABCD的面积
=△ABC的面积+△ADC的面积
= AC·OB+AC·OD
= AC·(OB+OD)
= AC·BD
= ×6×6
=18。
A
B
C
D
O
思考：你能总结菱形的面积公式吗？
知识点 菱形的性质
菱形的面积：
方法一：菱形的面积 = 底×高。
S菱形ABCD= BC·AE。
方法二：菱形的面积= 对角线乘积的一半。
S菱形ABCD= AC·BD。
A
B
C
D
E
O
知识点 菱形的性质
菱形的其他特殊性质：
(1)菱形的每条对角线都平分一组对角。
(2)菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等。
A
B
C
D
O
知识点 菱形的性质
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长。
解：在菱形ABCD中，BD=2OB，AC⊥BD，
∴∠AOB =90°。
在Rt△AOB中，OB= ==3(cm)，
∴BD=2OB=2×3=6(cm)。
A
D
C
B
O
2.菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm。
(1)求这个菱形每一个内角的度数;
解：(1)如图，其中AC=10 cm。
在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC， ∠DAB=∠DCB，AB// CD。
∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴ AB=BC=CD=AD=10 cm，
∴ AB=BC=AC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ADC= ∠ABC=60°。
∵ AB//CD，
∴ ∠DAB= ∠DCB=180°- ∠ABC=120°。
B
A
D
C
O
2.菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm。
(2)求这个菱形另一条对角线的长。
(2) ∵四边形 ABCD是菱形，AC=10 cm，
∴AO=OC=5 cm，BD⊥AC，BD=2OB，
∴∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，OB= ==5(cm)，
∴BD=2OB=10cm。
B
A
D
C
O
3.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F分别是BC和CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为( )
A. B. C. D.3
B
4.已知，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，则菱形ABCD的面积为( 　)
A. 160 B. 80 C. 40 D. 96
D
B
A
D
C
5. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　)
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
6. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，连接BE。
求证：∠AFD=∠CBE。
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BCE=∠DCE。
又CE=CE，
∴△BCE≌△DCE(SAS)。
∴∠CBE=∠CDE。
∵AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC. ∴∠AFD=∠CBE。
A
D
C
B
F
E
菱形的性质
特殊性质
其他特殊性质
定理1:菱形的四条边相等;
定理2:菱形的对角线互相垂直。
菱形的面积
菱形的面积等于对角线乘积的一半
①菱形的每条对角线都平分一组对角；
②菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等

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