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第一章 特殊平行四边形
1.2 菱形的性质与判定
课时2
1.探索并证明菱形的判定定理.
2.会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算.
3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
根据菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
矩形的判定：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形。
除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形
A
D
C
B
知识点 菱形的判定
问题1 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形 为什么？
一定是，因为四边相等意味着两组对边分别相等、邻边相等，
可先判定该四边形为平行四边形，然后根据菱形的定义判定该四边形为菱形.
你能证明一下吗？
已知:如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA.
求证:四边形ABCD是菱形.
A
D
C
B
证明：∵AB=BC=CD=AD，
∴AB = CD，AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∵ AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
知识点 菱形的判定
菱形的对角线互相垂直.
逆命题:对角线互相垂直的平行四边形为菱形.
这个逆命题成立.
问题2 菱形的对角线具有怎样的性质 写出它的逆命题，这个逆命题成立吗
你能说明其中的道理吗？
知识点 菱形的判定
因为对角线互相垂直，且平行四边形的对角线互相平分，
可得对角线互相垂直平分，
进而得到一组邻边相等，
根据菱形的定义可判定该平行四边形为菱形.
问题2 菱形的对角线具有怎样的性质 写出它的逆命题，这个逆命题成立吗
知识点 菱形的判定
已知:如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.
求证:□ ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴直线BD是线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC，
∴□ ABCD是菱形(菱形的定义).
知识点 菱形的判定
定理：四边相等的四边形是菱形.
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识点 菱形的判定
判定方法 图示 符号语言
定义法
边 （定理）
对角线（定理）
四边相等的四边形
是菱形.
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形
对角线互相垂直的
平行四边形是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
B
A
D
C
知识点 菱形的判定
知识点1 菱形的判定
四条边都 .
对角线互相 .
有一组邻边 .
A
B
C
D
□ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
A
B
C
D
菱形ABCD
相等
相等
垂直
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
菱形ABCD
问题1 (1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a.
(1) 如图，作线段AC=a，分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接AB，BC，CD，DA.
四边形 ABCD即为所求作的菱形.
B
D
a
A
C
知识点 菱形的判定
问题1 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗 如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的
(2)不唯一，
给出菱形的边长且菱形的边长大于对角线AC的长度的一半即可作出唯一的菱形.
B
D
A
C
a
知识点 菱形的判定
已知，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形.
例1
A
B
C
D
O
证明：在△AOB中，
∵AB=，OA=2，OB=1，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
知识点 菱形的判定
1.你能用折纸的方法得到一个菱形吗 动手试一试，并说明你的方法的正确性.
解：通过折纸和裁剪可知四边形ABCD的四条边相等，所以四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗 为什么
解：四边形ABCD是菱形.
设这两张等宽的纸条的宽均为h.
∵纸条的对边平行，
∴AD//BC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴S四边形ABCD= BC·h=AB·h，
∴ BC=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形.
A
C
D
B
3.如图，下列条件能使□ABCD是菱形的是(　 )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；
③AB＝BC；④BD平分∠ABC.
A.①③　　 B.②③　 　C.③④ 　　D.①③④
D
B
A
D
C
4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC，
∴ ∠EAC＝∠FCA.
∵ EF垂直平分AC，
∴ AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ EO＝FO，
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
又∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
A E D
B F C
O
5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，又EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形.
A
B
C
D
E
F
5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(2)解：∵四边形BCFE是菱形，
∴BE∥CF，BE=BC，
∴∠EBC＝180°-∠BCF=180°-120°=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BC＝CE＝4，
易知等边三角形EBC的高为，
∴菱形的面积为4×=.
A
B
C
D
E
F
菱形的判定
定义法
定理
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
边：四边相等的四边形是菱形
对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

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