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第一章 特殊平行四边形
1.3 矩形的性质与判定
课时1
1.探索并证明矩形的性质定理，会用矩形的性质解决简单的问题。
2.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半。
矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题 怎样研究呢
需要研究矩形的角的关系、对角线的关系。
可以从矩形的定义出发，先研究矩形的性质，再研究矩形的判定。
知识点1 矩形的性质
问题1 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗
对边平行且相等，
对角相等，
对角线互相平分，
矩形是中心对称图形。
问题2 你认为矩形还具有哪些特殊的性质 你是怎样发现的？
你能证明这些猜想吗
发现：矩形的四个角都是直角。
矩形的两条对角线相等。
知识点1 矩形的性质
一个角是90°
对边平行，对角相等
四个角都是90°
四个角都是90°
对边相等
对角线相等
三角形全等
矩形的定义
矩形的性质
矩形的定义
矩形的性质
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。
证明： (1) ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)，
AB∥DC (矩形的对边平行)。
∴∠ABC+∠BCD=180°。
又∵∠ABC= 90°，
∴∠BCD= 90°。
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。
知识点1 矩形的性质
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。
证明： (2) ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC (矩形的对边相等)。
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB，
∴△ABC≌△DCB。
∴AC=DB。
知识点1 矩形的性质
定理：矩形的四个角都是直角。
几何语言：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。
定理：矩形的对角线相等。
几何语言：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD。
A B
D C
O
知识点1 矩形的性质
矩形的其他性质
(1)矩形的对角线平分所得的四条线段相等。
(2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。
若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。
A B
D C
O
知识点1 矩形的性质
跟踪训练
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
知识点1 矩形的性质
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到什么结论呢？
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
你能证明这个结论吗
A
B
C
D
E
BE是Rt△ABC斜边的中线。
BE=AC。
A
B
C
E
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。
求证: BO=AC。
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D， 使OD=BO， 连接AD，DC。∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
∴AC=BD，
∴BO=BD=AC。
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
你还有其他证明方法吗
直角三角形斜边中线定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言：
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BO为AC上的中线，
∴BO= AC。
C
B
A
O
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。
例1
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)，
AC=BD(矩形的对角线相等)，
OA=OC= AC，OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)。
∴OA=OD。
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= ×(180°-120°)=30°。
∴BD=2AB=2×2.5=5。
A
B
C
D
O
你还有其他解法吗？
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。
例1
解：有。∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA= AC，OB= BD，
∴ OA=OB。
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴ △ AOB是等边三角形，
∴ OA=AB =2.5，
∴ AC=2OA=5。
A
B
C
D
O
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4，求BD与AD的长。
解：在矩形ABCD中，OA=4，∠BAD=90，
所以BD=AC=2AO=8。
在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD== =2
所以BD与AD的长分别为8和2 。
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=______cm。
2.5
3.如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，BD是斜边AC上的中线。
(1)若BD=3 cm，则AC =_____cm。
(2)若∠C = 30° ，AB = 5 cm，则AC =_____cm， BD = _____cm。
A
B
C
D
6
10
5
4.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE ，垂足为F。
求证：DF=DC。
证明：连接DE。
∵AD =AE，
∴∠AED =∠ADE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C=90°，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠AED，
A
B
C
D
E
F
∴DE是∠AEC的角平分线，
又∵DF⊥AE，∠C=90° ，
∴DF=DC。
5.如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠D=90°，AB=4，CD=6，BC-AD=2。在四边形ABCD内存在一点P，点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，则d的值为 。
解：连接AC，取AC的中点P，连接 PB，PD。
在Rt△ABC和Rt△ADC中， ∠ABC = ∠ADC=90°，P是AC的中点，
∴PB=PD= AC，PA=PC= AC，
∴ PB=PD=PA=PC。
设AD=x，则BC=x+2，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB + BC =AC =AD + DC ，AB =4，CD =6，
∴ 4 +(x+2) =x +6 ，
∴ AD=x=4，
∴ AC= = =2，
∴d= AC= 。
5.如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠D=90°，AB=4，CD=6，BC-AD=2。在四边形ABCD内存在一点P，点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，则d的值为 。
定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形的
特殊性质
角：矩形的四个角都是直角
对角线：矩形的对角线相等

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