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第一章 特殊平行四边形
1.4 正方形的性质与判定
课时1
1. 探索并证明正方形的性质定理，了解它与菱形、矩形之间的关系。
2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题，进一步发展几何直观和推理能力。
3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。
还记得正方形的定义吗 正方形与菱形有怎样的关系 与矩形呢
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。
菱形
正方形
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状。
还记得正方形的定义吗 正方形与菱形有怎样的关系 与矩形呢
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，得到一个四边形。
矩形
展开
正方形
知识点 正方形的性质
问题1 正方形是菱形吗 正方形是矩形吗
由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形。
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。
问题2 你认为正方形有哪些特殊的性质
它具有矩形与菱形的所有性质。
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等且互相垂直平分。
你能证明这两个结论吗
知识点 正方形的性质
A
D
C
B
O
证明结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
已知：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC。
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。
A
D
C
B
证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°，
∴AD//BC，AB//DC， ∠D=∠B=90°，
∴ ∠A+ ∠B =180°， ∠B + ∠C=180°，
∴ ∠A= ∠C=90°，
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB= BC，
∴ AB =BC=CD=DA。
知识点 正方形的性质
证明结论：正方形的对角线相等且互相垂直平分。
已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AB=BC，∠ABC=90°。
求证：AC=BD，AC⊥BD，OA=OC， OB=OD。
A
B
C
D
O
证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴ BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，
∴ AC⊥BD，∠AOB=90°。
∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°，
∴∠OBA=∠BAC，
∴OA=OB，
∵AC=2AO，BD=2BO，
∴ AC=BD。
知识点 正方形的性质
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
几何语言：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AB=BC=CD=AD。
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。
几何语言：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD。
A
B
C
D
O
知识点 正方形的性质
A
B
C
D
正方形的其他性质：
1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半;
2.正方形的每条对角线平分一组对角;
3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
A
B
C
D
O
知识点 正方形的性质
如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC
延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说
明理由。
例1
解：BE=DF，且BE⊥DF。理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC，∠BCE =90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）。
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°。
∴∠BCE=∠DCF。
又∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF。
∴BE=DF。
A
B
D
C
F
E
知识点 正方形的性质
例1
（2）延长BE，交DF于点M（如图）。
∵△BCE≌△DCF ，
∴∠CBE =∠CDF。
∵∠DCF =90°，
∴∠CDF +∠F =90°。
∴∠CBE+∠F=90°。
∴∠BMF=180°-（∠CBE+∠F）=180°-90°=90°。
∴BE⊥DF。
A
B
D
C
F
E
M
知识点 正方形的性质
如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC
延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说
明理由。
问题3 如图，四边形ABCD是正方形。
(1)若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合。
画图如图所示。
菱形的另外两个顶点需要在正方形的对角线BD所在的直线上，且到正方形ABCD两条对角线交点的距离相等。
A
D
C
B
知识点 正方形的性质
A
D
C
B
(2)若在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形 ABCD的边AB，BC，CD，AD上。
矩形EFGH的四个顶点需满足AE=AH=CF=CG。
A
D
C
B
E
F
G
H
知识点 正方形的性质
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
D
2.如图，在正方形ABCD中，F为对角线AC上的一点，连接BF，
DF。请找出图中的全等三角形，并选择其中一对进行证明。
解：△ABD≌△CBD，△ADF≌△CDF，△ABF≌△CBF。
选△ADF≌△CDF进行证明。
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD =AB，DC//AB，AD = CD，
∴∠ADB= ∠ABD=∠CDB 。
又∵DF =DF，
∴ △ADF≌△CDF(SAS)。
A
D
C
B
F
3.如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF=4，DE=9，则EF的长为 。
5
4.如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A'，C'的位置，得到正方形A'BC'D。已知菱形ABCD的面积为120cm ，正方形A'BC'D的面积为50cm ，求AC的长。
解：连接BD。
∵正方形A'BC'D中， A'C'=BD，
∴正方形A'BC'D的面积为BD =50，
∴ BD=10 cm。
∵菱形ABCD的面积为BD·AC=120cm ，
∴×10×AC=120，
∴AC=24 cm。
A
D
C
B
A'
C'
5.如图，点E，F是正方形的对角线AC上的两点，AE=CF。
求证：四边形BEDF是菱形。
解：如图，连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC。
∵AE＝CF，
∴OA-AE＝OC-CF，即OE＝OF。
∴四边形BEDF为平行四边形。
又∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形。
O
6.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，
EF⊥AC，求BE的长。
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC＝1cm，
∴∠ACB＝∠CAB＝45°。
∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝∠EFC＝90°。
又∵∠CEF＝90°-∠ECF＝45°＝∠ECF，
∴EF＝FC。
∵AE平分∠BAC，
7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
∴∠BAE＝∠FAE，
又∵∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB＝1cm，BE＝EF。
∴FC＝BE。
在Rt△ABC中，，
∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，
∴BE＝(－1)cm。
正方形的特殊性质
角：正方形的四个角都是直角；
边：正方形的四条边相等；
对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分
正方形的其他性质：
1.正方形的面积=边长的平方=对角线长的乘积的一半;
2.正方形的每条对角线平分一组对角;
3. 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
A
B
C
D
O

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