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第二十五章 一元二次方程
25.1一元二次方程的概念
1.能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程，经历由具体问题列一元二次方程的过程,建立模型观念.
2.理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并能说出各项的名称.
3.理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是一元二次方程的根.
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系：
AC∶BC=BC∶5，
即BC2=5AC.
设雕像腰部以下的身长BC为x m，
根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x)，
整理得 x2+5x-25=0.
解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长.
A
C
B
5-x
x
问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm. 在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600cm ，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？
图1 图2
设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm.
根据方盒的底面积为3 600cm ，可列得方程
(100-2x)(50-2x)=3 600.
整理并化简，得
x2-75x+350=0.
由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长.
图1 图2
x
(100-2x)cm
(50-2x)cm
思考：
方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
未知数的个数是1，
最高次数是2.
问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，
则此次邀请赛共需进行x(x-1)场，
所以可列得方程x(x-1)=28.
整理并化简，得x2-x-56=0.
由方程可以得出应邀请的球队数.
思考：为什么需进行x(x-1)场？
邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共(x-1)场.
问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，
则此次邀请赛共需进行x(x-1)场，
所以可列得方程x(x-1)=28.
整理并化简，得x2-x-56=0.
由方程可以得出应邀请的球队数.
思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
未知数的个数是1，最高次数是2.
思考：以下方程有什么共同点？
x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0.
(1)方程中含有未知数的式子都是整式；
(2)方程中只含有一个未知数；
(3)方程中未知数的最高次数是2.
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.
识别关键：
原方程若有分母，则分母中不含未知数；
若有根号，则根号中不含未知数.
例1
下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ）
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ (m是常数)；
⑦ ；
⑧ .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
符合一元二次方程的概念；
整理，得x2+2x 1=0，符合一元二次方程的概念；
含有两个未知数；
含有未知数的式子不都是整式；
未知数的最高次数是 3；
当 m=0 时，未知数的最高次数是 1；
整理，得x=0；
含有未知数的式子不都是整式；
B
判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键
观察含有未知数的式子是否为整式
不是一元二次方程
使方程的右边为0，左边合并同类项
观察是否满足“一元”和“二次”
不是一元二次方程
是一元二次方程
是
是
否
否
一元二次方程的一般形式是 ax +bx+c=0 (a≠0)，
其中 ax 是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项.
如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0.
即为bx+c=0，不是一元二次方程，
所以规定a≠0.
思考：为什么规定a≠0？
将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
例2
原方程
一般形式
确定各项及各项系数(不要漏掉符号)
去分母、去括号、
移项、合并同类项
通常将二次项系数化为正数
确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤
特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）(x 2)2=4; （2）(x+3)(x 1)=2x 1; （3）.
解：(1) 去括号，得 x2 4x+4=4.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 x2 4x=0.
其中二次项系数为 1，一次项系数为 -4，常数项为 0.
(2) 去括号，得 x2+2x 3=2x 1.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 x2 2=0.
其中二次项系数为 1，一次项系数为 0，常数项为 -2.
跟踪训练
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）(x 2)2=4; （2）(x+3)(x 1)=2x 1; （3）.
解：(3) 去分母，得 2x2 3(x+1)=6.
去括号，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 2x2 3x 9=0.
其中二次项系数为 2，一次项系数为 -3，常数项为 -9.
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
下列哪些数是一元二次方程 的解？
-1，0，1，3.
例3
解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8，
∵左边≠右边，
∴-1不是方程x2-4x+3=0的解；
当x=0时，左边=0-0+3=3，
∵左边≠右边，
∴0不是方程x2-4x+3=0的解；
下列哪些数是一元二次方程 的解？
-1，0，1，3.
例3
解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0，
∵左边=右边，
∴1是方程x2-4x+3=0的解；
当x=3时，左边=32-4×3+3=0，
∵左边=右边，
∴3是方程x2-4x+3=0的解.
综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解.
判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法）
数
代入方程
左边=右边
左边≠右边
是方程的解
不是方程的解
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) 5x2 1=4x； (2) 4x2=81；
(3) 4x(x+2)=25； (4) (3x 2)(x+1)=5x 2.
解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0.
二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1.
(2)一般形式为4x2-81=0.
二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81.
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) 5x2 1=4x； (2) 4x2=81；
(3) 4x(x+2)=25； (4) (3x 2)(x+1)=5x 2.
解：(3)一般形式为4x2+8x-25=0.
二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25.
(4)一般形式为3x2-4x=0.
二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0.
2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.
解：(1)设正方形的边长为x,
根据题意，得4x2=25,
一般形式为4x2-25=0.
2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.
解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2，
根据题意，得x(x-2)=100,
一般形式为x2-2x-100=0.
解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m,
根据题意，得x=(1-x)2,
一般形式为x2-3x+1=0.
2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.
3.若关于x的方程 (m-2)x-2－4mx+3(m+2)=0 是一元二次方程，则m=_______.
解：∵一元二次方程未知数的最高次数为2，
∴ m2-2=2，解得m=±2.
∵二次项系数不为0，
∴m-2≠0，即m≠2.
∴m=﹣2.
﹣2
实际问题
解(根)
一元二次方程
定义
表示
引出
方程中只含有一个未知数，且含有未知数
的式子都是整式，未知数的最高次数是2
一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0)
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

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