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第二十五章 一元二次方程
25.2降次——解一元二次方程
25.2.2 公式法
1.了解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程.
我们已经会用配方法解像 x2 6x+5=0、2x2+4x 6=0 这样的一元二次方程了，任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否用配方法得出它的解呢？
探究
任何一个一元二次方程都可以化成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0).
能否用配方法得出它的解呢？
我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题.
移项，得
二次项系数化为 1，得
配方，得
即
①
因为 ，所以 . 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(1) 当 b2-4ac > 0 时，
由①得
方程有两个不相等的实数根
①
因为 ，所以 . 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(2) 当b2-4ac = 0 时，
由①可知，方程有两个相等的实数根.
①
(3) 当 b2-4ac < 0 时，
由①得
而 取任何实数都不能使 成立，因此方程无实数根.
可以发现，式子b2-4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b2-4ac.
当△>0 时，方程有两个不相等的实数根;
当△=0 时，方程有两个相等的实数根;
当△<0 时，方程无实数根.
利用根的判别式判断下列方程的根的情况.
(1) 2x2-3x-=0； (2) 16x2-24x+9=0.
所以方程有两个不相等的实数根.
解：（1）因为a=2，b=-3，c=-
所以Δ=b2-4ac
=(-3)2-4×2×(﹣)
=21>0.
解：（2）因为a=16，b=-24，c=9
所以Δ=b2-4ac
=(-24)2-4×16×9
=0.
所以方程有两个相等的实数根.
例1
利用根的判别式判断下列方程的根的情况.
(1) x2-4x+9=0； (2) 3x2+10=2x2+8x.
所以方程无实数根.
解：（1）因为a=1，b=-4，c=9
所以Δ=b2-4ac
=(-4)2-4×1×9
=-4 < 0.
解：（2）化简，移项得 x2-8x+10=0.
所以a=1，b=-8，c=10
所以Δ=b2-4ac
=(-8)2-4×1×10
=24>0，
所以方程有两个不相等的实数根.
跟踪训练
当Δ≥0时，方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的实数根可写为
x 的形式，
这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式.
解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0).
二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号.
三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况
四求：
当△>0 时，方程有两个不相等的实数根;
当△=0 时，方程有两个相等的实数根;
当△<0 时，方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解下列方程：
(1) x -4x-7=0； (2) 2x -2x+1=0;
(3) 5x -3x=x+1； (4) x +17=8x.
例2
解：(1)因为a=1，b=﹣4，c=-7，
所以△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0，
方程有两个不相等的实数根x===2.
即
用公式法解下列方程：
(1) x -4x-7=0； (2) 2x -2x+1=0;
(3) 5x -3x=x+1； (4) x +17=8x.
例2
解：(2) 因为 ，
所以，
方程有两个相等的实数根
用公式法解下列方程：
(1) x -4x-7=0； (2) 2x -2x+1=0;
(3) 5x -3x=x+1； (4) x +17=8x.
例2
解：(3) 方程化为 ，此时 ，
所以 = (-4)2-4×5×(-1) =36>0.
方程有两个不相等的实数根x===.
即
用公式法解下列方程：
(1) x -4x-7=0； (2) 2x -2x+1=0;
(3) 5x -3x=x+1； (4) x +17=8x.
例2
解：(4) 方程化为 ，
此时a=1，b=-8，c=17，
所以 (-8)2-4×1×17=-4＜0.
方程无实数根.
用公式法解下列方程：
(1)x2-2x+3=0； (2)x2+9x-2=-x2+4x+10； (3)3x2+1=2x.
解：(1)由题意知a=1，b=-2，c=3，
所以△=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.
故方程无实数根.
跟踪训练
用公式法解下列方程：
(1)x2-2x+3=0； (2)x2+9x-2=-x2+4x+10； (3)3x2+1=2x.
解：(2)原方程化为2x2+5x-12=0，此时a=2，b=5，c=-12.
所以△=b2-4ac=52-4×2×(-12)=121>0.
故方程有两个不相等的实数根x===,
即 =， -4.
跟踪训练
用公式法解下列方程：
(1)x2-2x+3=0； (2)x2+9x-2=-x2+4x+10； (3)3x2+1=2x.
解：(3)原方程化为3x2-2x+1=0，则a=3,b=-2,c=1,
所以△=b2-4ac=(-2)2-4×3×1=12-12=0,
故方程有两个相等的实数根x===,
即 =.
跟踪训练
用公式法解下列方程：
(1) x2+x-6=0; (2) x2﹣x﹣ =0;
解：(1) ∵a = 1, b = 1, c = -6.
∴ b2-4ac=12-4×1×(-6)=25>0,
∴ x=
即 .
解：(2) ∵a=1，b=-，c=﹣，
∴ b2-4ac=(﹣)2-4×1×(﹣)=4>0,
∴ x=
即 .
用公式法解下列方程：
(3) 3x2-6x+4=0; (4) 2x2-3x=0;
解：(3)∵a=3,b=-6,c=4,
∴ b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0,
∴方程无实数根.
解：(4)∵ a=2,b=-3,c=0,
∴ - 4×2×0=9>0，
∴ .
即 .
用公式法解下列方程：
(5) x2+4x+8=4x+11； (6) x(2x-4)=5-8x.
解：(5) 整理，得 ，
∵，
∴ 4×1×(-3) = 12 > 0，
∴，
即 .
解：(6) 整理，得 ，
∵ a = 2, b = 4, c = -5，
∴ b2- 4ac = 42- 4×2×(-5)=56 > 0，
∴ =，
即 .
2.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A. B.
C. D.
D
3. 关于的方程 的根的判别式的值是( )
A. B.
C. D.
B
公式法解一元二次方程
根的判别式
步骤
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式△=b2-4ac，求根公式 x （b2-4ac≥0）
一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 .
二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号.
三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况.
四求：
当△>0 时，方程有两个不相等的实数根;
当△=0 时，方程有两个相等的实数根;
当△<0 时，方程无实数根.

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