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第二十五章 一元二次方程
25.2降次——解一元二次方程
25.2.3 因式分解法
1.理解因式分解法解一元二次方程的原理，能运用因式分解法解一元二次方程；
2.体会 “降次” 与 “转化” 的数学思想，能对比因式分解法与配方法、公式法的特点，根据方程结构选择合适的解法.
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s后的离地高度（单位：m)约为 10x-5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m,
即 10x-5x2=0.
思考：已经学习的配方法、公式法可以解吗？有没有更简便的解法呢？
10x-5x2=0.
将方程的左边分解因式，得 x(10-5x)=0.
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
所以 x=0，或10-5x=0.
因此，方程10x-5x2=0的两个根是x1=0，x2=2.
对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面.
思考：
解方程10x－5x2=0时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，在上述解法中，由10x－5x2=0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.
这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
解下列方程：
(1) x(x 2)+x 2=0； (2) 5x2 2x =x2 2x+.
例1
解：(1)左边分解因式，得
，
于是
，
即
.
(2) 移项、合并同类项，得
，
左边分解因式，得
，
于是 ，
即 .
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)移项：将方程的右边化为0；
(2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
(3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；
(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解.
用因式分解法解下列方程：
(1) 2x2 - 3x = 0； (2) 5x(x-3) = x-3；
跟踪训练
解：(1) 因式分解，得 x(2x-3) = 0.
于是 x = 0, 或 2x-3 = 0,
所以 x1=0，x2=.
(2) 移项，得 5x(x-3) - (x-3) = 0.
因式分解，得 (x-3)(5x-1) = 0.
于是 x-3 = 0, 或 5x-1 = 0,
所以 x1=3，x2=.
约去含未知数的因式导致漏解
在用因式分解法解一元二次方程时，当左右两边均有含未知数的相同因式时，不可直接约去，因为含未知数的因式可能等于0，如果直接约去，会导致漏掉使因式为0的未知数的值.
用因式分解法解下列方程：
(3) (3x+2)(2x+1) = -8x-4； (4) (2x-1)2 - 9 = 0.
跟踪训练
(3)移项，得 (3x+2)(2x+1) + 4(2x+1) = 0.
因式分解，得(2x+1)(3x+2+4) = 0,
即(2x+1)(3x+6) = 0，
于是 2x+1 = 0, 或 3x+6 = 0，
所以 x1=﹣，x2=-2.
(4) 因式分解，得 [(2x-1)+3][(2x-1)-3] = 0.
即(2x+2)(2x-4) = 0.
于是 2x+2 = 0, 或 2x-4 = 0.
所以x1=-1，x2=2.
思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？
方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点
直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程.
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单.
公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误.
因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小.
1．解下列方程：
(1) x +x=0; (2) x -2x=0;
解：(1)因式分解，得x(x+1)=0.
∴x=0,或x+1=0,
∴.
(2)因式分解，得 x(x-2) = 0.
∴ x = 0, 或 x - 2= 0,
∴ .
1．解下列方程：
(3) 3x -6x=-3; (4) 4x -81=0;
(3)移项，得 - 6x + 3 = 0.
则有 = 0.
∴ .
(4)因式分解，得 (2x+9)(2x-9) = 0.
∴ 2x+9 = 0, 或 2x-9 = 0,
∴ .
1．解下列方程：
(5) 3x(2x+1)=4x+2; (6) (x-4)2=(5-2x)2.
(5)移项，得 3x(2x+1) -2 (2x+1) = 0.
因式分解，得 (2x+1)(3x-2) = 0,
∴ 2x+1 = 0, 或 3x-2 = 0,
∴ , .
(6)移项，得 = 0.
因式分解，得 [(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)] = 0,
即 (1-x)(3x-9) = 0,
∴ 1-x = 0, 或 3x-9 = 0,
∴ , .
2.如图，把小圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4，求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为 x m，则大圆形场地的半径为 (x+5) m.
根据题意，得 π: π= 9:4，
整理，得 = 0，
所以 [2(x+5) + 3x][2(x+5) - 3x] = 0，
即 (5x+10)(-x+10) = 0，
所以 5x+10 = 0，或 -x+10 = 0，
所以= -2（舍），= 10，
所以小圆形场地的半径为 10 m.
3. 由方程 可以得到的方程是( )
A.或 B.
C. D.
A
4. 方程 的根是( )
A. B.
C.， D.，
D
因式分解法解一元二次方程
解法步骤
(1)移项：将方程的右边化为0；
(2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
(3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；
(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解.
先对方程ax +bx+c=0（a≠0）的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
定义

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