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第二十五章 一元二次方程
25.2降次——解一元二次方程
25.2.1配方法 课时1
理解并掌握利用平方根的意义解形如 x2=p（p≥0）或 (mx+n)2=p（p≥0）的一元二次方程，实现 “降次” 转化.
学会将一元二次方程变形为直接开平方法的形式，体会转化的数学思想.
问题1 什么是平方根？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.
问题2 如果 x2=9，那么 x 等于多少？
因为32=9，(-3)2=9，所以x=3或-3.
与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式.与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程.
本节我们研究如何通过“降次”解一元二次方程.
问题 下面这个一元二次方程怎么解？
x2=4.
解：根据平方根的意义，得
x=±2.
即
x1 =2，x2 = 2.
一般地，对于方程 x2=p,
(1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 =，x2 = ；
(2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 =x2 =0；
(3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根.
探究
对照上面解方程 x2=4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5
(x+3) 2=5， ①
得
x+3=， ②
即
x+3=，或x+3=.
于是，方程(x+3) 2=5的两个根为
x1=-3+，x2=-3-.
由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
解下列方程：
(1) 4x2 3=0；
例1
解：(1) 移项，并将二次项系数化为 1，得
x2=.
由此可得
x=±,
即
x1 =，x2 =﹣.
解下列方程：
(2) (x+2)2 9=0.
例1
解：(2) 移项，得 (x+2)2=9.
由此可得 x+2=±3,
x+2=3，或x+2=﹣3，
即 x1 =1，x2 =﹣5.
解下列方程：
(1)3x2-15=0； (2)(3x-6)2=0；
跟踪训练
解：(1)移项，得3x2=15.
二次项系数化为1，得x2=5.
开平方，得x=±5，
即x1=，x2=-.
(2)整理，得(3x-6)2=0.
开平方，得3x-6=0.
所以x1=x2=2.
解下列方程：
((3)2(3y+2)2-32=0； (4)25x2+10=1.
跟踪训练
解：(3)移项，得2(3y+2)2=32.
整理，得(3y+2)2=16.
开平方，得3y+2=±4，
即3y+2=4,或3y+2=-4，
所以y1=，y2=-2.
(4)移项，得25x2=-9.
二次项系数化为1，
得x2=﹣ <0,
所以方程无实数根.
1. 解下列方程：
(1) x2-9=0； (2) 2x2-8=0；
(3) 9x2-5=3； (4) (x+6)2-9=0；
(5) 3(x-1)2-6=0； (6) x2-4x+4=5.
解：(1)，
.
(2) ，
，
.
解：(3)，
，
.
(4)，
，
.
1. 解下列方程：
(1) x2-9=0； (2) 2x2-8=0；
(3) 9x2-5=3； (4) (x+6)2-9=0；
(5) 3(x-1)2-6=0； (6) x2-4x+4=5.
解：(5)，
，
，
.
(6)，
，
.
1. 解下列方程：
(1) x2-9=0； (2) 2x2-8=0；
(3) 9x2-5=3； (4) (x+6)2-9=0；
(5) 3(x-1)2-6=0； (6) x2-4x+4=5.
2. 一元二次方程 (x+6)2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x-6=-4 B. x-6=4
C. x+6=4 D. x+6=-4
D
3. 方程3x2+9=0的根为（ ）
3 B. －3
C. ±3 D. 无实数根
D
直接开平方法
解一元二次方程
x2=p
(1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 =，x2 = .
(2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 =x2 =0.
(3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根.

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