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第二十五章 一元二次方程
25.3实际问题与一元二次方程课时2
能从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，解决传播问题和平均变化率问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
我们在新闻里经常看到传染病传播的报道，比如流感、诺如病毒，它们的传播速度非常快. 大家有没有想过：为什么一个人得病，很快就会有一群人被传染？ 这里面隐藏着什么数学规律？让我们一起探讨吧！
探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？
分析：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人.
开始有 1 个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x 个人，
用代数式表示，第一轮后共有________个人被传染；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个人，
用代数式表示，第二轮后共有___________个人被传染.
(1+x)
[1+x+x(1+x)]
探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？
解：列方程
1+x+x(1+x)=121.
解方程，得
x1 =10，x2 = 12 (不合题意，舍去).
因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人.
经过三轮传染后共有121×10+121=1 331(个)人被传染.
思考：
按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？
由此体会阻断病毒传播的必要性.
思考：
如果按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第一轮 1 1 x＝x 1＋x
第二轮 1＋x (1＋x)·x
第三轮
第 n 轮
(1+x)n
(1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3
1+x+(1+x)·x =(1+x)2
(1+x)2
(1+x)2·x
(1+x)n-1
(1+x)n-1·x
类型 等量关系
病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 a(1+x)n=b，
其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数.
传播问题的解题策略
例1
癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞．
（1）求一个癌细胞每轮分裂出多少个癌细胞．
解：（1）设一个癌细胞每轮分裂出x个癌细胞，
由题意，得(x+1)2=12 100.
解得x1=109，x2=-111（不合题意，舍去）.
答：一个癌细胞每轮分裂出109个癌细胞.
例1
癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞．
（2）若以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有多少个癌细胞？
解：（2）以相同的分裂速度再经过两轮分裂，分裂后的癌细胞为：
12 100×（109+1）2=146 410 000（个）.
答：以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有146 410 000个癌细胞．
探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10 000-6 000)÷2=2 000(元)，
乙种食品成本的年平均下降额为(12 000-7 200)÷2=2 400(元) .
显然，乙种食品成本的年平均下降额较大.
但年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）.
探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为 元，
两年后甲种食品成本为 元，于是有
解方程，得
根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%.
思考：为什么选择22.5%作为答案？
因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1的正数，所以选择22.5%作为答案.
探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
设乙种食品成本的年平均下降率为y.
根据题意，得12 000(1-y)2=7 200. 解得y1≈0.225，y2≈1.775（舍去）.
所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%.
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？
成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
类型 等量关系
正增长、负增长 a(1+x)n=b，
其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量.
当出现负增长时，x 小于 0.
增长率问题的解题策略
某网络销售公司计划第二季度销售额达到1 200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x,根据题意所列方程正确的是（　　）
例2
A．310（1+x%）2=1 200 B．310（1+x）+310（1+x）2=1 200
C．310（1+x）2=1 200 D．310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200
解析：设5、6月的销售额月平均增长率为x,
则5月份的销售额为310（1+x）万元，
6月份的销售额为310（1+x）2万元，
根据第二季度销售额达到1 200万元，可得310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200．
D
1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支. 如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出 x 个小分支.
由题意，得 1＋x＋x2＝91，
即 x2＋x－90＝0.
解得 x1＝9，x2＝－10(不合题意，舍去).
答：每个支干长出9个小分支.
2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产15 000 kg，两年后平均每公顷产18 000 kg.求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）.
解：设这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为x.
根据题意，得 15 000(1+x)2=18 000.
解得 x1≈0.095 4，x2≈-2.095 4（不合题意，舍去）.
所以这两年水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.54%.
3.近期江门基孔肯雅热疫情高发，该病主要通过伊蚊叮咬传播，做好“清积水、灭成蚊、防叮咬”可有效阻断传播.某社区发现1例确诊病例，由于初期防控意识不足，病例数随蚊虫叮咬快速增长，经过两轮传播后共有81例感染者.
（1）求每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致多少人感染？
解：（1）设每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致x人感染.
由题意,得x（x+1）+x+1=81，
整理得（x+1）2=81，
解得x1=8，x2=-10（不合题意，舍去）.
答：每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致8人感染.
3.近期江门基孔肯雅热疫情高发，该病主要通过伊蚊叮咬传播，做好“清积水、灭成蚊、防叮咬”可有效阻断传播.某社区发现1例确诊病例，由于初期防控意识不足，病例数随蚊虫叮咬快速增长，经过两轮传播后共有81例感染者.
（1）求每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致多少人感染？
（2）如果在第三轮传播开始前未及时开展灭蚊消杀，仍保持相同的传播速度，则经三轮传播后共有______人感染.
解析：（2）经三轮传播后的人数共有81+81×8=729（人）.
729
实际问题与
一元二次方程
传播问题
增长率问题
a(1+x)n=b，
其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量.
当出现负增长时，x 小于 0.
a(1+x)n=b，
其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数.

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